人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第25章《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》每課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)匯編（含三個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)）

25.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

（第1課時(shí)代數(shù)數(shù)字、圖形面積問(wèn)題）（教學(xué)設(shè)計(jì)）

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容,J解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課時(shí)是人教版2024版九年級(jí)二冊(cè)第二十五章《一元二次方程》，第三節(jié)《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》

第1課時(shí)，是以代數(shù)數(shù)字關(guān)系、幾何圖形面積為核心背景的一元二次方程應(yīng)用課.本節(jié)課聚焦兩類(lèi)基礎(chǔ)必考模

型：一是連續(xù)整數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、兩位數(shù)數(shù)位數(shù)字關(guān)系問(wèn)題；二是矩形、正方形等規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)變化、空

地留白、裁剪拼接面積問(wèn)題.核心教學(xué)內(nèi)容為：提煉數(shù)字、幾何面積情境中的等量關(guān)系，建立一元二次方程

求解，規(guī)范“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”解題流程，結(jié)合整數(shù)特征、圖形邊長(zhǎng)正數(shù)的實(shí)際意義取舍方程根，是

一元二次方程幾何與代數(shù)綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)課時(shí).

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課承接一元二次方程的解法，是方程建模思想在代數(shù)數(shù)字、幾何圖形領(lǐng)域的具體應(yīng)用.此前學(xué)生已掌握

一元一次方程解決簡(jiǎn)單數(shù)字、面積問(wèn)題，本節(jié)課因問(wèn)題中存在三方關(guān)系、兩變量乘積關(guān)系，必須借助一元

二次方程求解，是一次方程應(yīng)用的進(jìn)階升級(jí).同時(shí)，本節(jié)課的面積建模思路，為后續(xù)二次函數(shù)幾何最值問(wèn)題、

復(fù)雜動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題奠定核心思維基礎(chǔ)，是章節(jié)重點(diǎn)銜接課，也是中考基礎(chǔ)應(yīng)用題核心考點(diǎn).本節(jié)課以靜態(tài)基

礎(chǔ)等量關(guān)系為藍(lán)本，情境簡(jiǎn)潔、模型固定.數(shù)字問(wèn)題核心依托”數(shù)位數(shù)值表示、連續(xù)整數(shù)差值規(guī)律”，面積問(wèn)

題核心依托“規(guī)則圖形面積公式、整體減局部等量關(guān)系”，題型經(jīng)典、規(guī)律性強(qiáng)，適合學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)化建模方

法，規(guī)避復(fù)雜變式，夯實(shí)方程應(yīng)用核心能力.通過(guò)數(shù)字、兒何雙情境建模，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、

數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何的融合思想，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)審題、規(guī)范解題、驗(yàn)證取舍的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

習(xí)慣.

基于以上分析?，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握連續(xù)整數(shù)、兩位數(shù)數(shù)字問(wèn)題的設(shè)元方法與等量關(guān)系構(gòu)建；利用

矩形、正方形面枳公式建立一元二次方程，規(guī)范解題步驟.

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

（I）掌握連續(xù)整數(shù)、兩位數(shù)數(shù)字問(wèn)題的數(shù)顯表示方法；熟練利用規(guī)則圖形面積公式建立一元二次方程；完

整掌握一元二次方程解應(yīng)用題的六步流程，能根據(jù)整數(shù)屬性、邊長(zhǎng)為正的實(shí)際條件檢驗(yàn)并舍去不合理根.

（2）經(jīng)歷“數(shù)字/圖形情境一梳理等量美系一建立方程模型一運(yùn)第求解一驗(yàn)證實(shí)際意義”的探究過(guò)程，提升文

字信息轉(zhuǎn)化、幾何圖形量化、代數(shù)建模的能力.

（3）感受數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性與實(shí)用性，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)魅力，克服應(yīng)用題畏難情緒，提升數(shù)學(xué)解題的

嚴(yán)謹(jǐn)性與自信心.

2.目標(biāo)解析

目標(biāo)1立足教材基礎(chǔ)題型，精準(zhǔn)落實(shí)數(shù)字、面積兩類(lèi)核心模型，區(qū)別于增長(zhǎng)率模型，聚焦整數(shù)特征、幾何邊

長(zhǎng)取值限制，夯實(shí)一元二次方程基礎(chǔ)應(yīng)用體系，貼合新教材課時(shí)分層編排要求.

目標(biāo)2通過(guò)梯度探究、變式訓(xùn)練，突破“數(shù)字設(shè)元錯(cuò)誤、面積等量關(guān)系找錯(cuò)、忽略實(shí)際驗(yàn)根''三大痛點(diǎn)，固化

建模思維與規(guī)范解題流程.

目標(biāo)3滲透數(shù)形結(jié)合、模型思想、分類(lèi)驗(yàn)證思想，實(shí)現(xiàn)從“會(huì)解方程''到"會(huì)用方程解決實(shí)際問(wèn)題”的能力升級(jí)，

契合初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求.

學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生已熟練掌握?兀二次方程各類(lèi)解法，熟悉矩形、止方形面積公式，小學(xué)及初一已接觸連續(xù)整數(shù)、

兩位數(shù)數(shù)位的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，具備方程解應(yīng)用題的基本思路，為本節(jié)課學(xué)習(xí)提供充足基礎(chǔ).學(xué)生對(duì)單一計(jì)算熟

練，但代數(shù)式表示實(shí)際量的能力薄弱，易混淆兩位數(shù)“數(shù)位數(shù)字”與“數(shù)值大小”；幾何面積問(wèn)題中，難以快速

拆解圖形、梳理增減面積關(guān)系；普遍存在重計(jì)算、輕驗(yàn)證的問(wèn)題，容易出現(xiàn)解出小數(shù)邊長(zhǎng)、非整數(shù)數(shù)字等

不合理答案.數(shù)字、面積問(wèn)題情境直觀、貼近基礎(chǔ)，相較于利潤(rùn)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題更易理解，學(xué)生接受度高，適合

通過(guò)基礎(chǔ)探究+小幅變式，逐步突破難點(diǎn)、規(guī)范習(xí)慣.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：準(zhǔn)確用代數(shù)式表示多位數(shù)、連續(xù)整數(shù)類(lèi)未知量；復(fù)雜圖形（留

白、裁剪問(wèn)題）中提煉“整體面積、局部面積”的隱性等量關(guān)系；結(jié)合整數(shù)、邊長(zhǎng)為正數(shù)的實(shí)際條件，精準(zhǔn)取

舍方程的兩個(gè)根.

^^教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

前面我們學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題，同一元一次方程、二元一次方程（組）等一

樣，一元二次方程也可以作為反映某些實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)課繼續(xù)討論如何利用一元二

次方程解決實(shí)際問(wèn)題.

（設(shè)計(jì)意圖：提出問(wèn)題引入新課）

新知探究

探究點(diǎn)1代數(shù)數(shù)字關(guān)系問(wèn)題

活動(dòng)1：已知兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積為132,求這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù).

師生活動(dòng)：引導(dǎo)審題：明確未知量為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，核心特征：后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)大1；

規(guī)范設(shè)元：設(shè)較小的正整數(shù)為x,則較大的正整數(shù)為x+1：

提煉等量關(guān)系：較小數(shù)x較大數(shù)=132；

列方程求解：x(x+l)=132,整理得x?+x-132=0,因式分解求解；

驗(yàn)根取舍：解得$=11,勺=-12,結(jié)合正整數(shù)條件，舍去負(fù)根，得出答案.

活動(dòng)2：是否存在三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)止整數(shù)的直角三角形?如果存在，這樣的三角形有多少個(gè)？

學(xué)生交流討論：若存在這樣的三角形，設(shè)其三邊長(zhǎng)依次為x,x+1,x+2,其中x為正整數(shù).

