絕對(duì)值（解析板）-小升初數(shù)學(xué)暑假專項(xiàng)提升（北師大版）

☆2.3絕對(duì)值及其應(yīng)用

/01課堂目標(biāo)

1.掌握絕對(duì)值的含義；

知識(shí)

2掌.握正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的絕對(duì)值的算法.

1.靈活應(yīng)用絕對(duì)值比較大小；

方法2.靈活掌握絕對(duì)值在解題中的應(yīng)用；

2掌.握非負(fù)數(shù)的應(yīng)用.

/02知識(shí)梳理

1.一般地，數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與的距離叫做數(shù)。的絕對(duì)值，記作.

【答案】原點(diǎn)；H

2.正數(shù)的絕對(duì)值是,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是，0的絕對(duì)值是.

即當(dāng)〃>0時(shí)，同；當(dāng)aVO時(shí)，時(shí)；當(dāng)eO時(shí)，時(shí).

【答案】它本身；它的相反數(shù)；0

【注意】：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是.所以若同="，那么a就是非負(fù)數(shù)：若同=-〃，那么〃就

是推正數(shù).

【答案】正數(shù)和0

/03例題精析

題型一絕對(duì)值的定義

例1下列說(shuō)法：

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有正數(shù)；③不相等的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)

值不相等；④絕對(duì)值相等的兩數(shù)一定相等；⑤只有負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；⑥任何一個(gè)有理數(shù)

的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù).

其中正確的有（）

A.0個(gè)B.I個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，故①正確；

②絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；

③不相等的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值可能相等，如2與-2,故③錯(cuò)誤；

④絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，故④錯(cuò)誤；

⑤負(fù)數(shù)和0的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；

⑥任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)，故⑥正確；

綜上所述，①⑥正確，正確的個(gè)數(shù)為2,

故選：C.

例2下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若⑷=依，則a=b

B.若㈤二步|,則。，。互為相反數(shù)

C.a的絕對(duì)值一定是負(fù)數(shù)

D.若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)

【答案】D

變式1在數(shù)軸卜.下而說(shuō)法中不正確的是（）

A.兩個(gè)有理數(shù)，絕對(duì)值小的離原點(diǎn)近

B.人數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)在右邊

C.兩個(gè)負(fù)數(shù)，較大的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離原點(diǎn)近

D.兩個(gè)有理數(shù)，大數(shù)離原點(diǎn)近

【答案】D

變式2下列說(shuō)法中，正確的有（）

①負(fù)數(shù)沒(méi)有絕對(duì)值；②絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0：③任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)；④互為相反數(shù)的兩個(gè)

數(shù)的絕對(duì)值相等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以（1）錯(cuò)誤；絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0,所以（2

）正確；任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，所以（3）正確；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，所以

（4）正確.

故選：C.

鹿型二絕對(duì)值的計(jì)算

例1計(jì)算：+|-3.7|=；|0|=；-|-3.3|=；~|+0.75|=；-|-0.75|=.

【答案】3.7；0；-3.3；-0.75；-0.75

52

變式1寫(xiě)出下列各數(shù)的絕對(duì)值：6,-3.5,0,p-4,1.2,兀

【答案】6：3.5；0：—；—；1.2；兀

211

例2若3=5,|)卡2且xVO,y>0,則x+產(chǎn)()

A.7B.-7C.3D.-3

【答案】D

【分析】由絕對(duì)值的定義，得x=±5,y=±2,再根據(jù)xVU,y>U,確定x、y的具體對(duì)應(yīng)值，最后代

入計(jì)算x+y的值.

【解答】V|x|=5,|y|=2,

/.x=±5,y=±2,

Vx<0,y>0,

/.x=-5,y=2,

:.x+y=-3.

故選：D.

例3如果悶=4,依=2,且|a+M=a+/?,貝i]a-b的值是.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值的意義求得a,b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對(duì)應(yīng)值有兩種可能性

，然后分別代入a-b,根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可.

【解答】解：???|a|=4,|b|=2,

a=±4,b=±2,

V|a+b|=a+b,

，a+b>0,

二.a、b同正即a=4.b=2,或a=4,b=-2.

當(dāng)a=4,b=2時(shí)，a-b=4-2=2；

當(dāng)a=4,b=-2時(shí),a-b=4-(-2)=4+2=6.

