2026年高考數(shù)學一輪練習題：基本不等式的綜合應用（附答案）

§1.5基木不等式的綜合應用

分值：100分

I。知識過關(guān)

一、單項選擇題（每小題5分，共30分）

1.已知。>0,b>\,ab-a-1,則。+〃的最小值為（）

A.lB.2C.3D.5

.已知Q,是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）

2BC94MCIMQHMFd

A.13B.12C.9D.4

3.已知實數(shù)x,y>0,國=2,且x+y2〃?恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

A.（-oo,外B.（q,9]

C.[1,+8）D.[9,+8）

4.若存在x￡（0,2],使不等式ad-2x+3a<0成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

37

37

5.（2024?宿州模擬）定義：對于數(shù)a,b,若它們除以整數(shù),〃所得的余數(shù)相等，則稱。與b對于模，〃同余，記

作。三6（mod〃?）.已知正整數(shù)/滿足戶1l（mod6）,將符合條件的所有，的值按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列

{〃.}?設(shè)數(shù)列伍”}的前〃項和為工，則交叱的最小值為（）

n

A.12B.14C.16D.18

6.（2025?長沙模擬）中國南宋著名數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求稅術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊

長分別為mb,C,三角形的面積S可由公式S=Jp（p-a）（p-h）（p-c）求得,其中〃為三角形周長的一

半.已知△ABC的周長為12,c=4,則此三角形面積最大時，4等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.（2024?宜賓模擬）已知工>0,v>0,且2x+y=l,若吧2y恒成立，則實數(shù)〃z的可能取值為（）

TH—1

A.iB.-C.3D.—

2816

8.若公>1,b>\,且岫=e?,則（）

A.2e<?+Z?<e2+1

B.0<lni/-InZ?W1

C.2V2-l<ln?+log^<2

的最大值為e

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2024?南京模擬）若正實數(shù)x,），滿足x+）=2,且工2M恒成立，則M的最大值為,

10.已知函數(shù),以尸加+2x+b的值域為［0,+8）,其中〃>/?,則空工的最小值為.

四、解答題（共28分）

11.（13分）已知困數(shù)人工）二.什點心>1）.

（1）求加）的最小值：（6分）

⑵若/+64（/（幻恒成立，求a的取值范圍.（7分）

12.（15分）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影

響，醫(yī)療器械市場近年來持續(xù)增長.某市一家醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)

某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為10（）臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G（x）萬元,

,2x2+60%,0<x<40,

且G（x）="niJ600-me/sc由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)

的該產(chǎn)品百年能全部銷售完.

（1）寫出年利潤W（x）（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量M單位：介）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入-成本）；（7分）

（2）當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（8分）

10能力拓展

每小題5分，共20分

13.（2025?德陽模擬）設(shè)雙曲線號-7=13>0）的離心率為e,則當/+/取最小值時，&等于（）

a”a'+l

A.V2B.2C.V3D.3

14.（2024?咸陽模擬）已知函數(shù)./（的=2026，-2026->若〃?>0,-2）+fQ）=Asin2026n）,則

高3的最小值為

15.出入相補是指一個平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國漢代數(shù)學

家構(gòu)造弦圖，利用出入相補原理證明」'勾股定理.在下面兩個圖中，若AC=b,BC=a（b^a）,AB=c,圖中兩

個陰影三角形的周長分別為八，也則怨的最小值為

a+b------------

16.已知橢圓《喏=13*0）,經(jīng)過仿射變換。二則橢圓變?yōu)榱藞A/+產(chǎn)后,并且變換過程有如下對應

b

關(guān)系：①點尸（的，兒）變?yōu)楫a(chǎn)（與，；y0）；②直線斜率左變?yōu)椤ǘ?對應直線的斜率比不變：③圖形面積S

變?yōu)閷獔D形面積比不變；④點、線、面位置關(guān)系不變（平行直線還是平行直線，相交直線還是相

交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等）.過橢圓》丁二1內(nèi)一點2（1,；）作一直線與橢圓相交于4

8兩點，則△408的面積的最大值為.

答案精析

1.C

2.C[因為|ME|+|MBI=6,

所以IMFIHMBI

22

<(|MF1|+|MF2|)^6

4~4~,

當且僅當|MR|=|M3I=3時，等號成立，

所以的最大值為9.]