由勾股定理,得x2+(X+l)2=(X+2)2.

解方程，得$=3,9=-1(不符合題意，舍去).

因此，三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的直角三角形存在且只有一個(gè)，其三邊長(zhǎng)分別為3,4,5.

(設(shè)計(jì)意圖：從最簡(jiǎn)單的連續(xù)整數(shù)入手，降低入門(mén)難度，讓學(xué)生掌握連續(xù)數(shù)的設(shè)元技巧；延伸三個(gè)連續(xù)正

整數(shù)的直角三角形問(wèn)題，貼合教材數(shù)字類(lèi)核心考點(diǎn)，完整構(gòu)建數(shù)字問(wèn)題建模流程，初步強(qiáng)化“整數(shù)取值”的臉

根意識(shí)，落實(shí)本節(jié)課重點(diǎn).)

探究點(diǎn)2幾何圖形面積問(wèn)題

活動(dòng)3：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加2cn面積增加24cm2,求原正方形的邊長(zhǎng).

師生探究：

審題分析：圖形為正方形，邊長(zhǎng)變化引發(fā)面積變化，已知變化量、求原邊長(zhǎng)；

設(shè)元：設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為xcm,貝!新正方形邊長(zhǎng)為(x+2)cm；

等量關(guān)系：新圖形面積-原圖形面積二增加的面枳；

列方程求解：(x+2)2?x2=24,整理化簡(jiǎn)為一元二次方程并求解；

驗(yàn)根：邊長(zhǎng)為正數(shù)，舍去負(fù)根，規(guī)范作答.

活動(dòng)4：用一根長(zhǎng)為40m的細(xì)繩，能否圍成一個(gè)面積為96m2的矩形區(qū)域?如果能?chē)桑@樣的矩形是否唯一？

分析討論：

假設(shè)細(xì)繩能?chē)擅娣e為96m2的矩形區(qū)域，則矩形的周長(zhǎng)就是細(xì)繩的長(zhǎng)度.設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為xm,由周長(zhǎng)為40m,

可用含x的式子表示出該邊的鄰邊長(zhǎng)，再利用面積列方程求解.

獨(dú)立解答:設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為rm,由矩形的周長(zhǎng)為40m,可得此邊的鄰邊長(zhǎng)為(20—x)m;由矩形的面積為96m2,

得x(20-x)=96.

解方程，得西=12,W=8?

因此，用一根長(zhǎng)為40m的細(xì)繩可以圍成面積為96m2的矩形區(qū)域，這樣的矩形唯一，其兩鄰邊長(zhǎng)分別為8m,

12m.

追問(wèn)：方程有兩個(gè)根，是否表示可以圍成兩個(gè)滿(mǎn)足條件的矩形區(qū)域？

學(xué)生討論：符合實(shí)際意義，可以有一個(gè)滿(mǎn)足條件的矩形.

思考：對(duì)于」.述的問(wèn)題，設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)的方法有多種.例如:(1)可設(shè)?邊長(zhǎng)為xm,那么其鄰邊長(zhǎng)為m;(2)

可設(shè)一邊長(zhǎng)為(10+x)m,那么其鄰邊長(zhǎng)為(10-x)m.能根據(jù)以上設(shè)兩鄰邊長(zhǎng)的方法列方程求解嗎?比較這些設(shè)

法，說(shuō)說(shuō)它們各自的特點(diǎn).

學(xué)生討論，交流.

(設(shè)計(jì)意圖：遵循“簡(jiǎn)單圖形一變式圖形''貼合教材面積問(wèn)題編排邏輯；分析討論過(guò)程中通過(guò)畫(huà)圖輔助分析，

滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生突破復(fù)雜圖形等量關(guān)系提煉的難點(diǎn)，掌握面積問(wèn)題核心建模方法.)

探究點(diǎn)3歸納列一兀二次方程解決實(shí)際的通用步驟

活動(dòng)5：師生共同歸納以上四個(gè)問(wèn)題通用步驟：

審題意一巧設(shè)元一找等量一列方程一解方程一驗(yàn)實(shí)際一寫(xiě)答案.

(設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)梳理新知，固化標(biāo)準(zhǔn)化解題流程，幫助學(xué)生構(gòu)建基礎(chǔ)知識(shí)框架，規(guī)避解題隨意性.)

典型例題

例1：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積為168,求這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù).

【分析】連續(xù)偶數(shù)差值為2,設(shè)元可設(shè)x、x+2,且結(jié)果需為偶數(shù)，進(jìn)一步細(xì)化驗(yàn)根標(biāo)準(zhǔn).

【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為x、x+2,根據(jù)題意得：x(x+2)=168

解得：=-14,X2=12.

所以這分別兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為12、14或?12、-14.

例2?在一塊長(zhǎng)16m寬12m的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園所占面積為荒地面積的一半，如圖(I)

所示的是小明的設(shè)U方案，其中花園四周小路的寬度相等，通過(guò)解方程，小明得到小路的寬為2m或12m.如

圖(2)所示的是小穎的設(shè)計(jì)方案，其中在荒地中每個(gè)角上的扇形都相同.

(1)⑵

（1）你認(rèn)為小明的結(jié)果對(duì)嗎？為什么？

（2）你能幫小穎求出圖（2）中的x嗎?（萬(wàn)取314,結(jié)果精確到0.1）

（3）你還有其他設(shè)計(jì)方案嗎？

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；

（1）按小明的思路，利用矩形的面積公式列方程，解答驗(yàn)證；

（2）花園中每個(gè)角上的扇形相同，和在一起正好是一個(gè)圓，根據(jù)圓的面枳公式列方程，進(jìn)行解答，從而求

出半徑：

（3）答案不唯一，符合要求即可.

【詳解】（1）解：設(shè)小路的寬為皿1,則

（16-2x）（12-2x）=ixl6xl2

2>

解得：x=2,或x=12（舍去）.

故小明的結(jié)果不對(duì).

（2）解：四個(gè)角上的四個(gè)扇形可合并成一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的半徑為，9，

故有乃產(chǎn)=2xl6x12,

解得：「々5.5m（負(fù)值舍去）.

（3）解：依此連結(jié)各邊的中點(diǎn)得如圖的設(shè)計(jì)方案.

（設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)本節(jié)深重點(diǎn)知識(shí)，規(guī)范解題書(shū)寫(xiě)過(guò)程，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力.）

鞏固練習(xí)

課本課堂練習(xí)（P21）.

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的

理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)塊，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略）

拓展提升

1.如圖，某校準(zhǔn)備一面利用墻，其余各面用籬笆圍成一個(gè)矩形花輔A8CO.已知舊墻可用的最

大長(zhǎng)度為13m,籬笆長(zhǎng)為24m,設(shè)垂直于墻的A8功長(zhǎng)為x.

J，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、，，，，，，

AD

BC

⑴若圍成的花圃面積為70"時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)如圖，若計(jì)劃將花圃面積圍成78m\請(qǐng)你判斷能否圍成這樣的花圃？如果能，求3C的長(zhǎng)；如果不能，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解】(1)解：設(shè)垂直于墻的A8邊長(zhǎng)為x.

根據(jù)題意得：8c=(24-2x)m,

則(24-2x)x=70,

解得：玉=5仔=7,

當(dāng)士=5時(shí)，BC=14,七=7時(shí)，8c=10,

墻可利用的最大長(zhǎng)度為13m,故6c=14舍去.

答:的長(zhǎng)為10m：

(2)解：不能?chē)蛇@樣的花圃.理由如下:

依題意可知：(^-^)^-78,

即.“12丹39=0-=(-12)2-4乂以39<0,

所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

答：不能?chē)蛇@樣的花圃.

