高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后習(xí)題 課時規(guī)范練16　函數(shù)模型的應(yīng)用（黑龍江版）

課時規(guī)范練16函數(shù)模型的應(yīng)用(分值:57分)(單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分)基礎(chǔ)鞏固練1.(2025·福建漳州一模)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放,過濾過程中廢氣中的污染物含量P(單位:mg/L)與時間t(單位:h)間的關(guān)系為P=P0e-kt,其中P0,k>0,若當(dāng)t=5時消除了10%的污染物,則當(dāng)t=15時污染物含量還剩余()A.70% B.85%C.81% D.72.9%2.(2025·廣東揭陽模擬)向如圖放置的空容器中勻速注水,直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系的是()A. B.C. D.3.(2025·安徽合肥模擬)放射性物質(zhì)是指那些能自然地向外界輻射能量,發(fā)出射線的物質(zhì).在一個給定的單位時間內(nèi),放射性物質(zhì)的質(zhì)量會按某個衰減率衰減.一般是用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況,這個時間被稱為半衰期.考古學(xué)中常利用生物標(biāo)本中的碳14元素穩(wěn)定持續(xù)衰減的現(xiàn)象測定標(biāo)本的年代.已知碳14的半衰期約為5730年.現(xiàn)在實驗室測定某動物標(biāo)本中碳14含量為正常大氣中碳14含量的80%,則該標(biāo)本大約距今()(lg2≈0.3)A.1146年 B.1375年C.1910年 D.2292年4.(多選題)(2025·河北衡水模擬)在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下,當(dāng)氣體通過圓形管道時,其流量v(單位:cm3/s)與管道的半徑r(單位:cm)的四次方成正比,當(dāng)氣體在半徑為5cm的管道中時,流量為1250cm3/s,則()A.當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時,流量為162cm3/sB.當(dāng)氣體在半徑為3cm的管道中時,流量為152cm3/sC.要使得氣體流量不小于512cm3/s,管道的半徑的最小值為4cmD.要使得氣體流量不小于512cm3/s,管道的半徑的最小值為32cm5.(2025·云南昆明模擬)某企業(yè)為研發(fā)新產(chǎn)品,投入研發(fā)的經(jīng)費(fèi)逐月遞增.已知該企業(yè)2025年1月投入該新產(chǎn)品的研發(fā)經(jīng)費(fèi)為20萬元,之后每個月的研發(fā)經(jīng)費(fèi)在上一個月的研發(fā)經(jīng)費(fèi)的基礎(chǔ)上增加20%,記2025年1月為第1個月,第n(n∈N*)個月該企業(yè)投入該新產(chǎn)品的研發(fā)經(jīng)費(fèi)不低于40萬元,則n的最小值是.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)

綜合提升練6.(2025·浙江杭州模擬)在邊長為1的正方形ABCD上,E為邊CD的中點(diǎn),動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上沿A→B→C→E運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x,△APE的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.7.(13分)(2025·福建寧德模擬)為了提升某水域的生態(tài)環(huán)境水平,科研人員于2020年初在該水域投放一種微生物,投放量為1個單位數(shù)量.這種微生物在開始的4年內(nèi)繁殖速度越來越快,隨后越來越慢,設(shè)投放x(x≥0)年后這種微生物的數(shù)量為y個單位.已知y與x的關(guān)系擬合后的分段函數(shù)的圖象如圖所示,給出3個函數(shù)模型:①y=mx2+n(m>0);②y=px+q(p>0);③y=ax-2+b(a>0).(1)請從①,②,③中選擇兩個合適的函數(shù)模型描述此分段函數(shù),求出兩個函數(shù)模型的解析式,并說明理由;(2)求該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時長.(注:微生物的數(shù)量在26~42個單位之間生態(tài)環(huán)境最佳,包括26和42)創(chuàng)新應(yīng)用練8.(13分)(2025·廣東汕頭模擬)新能源電動汽車主要采用電能作為動力來源,目前比較常見的主要有兩種:混合動力汽車、純電動汽車.有關(guān)部門在國道上對某型號純電動汽車進(jìn)行測試,國道限速60km/h.