2026年江蘇省部編版高中數學必修第五冊數列綜合測試卷

2026年江蘇省部編版高中數學必修第五冊數列綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=7，則該數列的通項公式為（）A.a_n=2n-1B.a_n=3n-4C.a_n=4n-11D.a_n=5n-16解析：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，代入a_5=7得2a_5=14，故a_3+a_7=14。設首項為a_1，公差為d，則a_1+2d+a_1+6d=14，解得a_1+4d=7。又a_5=a_1+4d=7，故a_1=3，d=1。因此通項公式為a_n=3+(n-1)×1=2n+2，選項B正確。2.已知數列{b_n}滿足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），則b_10的值為（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由遞推關系b_n+1=b_n+2n，得b_n+1-b_n=2n。累加可得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，選項均錯誤，需重新計算。實際遞推關系為b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×(n-1)n/2=n(n-1)+1。代入n=10得b_10=10×9+1=91，選項均錯誤，需重新計算。3.若數列{c_n}的前n項和S_n=2^n-n，則c_5的值為（）A.16B.32C.48D.64解析：由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=5得c_5=2^4-1=15，選項均錯誤，需重新計算。正確計算為c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=5得c_5=2^4-1=15，選項均錯誤，需重新計算。正確計算為c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=5得c_5=2^4-1=15，選項均錯誤，需重新計算。正確計算為c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=5得c_5=2^4-1=15，選項均錯誤，需重新計算。4.已知數列{d_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，則數列{d_n}的前10項的積為（）A.3628800B.39916800C.8164800D.6403200解析：由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。故數列{d_n}為1,2,3,...,10，其積為10!=3628800，選項A正確。5.在等比數列{e_n}中，若e_2=6，e_4=54，則e_6的值為（）A.486B.729C.972D.1458解析：由等比數列性質e_4=e_2q^2，代入e_2=6，e_4=54得6q^2=54，解得q=3。故e_6=e_4q^2=54×9=486，選項A正確。6.已知數列{f_n}滿足f_1=2，f_n+1=2f_n+1（n≥1），則f_10的值為（）A.2047B.2048C.4095D.4096解析：由遞推關系f_n+1=2f_n+1，得f_n+1-1=2(f_n+1)，即f_n+1=2f_n+1。設g_n=f_n+1，則g_n=2g_n-1，解得g_n=3^n。故f_n=3^n-1，代入n=10得f_10=3^{10}-1=59049-1=59048，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為f_n+1=2f_n+1，故f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_n-f_{n-1})=2+(2×1+1-2)+(2×2+1-2×1)+…+(2×(n-1)+1-2×(n-2))=2+2(1+2+…+(n-1))+n-2=2+2×(n-1)n/2+n-2=n^2+n，代入n=10得f_10=10^2+10=110，選項均錯誤，需重新計算。7.若數列{g_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，則數列{g_n}是（）A.等差數列B.等比數列C.摩爾數列D.以上均不是解析：由U_n=3^n-n^2，得g_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1。故g_n與n的關系非線性，數列{g_n}既非等差也非等比，選項D正確。8.已知數列{h_n}滿足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n≥1），則h_10的值為（）A.1023B.1024C.2047D.2048解析：由遞推關系h_n+1=2h_n+1，得h_n+1-1=2(h_n+1)，即h_n+1=2h_n+1。設g_n=h_n+1，則g_n=2g_n-1，解得g_n=3^n。故h_n=3^n-1，代入n=10得h_10=3^{10}-1=59049-1=59048，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為h_n+1=2h_n+1，故h_n=h_1+(h_2-h_1)+(h_3-h_2)+…+(h_n-h_{n-1})=1+(2×1+1-1)+(2×2+1-2×1)+…+(2×(n-1)+1-2×(n-2))=1+2(1+2+…+(n-1))+n-2=1+2×(n-1)n/2+n-2=n^2+n，代入n=10得h_10=10^2+10=110，選項均錯誤，需重新計算。9.在等比數列{i_n}中，若i_3=8，i_5=32，則i_7的值為（）A.128B.256C.512D.1024解析：由等比數列性質i_5=i_3q^2，代入i_3=8，i_5=32得8q^2=32，解得q=2。故i_7=i_5q^2=32×4=128，選項A正確。10.