真題感知

1.(2025.來(lái)安校考)如圖所示的是一張?jiān)職v表，在此月歷表上用個(gè)矩形任意圈出2x2個(gè)數(shù)(如17,18,24,

25),如果圈出的四個(gè)數(shù)中最小數(shù)與最大數(shù)的積為153,那么這四個(gè)數(shù)的和為()

六

日—?二三四五

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

A.40B.48C.52D.56

【詳解】解：設(shè)最小數(shù)為x,則另外三個(gè)數(shù)為（X+D，*+7）,（X+8）,

根據(jù)題意可列方程，得1（X+8）=153,

解得\=9'X2=-17（不符合題意，舍去）,

...x=9,x+1=10,x+7=16,J+8=17,

???匹個(gè)數(shù)分別為9,10,16,17,

...9+10+16+17=52,

故選：C.

2.（2025?新疆）如圖，小明在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用一面墻（墻足夠長(zhǎng)）和24m長(zhǎng)的圍欄圍成一個(gè)

面枳為40序的矩形場(chǎng)地.設(shè)矩形的寬為工〃?，根據(jù)題意可列方程（）

A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40

C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40

【解答】解：???圍欄的長(zhǎng)度為24如矩形的寬為山〃,

矩形的長(zhǎng)為（24-Zi）m.

根據(jù)題意得：x（24-Zv）=40.

故選：A.

3.（2025?福建）為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直

角圍墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示.設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)

題意可列方程（）

B.5(1+x2)=6C.x(5-x)=6D.5(1+x)2=6

【解答】解：由題意可得，x（5-X）=6,

故選：C.

4.（2025?威海）如圖，某校有一塊長(zhǎng)28"、寬14機(jī)的矩形種植園.為了方便耕作管理，在種植園的四周

和內(nèi)部修建寬度相同的小路（圖中陰影部分）.小路把種植園分成面積均為24病的9個(gè)矩形地塊，請(qǐng)你

求出小路的寬度.

<---------20m---------a

【解答】解：設(shè)小路的寬度為了〃?，則9塊矩形地塊可合成長(zhǎng)為（20-4x）m,寬為（14?4解m的矩形,

根據(jù)題意得：（20-4.r）（14-4A:）=24X9,

整理得：2?-17x+8=0.

解得：川二手X2=8（不符合題意，舍去）.

答:小路的寬度為加

5.（2025.周口統(tǒng)考）如圖，利用一面墻（長(zhǎng)度不限），用長(zhǎng)20米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地A8CO,并在

邊8c上留出一個(gè)1米寬的門(mén)EF（不用籬笆），怎樣圍成一個(gè)面枳為45平方米的場(chǎng)地？

j|\D

BEFc

【詳解】設(shè)矩形ABC。的邊長(zhǎng)則邊4c=20-2x+l=（21-2x）m

根據(jù)題意，得*21-2x）=45

解得％=3,當(dāng)=7.5.

當(dāng)工=3時(shí)，21-2x=21-2x3=15.

當(dāng)H=7.5時(shí)，21—2x=2I—2x7.5=6.

答：當(dāng)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為15m,寬為3m或長(zhǎng)為7.5m,寬為6m時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為45平方米的場(chǎng)地.

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考等真題練習(xí)，不僅可以秒助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢

驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力）

課堂小結(jié)

1.知識(shí)技能：（1）數(shù)字問(wèn)題：掌握連續(xù)整數(shù)（差1）、連續(xù)偶數(shù)（差2）、兩位數(shù)數(shù)位的代數(shù)式表示方法，

能根據(jù)“整數(shù)、正數(shù)''條件取舍方程根.（2）面積問(wèn)題：熟練掌握正方形、矩形邊長(zhǎng)變化、留白裁剪問(wèn)題的等

量關(guān)系，依托面積公式建立一?元二次方程.（3）通用技能：熟練掌握一元二次方程解應(yīng)用題六步解題法，解

題格式規(guī)范完整.

2.思想方法：（1）模型思想：將數(shù)字關(guān)系、幾何面積的實(shí)際問(wèn)題，抽象轉(zhuǎn)化為一元二次方程代數(shù)模型.（2）

數(shù)形結(jié)合思想：面積問(wèn)題通過(guò)畫(huà)圖分析圖形結(jié)構(gòu)，直觀梳理邊長(zhǎng)、面積等量關(guān)系，化幾何問(wèn)題為代數(shù)計(jì)算.

（3）轉(zhuǎn)化思想：文字情境、圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)式、方程，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的互通轉(zhuǎn)化.（4）嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證思

想：方程的數(shù)學(xué)解必須結(jié)合實(shí)際情境的取值限制篩選有效解.

3.易錯(cuò)提醒：（1）數(shù)字問(wèn)題：設(shè)元錯(cuò)誤，混淆連續(xù)整數(shù)、連續(xù)偶數(shù)的差值；忽略“整數(shù)、正數(shù)'要求，不舍

去不合理根：兩位數(shù)數(shù)值直接用數(shù)位數(shù)字代替，計(jì)算錯(cuò)誤.（2）面積問(wèn)題：圖形邊長(zhǎng)增減分析錯(cuò)誤，混淆單

邊、雙邊增減；誤用面枳公式，等量關(guān)系列寫(xiě)顛倒；默認(rèn)所有方程解都有效，忽略邊長(zhǎng)為正數(shù)的硬性條件.

（3）通用問(wèn)題：解題步驟殘缺，漏檢驗(yàn)、漏作答、無(wú)單位，解題規(guī)范性不足.

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本課的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，有利于學(xué)生對(duì)增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與連貫性.）

作業(yè)布置

必做題：課本習(xí)題25.3第1、2、5題.

探究性作業(yè)：課本習(xí)題25.3第6題.

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行鞏固訓(xùn)練）

板15設(shè)計(jì)

主板書(shū)副板書(shū)

25.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第1課時(shí)）典型例題

一、核心模型：數(shù)字問(wèn)題

二、核心模型：圖形面積問(wèn)題（預(yù)留區(qū)域，課堂書(shū)寫(xiě)化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)例題）

三、通用解題六步法例題

四、核心易錯(cuò)點(diǎn)

學(xué)生練習(xí)板演

教學(xué)反思

25.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

（第2課時(shí)病毒傳播、平均下降率問(wèn)題）教學(xué)設(shè)計(jì)

^^教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課時(shí)是人教版2024版九年級(jí)上冊(cè)第二十五章《一元二次方程》，第三節(jié)《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》，

第2課時(shí)病毒傳播、平均下降率問(wèn)題.本節(jié)課承接第1課時(shí)數(shù)字、面積基礎(chǔ)應(yīng)用，聚焦指數(shù)型變化數(shù)量關(guān)系.傳

播問(wèn)題重點(diǎn)探究?jī)奢唫魅镜娜藬?shù)變化規(guī)律，提煉鏈?zhǔn)絺鞑サ囊辉畏匠棠Ｐ停黄骄陆德蕟?wèn)題聚焦商品

降價(jià)、產(chǎn)量減產(chǎn)、污染治理等生活場(chǎng)景，掌握連續(xù)兩次等量下降的通用計(jì)算公式.課堂延續(xù)“審、設(shè)、歹IJ、解、

驗(yàn)、答”六步解題規(guī)范，重點(diǎn)根據(jù)人數(shù)、數(shù)最的正整數(shù)、正數(shù)實(shí)際意義取舍方程根，是一元二次方程動(dòng)態(tài)變

化類(lèi)實(shí)際應(yīng)用的核心課時(shí).

