用樣本估計總體的離散程度參數 同步課時練-2025-2026學年高一數學下冊蘇教版必修第二冊

14.4.2用樣本估計總體的離散程度參數

A級基礎達標練

1.下列說法正確的是（）

A.在兩組數據中，平均數較大的一組方差較大

B.平均數反映數據的集中趨勢，方差則反映數據離平均數的波動大小

C.方差的求法是求出各個數據與平均數的差的平方后再求和

D.在記錄兩個人射擊環數的兩組數據中，方差大的表示射擊水平高

2.某公司為加強員工新冠肺炎防控意識，組織防控知識問卷測試，共30道題.已知

甲、乙、丙、丁、戊五位員工在這次測試中答對的題數分別是28,30,25,28,29,則

這五位員工答對題數的方差是（）

A.3B.—C.—D.4

55

3.如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預賽的五次測試成績的折線圖，

設小王與小張成績的樣本平均數分別為五和瑪，方差分別為貨和s部則（)

小王:——

小張:----

^r^r

I:c:1+:I2:1:□

J:士

土rr

LJ十u:□(

—

—

—311

—

—(

第

第

第

第

第

五

三

二

四

一

次

次

次

次

次

A.%4<XB,s1>slB.無4<xBfs^<,

C5cA>xB,sl>slD&A>xB,sl<si

4.對一組樣本數據=1,2若將它們改為…用淇中加/），則下列

結論正確的是（）

A.平均數與方差都不變B.平均數與方差都變了

C.平均數不變，方差變了D.平均數變了，方差不變

5.某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,345的學生進行投籃練習，每人投10

次,投中的次數如下表:

學生1號2號3號4號5號

甲班67787

乙班67679

以上甲、乙兩個班級數據的方差中較小的一個班級數據的《二.

6.某工廠為了解產品的生產情況，隨機抽取了50個樣本，若樣本數據箝內,…工。的

方差為8,則數據3xi-1,3x2-1,---,3x50-1的方差為.

7.樣本容量為10的一紐數據,它們的平均數是5.頻率條形圖如圖.則其標準差

為.

頻率

1

壯丑二FF.

°258數據

8.把某校三年級一班40人隨機平均分成兩組，兩組學生一次考試的成績情況如下

表：

統計量

平均成績標準差

組別

第一組906

第二組804

求全班學生的平均成績和標準差.

B級能力提升練

9.為評估一種農作物的種植效果,選了〃塊地作試驗田.這〃塊地的畝產量（單

位:kg）分別是如心…行,下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩定

程度的是（）

A.XIJ2,…/〃的平均值B.X］陽，…用的標準差

C.XI/2,…/〃的最大值D.X1/2,…的中位數

10.已知一組數據XIK243,…,X10的標準差為2,將這組數據X1/2K3,…R0中的每個

數先同時減去2,再同時乘3,得到一組新數據，則這組新數據的標準差為（）

A.2B.4C.6D.3V2

11.某公司10位員工的月工資（單位:元）為劉K2,…R0,其平均數和方差分別為元和

V若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的平均數

和方差分別為（）

A.x,?+1002B.x+l0（）,M+1002

C.x,s2D.%4-100,?

12.某市有15個旅游景點,經計算，黃金周期間各個景點的旅游人數平均為20萬,

標準差為s;后來經核實，發現甲、乙兩處景點統計的人數有誤，甲景點實際為20

萬，被誤統計為15萬,乙景點實際為18萬，被誤統計成23萬;更正后重新計算，得

到標準差為S1,則S與51的大小關系為（）

A.S=S|B.5<5|

C.S>SID.不能確定

13.（多選題）（2025新高考/）有一組樣本數據孫地,…46,其中用是最小值用是最

大值，則（）

A/2K3K4總的平均數等于為淚,…K6的平均數

B.X2K3/445的中位數等于X1J2,…,X6的中位數

的標準差不小于X1J2,…J6的標準差

D/2/3MM：5的極差不大于XI/2,…46的極差

14.某創業公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構成情況，隨機采訪了

9位職工，得到的數據分別為36,36,37,37,40,43,43,44,44.若用樣本估計總體，則公

司中年齡在叵-S&+S）內的人數占總人數的百分比是（其中元是平均數,S為標準差,

結果精確到1%）（）

A.14%B.25%C.56%D.67%

15.1組數據由1（）個數組成，將其中一個數由6改為3,另一個數由2改為5,其余

的數不變，得到新的10個數，則新的一組數的方差相比原先一組數的方差的減小

值為

16.為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每

個班級參加該小組的人數作為樣本數據.已知樣本平均數為7,樣本方差為4,且樣

本數據互不相同，則樣不數據中的最大值為.

