2026高考數學高頻考點練：三角函數的圖象與性質（學生版）

三角函數的圖象與性質

一、單選題

1.當內［0,2萬］時，曲線y=sinx與y=2sin（3x-g］的交點個數為（）

k6）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】畫出兩函數在［0,2句上的圖象，根據圖象即可求解

因為函數），=5皿工的最小正周期為7=2兀，

函數y=2sin，x用的最小正周期為7=年，

所以在xe［0,2可上函數），=2而（3戈-皆有三個周期的圖象，

在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：

故選：C

2.已知函數y=/（x）的圖象關于直線l=2對稱，且/（力的一個周期為4,則/（X）的解析式可以是（）

【答案】B

【解析】由題意分別考查函數的最小正周期和函數在x=2處的函數值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數

解析式.

由函數的解析式考查函數的最小周期性:

7_2」丁27r

A選項中式,B選項中元二

22

r_2￡_-

C選項中〒一,D選項中〒一

44

排除選項CD,

對于A選項，當x=2時，函數值sin(gx2j=0,故(2,0)是函數的一個對稱中心，排除選項A,

對于B選項，當x=2時，函數值8s(gx2)=-l,故x=2是函數的一條對稱軸，

故選：B.

3.已知f(x)=(2025+〃?)sinA：—/為偶函數，則實數〃?=()

A.0B.1C.-2025D.-2024

【答案】C

【解析】根據/(f)-/(力=0恒成立求參數用的值.

易得函數/")的定義域為R，由/(X)是偶函數，得/")—/(T)=(2025+〃?)sinx—xJ[(2025+〃?)sin(r)—(—x)1=0

恒成立，

可得20251〃?=0,故m=2025.

故選：C

4.函數y=/(x)的圖象由函數y=cos(2x+^)的圖象向左平移己個單位長度得到，則y=/(x)的圖象與直線

歹=的交點個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】先利用三角函數平移的性質求得/(力=-sin2x,再作出/(共)與y=的部分大致圖像，考慮特殊點處

/(“與了=31-；的大小關系，從而推確圖像，由此得解.

向左平移"單位所得函數為…°s2k如己

因為N=cos2x+—=cos2x+—=-sin2x，所以/(x)=-sin2x,

k6

而歹=3了一：顯然過(o,-g)與(1,0)兩點，

作出/卜)與1=：X-；的部分大致圖像如下,

考慮2…與,2x號,2x若，即"一小=『=|處小)與歹二*；的大小關系,

當X=-延時,<-i

4

當T寸,

當V時,.7式17K\_771-4

=-sin—=1,V=-X------------------>1;

22428

所以由圖可知，/（x）與y=g的交點個數為3.

故選：C.

/\n

5.已知函數/（x）=3sin妙+g?>0）的最小正周期為兀.則/（“在區間上的最小值是（）

A.-述

2

【答案】D

【解析】結合周期公式求出訪得/（x）=3sin2x+?|,再整體求出當xw-^-,7時，2x+f的范圍，結合正弦三角

函數圖象特征即可求解.

因為函數/（X）的最小正周期為兀，則丁當=兀，所以/=2,

業兀兀兀QC兀兀2兀

即/(x)=3sin2x+—,當xe-----，'彳時’2x+?GIT

k3，1263

所以當2x+==f,即“-0時,f(x).=3siny=-

3612八7m,n62

故選：D

6.已知函數/（》）=5皿（蛆+8）,（口>0）在區間值系直線x=F和x=M為函數歹二/卜）的圖像的兩條相

單調遞增,

63

5n

()

鄰對稱軸，則/~\2

ABC7

2-4D-T

【答案】D

【解析】根據題意分別求出其周期，再根據其最小值求出初相，代入》=-若即可得到答案.

因為/'（X）=sin（（yx+Q）在區間單調遞增,

所吟W-冷，且…，則。

當x=F時，/（“取得最小值，則2：+*=2履-kwZ,

662

則e=2H—孚，丘Z,不妨取％=0,則/（x）=sin卜x一y、

6I6J

故選：D.

7.已知函數/(%)的部分圖象如下圖所示，則/("的解析式可能為()

5才+5e"5cosx

?X2+2*x2+l

【答案】D

【解析】由圖知函數為偶函數，應用排除，先判斷B中函數的奇偶性，再判斷A、C中函數在(0,y)上的函數符號排

除選項，即得答案.

