2027高考數學九大專題專項突破第6章 立體幾何

§6.1空間幾何體的結構特征、表面積與體積1

考點1:空間幾何體的結構特征4

考點2:空間幾何體的表面積6

考點3:空間幾何體的體積9

考點4:直觀圖12

考點5:展開圖15

考點6:最短路徑問題18

§6.2空間點、直線、平面之間的位置關系21

考點1:證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”23

考點2:截面問題26

考點3:異面直線的判定30

考點4:異面直線所成的角33

考點5:平面的基本性質35

考點6:等角定理37

§6.3直線、平面平行的判定與性質39

考點1:平行的判定41

考點2:線面平行構造之三角形中位線法43

考點3:線面平行構造之平行四邊形法47

考點4:線面平行轉化為面面平行50

考點5:利用線面平行的性質證明線線平行53

考點6:面面平行的證明56

考點7:面面平行的性質58

考點8:平行關系的綜合應用61

§6.4直線、平面垂直的判定與性質64

考點1:垂直性質的簡單判定67

考點2:證明線線垂直69

考點3:證明線面垂直72

考點4:證明面面垂直76

考點5:垂直關系的綜合應用79

§6.5外接球、內切球、棱切球83

考點1:外接球之正方體、長方體模型88

考點2:外接球之正四面體模型89

考點3:外接球之對棱相等的三棱錐模型90

考點4:外接球之直棱柱模型91

考點5:外接球之直棱錐模型93

考點6:外接球之正棱錐、正棱臺模型95

考點7:外接球之側棱相等的棱錐模型98

考點8:外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型100

考點9:外接球之垂面模型102

13

博觀而約取厚積而薄發

考點10:外接球之二面角模型105

考點11:外接球之側棱為球的直徑模型108

考點12:外接球之共斜邊拼接模型110

考點13:外接球之坐標法模型112

考點14:外接球之空間多面體115

考點15:與球有關的最值問題117

考點16:內切球之正方體、正棱柱模型120

考點17:內切球之正四面體模型122

考點18:內切球之棱錐模型123

考點19:內切球之圓錐、圓臺模型125

考點20:棱切球之正方體、正棱柱模型127

考點21:棱切球之正四面體模型129

考點22:棱切球之正棱錐模型131

考點23:多球相切問題133

§6.6立體幾何中的截面問題136

考點1:截面作圖137

考點2:截面圖形的形狀、面積及周長問題140

考點3:截面切割幾何體的體積問題144

考點4:球與截面問題147

考點5:截面圖形的個數問題149

考點6:平面截圓錐問題150

考點7:截面圖形有關面積、長度及周長范圍與最值問題155

考點8:截面有關的空間角問題158

§6.7立體幾何中的軌跡問題160

考點1:由動點保持平行求軌跡161

考點2:由動點保持垂直求軌跡165

考點3:由動點保持等距(或定長)求軌跡169

考點4:由動點保持等角(或定角)求軌跡172

考點5:投影求軌跡175

考點6:翻折與動點求軌跡178

§6.8傳統方法求角度與距離182

考點1:異面直線所成角184

考點2:線面角187

考點3:二面角192

考點4:距離問題198

§6.9空間向量及其應用202

考點1:空間向量的加法、減法、數乘運算207

考點2:空間共線向量定理的應用210

考點3:空間向量的數量積運算212

考點4:證明三點共線216

考點5:證明多點共面的方法217

考點6:證明直線和直線平行222

考點7:證明直線和平面平行224

考點8:證明平面與平面平行227

23

考點9:證明直線與直線垂直229

考點10:證明直線與平面垂直232

考點11:證明平面和平面垂直234

考點12:求兩異面直線所成角238

考點13:求直線與平面所成角241

考點14:求平面與平面所成角244

考點15:求點面距、線面距、面面距247

考點16:點到直線距離、異面直線的距離253

§6.10立體幾何中的壓軸小題258

考點1:球與截面面積問題259

考點2:體積、面積、周長、角度、距離定值問題261

考點3:體積、面積、周長、距離最值與范圍問題266

考點4:立體幾何中的交線問題272

考點5:空間線段以及線段之和最值問題275

考點6:空間角問題278

考點7:立體幾何裝液體問題282

§6.11立體幾何解答題286

考點1:非常規空間幾何體為載體287

考點2:立體幾何存在性問題291

考點3:立體幾何折疊問題296

考點4:立體幾何作圖問題301

考點5:立體幾何建系繁瑣問題305

考點6:兩角相等(構造全等)的立體幾何問題311

考點7:利用傳統方法找幾何關系建系314

考點8:空間中的點不好求320

考點9:創新定義323

33

§6.1空間幾何體的結構特征、表面積與體積

知識點一：構成空間幾何體的基本元素-點、線、面

(1)空間中，點動成線，線動成面，面動成體．

(2)空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四點確定一個空

間圖形或幾何體(空間四邊形、四面體或三棱錐)．

知識點二：簡單凸多面體-棱柱、棱錐、棱臺

1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由

這些面所圍成的多面體叫做棱柱．

(1)斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

(5)直平行六面體：側棱垂直于底面的平行六面體；

(6)長方體：底面是矩形的直平行六面體；

(7)正方體：棱長都相等的長方體．

2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫

做棱錐．

(1)正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．

3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截

得的棱臺叫做正棱臺．

簡單凸多面體的分類及其之間的關系如圖所示．

知識點三：簡單旋轉體-圓柱、圓錐、圓臺、球

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，將其旋轉一周形成的面所圍成的幾何

體叫做圓錐．

LaoFan1

3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱為球(球

面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度)．

知識點四：組合體

由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫做組合體．

知識點五：表面積與體積計算公式

表面積公式

S直棱柱=ch+2S底

柱S斜棱柱=cl+2S底(c為直截面周

體長)

2

S圓錐=2πr+2πrl=2πr(r+l)

1

錐S=nah+S

正棱錐2底

體2

S圓錐=πr+πrl=πr(r+l)

表

面

積

1

臺S=n(a+a)h+S+S

正棱臺2上下

體22

S圓臺=π(r+r+rl+rl)