17.由正整數組成的一紐數據川陽內工,其平均數和中位數都是2,且標準差等于

1,則這組數據為.（從小到大排列）

18.某校醫務室隨機抽查了高一10名男同學的體直（單位:kg）如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

（1）估計高一所有男同學體重數據的平均數、中位數、方差、標準差.

⑵在高一10名男同學的體重數據中，位于后赤內的有幾個?所占的百分匕是

多少？

C級拓展探究練

19.（2025蘇州期中）在去年高考體檢中，某校隨機選取了20名男生，測得其身高（單

位:cm）如下表

序號1234567

身高168167165186abc

序號891011121314

身高d178158166178175169

序號151617181920/

身高172177182169168176/

由于統計時出現了失誤，導致567,8號的身高數據丟失，先用字母。力cd表示，但

是已知這4人的身高都在區間(160,180)內(單位:cm),且這20組身高數據的平均

數元二172標準差s=7.

(1)為了更好地研究本校男生的身高數據，決定用這20個數據中在區間叵-

2s,H+2s)內的數據，重新計算其平均數與方差，據此估計，高校男生身高的平均值與

方差分別為多少(方差結果保留2位小數)？

⑵說明區間叵2梟+為內的數據與原數據對比，有什么特點(主要用平均數與方差

進行說明)？

(參考公式U2(x/-x)2=-(?xf-rix2))

n

i=lni=1

參考答案

l.BA中平均數后方差是數據的兩個特征，不存在這種關系;C中求和后還

需取平均數;D中方差越大,射擊越不平穩，水平越低.故選B.

2.B五位員工在這次測試中答對的題數分別是28,30,25,28,29,所以該組數

據的平均數為：x(28+30+25+28+29)=28,貝“方差5:=ix[(28-28)2+(3O-28)2+(25-

28尸+(28-28)2+(29-28月=二故選B.

S

3.C由題圖可知，實線中的數據都大于或等于虛線中的數據,所以小王成績

的平均數大于小張成績的平均數，名,元B，顯然實線中的數據波動較大，所以小王

成績的方差大于小張成績的方差，即貨>s1故選C.

4.D若XIK2,…用的平均數為五,方差為則XI+兒%2的平均數為

三+力,方差為一,故選D.

5.2由題意知三甲=2x(6+7+7+8+7)=7,

55

元乙=,(6+7+6+7+9)=7,

s*=御(6-7)2+…+(7-7)2]=|,

S2=lx[(6.7)2+...+(9.7)2]6

J〉3

：2<2,.：較小的一個$2」

555

6.72因為樣本數據》,X2,…K50的方差為8,所以數據3xi-l,3x2-1,…,3x50-1的

方差為32x8=72.故答案為72.

7.—由條形圖知這10個數分別為2,222,5,5,8,8,8,8.：夕二5,

Z?=^X[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)24-(5-5)24-(5-5)24-(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-

8.解設第一組20名學生的成績為Xi(i=1,2,-,20),

第二組20名學生的成績為)總=1,2,…,20),

依題意得M=或3+X2+…+X20)=90,

y=/⑴+”+???+?20)=80,

故全班平均成績為

親(x?+X2+,?,+X20+y1+yi+,,,+)，2o)

=-(90x20+80x20)=85.

40

又設第一組學生成績的標準差為SI,第二組學生成績的標準差為也則

2

S1=.(猶+xf+-+xfo-2Ox),

S2=^O1+泥+…+y*2092).

再設全班40名學生的標準差為s,平均成績為z(z=85),故有.產*(淄+

據+…+蟾0+必+禿+…+羽0-4(田)

=^(20Si+20x2+2052+20y2-40z2)

=1(62+42+902+8O2-2x852)=51.

即5=同.

所以全班學生的平均成績為85分，標準差為同.

9.B在A中，平均數是表示一組數據集中趨勢的量，它是反映數據集中趨勢

的一項指標，故A不可以用來評估這種農作物畝產量的穩定程度;在B中,標準差

能反映一組數據的離散程度，故B可以用來評估這種農作物畝產量的穩定程度；

在C中，最大值是一組數據中最大的量，故C不可以用來評估這種農作物畝產量

的穩定程度;在D中，中位數將數據分成前半部分和后半部分，用來代表一組數據

的“中等水平''，故D不可以用來評估這種農作物畝產量的穩定程度.故選B.