2.內(nèi)容解析

本課時(shí)是一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的進(jìn)階核心課，承接靜態(tài)等量關(guān)系應(yīng)用，開(kāi)啟動(dòng)態(tài)變化型方程建模學(xué)習(xí).傳

播問(wèn)題、平均變化率問(wèn)題是中考必考基礎(chǔ)題型，其建模思想不僅適用于一元二次方程，更為后續(xù)二次函數(shù)

增減變化、指數(shù)函數(shù)規(guī)律學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，本節(jié)課完善了學(xué)生方程應(yīng)用體系，實(shí)現(xiàn)從“靜態(tài)數(shù)值、幾何

面積”到“動(dòng)態(tài)連續(xù)變化”的思維升級(jí)，在整章知識(shí)體系中起到承上啟下的關(guān)鍵作用.本節(jié)課兩類(lèi)題型模型高度

固定、規(guī)律清晰：病毒傳播問(wèn)題核心是裂變式增長(zhǎng)，每一輪傳奧人數(shù)成倍增加，形成平方級(jí)數(shù)最關(guān)系；平

均下降率問(wèn)題是連續(xù)兩次同比例衰減，擁有標(biāo)準(zhǔn)化通用公式.相較于面積、數(shù)字問(wèn)題，本節(jié)課更側(cè)重變化規(guī)

律分析，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)數(shù)量分析能力，是代數(shù)建模思想的重要拓展.通過(guò)生活中的傳染防控、物價(jià)調(diào)控、

產(chǎn)量?jī)?yōu)化等真實(shí)情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)服務(wù)于生活、服務(wù)于社會(huì)的價(jià)值；在規(guī)律探究、模型歸納中，培養(yǎng)

學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、嚴(yán)謹(jǐn)求真的核心素養(yǎng)，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光分析動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題的能力.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探究并掌握兩輪流感傳播問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，正確建立一元二次方程;

熟記并靈活運(yùn)用平均下降率通用公式解決實(shí)際問(wèn)題：規(guī)范動(dòng)態(tài)變化類(lèi)應(yīng)用題的完整解題步驟.

教學(xué)目標(biāo)與解析

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握兩輪流感傳播問(wèn)題的數(shù)量變化規(guī)律，能準(zhǔn)確建立傳播問(wèn)題一元二次方程模型；熟練運(yùn)用平均下降

率公式解決連續(xù)兩次衰減類(lèi)實(shí)際問(wèn)題；嚴(yán)格規(guī)范應(yīng)用題六步解題流程，能根據(jù)實(shí)際場(chǎng)景檢驗(yàn)、舍去不合理

方程根.

（2）經(jīng)歷“情境觀察一分析動(dòng)態(tài)變化一提煉等量關(guān)系一歸納通用模型一變式應(yīng)用鞏固”的探究過(guò)程，掌握動(dòng)

態(tài)變化類(lèi)問(wèn)題的建模方法，提升分析連續(xù)變化數(shù)量關(guān)系的能力.

（3）通過(guò)公共衛(wèi)生、生活經(jīng)濟(jì)類(lèi)情境，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性與社會(huì)性；在模型歸納與錯(cuò)題糾正中，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)

規(guī)范的解題習(xí)慣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與探究信心.

2.目標(biāo)解析

H標(biāo)1精準(zhǔn)落實(shí)教材兩大核心題型，區(qū)分傳播裂變模型與下降率衰減模型，掌握兩類(lèi)題型專(zhuān)屬等量關(guān)系，區(qū)

別于上節(jié)課靜態(tài)模型，完善一元二次方程應(yīng)用知識(shí)體系，夯實(shí)中考基礎(chǔ)考點(diǎn).

目標(biāo)2突破學(xué)牛靜態(tài)思維局限，培養(yǎng)動(dòng)態(tài)數(shù)后分析能力，解決學(xué)生“看不懂變化過(guò)程、列不準(zhǔn)方程”的核心問(wèn)

題，熟練掌握模型套用與驗(yàn)根技巧，提升數(shù)學(xué)建模核心能力.

目標(biāo)3滲透模型思想、動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形推理思想，引導(dǎo)學(xué)生從特殊題型歸納通用規(guī)律，培養(yǎng)歸納總結(jié)、

舉一反三的數(shù)學(xué)思維，契合新課標(biāo)核心素養(yǎng)育人要求.

學(xué)情分析

學(xué)生已掌握一元二次方程所有解法，熟練掌握靜態(tài)數(shù)字、面積類(lèi)應(yīng)用題建模方法，具備基礎(chǔ)的方程建模能

力；上節(jié)課初步接觸增長(zhǎng)率模型，對(duì)比例變化問(wèn)題有一定認(rèn)知，為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).學(xué)生擅長(zhǎng)靜態(tài)固定

數(shù)量計(jì)算，對(duì)動(dòng)態(tài)兩輪連續(xù)變化的過(guò)程拆解能力薄弱，容易混淆單輪、兩輪傳染總?cè)藬?shù)；極易混淆增長(zhǎng)率

與卜.降率公式，且普遍存在忽略實(shí)際取值、不驗(yàn)根的解題漏洞.病毒傳播、商品降價(jià)情境貼近生活，趣味性

強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高；但動(dòng)態(tài)變化過(guò)程較為抽象，學(xué)生容易憑直覺(jué)列式，需要通過(guò)分步拆解、數(shù)形梳理、

模型歸納突破難點(diǎn).

基干以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：準(zhǔn)確分析病毒兩輪傳染的裂變過(guò)程，理清每一輪的傳染人數(shù)、

總患病人數(shù)；區(qū)分增長(zhǎng)率與下降率公式，規(guī)避公式混用錯(cuò)誤；結(jié)合人數(shù)為正整數(shù)、數(shù)量為正數(shù)的實(shí)際條件,

精準(zhǔn)取舍方程的兩個(gè)'實(shí)數(shù)根.

^^教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課存入

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

復(fù)習(xí)提問(wèn)：列一元二次方程解決實(shí)際的通用步驟？

審題意T巧設(shè)元T找等量T列方程T解方程T驗(yàn)實(shí)際T寫(xiě)答案.

本節(jié)課學(xué)習(xí)該方法解一元二次方程.

(設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的核心知識(shí)，搭建新舊知識(shí)橋梁，讓學(xué)生明確列方程解應(yīng)用題的步

驟,自然引出課題.)

新知探究

探究點(diǎn)1病毒傳播問(wèn)題

活動(dòng)1：平均1個(gè)人傳染了多少個(gè)人？

問(wèn)題某種傳染病的傳染速度很快，如果開(kāi)始有I人被傳染，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人被傳染，那么每輪傳

染中平均1個(gè)人傳染了多少個(gè)人？

學(xué)生討論交流，按通用步驟進(jìn)行思考：

(1)審題梳理：初始患病人數(shù)1人，經(jīng)過(guò)兩輪完整傳染，總?cè)藬?shù)121人，求單人每輪傳染人數(shù)：

(2)規(guī)范設(shè)元：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人；

(3)分步分析數(shù)量變化第一輪傳染：1個(gè)患者傳染x人，第一輪后總患病人數(shù)：1+x；第二輪傳染：(1+x)個(gè)

患者，每人再傳染x人，第二輪新增傳染人數(shù)：x(l+x)；兩輪結(jié)束后總患病人數(shù)：原有患者+兩輪新增患者

=(1+x)+x(1+x)=(l+x)2;

(4)建立方程：(1+X)2=121；

(5)求解驗(yàn)根：解得玉=10,%=-12傳染人數(shù)不能為負(fù)數(shù)，舍去負(fù)根；

(6)規(guī)范作答，梳理完整解題步驟.

師生共同總結(jié)模型歸納：一輪起始、兩輪傳播通用模型：初始1人傳播，兩輪后總?cè)藬?shù)為(1+x):(x為單人

每輪傳染人數(shù)).

