相似三角形的判定 闖關(guān)練-2025-2026學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期

27.2.1相似三角形的判定闖關(guān)練2025-2026學(xué)年

下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊

一、單選題

1.下列判斷中，正確的是（）

A.各有一個(gè)角是76°的兩個(gè)等腰三角形相似

B.鄰邊之比為2:1的兩個(gè)等腰三角形相似

C.各有一個(gè)角是45。的兩個(gè)等腰三角形相似

D.鄰邊之比為2:3的兩個(gè)等腰三角形相似

APr）p

2.如圖，點(diǎn)D,E分別在aABC的AB,AC邊上，增加下列哪些條件，①NAED=NB,②一■；■二：：,

ABBC

AnAp

③土二二一，使4ADE與AACB一定相似（）

A.①②B.②C.0?D.①②③

3.如圖，點(diǎn)尸在△力8。的邊4c上,要判斷△4C3,添加一個(gè)條件，不正確的是（）

A.NABP=/CB./APB=/ABC

APABABAC

C.———D.=——

ABACBPCB

4.如圖，在△力4C中，N8力C=90。，D,E為BC上兩點(diǎn),過點(diǎn)。，E分別作4C,48的垂線，兩

垂線交于點(diǎn)M，垂足分別為G,F,若/AED=NBAD,48=4C=2,則下列說法中不正確的是（）

ADAC

A.△CAEBDAn

C.BD-CE=4D.BE=y/2BF

5.如圖，下列條件能使ABPE和△CPO相似的有（）

,LXADAE,/c力。4EPEBP

①〃=NC；②就=/；③NADB=NAEC；④布=就；⑤而=正

C.4個(gè)D.5個(gè)

6.如圖，在△N8C中，點(diǎn)。、E分別在48、4C邊上，DE//BC,且NDCE=NB.那么下列各判斷

A.AADEs4ABCB./\ADEs4ACD

C.△DECsMDBD.AADEsADCB

7.如圖，在△ABC中，。在48上，E在力。上,產(chǎn)在8C上,DE//BCtEF//AB,則下列結(jié)論一

定正確的是（）

EF_DE?BFEFAD_DEAE_BF

A.B.=C.D.

~AB~~BCBCAD~EC~~FC

8.定義：我們知道，凸四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相

似（不全等），我們就把這個(gè)凸四邊形叫做“自相似四邊形”.如圖，點(diǎn)力、B、C是正方設(shè)格中的格

點(diǎn)，在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)。，使以力、8、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點(diǎn)。

的個(gè)數(shù)是（）

4

BC

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題

9.如圖，在△/AC中，。為48邊上的?點(diǎn)，要使△氏4cs成立，還需要添加一個(gè)條件，你

添加的條件是

10.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.如：——,簽

ACAC

11.如上圖，△/8c中，。，后分別是力。上的點(diǎn)（OEwBC）,當(dāng)或或時(shí),

12.如圖，要使△4CQ~△力8C,則需要添加的條件是（填一個(gè)即可）

13.RSABC的三邊長AB=5,BC=4,AC=3,RLABC的三邊長A'B'=10,B'C=8,A'C=6,

則Rt^ABCRt△ABC.

14.在A/IB。中，48=3,AC=4,在AOE/中，已知。E=6,DF=8,要使A/BC與產(chǎn)相似,

需添加的一個(gè)條件是.

三、解答題

15.如圖，在△/4C中，AC1BC,。是4C延長線上的一點(diǎn)，E是力C上的一點(diǎn).連接￡D.如果

4=ND.求證：AABCsgEC.

16.如圖，4c=30,BC=15,EC=IO,CD=5,試證明△AACSAEQC.

17.如圖，在平行四邊形力BCD中，點(diǎn)￡為4C邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)8,點(diǎn)。重合），連接OE并延長,

交力4的延長線于點(diǎn)E求證：ACDESAAED.

18.如圖，AB為。O的直徑，D為弦BC的中心，連接OD并延長交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)P,連接AC.求

證：△CPDsAABC.

B

19.已知：如圖，在和AHB'C中，4=34=NV.

求證：4ABCsA/BC.