由圖知：函數圖象關于y軸對稱，其為偶函數，且/(-2)=/(2)<0,

由?=_5?n：且定義域為R,即B中函數為奇函數，排除；

(-X)+1x+1

當x>o時組士2>0、5(丁-')>0,即A、c中(0,y)上函數值為正，排除：

x'+2x~+2

故選：D

8.已知函數〃x)=sins+g?>0)國象的一條對稱軸是x=；,且在［0,兀］上有且僅有兩個對稱中心，則函數/⑴的

解析式為()

1itB./(x)=sinfyx+y

A./(x)=sin+-

(33

/("=Si.n2,.r+-nD./(x)=sinlyx+-

C.I3J

【答案】B

【解析】根據函數的對稱性可得出m-W=E+，AeZ),解出"的表達式，由0?x〈兀可求出的取值范圍,

結合題意可得出關于“的不等式，解出口的取值范圍，可得出。的值，由此可得出函數/(x)的解析式.

因為函數/(x)=sin(5+g(3>。)圖象的一條對稱軸是x=5，

則畛+==E+N(”WZ),解得"=24+1("Z),

2323

當O$X￡兀時，y<<VX+y<H<y+

因為函數/(x)在［0,可上有且僅有兩個對稱中心，則2兀W/uy+S<3,解得

JDD

故切=1，所以，/(x)=sin

3IJ3)

故選：B.

-l,x<0

9.設符號函數sgn(x)=、0,x=0,已知函數/(x)=2sgn(cosx)cosx,貝Ij()

l,x>0

A.2兀為/(x)的最小正周期B./(力圖象的對稱軸方程為1=而代tZ)

C./(x)在y,y上單調遞增D.函數g(x)=/(x)-l在卜詞上有4個零點

【答案】D

【解析】根據新函數的定義化簡函數，作出函數的圖象，即可利用圖象，結合選擇逐一判斷.

-2cosx,cos.r<0

由題意/(-V)=2sgn(cosx)cosx=，0,COSJ=0,畫出函數的部分圖象,

2cosX,cosx>0

如圖所示:

根據圖象可知兀為〃x)的最小正周期，故A錯誤；

kn

由圖象知/(X)圖象的對稱軸方程為x=?我Z),故B錯誤;

2八4冗

"X)在上先單調遞增，再單調遞減，故C錯誤；

函數g。)=/(x)-1在句上的零點個數，轉化為方程/*)=1在E可上的解的個數，

轉化為函數y=/(x)與y=l的交點個數，由圖知，函數y=/(x)與歹=1有6個交點，

所以，函數g(x)=/(x)-i在［-兀,兀］上有4個零點，故D正確；

故選：D

10.已知函數/")=力Sin3+e)+小>0,@>0孫小的部分圖象如圖所示，則下列正確個數有()

①/(X)關于點值3)對稱；

②關于直線》=三對稱；

③/(%)在區間但,當上單調遞減；

_26

④/(X)在區間卜得哈)上的值域為[1、3)；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】先根據函數的圖象確定函數的解析式，在逐項判斷即可.

由函數的圖象可知：力===2,8=空=3.

22

因為/'(0)=2n2sine+3=2=sine=-<，又|同〈］，所以8=-。

226

71conit

因為/l=2sin一詈J

66>

所以.......-....F2ku,AwZ.所以㈤=2—12%,keZ.

662

由圖象可知：=色，BP—>-=>ry<6.

263co3

所以當4=()時，①=2.

所以/(x)=2sin(2xq)+3.

對①：因為/閨=2sin(2xB￡|+3=4,所以/(x)的圖象不關于你3)對稱，①錯誤：

對②：因為/閨=2"2竹4)+?=5,所以/⑺的圖象關于直線Y對稱，②正確；

對③：當xc時，2x-/w~7~i~V，因為V=sinx在勺上單調遞減，所以函數/(X)在上單調遞

_26J6L62J1_62」|_26

減，③正確；

對④：當時，2x-Je(-n,0),所以sin(2x-，所以/(x)e[1,3),④正確.

故選：C

二、多選題

11.對于函數/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-。，下列說法中正確的有()

A./(外與g(x)有相同的零點B./(%)與g(x)有相同的最大值

C.與g(x)有相同的最小正周期D.7(x)與g(“)的圖象有相同的對稱軸

【答案】BC

【解析】根據正弦函數的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

A選項，令〃x)=sin2x=0,解得x=”,ZwZ,即為/(x)零點，

令g(x)=si吟一令=0,解得工吟+”,即為g(x)零點,

顯然/cng(x)零點不問，A選項錯誤;

B選項，顯然/(X)m”二g(X)max=LB選項正確;

C選項，根據周期公式，/(x),g(x)的周期均為弓=兀，C選項正確;

D選項，根據正弦函數的性質/*)的對稱軸滿足2x=E+衿x號+%”Z,

g(x)的對稱軸滿足2x-t=E+gox=wZ,

顯然/(x),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

12.已知函數/(x)=sin(2x+9)(0<ovn)的圖像關于點(4,0中心對稱，則()

\J

“X)在區間(0,且)單調遞減

A.

/U)在區間膏)有兩個極值點

B.