故a?b的值為：2或6.

變式2若N=3,|>'|=1,則x+y=.

【答案】4或2或-4或-2

【解答】解：?；|x|=3,|y|=l,

x=±3,y=±I,

.?.x+y=4或2或-4或-2,

故x+y的值為：4或2或-4或-2.

變式3若忖=4,是5的相反數(shù)，則x+)，=.

【答案】-I或-9

變式4若，〃滿足加+2|=3,則〃?的取值是.

【答案】1或-5

例4如果|34=-3a,貝ija一定是(

A.非正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)

【答案】A

【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)分別分析得出答案.

【解答】解：???|3a|=-3a,

/.-3a>0,

:.a<0,

即a一定是非正數(shù).

故選：A.

變式5若同二辿，則〃的值不可以是（）

A.2B.-5C.0D.-0.5

【答案】A

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【解答】解:因?yàn)閨a|NO,

所以⑶的值是非負(fù)數(shù).

|a|=-a,-a是非負(fù)數(shù),所以a是負(fù)數(shù)或零.

故選：A.

題型三比較大小

例1在有理數(shù)-；，?1,0,2中，最小的數(shù)是（）

」

A.0B.C.-1D.2

2

【答案】C

例2卜列比較有理數(shù)的大小，正確的是（)

-13>0廠\120192020

A.°B.-0.0(X)l<-—C.>------<---------

1()2019202020182019

【答案】C

變式1下列各數(shù)中，比-2021小的是（）

A.-2022R.2021C.0D.-0.1

【答案】A

例3已知。>0,^<0,且⑷<向，則下列關(guān)系正確的是（）

A.b<-a<a<-bB.-a<b<a<-bC.-a<b<-b<aD.h<a<-b<-a

【方法總結(jié)】比較大小我們可以使用代值的方法.

【答案】A

【分析】根據(jù)：a>0,b<0,|a|<|b|,可得：-aVO,-b>0,-a<b,據(jù)此判斷出a、-a、b、-b的大

小關(guān)系即可.

【解答］解：Va>0,b<0,|a|<|b|,

A-a<0,-b>0,-a<b,

Ab<-a<a<-b.

故選：A.

變式2有理數(shù)d。在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把&b、-a、-b、0按照從小到大的順序排列,

正確的是()

---111---->

a-0-----------b

A.-a<a<O<-b<bB.a<-a<O<-b<bC.-b<a<O<-a<bD.a<O<-a<b<-b

【答案】C

【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)和0,。大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，即可解答.

【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：a<O<b,|a|<|b|,

則-bVaVOV-aVb.

故選：C.

變式3若加、加2、工的大小關(guān)系是()

m

A.tn<iti2<—B.ni2<in<—C.—<ni<m2D.—<ni2<m

mmnim

【答案】B

題型四絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

例1已知-1g2,則化簡(jiǎn)代數(shù)式3k-2小+1］的結(jié)果是（）

A.-4.r+5B.4x+5C.4x-5D.-4x-5

【方法總結(jié)】絕對(duì)值的化簡(jiǎn)主要是看絕對(duì)值內(nèi)的正負(fù)性，若為正則直接去絕對(duì)值，若為負(fù)則加上負(fù)號(hào).

【答案】A

【分析】由于-l$x52,根據(jù)不等式性質(zhì)可得：x-2<0,x+l>0,再依據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：Y-Wx三2,

x-2<0,x+l>0?

3|x-2|-|x+l|=3(2-x)-(x+1)=-4x+5；

故選：A.

變式1當(dāng)1VXV5時(shí)，化簡(jiǎn)Ml|+k-6|二.

【答案】5.

【分析】先運(yùn)用不等式性質(zhì)得出：x-l>0,x-6<0,再運(yùn)用絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：???IVxV5,

Ax-I>0,x-6<0,

/.|,K-1|+|x-6|=x-l-(x-6)=5；

故答案為：5.

例2如圖，化簡(jiǎn)代數(shù)式|〃/卜|小”+1。+2|的結(jié)果是.

-2-1012

【方法總結(jié)】在數(shù)軸上，左-右<0,右■左>0.

【答案】3.