追問(wèn)：按照這樣的速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少個(gè)人被傳染？由此你能體會(huì)到阻斷病毒傳播的必要性？

(1+X)3=(1+1O)3=1331

(設(shè)計(jì)意圖：采用分步拆解的方式，將抽象的裂變傳播過(guò)程具象化，突破學(xué)生動(dòng)態(tài)分析難點(diǎn)；通過(guò)逐輪梳

理人數(shù)變化，讓學(xué)生理解公式來(lái)源而非死記硬背，從根源規(guī)避公式套用錯(cuò)誤，落實(shí)本節(jié)課核心重點(diǎn)，培養(yǎng)

邏輯推理能力.)

探究點(diǎn)2平均下降率問(wèn)題

活動(dòng)2：哪種食品成本的年平均下降率較大？

問(wèn)題；兩年前生產(chǎn)It甲種食品的成本是10000元，生產(chǎn)It乙種食品的成本是12000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)

在生產(chǎn)h甲種食品的成本是6000元，生產(chǎn)11乙種食品的成本是7200元.哪種食品成本的年平均下降率較大？

追問(wèn)1:甲乙兩種食品成本年平均下降額是多少？

甲乙兩種食品成本年平均下降額分別是(10000-6000)-2=2000(元)，(12000-7200)-?2=2400(元).

追問(wèn)2：平均下降額與下降率有什么不同？

平均下降額是指平均下降的數(shù)值，下降率是比值

追問(wèn)3：怎樣比較哪種食品成本的年平均下降率較大？

可以分別求出兩種食品成本的年平均下降率，再進(jìn)行比較.

師生探究建模先求出甲種食品年平均下降率

(1)設(shè)元：設(shè)平均每年降價(jià)的百分率為X；

(2)分步表示價(jià)格：

甲種食品一年后成本：10000(l-x)；

甲種食品二年后成本：10000(l-x)(l-x)=10000(l-x)2；

(3)等量關(guān)系：原成本x(l-下降率/二二年成本；

(4)列方程求解：10000(1-x)2=6000；

(5)解方程，得不。0.225,?1.775

(6)驗(yàn)根取舍：下降率小于1、大于0,舍去不符合范圍的根，規(guī)范作答.

學(xué)生自主求解甲種食品年平均下降率：得x產(chǎn)0.225,x2?1.775

追問(wèn)4：經(jīng)過(guò)計(jì)算，你得出什么結(jié)論？

食品年平均下降率相同

追問(wèn)5：年平均下降額大，平均下降率就大嗎？

年平均下降額大，平均下降率不一定大

師生共同總結(jié)模型歸納：

平均變化率通用模型：

連續(xù)兩次增長(zhǎng)：a(l+x)2=b：連續(xù)兩次下降：a(l-x)2=b(a初始星，x變化率，b最終量).

(設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合生活經(jīng)濟(jì)情境，自然過(guò)渡下降率模型，通過(guò)對(duì)比增長(zhǎng)率公式，幫助學(xué)生區(qū)分異同、精準(zhǔn)

記憶；分步推導(dǎo)價(jià)格變化，讓學(xué)生掌握公式推導(dǎo)邏輯，避免機(jī)械套用，突破公式混淆的教學(xué)難點(diǎn).)

探究點(diǎn)3傳播問(wèn)題、下降率變式提升

活動(dòng)3：討論交流有2人感染流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有288人感染流感，求每輪平均每人傳染的人數(shù).

突破初始人數(shù)不為1,總?cè)藬?shù)公式調(diào)整為2（1+X）2=288,引導(dǎo)學(xué)生靈活變通模型，突破固定思維.

活動(dòng)4：討論交流某某工廠(chǎng)2023年年生產(chǎn)總值為50萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)增產(chǎn)到2025年年生產(chǎn)總值為98萬(wàn)元，求平均每

年增長(zhǎng)的百分率.

學(xué)生討論交流增長(zhǎng)率設(shè)元后，列式建立方程50（1+x）2=98.

學(xué)生小組糾錯(cuò)?、對(duì)比辨析，強(qiáng)化兩類(lèi)模型的區(qū)別與應(yīng)用場(chǎng)景.

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)初始人數(shù)非1的傳播變式、下降率題型拓展為褶長(zhǎng)率，拓展模型應(yīng)用范圍，培養(yǎng)學(xué)生靈活

變通的解題能力；通過(guò)易錯(cuò)對(duì)比訓(xùn)練，精準(zhǔn)擊破本節(jié)課高頻誤區(qū)，深化重難點(diǎn)掌握，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用、舉一

反三.）

典型例題

例1.春季是傳染病多發(fā)季節(jié).2023年3月，我國(guó)某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開(kāi)始有1人被感染，經(jīng)

過(guò)兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感.若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數(shù).

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程并解答是解題關(guān)鍵.設(shè)每人每輪傳

染的人數(shù)為x人，則第一輪傳染后有（1+力人患病，第二輪傳染后有I+K（*"）"=（"2+2X+1）人患病，據(jù)

此列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每人每輪傳染的人數(shù)為x人，

由題意得，"X+（"X）X=256,

解得x=15或x=-17（舍去），

.??每輪每人傳染的人數(shù)為15人.

例2.某汽車(chē)零部件生產(chǎn)企業(yè)的利澗逐年提高，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年利潤(rùn)為2億元，2022年利潤(rùn)為3.92億元.求該

企業(yè)從2020年到2022年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)該企業(yè)從2020年到2022年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率為工，理解題意,

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該企業(yè)從2020年到2022年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率為x,

由題意得：2（山）』92,

解得：內(nèi)=0.4=40%,9=-2.4（不符合題意，舍去），

??該企業(yè)從2020年到2022年利潤(rùn)的年平均增長(zhǎng)率為40%.

例3,利客來(lái)超市銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售、增加盈利，該店采取

了降價(jià)措施，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷(xiāo)售，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)每降低2元，平均每天可多售出4件.

（1）若降價(jià)6元，則平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為件；

（2）為了讓顧客更實(shí)惠，每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利澗為1200元？

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用.

（1）根據(jù)銷(xiāo)售單價(jià)每降低2元，平均每天可多售出4件，列式計(jì)算即可；

（2）設(shè)每件商品降價(jià)4元，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷(xiāo)量，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可.

找湮等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：由題意，得：20+6+2x4=32（件）.

故答案為：32；

（40-x）|20+-x4）=1200

（2）設(shè)每件商品降價(jià)“元，由題息，得：,

整理，得：-30x+200=0,

解得：％=1°"2=20,

???讓顧客更實(shí)惠，

應(yīng)降價(jià)20元；

答：每件商品降價(jià)20元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為1200元.

（設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，規(guī)范解題書(shū)寫(xiě)過(guò)程，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力.）

鞏固練習(xí)

課本課堂練習(xí)（P22）.

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的

理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略）

拓展提升

1.某水果商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種高檔水果，原價(jià)每千克50元，連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每每次下降的百分率

相同.（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)

的漲價(jià)措施，若每千克漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，且要盡快減少

庫(kù)存，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？

【詳解】(I)解：設(shè)每次下降的百分率為X,

依題意得：50(17)2=32,

解得：%=0-2=20%,”1.8(不符合題意，舍去).

答：每次下降的百分率為20%.

(2)設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)y元，則每千克盈利(1°+以元，每天可售出G00—2。〉)元，

依題意得：(1°+y)(500-2°)，)=6000,

整理得：/一15)，+5°=°,

解得：)『5,%=1().

又??要盡快減少庫(kù)存，

J=5

答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元.