\.ININ/

二是曲線y=/W的對稱軸

C.直線X=

6

D.直線y=惇-x是曲線'=/*)的切線

【答案】AD

【解析】根據三角函數的性質逐個判斷各選項，即可解出.

由題意得：/[?)=sin4[7r?+]=0,所以4?冗+夕=版，keZ,

I33

即0=--〃兀,2eZ,

又0＜9＜兀，所以k=2時，＞=」，故/(x)=sin2x+

3\

當吟時,2x+?27re斗印，由正弦函數y=sin〃圖象知尸在(0噂5兀])上是單調遞減;

對A,

33L)I1，12/J

wfH1171由正弦函數y=sin〃圖象知y=/(x)只有1個極值點，由2X+427i=3兀

對B,當X十運五時,2x+ye

32

手即》吟為函數的唯一極值點;

解得x

對C,當x==時，2x+M=3兀，/(二)=0,直線x=?不是對稱軸;

6366

對D,由j/=2cos(2x+,1

=T得:cos2x+

T)一5，

解得2x+與=與+2kn或2x+g=與+2kn,keZ,

從而得：x=kn^ix=—+kn,k€Z,

所以函數y=/(x)在點o,處的切線斜率為斤=)此0=2cosy=-l

切線方程為：y-立=-*一0）即y=曰-x.

22

故選：AD.

13.下圖是函數產sin（cox+*）的部分圖像，則sin（c”+9）=（）

C.cos(2x+—)D.cos(-^-Zv)

【答案】BC

【解析】首先利用周期確定。的值，然后確定。的值即可確定函數的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.

由函數圖像可知：y=|^-1=y,則網=1=?=2,所以不選A,

不妨令0=2,

27t

當廣A+7_54時,y=-l:.2*卷+9=?+2々%(左eZ),

212

2,

解得：(P=2k兀+—TV(keZ),

即函數的解析式為:

y=sin(2x+：4+2k兀

=sin2x4--+—=cos2x+—=sin---2x

I61)613

6

故選：BC.

【小結】已知人外=4$山3.》+夕）（力>（）,”>0）的部分圖象求其解析式時，/比較容易看圖得出，困難的是求待定系數s

和如常用如下兩種方法：

（1）由3=半即可求出。；確定伊時，若能求出高原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標X",貝I令。X"I0=0（或

coxo^-（p=Jr）,即可求出夕.

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結合圖形解出①和q若對兒”的符

號或對°的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.

14.已知函數/（力=」一，則下列命題正確的是（）

sinx

A./（x）的定義域為RB./（幻的值域為（―*-1]U[L-）

C“X）是奇函數D./⑺在（0身上單調遞減

【答案】BCD

【解析】對于A,需找出使函數有意義的自變量取值范圍；對于B,則根據函數的性質和自變量的取值范圍來確定;

對于C,奇偶性通過判斷/(-x)與/(x)的關系得出；對于D,單調性可利用復合函數單調性的判斷規則來分析.

由sinx/O,解得xwE,kwZ、所以/(x)的定義域為{x6R|xwE,AwZ},A錯誤.

sinxe[-l,0)u(0,l],—,所以/(%)的值域為(YO,-1]31,+OO),B正確.

sinA

/(一")=導3=一—二一/()所以/(x)是奇函數，c正確?

Sill]AJol11A

當xw(0,3口寸，函數y=sinx單調遞增，且sinxe(OJ).函數在(0,1)上單調遞減，根據復合函數的單調性可得/(切

在上單調遞減’D正確.

故選：BCD.

15.己知函數/(x)=sin(x+a),g(x)=cos(x+/?),則下列結論一定正確的有()

A.若，則/(x)與g(x)有相同的零點

B.若/=則/(力與g(x)的圖象關于》軸對稱

C.若。-尸=兀，則將/(力的圖象向右平移]個單位長度后，得到g(x)的圖象

D.若。-夕=技，則/(力與g(x)有相同的單調區間

【答案】BC

【解析】對于A,令函數等于零，求出x即可判斷：對于B,由a=-尸+：代入，可得/(r)=g(x),即可判斷；對于

C,由。=兀+4，利用平移變換可得/*-■|)=g(x),即可判斷：對于D,將。=弓+"代入，可得/(x)=-g(x),即

可判斷.

對于A,若a=0,令/(x)=0,得了=而一々，keZ,令g(x)=O,^x=kit+~~p=kn+~~a,kwZ,則/(x)與

g(x)沒有相同的零點，故A不正確；

對于B,若。+4=5，則。=一夕+￡,則/(x)=sin(x-力+5)=cos(x-，)，

/(-V)=cos(-x-6)=cos(x+/?)=g(x),則/(x)與g(x)的圖象關于y軸對稱故B正確；

對于C,若a-〃=7i,則。=兀+夕，將/(X)的圖象向右平移搟個單位長度，

則/U-y)=sin(x-^+7c+/?)=cos(x+^)=g(x),故C正確；

對于D,若…4,則。=”+￡,

則〃x)=sin(x+6+§=-cos(x+0=-g(x),則小)與g(x)單調性相反，/")與g(x)沒有相同的單調區間，故D

不正確.