【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可以得出b-a,a-Kb+2的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，可得，JVbVO,lVaV2,

所以有b-aVO,a-l>0,b+2>0,

S14s|b-a|-|a-1|+|b+2|=a-b-(a-1)+(b+2)=a-b-a+l+b+2=3?

故答案為：3.

例3有理數(shù)mb,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

bac

化簡(jiǎn)：\a+h\-\b-1\-\a-c\-\1-c\=.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)

合并即可得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b<a<O<c<l,

.,.a+b<0,b-l<0,a-c<0,l-c>0,

則原式=-a-b+b-l+a-c-1+c=-2.

變式2已知4、dc的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)|。+訃1。61結(jié)果是.

ba0c

【答案】c+b.

【分析】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸.上的位置，確定它們所表示的數(shù)的和的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)的加減

法法則，判斷a+c、a-b的正負(fù)，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，加減得結(jié)論.

【解答】解：由數(shù)軸知:b<a<O<c,c>|a|,

.\a+c>0,a-b>0,

所以|a+c|-|a-b|

=a-c-a+b

=c-b,

故答案為：c+b.

變式3數(shù)軸上，有理數(shù)人b、/、c的位置如圖，則化簡(jiǎn)|d+c|+m+0|+|cW的結(jié)果為()

aOb-ac

A.2et+2cB.2a+2bC.2c-2bD.0

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸上a、b、-a、c的位置去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：由圖可知aVO<b<-a<c,

.\a+c>0,a+b<0,c-b>0,

/.|a+c|+|a+b|+|c-b|=a+c-a-b+c-b=2c-2b.

故選：C.

變式4已知a、b、c的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|"+力Hc-a|+步+2c|=.

AA1U>

Ca0b

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】由圖可知:c<a<b,|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-(a-c)-(b+2c)=-c.

【解答】解：由圖可知：c<a<b,

|a+b|-|c-a|+|b+2c|=b+a-(a-c)-(b+2c)=-c?

故答案為-c.

題型五絕對(duì)值的應(yīng)用

例1代數(shù)式1%+2田-2|的最小值等于.

【答案】2.

【分析】|x+2|20,|-2|=2,即可得出結(jié)果.

【解答】解:V|x+2|>0,|-2|=2,

???|x+2|+|-2|的最小值2.

故答案為：2.

例2若。為有理數(shù)，則|d3|+|〃+4|的最小值是,|〃+2卜依1|的最大值是

【方法總結(jié)］1卜-。|+k也有最小值，可以看做是數(shù)軸上的點(diǎn)到。、匕的距離之和，那么當(dāng)介于。、b之間

時(shí)，就有最小值⑷+|乩

2.Ma也-〃有最大值,可以看做是數(shù)軸上的點(diǎn)到。、b的距離之差,那么當(dāng)位于。、b之外時(shí)，就有最大

值|。創(chuàng)

【答案】7；3

變式1氏-6|+唇1|的最小值是.

【答案】5

變式2求M2I+M7I的最小值是；M2Hx-7|的最大值是.

【答案】5：5

變式3求僅」+僅+4］的最小值是.

【答案】5

例3若。厚0,那么@+g的取值不可能是（）

ab

A.-2B.0C.1D.2

【答案】C

,MbId

例4已知a,b,。為有理數(shù)且。力存0,則匚+值+―=_______.

。\b\c

【答案】3或-3或I或-1

變式4已知小〃為非零有理數(shù)，則回+四的值為（）

ah

A.±2B.0C.±2或0D.2

【答案】C

變式5已知國(guó).1,那么揖配比—.

abcabc

【答案】-1或3

題型六絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用

例5已知。一1）2+卜+2|=0,貝ljx=,y=.

【方法總結(jié)］非負(fù)數(shù)+非負(fù)數(shù)=0,那么它們應(yīng)該都等于0.

【答案】1:-2

例6已知。—3）2+|21一3），一3|=0,則'=,丁=.

【答案】3：6

例7已知k+y-3|與1-2）2互為相反數(shù)，則三半=.

【答案】4

變式6已知（2x―2）2+|x+y_3|=0,則工=,）=.

【答案】I:2

變式7已知（y-與|x+y-4|互為相反數(shù)，則版-），=.

