極坐標(biāo)與球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分§9．5利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系、柱面坐標(biāo)系中的體積元素柱面坐標(biāo)系中的三重積分球面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)系的坐標(biāo)面直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系、球面坐標(biāo)系中的體積元素球面坐標(biāo)系中的三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r、q、z相對(duì)應(yīng)，其中P(r,q)為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q、z的變化范圍為：0

r<

，0

q

2

，

<z<

．xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yq三個(gè)數(shù)r、q、z叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)．r

r0一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分坐標(biāo)面r

r0，q

q0，z

z0的意義：xyzOq

q0z

z0r0q0z0

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r、q、z相對(duì)應(yīng)，其中P(r,q)為點(diǎn)M在xOy面上的投影的極坐標(biāo)．這里規(guī)定r、q、z的變化范圍為：0

r<

，0

q

2

，

<z<

．三個(gè)數(shù)r、q、z叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)．直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)系中的體積元素：

dv

rdrdqdz．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOrzP(r,q)M(x,y,z)x

yqx2

y242解閉區(qū)域W可表示為：r2

z

4，0

r

2，0

q

2

．于是z

x2

y2或z

r24xyzO例1二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分這樣的三個(gè)數(shù)r、j、q叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)．設(shè)M(x，y，z)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M與數(shù)r、j、q相對(duì)應(yīng)，其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離，j為有向線段與z軸正向所夾的角，q為從正z軸來(lái)看自x軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線段的角．這里r、j、q的變化范圍為0

r<

，0

j<

，0

q

2

．xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj坐標(biāo)面r

r0，j

j0，q

q0的意義：xyzOrqj

點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系：球面坐標(biāo)系中的體積元素：

dv

r2sinj

drdjdq．柱面坐標(biāo)系中的三重積分：xyzOzPM(x,y,z)x

yqrj

例2

求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．xyzOa2a

例2

求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積．解該立體所占區(qū)域W可表示為：0

r

2acosj，0

j

a，0

q

2

．于是所求立體的體積為xyzOa2arj．

例3求均勻半球體的重心．

解取半球體的對(duì)稱(chēng)軸為