球S=4πR2

體積公式

柱體V柱=Sh

體

積

1

錐體V=Sh

錐3

1

臺體V=(S+SS+S)h

臺3

2LaoFan

4

球V=πR3

3

知識點六：空間幾何體的直觀圖

1、斜二測畫法

斜二測畫法的主要步驟如下：

(1)建立直角坐標系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標系．

(2)畫出斜坐標系．在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應圖形．在已知圖形平行于x軸的線段，

在直觀圖中畫成平行于Ox，Oy，使∠xOy=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面．

(3)畫出對應圖形．在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸的線段，且長度

保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度變為原來的一般．可

簡化為“橫不變，縱減半”．

(4)擦去輔助線．圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)．被擋住的棱畫虛

線．

注：直觀圖和平面圖形的面積比為2：4．

2、平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點．

LaoFan3

考點1:空間幾何體的結構特征

1(2024·安徽·高三校聯考階段練習)已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是

“幾何體為棱柱”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2(2024·全國·高三對口高考)設有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：

底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數為

()

A.0個B.1個C.2個D.3個

3(2024·全國·高三專題練習)下列命題：

①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；

②有兩側面與底面垂直的棱柱是直棱柱；

③過斜棱柱的側棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；

④所有側面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．

其中正確命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

4(2024·新疆·統考模擬預測)下列命題中正確的是()

A.有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．

B.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐．

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體．

D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線．

4LaoFan

5(2024·全國·高三專題練習)下列說法正確的是()

A.三角形的直觀圖是三角形

B.直四棱柱是長方體

C.平行六面體不是棱柱

D.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺

6(2024·全國·高三專題練習)給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等．

其中正確命題的個數是()

A.0B.1C.2D.3

7(2024·全國·高三專題練習)如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是()

A.是棱臺B.是圓臺

C.不是棱柱D.是棱錐

【解題方法總結】

空間幾何體結構特征的判斷技巧

(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，依據條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線

面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據題意判定．

(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．

LaoFan5

考點2:空間幾何體的表面積

8(2024·湖北武漢·統考模擬預測)已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與

圓錐的表面積之比為()

1631

A.8B.C.D.

3168

9(2024·河南鄭州·統考模擬預測)在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所

示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積

是()cm2．

27

A.72+3+6πB.72+273+8πC.72+273+6πD.60+273+6π

2

10(2024·安徽安慶·安慶一中校考三模)陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發

現的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．已知，底面圓的直徑AB=12cm，圓

柱體部分的高BC=6cm，圓錐體部分的高CD=4cm，則這個陀螺的表面積(單位：cm2)是()

A.144+1213πB.144+2413πC.108+1213πD.108+2413π

11(2024·西藏拉薩·統考一模)位于徐州園博園中心位置的國際館(一云落雨)，使用現代科技霧

化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經典幾何形式，

6LaoFan

表達了理性主義與浪漫主義的對立與統一．其中最大的是3號展館，其頂部所對應的正四棱錐底

面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側面面積與底面面積之比約為()(參考數據：173.16≈

13.16)

A.2B.1.71C.1.37D.1

12(2024·湖南長沙·高三校聯考階段練習)為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環境，某

學校修建了若干“朗讀亭”．如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正

六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3，則正六棱錐

與正六棱柱的側面積的比值為()

74311

A.B.C.D.