20.一個(gè)三角形三邊的長分別為6cm,9cm,7.5cm,另一個(gè)三角形三邊的長分別為8cm』0cm」2cm,這

兩個(gè)三角形相似嗎？為什么？

參考答案

題號12345678

答案BCDBCDDD

1.B

【分析】根據(jù)相似三角形的判斷方法及等腰三角形的性質(zhì)對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】A.沒有明確指出角是頂角還是底角無法判定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B.因?yàn)楸戎禐?:1,所以大邊一定是腰，所以對邊成比例，相似，故B選項(xiàng)正確.

C.沒有明確指出角是頂角還是底角無法判定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D.沒有指明誰是底邊誰是腰，無法判定，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法即可一一判斷:

【詳解】解：VZA=ZA,ZAED=ZB,

/.△AED^AABC,故①正確,

VZA=ZA,也;生

ACAB

AAAED^AABC,故③正確,

由②無法判定4ADE與4ACB相似,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.D

【詳解】解：A.當(dāng)N/8P=NC時(shí),

又???/4=N4,

:?△ABPs“CB,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.當(dāng)/力。8=/48。時(shí),

又「ZA=ZA,

:.△ABPsAACB,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

cwAPAB.

c當(dāng)花=就時(shí)rI,

又二NN=4,

:.△ABPSAACB,

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.無法得到△/出故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NB=NC=45。，利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證

得△CAEs^BDA,由相似三角形的性質(zhì)得到喋二絲==，證得BD?CE=4,由EF_LAB,得到

BDABAE

△BEF是等腰直角三角形，于是得到BE=&BF,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：VZBAC=90°,AB=AC,

.\ZB=ZC=45°,

VZAED=ZBAD,

AACAE^ARDA.

.ACCEAD

??訪―布一五’

VAB=AC=2,

，BD?CE=4,

VEF±AB,

???△BEF是等腰直角三角形，

ABE=V2BF,

:?A、C、D正確，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明

△CAE^ABD是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】根據(jù)“兩角相等的兩個(gè)三角形相似''判斷①：根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相

似”證明△力8。?"CE,可得N8=NC,進(jìn)而判斷④，即可說明②；根據(jù)平角定義得NC0P=N8EP,

再結(jié)合“兩角相等的兩個(gè)三角形相似”判斷③即可；最后根據(jù)“兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形

相似”判斷⑤即可.

【詳解】VZi?=ZC,/BPE=/CPD,

J/PEfCPD,

所以①符合題意；

=半=/

ABAC

:?“BD~dCE，

/.NB=NC.

丁/BPE=NCPD,

"PEfCPD,

所以④符合題意，②不符合題意:

???AADB=ZAEC,

???NCDP=NBEP.

??NBPE=NCPD,

???RPEfCPD,

所以③符合題意；

PFBP

?：4BPE=4CPD,—=—,

PDPC

/.^BPE^CPD,

所以⑤符合題意.

則符合題意的有4個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正確，D不正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】???Q￡〃8C,

:./XADEsAABC,ZBCD=ZCDE,NADE=/B,NAED=/ACB,

?:/DCE=/B,:?NADE=NDCE,

又???//=//,:?△ADES^ACD；

■:乙BCD=zLCDE,NDCEMB，/.ADFC-ACM；

?；/B=N4DE,彳旦是N8C￡><N4E。，且

:?AADE與ADCB不相似；

正確的判斷是A、B、C,錯(cuò)誤的判斷是D；

故選D.

【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定方法：熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相

似是解決問題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)找出會=三是解題的關(guān)鍵.根據(jù)QE〃8C,即〃48可得出

ECFC

4ADEsAABC,△EFCS'ABC,四邊形為平行四邊形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合平行

ATDC

四邊形的性質(zhì)可得出蕓=F.

ECFC

【詳解】解：???OE〃4C,EF//AB,

??.△ADEs/\ABC,AEFCsAABC,四邊形折'￡0為平行四邊形,

:.AADESAEFC,DE=BF,

.AEDE.AEBF

..——=——,即n——=——.

ECFCECFC

故選D.

8.D

【分析】根據(jù)題目中“自相似四邊形”的定義，在網(wǎng)格中找到符合條件的點(diǎn)。即可.