3.A|由。±二2,可得;4=1,

xy2xy

又因為x,y>0,

則x+產(chǎn)(x+y)G+：)

手”，

當且僅當片二/，

2xy

即)=2r=3時取等號，

所以a+y)min=2，

由JV+.F2〃?恒成立，

可得W<(X+y)min=1,

即實數(shù)〃，的取值范圍為(一8,外.］

4.A［當xe(O,2］時，由ad-2v+3av0,

可得“(W+3)<2x,

由題意得〃<(言)鵬，

因為急三^質(zhì)芳，當且僅當戶觸。)，

即廣百時，等號成立，

所以當x￡(0,2］時，言的最大值為自，故火當

xz+333

5.C［由題意可知a“=6〃?l,〃￡N",

則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，

所以加"5+(}-1)]=3〃2+2〃,

?—yzg+66n^+4n+6

二6(幾+沙4

212Jn-^+4=16,

當且僅當n=\時，竺比取得最小值16.］

n

6.C[由題可知a+h=S,c=4,p=6,

則S=j6(6-a)(6-b)(6-4)=J12(6一。)(6—b)

當且僅當a=〃=4時取等號，

所以此時三角形為等邊三角形，

故A=60°.]

7.ABC[由.>(),)>(),得xy>0,

5Wx+2y恒成立，

m-l-

即旦恒成立，

m-lxyxy

又1+G+3(標+丫)=5+爭笠5+2欄.年=9.

當且僅當下此時，等號成立，

故」LW9,即上月二型少在。，

m—1m—1m—1

日"(m—1)(—8m4-9)<0?

即

jn-1H0,

解得m<l或

8

.2

8.ABD[^a>\,b=e->\,

a

得1<a<e2,

因為函數(shù)入在(1,c)上單調(diào)遞減，在[c,e?)上單調(diào)遞增，所以2eWa+Xe2+|，故A正確；

因為ub=e2,所以有Ina+lnb=2,于是0<ln?-ln/運=1,當且僅當a=b=e時，等號成立，故B正

確；

,,,,inb,2-lna,2,

In?+log?p=lna+\—=lna+—---=ln--1,

dInaInaIna

設(shè)r=ln?G(0,2),所以9(。二吟1在(0,回上單調(diào)遞減，在[a,2)上單調(diào)遞增，

所以研￡)二吟1￡[2&,+8),故C錯誤；

設(shè)2=/',所以In^ln^^lnMna^l,所以4We,故D正確」

9.1

解析?.?正實數(shù)滿足x+)=2,

.y(x+y)222?1?

-44xy

又力M恒成立,

???MW1,即M的最大值為1.

10.2應

解析函數(shù)yuAof+Zt+z?的值域為［0,+8）,

令ajc+2x+h=(),

J=4-4ab=0,

則有

a>0,

即即=1,且4>0,

a2+b2_(a-b)2+2ab

所以:

a-ba-b

=3詢保,

又a>b,所以a-b>0,

則(a-b)H—--

a-b

》2島（…尸2魚,

當且僅當a-b=\[2,且ab=\,

即折噌，/尸匹/時等號成立，

a2+b2

即的最小值為2^2.

a-b

口?解（皿幻=工居

,9.

=x-H——x-l+1,

因為,v>l,所以x-l>0,

所以-1*+1

.占1=7,

當且僅當即x=4時，等號成立，

X-1

所以其丫）的最小值為7.

（2）由（1）知函數(shù)人￥）的最小值為7,

因為。2+6"勺（工）恒成立，

所以d+6aW7,解得-7W〃W1,

所以“的取值范圍是［-7,I］.

'200x-2x2-60x-400,0<x<40,

12.解（1）由題意可得卬（八）一<200A-201x-美”+2100-400,

.40<%<100,

~（-2x2+140X-400,0<x<40,

所以卬（X）=3600

-%-+1700,40<%<100.

X

⑵當04W40時,

W（A）=-2A-2+140.r-400,

當.『35時，W（x）取最大值，

W(35)=2050(萬元)；

當40aW100時，

W(x)=-x-警+1700

二1+等)+1700

忘2卜等+1700=1580,

當且僅當下6。時，等號成立，

因為2050>1580,

故當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為35臺時，所獲年利潤最大，最大年利潤為2050萬元.

13.C［雙曲線當/與（＞（））的離心率為—回亙，

a，Q,+la

e2+a2=Za1d2=2+^-+t72

a2a2

22舟入，

當且僅當吃=/,即時取等號，

此時e

I4.2V3

解析因為/W=2026-2026",

所以4-x）=2026r-2026v

=-（2026-2026-＞加），

所以JU）是奇函數(shù)40）=0,

若心0,〃>1,

則/(;2)+/(§

力(sin2026兀)=/(0)=0,

所以噌-2)=不)

2

又人幻在R上單調(diào)遞增，

所叫2v

即日=2,〃+2〃尸2〃〃?,

2m-1n-1

_3n+2m-4

2mn-(2m+n)+l

=3〃+2"卜4=3〃+-^--4

n-l

=3(〃“)3

2小ST)?占28,

當且僅當35-1)=」：，

n-l

即〃=1+4時，等號成立，

?3

所以二3?】的最小值為2V3.

2m-ln-l

15