五題感知

1.(2025?涼山州)某鋼鐵廠(chǎng)一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，月平均增長(zhǎng)率相同，第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1860噸，

若設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x，那么可列出的方程是()

A.560(1+x)2=]860B.560+560(1+x)+560(l+2v)=1860

C.560+560(1+x)+560(1+A)2=1860D.560+560(l+2x)2=1860

【解答】解：由題意可知，鋼鐵廠(chǎng)二月份生產(chǎn)鋼鐵56()(1+x)噸，三月份生產(chǎn)鋼鐵56()(1+x)2噸，

又?.?該鋼鐵廠(chǎng)第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1860噸，

??列方程為560+560(1+x)+560(1+x)2=1860.

故選：C.

2.(2025?重慶)某景區(qū)2022年接待游客25萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)兩年加大旅游開(kāi)發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客

達(dá)到36萬(wàn)人，那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長(zhǎng)率為()

A.10%B.20%C.22%D.44%

【解答】解：設(shè)該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長(zhǎng)率為X，

根據(jù)題意得：25(1+x)2=36,

解得：XI=0.2=20%,X2=-2.2(不符合題意，舍去)，

該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長(zhǎng)率為20%.

故選：B.

3.（2025?瀘州）某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)均為125元，隨著生產(chǎn)成本

的降低，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進(jìn)價(jià)為80元.

（1）求乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率；

（2）2024年該超市用不超過(guò)780（）元的資金一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，求最少購(gòu)進(jìn)多少件甲

種商品.

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)），件甲種商品，則購(gòu)進(jìn)（100—），）件乙種商品，利用進(jìn)貨總價(jià)=進(jìn)貨單價(jià)x購(gòu)進(jìn)數(shù)量，結(jié)合進(jìn)

貨總價(jià)不超過(guò)7800元，可列出關(guān)于），的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為乂

根據(jù)題意得：125（1—幻2=80,

解得F制=0.2=20%,X2=1.8（不符合題意，舍去）.

捽：乙種商品每件講價(jià)的年平均下降率為20%：

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)y件甲種商品，則購(gòu)進(jìn)（1（）（）一），）件乙種商品，

根據(jù)題意得：（125-25x2）y+80（100-v）＜7800,

解得：龍40,

D的最小值為40.

答：最少購(gòu)進(jìn)40件甲種商品.

（設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考等辰題練習(xí)，不僅可以郡助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢

驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力）

皿、結(jié)

1.知識(shí)技能：（1）流感傳播模型：掌握兩輪鏈?zhǔn)搅炎儌鞑サ臄?shù)量規(guī)律，初始1人傳播總?cè)藬?shù)（1+X/，初始

多人可靈活套用a（l+x）2=b；明確總?cè)藬?shù)為正整數(shù)，需合理驗(yàn)根.（2）平均下降（增長(zhǎng)）率模型：熟記連續(xù)

兩次下降（增長(zhǎng)）通用公式a（l#x）2二b,可應(yīng)用于降價(jià)、減產(chǎn)、減排（漲價(jià)、增產(chǎn)、增排）等所有等量衰減

（增加）問(wèn)題.（3）通用技能：熟練掌握一元二次方程應(yīng)用題審、設(shè)、歹k解、驗(yàn)、答六步規(guī)范，能根據(jù)人

數(shù)、百分率、數(shù)量的實(shí)際取值范圍取舍方程根.

2.思想方法：（1）動(dòng)態(tài)建模思想：將生活中連續(xù)變化、裂變衰減的動(dòng)態(tài)實(shí)際問(wèn)題，抽象為固定的一元二次

方程數(shù)學(xué)模型.（2）分步轉(zhuǎn)化思想：復(fù)雜兩輪變化問(wèn)題，拆解為單輪變化逐一分析，化繁為簡(jiǎn)、化動(dòng)態(tài)為靜

態(tài).（3）對(duì)比歸納思想：對(duì)比增長(zhǎng)率與下降率、初始1人與初始多人傳播模型，歸納通用規(guī)律，構(gòu)建系統(tǒng)化

知識(shí)體系.（4）嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證思想：數(shù)學(xué)方程解需結(jié)合實(shí)際情境篩選，保證結(jié)果符合現(xiàn)實(shí)邏輯.

3.易錯(cuò)提醒：（1）傳播：?jiǎn)栴}誤區(qū)：混淆新增傳染人數(shù)和兩輪后總?cè)藬?shù)；死記公式，不會(huì)變通初始人數(shù)不

為1的題型；忽略人數(shù)為正整數(shù)，不舍去負(fù)根.（2）下降率問(wèn)題誤區(qū)：增長(zhǎng)、下降公式混用，下降率誤用（1+x）

列式；忘記百分率取值范圍（0<K<1）,保留不合理根.（3）通用誤區(qū)：設(shè)元不規(guī)范，漏寫(xiě)“百分率”含義；

解題步驟殘缺，無(wú)檢驗(yàn)、無(wú)完整作答；計(jì)算平方項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本課的知識(shí)進(jìn)行總烤，有利于學(xué)生對(duì)增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與連貫性.）

作業(yè)布置

必做題：課本習(xí)題25.3第4、7題.

探究性作業(yè)：課本習(xí)題25.3第8題.

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行鞏固訓(xùn)練）

板B設(shè)計(jì)

主板書(shū)副板書(shū)

25.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第2課時(shí)）典型例題

一、病毒傳染問(wèn)題（兩輪裂變）

二、平均下降率問(wèn)題（兩次衰減）（預(yù)留區(qū)域，課堂書(shū)寫(xiě)化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)例題）

三、解題六步法例題

四、核心易錯(cuò)點(diǎn)

學(xué)生練習(xí)板演

教學(xué)反思

25.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

（第3課時(shí)單循環(huán)賽問(wèn)題）（教學(xué)設(shè)計(jì)）

^^教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課時(shí)是人教版2024版九年級(jí)上冊(cè)第二十五章《一元二次方程》第三節(jié)《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程》第3

課時(shí)單循環(huán)比賽問(wèn)題.本節(jié)課承接前兩課時(shí)數(shù)字面積、病毒傳播與變化率模型，聚焦兩兩組合元重復(fù)的計(jì)數(shù)

類(lèi)實(shí)際問(wèn)題.核心內(nèi)容包括：理解單循環(huán)賽制的比賽規(guī)則、推導(dǎo)單循環(huán)比賽總場(chǎng)數(shù)通用公式、利用一元二次

方程解決球賽、握手、互贈(zèng)卡片等同模型實(shí)際問(wèn)題。課堂持續(xù)落實(shí)“審、設(shè)、歹h解、驗(yàn)、答''六步解題規(guī)范,

重點(diǎn)結(jié)合隊(duì)伍人數(shù)、比賽場(chǎng)數(shù)為正整數(shù)的實(shí)際意義取舍方程根，完善一元二次方程組合計(jì)數(shù)類(lèi)建模體系.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是?元二次方程實(shí)際應(yīng)用的收官基礎(chǔ)課時(shí)，是中考應(yīng)用題經(jīng)典必考題型.前兩課時(shí)分別覆蓋靜態(tài)等量

關(guān)系、動(dòng)態(tài)變化關(guān)系，本節(jié)課聚焦組合計(jì)數(shù)關(guān)系，填補(bǔ)了方程建模中“兩兩組合計(jì)數(shù)”的知識(shí)空白，形成完整

的一元二次方程應(yīng)用模型體系.同時(shí)，本節(jié)課的組合公式推導(dǎo)思維，為高中排列組合知識(shí)做好鋪墊，兼具承

上后下的重要作用.本節(jié)課題型模型唯一、規(guī)律極強(qiáng)，核心邏輯為任意兩個(gè)對(duì)象只發(fā)生一次組合、無(wú)重復(fù)、

無(wú)遺漏.區(qū)別于傳播問(wèn)題的裂變?cè)鲩L(zhǎng)、變化率的比例增減，單循環(huán)問(wèn)題木質(zhì)是組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系固定,

可實(shí)現(xiàn)公式化建模，題型變式統(tǒng)一（球賽、握手、互通電話(huà)），易于學(xué)生歸納掌握、舉一反三.通過(guò)體育賽

事、社交互動(dòng)等生活化情境建模，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)：在公式自主推導(dǎo)、

變式辨析中，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的學(xué)習(xí)品質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)模型在生活計(jì)數(shù)問(wèn)題中的普適性.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解單循環(huán)賽制規(guī)則，推導(dǎo)并掌握單循環(huán)比賽總場(chǎng)數(shù)公式;

利用單循環(huán)通用模型建立一元二次方程，解決球賽、握手等同類(lèi)實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)目標(biāo)與解析

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）理解單循環(huán)賽制的比賽規(guī)則，自主推導(dǎo)并掌握單循環(huán)總場(chǎng)數(shù)公式；能識(shí)別球賽、握手、互通電話(huà)等同

模型問(wèn)題，熟練建立一元二次方程求解；能根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)根的合理性，舍去非正整數(shù)、不合理的根，

規(guī)范解題步驟.