故選：BC.

16.己知函數/(x)=2jisinxcosx+2cos葭，貝I]()

A.函數/(x)的最小正周期為九

B.函數小)關于點卜春。)中心對稱

C.函數N=/(x)的圖像向左平移J個單位，得到的函數圖像關于，軸對稱

6

D.函數8("=/(力-儀在(白,4］上不單調，則。的取值范圍為(-4,2)

1123/

【答案】ACD

【解析】由三角恒等變換化簡函數/(”.求出函數的周期判斷A選項；求出函數對稱中心判斷B選項；由函數的平移

得到平移后的函數解析式，從而知道函數的對稱性判斷C選項；求出其導函在對應區間上的值域，由題意建立不等式

組，解得。的取值范圍判斷D選項.

函數/(X)=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+%+1,

對于A選項：???/=2,=空=兀，A選項正確；

(o

對于B選項：令2.嗚=仄(3)，解得x=*+*^Z),???(一壬1)是函數的一個對稱中心，B選項不正確；

對于C選項：平移后的函數/7(x)=/(x+E)=2sin(2x+］)+l=2cos2x+l,函數力(x)圖像關于歹軸對稱，C選項正確；

對于D選項：g，(^)=/，(x)_a=4cosf2x+7-%當xw佰號〕時，2X+7€V，???g'(x)4-4-〃,2-“)，要

想函數不單調，貝lJ-4-a<0<2-a,/.ae(-4,2),D選項正確.

故選：ACD.

三、填空題

17.函數/'(%)=卜由x|+cosx的最小值為,

【答案】-1

【解析】根據sinxNO和sinx<0分類討論，作出函數/(x)圖］像即可求解.

當sinxNO時，即2EVxW2E+71,左wZ時，/(x)=|sinx|+cosx=sinx+cosx=\/2sinx+7t

4>

當sinx<0時，即24兀+兀<x<2E+2。AcZ時，

71

/(X)=|sinx|+cosx=-sinx+cosx=&cosX+—

4

及sin卜+：)24兀4x<2kn+itkeZ

所以/(x)=|sinx|+cosx

x/2cos!x+—,2kn+7t<x<2kn+2%5eZ

k4yl

作出函數/（x）圖像:

所以函數/"）=卜inx|+cosx的最小值為一1,當X=2E+TI,AwZ時.

故答案為：-1.

18.在平面直角坐標系中，角&與角/均以。x為始邊，它們的終邊關于原點對稱.若ae,貝i|cos/7的最大

_63

值為.

【答案】一］/一0.5

【解析】首先得出尸=a+;r+2E,AwZ,結合三角函數單調性即可求解最值.

由題意尸=。+幾+2ht#eZ,從而cos￡=cos(a+7t+2E)=-cosa,

因為g」?田，所以cosa的取值范圍是,cos夕的取值范圍是-烏二,

03J2222

當且僅當。=々，即夕=與+2E?eZ時，cos/?取得最大值，且最大值為-g.

故答案為：-g.

2

19.已知函數/（x）=sin?x+孫如圖48是直線y與曲線y=/（x）的兩個交點，若|力⑼=￡,則/（兀）=

【答案】一立

2

【解析】設依題可得，噎結合sinx=；的解可得，g"）=與，從而得到°的值,

再根據/（|兀）=0以及/（。）＜0,即可用/（刈=疝（4》-六｝進而求得/（兀）.

設力,由|/川=?可得々一百=￡，

\J\Z）66

由sinx=，可知，x=!+2^7r或x=

—~2k7tkeZ,由圖可知,

266f

(ox+(p-(◎/+(p)=-n--=—,BP69(x,-%))=—:.co=4.

2663~3

因為了；兀=sin（號8兀+e）=0,所以與+Q=&冗，即夕=一：兀+4兀，AeZ.

3

o\<2

所以/(x)=sin4x--K+ZH=sin4x-71+加,

(3Jv3

所以/(x)=sin4x-y27tjuK/(x)=-sin^4.r-17t,

3

2

又因為/（。）＜0,所以/（x）=sin4x--n,/./(A)=sin]4K--n=_巫

3)32

故答案為：-立.

2

【小結】本題主要考查根據圖象求出口以及函數/（x）的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數的有關性質，以及特殊

角的三角函數值是解題關鍵.

20.己知函數/3=而（85（。卜-。）（0＜。＜不）在（0,午上有且僅有一個零點，則。的取值范圍是

■兀2兀J

【答案