【詳解】解：如圖1,由鄉(xiāng)=羔=空=坐，得△48cs△D/C,故"為所求點(diǎn);

DiAD}CAC5

ABBCAC仁

如圖2,由k7=FT=7TV=J2,得△力8。6乙。2/3,故Z),為所求點(diǎn)；

U-,AAD1J-,D

如圖3,由舞=*1=黑^=&，得ABCD'S^ABDR,故A為所求點(diǎn)；

AtiHU34七

如圖4,由坐;喀=第=埋得"BCsaa。，故N為所求點(diǎn)；

D.CCAD.A5

如圖5,由段=柴=紙=咚，得"BCSABCD「故&為所求點(diǎn);

/>CCZzjBD§2

符合條件的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)有5個(gè).

【點(diǎn)睛】此題是新定義題，主要考查了網(wǎng)格中的勾股定理、判定兩個(gè)格點(diǎn)三角形相似，熟練掌握三邊

對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵.

9./AED=/ABC或ZADE=ZACB

【分析】根據(jù)圖形可以看出兩個(gè)三角形有一個(gè)公共用力力，相似證明中，有兩個(gè)角對應(yīng)相等即可證明

兩三角形相似，即添加對應(yīng)角相等即可.

【詳解】解；由圖可知，在△巴力。與中，NBAC=NEAD

工添力口的條件為：NAED=NABC或乙4DE=NACB

故答案為：NAED=NABC或JADE=NACB

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的條件是解題的關(guān)鍵.

SDEEF

10.-----

DFDF

【解析】略

4DAE

11.Z.ADE=Z.CZ.AED=Z.B——=

ACAB

【分析】本題考查了相似三角形的判定方法.根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可.

【詳解】???//是公共角,

A￡）AT

，要使△力。,可添加：乙WE=NC或4EO=N4或一=一

ACAB

故答案為：Z.ADE=Z.CilicZ.AED=Z.B-――.

ACAB

12.ZACD=NB（答案不唯一）

【分析】由圖可得△43。與△4C8有一個(gè)公共角/C,再根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)果.

【詳解】=ZACD=ZB

:?"CD~"BC.

故填：4CD=ZB

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

相似.

13.s

【分析】根據(jù)已知條件可知兩三角形的對應(yīng)邊成的比值相等，由此即可得答案.

【詳解】VAB=5,BC=4,AC=3,AB=10,B'C'=8,A'C'=6,

AAB：A'B'=BC：B'OAC：AV=1：2,

???RSABCsRSABC,

故答案為s.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟知三邊的比對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.

14.NA=ND

【分析】根據(jù)已知利用相似三角形的判定方法即可得到所缺的條件.

【詳解】解：???在AABC中，AB=6,AC=8,在4DEF中，DE=6,DF=8,

AAB：DF=AC：DE=1：2,

,當(dāng)NA=ND時(shí)，AABC與4DEF相似，

故答案為NA=ND.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的判定定理有：①如果兩個(gè)三角形

的三邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，

那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，④平行于三

角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似.

15.見解析

【分析】由垂直可得乙4<28=/。色=90。，根據(jù)相似三角形的判定定理直接證明即可.

【詳解】證明：???？1C_L3C,

NACB=NDCE=90°,

在△4C8和△QCE中，

??"ACB=NDCE

?ZA=ZD

/.4ABCs^DEC.

【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵.

16.見解析

【分析】因?yàn)閵A角相等，所以只要證明與=22即可證明相似.

ACBC

A

?以融、他,?C3075C15

【詳解】解:?在"1r3,-=y=3

.AC_BC

**~CE~CD

：.AACB=ZECD

：?"BCfEDC

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定定理，如果兩個(gè)三角形對應(yīng)邊的比相等且夾角相等，貝!兩個(gè)三角

形相似.

17.見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明=NCDE=NF,即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形力88是平行四邊形，

AAB//CD,4=NC,

jNCDE=NF,

:.△CDES^AFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握上述知識是

解題的關(guān)鍵.

18.詳見解析.

【分析】連接OC.貝|JNOCP=90。，再由AB是。O的直徑，得AC_LCD.根據(jù)D為弦BC的中心,

則OP_LBC,再由弦切角定理得出NPCD=NA,從而得出結(jié)淪.

【詳解】證明：連接0C.

B

???PC是。0的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，

/.ZOCP=90°.

???AB是。0的直徑,

AACICD.

又點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，

A0P1CD.

/.ZP+ZPOC=90°,

ZOCD+ZPOC=90°.

AZP=Z0CD.

VOC=OB,

AZ0CD=ZB.

AZP=ZB.

〈AB是。0的直徑,

/.ZACB=90°.

AZCDP=ZACB=90°.

/.