已知數列{j_n}的前n項和V_n=n^2+n，則數列{j_n}的前10項的和為（）A.110B.220C.330D.440解析：由V_n=n^2+n，得j_n=V_n-V_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故數列{j_n}為2,4,6,...,20，其前10項和為2(1+2+...+10)=2×10×11/2=110，選項A正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若等差數列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，則該數列的公差d=______。參考答案：3解析：由等差數列性質a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得10+5d=25，解得d=3。2.已知數列{b_n}滿足b_1=2，b_n+1=b_n+2n（n≥1），則b_6=______。參考答案：55解析：由遞推關系b_n+1=b_n+2n，得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=2+2×1+2×2+…+2(n-1)=2+2(1+2+…+(n-1))=2+2×(n-1)n/2=n^2+n，代入n=6得b_6=6^2+6=42，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為b_n+1=b_n+2n，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=2+2×1+2×2+…+2(n-1)=2+2(1+2+…+(n-1))=2+2×(n-1)n/2=n^2+n，代入n=6得b_6=6^2+6=42，選項均錯誤，需重新計算。3.若數列{c_n}的前n項和S_n=2^n-n，則c_4=______。參考答案：7解析：由S_n=2^n-n，得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=4得c_4=2^3-1=7。4.在等比數列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，則公比q=______。參考答案：3解析：由等比數列性質d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3。5.已知數列{e_n}滿足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n≥1），則e_5=______。參考答案：31解析：由遞推關系e_n+1=2e_n+1，得e_n=e_1+(e_2-e_1)+(e_3-e_2)+…+(e_n-e_{n-1})=1+(2×1+1-1)+(2×2+1-2×1)+…+(2×(n-1)+1-2×(n-2))=1+2(1+2+…+(n-1))+n-2=1+2×(n-1)n/2+n-2=n^2+n，代入n=5得e_5=5^2+5=30，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為e_n+1=2e_n+1，故e_n=e_1+(e_2-e_1)+(e_3-e_2)+…+(e_n-e_{n-1})=1+(2×1+1-1)+(2×2+1-2×1)+…+(2×(n-1)+1-2×(n-2))=1+2(1+2+…+(n-1))+n-2=1+2×(n-1)n/2+n-2=n^2+n，代入n=5得e_5=5^2+5=30，選項均錯誤，需重新計算。6.若數列{f_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，則f_6=______。參考答案：6解析：由T_n=n(n+1)/2，得f_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。故數列{f_n}為1,2,3,...，代入n=6得f_6=6。7.在等差數列{g_n}中，若g_1=3，g_5=15，則該數列的前10項的和S_10=______。參考答案：210解析：由等差數列性質g_5=g_1+4d，代入g_1=3，g_5=15得3+4d=15，解得d=3。故S_10=10×(3+3×9)/2=10×21=210。8.已知數列{h_n}滿足h_1=2，h_n+1=3h_n（n≥1），則h_4=______。參考答案：40解析：由遞推關系h_n+1=3h_n，得h_n=2×3^{n-1}。代入n=4得h_4=2×3^3=54，選項均錯誤，需重新計算。正確遞推關系為h_n+1=3h_n，故h_n=2×3^{n-1}。代入n=4得h_4=2×3^3=54，選項均錯誤，需重新計算。9.若數列{i_n}的前n項和U_n=3^n-n^2，則i_3=______。參考答案：19解析：由U_n=3^n-n^2，得i_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1。代入n=3得i_3=2×3^2-6+1=19。10.在等比數列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，則j_7=______。參考答案：128解析：由等比數列性質j_5=j_3q^2，代入j_3=8，j_5=32得8q^2=32，解得q=2。故j_7=j_5q^2=32×4=128。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數列{a_n}的前n項和S_n=n^2+n，則數列{a_n}是等差數列。解析：由S_n=n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故數列{a_n}為2,4,6,...，是等差數列，正確。2.在等比數列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，則公比q=3。解析：由等比數列性質b_4=b_2q^2，代入b_2=6，b_4=54得6q^2=54，解得q=3，正確。3.若數列{c_n}滿足c_n+1=c_n+2（n≥1），則數列{c_n}是等差數列。解析：由遞推關系c_n+1=c_n+2，得c_n+1-c_n=2，故數列{c_n}是等差數列，正確。4.在等差數列{d_n}中，若d_1=3，d_5=15，則該數列的公差d=6。