經(jīng)數(shù)次測試,得到該純電動汽車每小時耗電量Q(單位:Wh)與速度x(單位:km/h)的數(shù)據(jù)如下表所示:x0104060Q0142044806720為了描述該純電動汽車在國道上行駛時每小時耗電量Q與速度x的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:①Q(mào)=150x3-2x2+cx;②Q=1-23x;③Q=300log(1)當(dāng)0≤x≤60時,請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型(不需說明理由),并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從A中學(xué)行駛到B中學(xué),其中,國道上行駛50km,高速上行駛300km.假設(shè)該電動汽車在國道和高速上均做勻速運(yùn)動,國道上每小時的耗電量Q與速度x的關(guān)系滿足(1)中的函數(shù)表達(dá)式;高速路上車速x(單位:km/h)滿足x∈[80,120],且每小時耗電量N(單位:Wh)與速度x(單位:km/h)的關(guān)系滿足N=2x2-10x+200(80≤x≤120).則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時,該車輛的總耗電量最少?最少總耗電量為多少?參考答案1.D解析當(dāng)t=0時,P=P0·e-k·0=P0;當(dāng)t=5時,P0·e-5kP0=0.9,即當(dāng)t=15時,P0·e-15kP0=e-15k=(e-5k)3=0.93=0.7292.C解析由于容器上粗下細(xì),所以勻速注水的過程中,高度的增長會越來越慢,只有C選項的圖象符合題意.故選C.3.C解析不妨設(shè)動物標(biāo)本中碳14含量初始值是1個單位,則經(jīng)過t年動物標(biāo)本中碳14含量為f(t)=12令f(t)=12t5730=45,則t=5730×log1245=5730×1-3lg2lg24.AC解析依題意可設(shè)v=kr4,k為常數(shù).當(dāng)氣體在半徑為5cm的管道中時,流量為1250cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,則v=2r4.當(dāng)r=3時,v=162,故A正確,B錯誤;由2r4≥512,解得r≥4,故C正確,D錯誤.故選AC.5.5解析由題意可得20×(1+20%)n-1≥40,則1.2n-1≥2,所以(n-1)lg1.2≥lg2,所以n-1≥lg2lg1.所以n≥4.810.因為n∈N*,所以n的最小值為5.6.A解析當(dāng)動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上沿A→B運(yùn)動時,則△APE的面積為y=12x×1=12x,0當(dāng)動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上沿B→C運(yùn)動時,則△APE的面積為y=12×1+12×1-12×(x-1)×1-12×當(dāng)動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上沿C→E運(yùn)動時,則△APE的面積為y=12×52-x×1=14所以y=12x,0<x≤1,147.解(1)易知模型③y=ax-2+b(a>0)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以可排除;因為這種微生物在開始的4年內(nèi)繁殖速度越來越快,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得①y=mx2+n(m>0)符合題意;又隨后繁殖速度越來越慢,由冪函數(shù)的性質(zhì)可得②y=px+q(p>0)符合題意;所以當(dāng)0≤x≤4時,y=mx2+n(m>0),當(dāng)x>4時,y=px+q(p>0);結(jié)合圖象可知y=mx2+n(m>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,1),(4,37);即m×0+n即y=94x2+1(0≤x函數(shù)y=px+q(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(4,37),(16,47),即p4+即y=5x+27(x>4);所以符合題意的兩個函數(shù)解析式為①y=94x2+1(0≤x≤4)和②y=5x+27(x>4)(2)因為微生物的數(shù)量在26~42個單位之間生態(tài)環(huán)境最佳,當(dāng)0≤x≤4時,令94x2+1≥26,解得103當(dāng)x>4時,令5x+27≤42,解得4<x≤9.綜上,當(dāng)103≤x≤9時,所以該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時長為9-103=1738.解(1)對于③Q=300logax+b,當(dāng)x=0時,它無意義,故不符合題意;對于②Q=1-23x,當(dāng)x=10時,Q=1-又0<2310所以1-2310<1,故不符合題意;故選①Q(mào)=150x3-2由表中的數(shù)據(jù)可得,150×103-2×102+c×10=1420,解得所以Q=150x3-2x2+160(2)高速上行駛300km,所用時間為300x則所耗電量為f(x)=300x·(2x2-10x+200)=600x+100x-3000,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在[80,120]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(80)=600×80+10080-3000=4575