10.C因為數據為42用,…/0的標準差為2,所以方差為4.

由題意知，得到的新數據為3X1-6,3立6,3x3-6,…,3x10-6,

所以這組新數據的方差為4x32=36,標準差為6.故選C.

11.D方法一因為每個數據都加上100,所以平均數也增加1()(),而離散程

度應保持不變，即方差不變.

方法二由題意知X1+X2+…+笛0=10五

S2=-7[(x1-%)2+(X2-X)2+…+(xio-x)2],

則所求平均數歹=

^[(XI+1OO)+(X2+1OO)+---+(XIO+1OO)]=^(1OX+1OX1OO)=X+1OO,

所求方差為白3+100-y)24-(x2+1OO-y)2+,--+(xio+l00-y)2]=^[(xi-x)2+(x2-

元)2+…4-(xio-x)2]=S2.

12.C由已知，兩次統計所得的旅游人數總數沒有變，即兩次統計的各景點旅

游人數的平均數是相同的，設為匕則s=

2222

J^[(15-x)+(23-x)+(X3-X)+-+(x15-r)],

2222

si=j^[(20-x)+(18-%)+(x3-x)4--+(x15-%)],

若比較s與si的大小，則只需比較(15比)2+Q3㈤2與(20灰y+(]8.元>的大小即

可，而(15友產+(23灰)2=754-76元+2產,(203/+(]8元2=724-76±+2于，

222

所以(15-X)+(23-X)>(20-X)+(18友E從而S>SL

13.BD對于選項A,設X2R,X4,X5的平均數為，幾X1,X2,…J6的平均數為〃，則

_x+X+x+X4+X5+%6X2+X3+X4+X52(X+X)-(X4-X2+X3+X4)

n-m=--r----2----3-----------------------------=----1----6----5-------------,

6412

結果不一定為0,故A錯誤；

對于選項B,不妨設XI<X2<X3Wx4Wx5W46,

所以X2J3,X4,X5的中位數等于XI,X2,…46的中位數，均為生滬，故B正確；

對于選項C,因為AI是最小值46是最大值，

則X2/3用/5的波動性不大于XI/2,…的波動性，即X2/3/4/5的標準差不大

于X1J2,…J6的標準差，故C錯誤；

對于選項D,不妨設XIWX2WX3WX4WX5WX6,

則X6-X12X5-X2,當且僅當XI=X2,X5=X6時，等號成立，故D正確.

故選BD.

一八eu—364-36+37+37+40+43+43+44+44，八

14.C因為x=-----------------------------=40,

s2=#16+16+9+9+0+9+9+16+16)=當即

所以年齡在(三^,個，內的人數為5,所以年齡在內的人數占公司總

人數的百分比約為56%.故選C.

15.0.6一個數由6改為3,另一個數由2改為5,故該數據的平均數完不變,

設沒有改變的八個數分別為XIK2K3川K5,X6,X7,X8,

則原數據的方差為才=^[（X1-X）2+（X2-X）2+（X3-X）2+（X4-X）2+（X5-X）2+（X6-

元）?+（X7次產+團次產+（6-君2+（2-幻4,新數據的方差為登=^[（X|-X）2+（X2-X）2+（X3-

□）2+（心-制2+（35-乃2+（上6-5）2+（17&）2+（工8-盼2+（3-盼2+（5-02],所以登—sf=^f（3-

X）2+（5-X）2-（6-X）2-（2-%）2]=^X（-6）=-0.6,

所以新的一組數的方差相比原先一組數的方差的減少值為0.6.故答案為0.6.

16.10設5個班級中參加的人數分別為XI用/3”0J5,則由題意知

/=7,（加-7）2+（12-7）2+（尤3-7）2+。4-7）2+（67）2=20,

五個整數的平方和為20,則必為0+1+1+9+9=20,

由岳7|=3可得x=10或產4.

由岳7|=1可得產8或x=6.

由上可知參加的人數分別為4,6,7,8,10,

故最大值為1（）.

17.1,1,33假設這組數據按從小到大的順序排列為加內㈤色,則

fX1+X2+X3+X4_o

4一乙，.U1+%4=4,

2+%3=2"{x+X=4.

2'23

又S=J*?2）2+（小?2）2+（小?2）2+?4—2）2]

二口（4-2）2+（%2.2）2+（4-X2-2）2+（4-X1-2）2

22

=ij2[（x1-2）+U2-2）]=l,

?：（XI-2）2