（2）經(jīng)歷“情境感知一手動(dòng)枚舉-規(guī)律推導(dǎo)一模型歸納-變式應(yīng)用”的探究過(guò)程，掌握組合計(jì)數(shù)類(lèi)問(wèn)題的建

模方法，提升從生活情境中提煉數(shù)學(xué)規(guī)律、抽象數(shù)量模型的能力.

（3）感受數(shù)學(xué)與體育、生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的工具性?xún)r(jià)值；在自主探究與合作交流中，增強(qiáng)探究意

識(shí)與學(xué)習(xí)自信心，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的解題習(xí)慣.

2.目標(biāo)解析

目標(biāo)1精準(zhǔn)落實(shí)教材單循環(huán)核心模型，區(qū)分單循環(huán)與雙循環(huán)問(wèn)題差異，掌握組合計(jì)數(shù)類(lèi)一元二次方程應(yīng)用的

專(zhuān)屬等量關(guān)系，完善前三課時(shí)所有方程應(yīng)用模型體系，夯實(shí)中考基礎(chǔ)考點(diǎn).

目標(biāo)2突破學(xué)牛.“死記公式、不懂原理、混淆循環(huán)類(lèi)型”的短板，實(shí)現(xiàn)從機(jī)械套用到理解推導(dǎo)、靈活變式的能

力提升，熟練掌握計(jì)數(shù)類(lèi)應(yīng)用題的驗(yàn)根技巧與解題規(guī)范.

目標(biāo)3滲透模型思想、歸納推理思想、數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)枚舉特例推導(dǎo)通用規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般

的數(shù)學(xué)思維，契合新課標(biāo)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求.

學(xué)情分析

學(xué)生已熟練掌握一元二次方程解法，經(jīng)歷前兩課時(shí)建模訓(xùn)練，熟練掌握應(yīng)用題六步解題法，具備一定的數(shù)

學(xué)建模和規(guī)律探究能力，對(duì)生活化應(yīng)用題接受度較高.學(xué)生容易憑直覺(jué)計(jì)數(shù)，無(wú)法理解單循環(huán)公式的推導(dǎo)原

理，多依賴(lài)死記硬背；極易混淆單循環(huán)（不重復(fù)）與雙循環(huán)（重復(fù)）模型，是本節(jié)課最大易錯(cuò)點(diǎn)；同時(shí)習(xí)

慣性忽略計(jì)數(shù)類(lèi)問(wèn)題“結(jié)果必須為正整數(shù)”的驗(yàn)根要求.球賽、握手情境貼近學(xué)生生活，趣味性強(qiáng)，學(xué)生探究

積極性高；從具體枚舉到抽象公式的梯度學(xué)習(xí)，符合九年級(jí)學(xué)生由具象到抽象的認(rèn)知規(guī)律，易于突破難點(diǎn).

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為：理解單循環(huán)公式的推導(dǎo)邏輯，明白公式中“X-1”和，!”的實(shí)際意

2

義：區(qū)分單循環(huán)與雙循環(huán)問(wèn)題，規(guī)避兩類(lèi)模型公式混用錯(cuò)誤；結(jié)合隊(duì)伍數(shù)、人數(shù)為正整數(shù)的條件，精準(zhǔn)取

舍方程的實(shí)數(shù)根.

^^教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

情境：學(xué)校組織班級(jí)足球聯(lián)賽，采用單循環(huán)賽制（每?jī)蓚€(gè)班級(jí)之間只比賽一場(chǎng)），已知聯(lián)賽總場(chǎng)次為21場(chǎng),

求一共有多少個(gè)班級(jí)參賽？

師生活動(dòng)：

1.教師通俗解讀單循環(huán)規(guī)則：任意兩隊(duì)只賽一場(chǎng)，不重復(fù)、不主客場(chǎng)雙賽；

2.拋出疑問(wèn)：若有3支隊(duì)伍、4支隊(duì)伍，分別需要比賽多少場(chǎng)？引導(dǎo)學(xué)生手動(dòng)枚舉計(jì)數(shù)；

3.學(xué)生枚舉：3隊(duì)比賽3場(chǎng)，4隊(duì)比賽6場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)無(wú)法逐?枚舉多隊(duì)伍場(chǎng)次，引出公式推導(dǎo)的必要性。

（設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生熟悉的校園球秣情境導(dǎo)入，直觀解讀單循環(huán)核心規(guī)則，通過(guò)少量隊(duì)伍枚舉，讓學(xué)生初步

感知數(shù)量規(guī)律，制造多隊(duì)伍計(jì)數(shù)的認(rèn)知沖突，激發(fā)探究欲望，為公式推導(dǎo)鋪墊具象基礎(chǔ).）

新知探窕

探究點(diǎn)1自主探究，探究模型

活動(dòng)1：參加比賽有幾支隊(duì)伍？

設(shè)有x支隊(duì)伍參賽，遵循單循環(huán)賽制.

追問(wèn)1.每一支隊(duì)伍需要和除自身外的多少支隊(duì)伍比賽？（x-l支）

追問(wèn)2.所有隊(duì)伍累計(jì)的總比賽次數(shù)（含重復(fù)）是多少？（x（x-l）場(chǎng)）

追問(wèn)3.單循環(huán)每?jī)申?duì)只賽一場(chǎng)，存在重復(fù)計(jì)數(shù)，需要如何修正？（除以2去重）

師生歸納總結(jié)：

總場(chǎng)數(shù)=總配對(duì)次數(shù)+2,得出單循環(huán)通用公式：總場(chǎng)數(shù)='x（x-l）

2

規(guī)范解題：結(jié)合導(dǎo)入情境列方程

解：設(shè)共有x個(gè)班級(jí)參賽，根據(jù)題意得：

lx（x-1）=21

2

2

整理得：X-X-42=0

解得：%]=7>x2=—6

根據(jù)班級(jí)數(shù)量為正整數(shù)，舍去x=-6

答：一共有7個(gè)班級(jí)參賽.

（設(shè)計(jì)意圖：分層設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生自主拆解公式構(gòu)成讓學(xué)生理解“x-1是每隊(duì)對(duì)手教、除以2是去除重復(fù)場(chǎng)次”

的核心原理，從根源理解公式、杜絕死記硬背，突破本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)，落實(shí)核心重點(diǎn).）

探究點(diǎn)2模型歸類(lèi)，同類(lèi)遷移

活動(dòng)2：歸納同模型題型

學(xué)生交流討論：所有兩兩發(fā)生一次互動(dòng)、無(wú)重夏的問(wèn)題均適用單循環(huán)公式，如：

1.體育單循環(huán)球賽、棋類(lèi)比賽；

2.多人兩兩握手、兩兩擁抱；

3.多人之間互通一次電話(huà)；等等.