【答案】8

☆2.3絕對(duì)值及其應(yīng)用分類專練

作業(yè)一絕對(duì)值的定義

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.最小的正整數(shù)是1B.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C.絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)D.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比。大

【答案】A

【分析】A：根據(jù)整數(shù)的特征，可得最小的正整數(shù)是1,據(jù)此判斷即可.

B：負(fù)數(shù)的相反數(shù)比它本身大，。的相反數(shù)等于它本身，據(jù)此判斷即可.

C：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0,據(jù)此判斷即可.

D：一個(gè)非零數(shù)的絕對(duì)值比0大，。的絕對(duì)值等于0,據(jù)此判斷即可.

【解答】解：???最小的正整數(shù)是1,

工選項(xiàng)A正確；

???負(fù)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身大，0的相反數(shù)等于它本身，

???選項(xiàng)B不正確；

???絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0，

???選項(xiàng)C不正確：

?.?一個(gè)非零數(shù)的絕對(duì)值比0大，0的絕對(duì)值等于0,

，選項(xiàng)D不正確.

故選：A.

2.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)B.。的絕對(duì)值是0

C.一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)D.1是絕對(duì)值最小的正數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，以及絕對(duì)值得性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它

的相反數(shù)，。的絕對(duì)值是0,進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，說(shuō)法正確；

B、0的絕對(duì)值是0,說(shuō)法正確；

C、一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，說(shuō)法正確；

D、沒(méi)有絕對(duì)值最小的正數(shù)，原來(lái)的說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：D.

3.一個(gè)負(fù)數(shù)在增大時(shí)，它的絕對(duì)值在______（填“增大”或“減小”）；一個(gè)正數(shù)在增大時(shí)，它的絕空值在_______

（填“增大”或“減小”）.

【答案】增大；增大

作業(yè)二絕對(duì)值的計(jì)算

1.-5的絕對(duì)值是（）

A.-5B.5C.-D.--

55

【答案】B

2.卜2|等于（)

A.2B.-2C.±2D.-

2

【答案】A

3.《的相反數(shù)等于，）

A.-2B.-1C.2D.1

2

【答案】B

4.若卜1=5,且xX),><0,則x+尸___

【答案】-4

5.若卜|=5,則x+產(chǎn)________.

【答案】±6或±4

6若慟=2,|y|=3,且外>0,則戶產(chǎn)_______

【答案】±5

7.如果12M=-2%,則x一定是()

A.非正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)

【答案】A

8.如果M+1|=〃+1,則。+1一定是()

A.非正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.正數(shù)

【答案】C

作業(yè)三比較大小

1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是()

A.-3B.0C.-1D.7

【答案】A

2.下列各數(shù)，依照從大到小順序排列的是(

A.20,-6,-2.13B.13,-2.6,-20C.-2.6,-13,20D.20,-13.6,-2

【答案】B

3.如果〃、方都是實(shí)數(shù)，且那么下列結(jié)論中，正確的是()

A.—<1B.—a+1>—bC.—>—D.向〈網(wǎng)

bab

【答案】B

4.如圖，數(shù)〃在原點(diǎn)的左邊，則〃、-a、0的大小關(guān)系正確的是()

-----1i--------

a---0?

A.-a<0<aB.-a<a<0C.a<0<-aD.a<-a<0

【答案】C

【分析】根據(jù)圖示，可得：a<0,-a>0,據(jù)此判斷出a、-a、0的大小關(guān)系即可.

【解答】解：根據(jù)圖示，可得：a<0,-a>0,

/.a<0<-a.

故選：C.

5a力在數(shù)軸上位置如圖所示,則。，4，山的大小順序是()

A.-a<h<a<-bB.b<-a<-b<aC.-a<-b<b<aD.b<-a<a<-b

【答案】D

【分析】從數(shù)軸上a、b的位置得出bVOVa,|b|>|a|,推出-aVO,-a>b,-b>0,-b>a,根據(jù)以上

結(jié)論即可得出答案.

【解答】解：從數(shù)軸上可以看出bVOVa,

-a<0,-a>b,-b>0,-b>a,

即bV-aVaV-b,

故選：D.

作業(yè)四絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

1.數(shù)。的位置如圖，化簡(jiǎn)同+|“+4|=____