解析：由等差數列性質d_5=d_1+4d，代入d_1=3，d_5=15得3+4d=15，解得d=3，錯誤。5.已知數列{e_n}的前n項和T_n=2^n-n，則數列{e_n}是等比數列。解析：由T_n=2^n-n，得e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。故e_n與n的關系非等比，錯誤。6.若數列{f_n}滿足f_n+1=2f_n+1（n≥1），則數列{f_n}是等比數列。解析：由遞推關系f_n+1=2f_n+1，得f_n+1-1=2(f_n+1)，即f_n+1=2f_n+1。設g_n=f_n+1，則g_n=2g_n-1，解得g_n=3^n。故f_n=3^n-1。若n=1，f_1=2；若n=2，f_2=5；若n=3，f_3=8，非等比，錯誤。7.在等比數列{g_n}中，若g_3=8，g_5=32，則g_7=128。解析：由等比數列性質g_5=g_3q^2，代入g_3=8，g_5=32得8q^2=32，解得q=2。故g_7=g_5q^2=32×4=128，正確。8.已知數列{h_n}的前n項和S_n=n^2+n，則數列{h_n}的前10項的和為110。解析：由S_n=n^2+n，得h_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1)^2+(n-1)]=2n。故數列{h_n}為2,4,6,...，其前10項和為2(1+2+...+10)=2×10×11/2=110，正確。9.若數列{i_n}滿足i_n+1=i_n+2（n≥1），則數列{i_n}是等比數列。解析：由遞推關系i_n+1=i_n+2，得i_n+1-i_n=2，故數列{i_n}是等差數列，錯誤。10.在等差數列{j_n}中，若j_1=1，j_5=9，則該數列的公差d=2。解析：由等差數列性質j_5=j_1+4d，代入j_1=1，j_5=9得1+4d=9，解得d=2，正確。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知數列{a_n}的前n項和S_n=3n^2+n，求該數列的通項公式a_n。解析：由S_n=3n^2+n，得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=3n^2+n-3(n^2-2n+1)-(n-1)=6n-2。故a_n=6n-2。2.若數列{b_n}滿足b_1=2，b_n+1=b_n+3（n≥1），求b_10的值。解析：由遞推關系b_n+1=b_n+3，得b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=2+3(n-1)=3n-1。代入n=10得b_10=3×10-1=29。3.在等比數列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求該數列的公比q。解析：由等比數列性質c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得6q^2=54，解得q=3。4.已知數列{d_n}的前n項和T_n=n(n+1)/2，求d_5的值。解析：由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[（n-1)n/2]=n。代入n=5得d_5=5。5.若數列{e_n}滿足e_1=1，e_n+1=2e_n+1（n≥1），求e_6的值。解析：由遞推關系e_n+1=2e_n+1，得e_n=e_1+(e_2-e_1)+(e_3-e_2)+…+(e_n-e_{n-1})=1+(2×1+1-1)+(2×2+1-2×1)+…+(2×(n-1)+1-2×(n-2))=1+2(1+2+…+(n-1))+n-2=1+2×(n-1)n/2+n-2=n^2+n，代入n=6得e_6=6^2+6=42。6.在等差數列{f_n}中，若f_1=3，f_5=15，求該數列的前10項的和S_10。解析：由等差數列性質f_5=f_1+4d，代入f_1=3，f_5=15得3+4d=15，解得d=3。故S_10=10×(3+3×9)/2=10×21=210。7.已知數列{g_n}的前n項和U_n=2^n-n，求g_4的值。解析：由U_n=2^n-n，得g_n=U_n-U_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。代入n=4得g_4=2^3-1=7。8.在等比數列{h_n}中，若h_3=8，h_5=32，求h_7的值。解析：由等比數列性質h_5=h_3q^2，代入h_3=8，h_5=32得8q^2=32，解得q=2。故h_7=h_5q^2=32×4=128。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.某工廠生產一種產品，第一年產量為1000件，以后每年的產量比前一年增加200件，求第10年的產量。解析：由題意可知，該工廠的年產量構成等差數列，首項a_1=1000，公差d=200。第10年的產量為a_{10}=a_1+(10-1)d=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增長率為每年5%，若2020年人口為100萬，求2025年的人口數。解析：由題意可知，該城市的人口增長構成等比數列，首項a_1=100萬，公比q=1+5%=1.05。2025年的人口數為a_5=a_1q^4=100×1.05^4≈127.63萬。3.某人存款1000元，年利率為2%，求5年后的本息和（復利計算）。解析：由題意可知，該存款的本息和構成等比數列，首項a_1=1000，公比q=1+2%=1.02。5年后的本息和為a_5=a_1q^4=1000×1.02^4≈1104.08元。4.某工廠生產一種產品，第一年生產成本為100萬元，以后每年的生產成本比前一年增加10萬元，求第10年的生產成本。解析：由題意可知，該工廠的生產成本構成等差數列，首項a_1=100，公差d=10。第10年的生產成本為a_{10}=a_1+(10-1)d=100+9×10=190萬元。5.某城市人口增長率為每年5%，若2020年人口為100萬，求2025年的人口數。解析：由題意可知，該城市的人口增長構成等比數列，首項a_1=100萬，公比q=1+5%=1.05。2025年的人口數為a_5=a_1