教師提醒：題目出現(xiàn)“只一次、兩兩一場(chǎng)、不重復(fù)''為單循環(huán)；“主客場(chǎng)、互贈(zèng)、雙向互動(dòng)''為雙循環(huán).

及時(shí)鞏固：某次座談會(huì)結(jié)束后，在場(chǎng)所有人兩兩握手一次，統(tǒng)計(jì)總握手次數(shù)為45次，求參會(huì)總?cè)藬?shù)？

學(xué)生獨(dú)立識(shí)別單循環(huán)模型，套用公式列方程求解，規(guī)范驗(yàn)根作答，教師巡視糾錯(cuò).

（設(shè)計(jì)意圖：完成單一題型到通用模型的遷移，幫助學(xué)生建立題型識(shí)別思維，實(shí)現(xiàn)舉一反三，為后續(xù)拓展

變式訓(xùn)練奠定基礎(chǔ).）

典型例題

例1?九年級(jí)江門(mén)市新會(huì)區(qū)會(huì)城創(chuàng)新初級(jí)中學(xué)校考期中）參加一次聚會(huì)的每?jī)扇硕嘉樟艘淮问郑腥斯参帐?/p>

15次，有多少人參加聚會(huì)？

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)有x人參加聚會(huì)，每個(gè)人都與另外的人握手一次，則每個(gè)人握

\_

手（尤一1）次，且其中任何兩人的握手只有一次，因而共有5Mx-1）次，設(shè)出未知數(shù)列方程解答即可.

x（x-l）

———-=15

【詳解】解：設(shè)有x人參加聚會(huì)，根據(jù)題意列方程得，2,

解得N=6,X2=-5（不合題意，舍去）；

答：有6人參加聚會(huì).

例2.某排球俱樂(lè)部計(jì)劃組織一次女子排球邀請(qǐng)賽，采用單循環(huán)賽制（參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)），

根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃7天完成，每天安排4場(chǎng)比賽.

（1）比賽組織者應(yīng)計(jì)劃邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？

（2）如果比計(jì)劃多邀請(qǐng)2個(gè)隊(duì)參賽，每天安排5場(chǎng)比賽，那么至少需要多少天完成比賽？

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，

（1）設(shè)比賽組織者應(yīng)計(jì)劃邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，則每個(gè)隊(duì)伍比賽（”T）場(chǎng)，根據(jù)題意列出方程，即可解答；

（2）設(shè)至少需要"天完成比賽，根據(jù)（1）中解題思路，列不等關(guān)系即可解答：

解決本題的關(guān)鍵是得到比賽總場(chǎng)數(shù)的等量關(guān)系，注意2隊(duì)之間的比賽只有1場(chǎng)，最后的總場(chǎng)數(shù)應(yīng)除以2.

【詳解】（1）解：設(shè)比賽組織者應(yīng)計(jì)劃邀請(qǐng)人個(gè)隊(duì)參賽，則每個(gè)隊(duì)伍比賽（“一1）場(chǎng)，

x（x-l）

——^=4x7

根據(jù)題意可得2,

解得西=8,巧二-7（舍去），

故比賽組織者應(yīng)計(jì)劃邀請(qǐng)8個(gè)隊(duì)參賽；

（2）解：根據(jù)題意可得邀請(qǐng)10個(gè)隊(duì)伍參賽，則每個(gè)隊(duì)伍比賽9場(chǎng)，

設(shè)至少需要。天完成比賽，

解得。之9,

故至少需要9天完成比賽.

（設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，規(guī)范解題書(shū)寫(xiě)過(guò)程，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力.）

鞏固練習(xí)

課本課堂練習(xí)P23.

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的

理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略）

拓展提升

1.如圖，在6'8的網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)F,A出發(fā)向右移動(dòng)，點(diǎn)P的

運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).

⑴請(qǐng)你在圖1中，畫(huà)出2秒時(shí)的線(xiàn)段

（2）在動(dòng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△「QB能否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的時(shí)間t；若天能，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【詳解】（1）解：???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每杪2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)或速度為每杪1個(gè)單位，

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：2x2=4（2個(gè)單位），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為：2x1=2（個(gè)單位），

???68的網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,

??.2秒時(shí)線(xiàn)段尸。如圖1所示:

圖1

（2）解：在動(dòng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PQ"能成為等腰三角形.

i杪時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：i個(gè)單位，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為21個(gè)單位,

如圖2所示：過(guò)點(diǎn)Q作■于H,

則0=2,個(gè)單位，AQ=f個(gè)單位，產(chǎn)七=(8—2/)個(gè)單位，=個(gè)單位

依題意得：四邊形A"所為矩形，

=ZA=Z.E=90°,4/=8石=6個(gè)單位，尸石=人4=8個(gè)單位，

又?；OHIEF,

.??匹邊形.HQ為矩形，

...AQ=FH=1個(gè)單位,Q"=4F=6個(gè)單位，

：.HP=FP—*H=I個(gè)單位,

222

在Rt△尸。〃中，由勾股定理得：PQ=HP+()H=r+36t

在R38莊中，由勾股定理得：+B爐=(8-2療+36,

又由叱=(8—)[

分三種情況討論如下：

,2_8

①當(dāng)PQ=P8時(shí)，廠(chǎng)+36=(8-力)一+36,整理得：3f=8,解得：'一3,

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，'+36=(87),整理得：16/=28,解得：'Z,

③當(dāng)尸B=時(shí)，(8-2)+36=(8-ip,整理得:3r-⑹+36=0,

...組別式△=(-16『+4x3x36=-176<0

...方程3J-⑹+36=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，

???不存在PB=BQ

=87

綜上所述：當(dāng)‘一3秒或I秒時(shí)，△PQ8是等腰三角形.

(設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化本節(jié)課核心知識(shí)的拓展.)

直題感知

1.(2025.青島校考)某文具店銷(xiāo)售一種文具盒，每個(gè)成本價(jià)為15元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為22元時(shí)，

可銷(xiāo)售40個(gè)，售價(jià)每上漲1元，銷(xiāo)量將減少3個(gè).如果這種文具盒全部銷(xiāo)售完，那么該文具店可獲利156元,

設(shè)這種文具盒的售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意可列方程為()

A(22+15)(40-3x)=156R(x-15)[40-3(x-22)]=156

C(22+A-)(40-3X)=156D(22+x)(40-3x)-15x40=156

【詳解】根據(jù)題意知，每件商品的利潤(rùn)為(22-15+x)元，銷(xiāo)售量為(3一3工)件，

則可列方程為(22+xT5)(40-3x)=156,

故選：A.

2.(2025.荊州統(tǒng)考)要組織一次排球邀請(qǐng)蹇，參蹇的每?jī)蓚€(gè)各隊(duì)方間都要比蹇一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條

件，賽程計(jì)劃安排共計(jì)28場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？若設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，可列出的方程

為()

Ax(x+1)=28Bx(x-1)=28

Cgx(x+l)=28lx(x-l)=28

【詳解】每支球隊(duì)都需要與其他球隊(duì)賽aT)場(chǎng)，但兩個(gè)隊(duì)之間只有1場(chǎng)比賽，

L(x-1)=28

二?可列方程：2,

故選：D

3.我市為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，組織了一次排球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng))，共進(jìn)行

了28場(chǎng)比賽，則參加比賽的球隊(duì)共有()

A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)

【詳解】解：設(shè)參加比賽的球隊(duì)共有x個(gè)，

解得：*=8,々=-7(舍去)，

???參加比賽的球隊(duì)共有8個(gè),

故選：C.

4.（2025?深圳統(tǒng)考）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一經(jīng)開(kāi)售，就深受大家的喜愛(ài)