824927

13(2024·河北·統考模擬預測)《九章算術》是我國古代的數學名著．其“商功”中記載：“正四面

形棱臺(即正四棱臺)建筑物為方亭．”現有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體

部分抽象成ABCD-A1B1C1D1的正四棱臺(如圖所示)，其中上底面與下底面的面積之比為1:16，

方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍．已知方亭的體積為567m3，則該方亭的表面積約為()(5≈

2.2，3≈1.7，2≈1.4)

LaoFan7

A.380m2B.400m2C.450m2D.480m2

14(2024·甘肅張掖·高臺縣第一中學校考模擬預測)仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院

的一件明代宣德年間產的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉

面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為

15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部

分的側面積約為()(參考數據：π的值取3，21.4825≈4.6)

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

方法2(估算法)：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺部分的側面積得S≈3×15.5

×3.4=158.1cm2，易知圓臺的側面積應大于所估算的圓柱的側面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部

分的側面積大于158.1cm2，對照各選項可知只有D符合．

故選：D

【解題方法總結】

(1)多面體的表面積是各個面的面積之和．

(2)旋轉體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．

(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．

8LaoFan

考點3:空間幾何體的體積

15(2024·廣東梅州·統考三模)在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，穹廬夜月聽

悲笳．”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔．如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱

的組合體，圓錐的高為4，側面積為15π，圓柱的側面積為18π，則該氈帳的體積為()

A.39πB.18πC.38πD.45π

16(2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習)若某圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的

3

半圓面，其內接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是()

3

96938386

A.B.C.D.

882727

17(2024·山東青島·高三統考期中)已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為36π，

則該正四棱錐的體積最大值為()

6481

A.18B.C.D.27

34

18(2024·湖北武漢·高三統考開學考試)攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為

最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于

亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱

錐．已知正四棱錐的底面邊長為32米，側棱長為5米，則其體積為()立方米．

LaoFan9

A.242B.24C.722D.72

19(2024·廣東河源·高三校聯考開學考試)最早的測雨器記載見于南宋數學家秦九韶所著的《數

書九章》(1247年)．該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測

雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”．如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收

集雪量(平地降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積)，已知數據如圖(注意：單位cm)，則平

地降雪厚度的近似值為()

91319597

A.cmB.cmC.cmD.cm

1241212

20(2024·浙江·校聯考模擬預測)如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下

底面邊長分別為20cm和10cm，側棱長為56cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平

升”．則該“升”的“平升”約可裝1000cm3=1L()

A.1.5LB.1.7LC.2.3LD.2.7L

10LaoFan

【解題方法總結】

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法規則幾何體的體積，直接利用公式

把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，或者把不規則的幾何體補成規則的幾何

割補法

體

等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

LaoFan11

考點4:直觀圖

21(2024·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測)已知用斜二測畫法畫梯形OABC的

2

直觀圖OABC如圖所示，OA=3CB，CE⊥OA，S=8，CD?y軸，CE=，D

OABC2

為OA的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉一周形成的空間幾何體的體積為．

22(2024·全國·高三對口高考)若正△ABC用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為

△ABC，當△ABC的面積為3時，△ABC的面積為．

23(2024·四川成都·高三統考階段練習)用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，

邊AB與CD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為1cm2，則原平面圖形的面積為

cm2．

24(2024·全國·高三專題練習)如圖，△AOB是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中

OA=2，OB=3，則AB的長度為．

12LaoFan

25(2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考期末)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平

面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)．∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，則這塊

菜地的面積為

26(2024·上海寶山·高三上海交大附中校考開學考試)我們知道一條線段在“斜二測”畫法中它

的長度可能會發生變化的，現直角坐標系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二測”畫法在水平放

置的平面上畫出為AB，則AB最短長度為cm(結果用精確值表示)

27(2024·陜西延安·校考一模)如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中

∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，則原圖形的面積為．

LaoFan13

28(2024·全國·高三專題練習)如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個

正方形，則原來圖形的面積是．

【解題方法總結】

2

斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關系：S=S．

直4原

14LaoFan

考點5:展開圖

29(2024·山東青島·統考三模)已知圓錐的底面半徑為1，側面展開圖為半圓，則該圓錐內半徑

最大的球的表面積為．

30(2024·全國·高三專題練習)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的側面展開圖中，B，C是線段

AD的三等分點，且AD=33．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則AA1=．

31(2024·上海普陀·高三統考期中)2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸

場預定區域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200平方米，若主降落

傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為米(精確到整數)

32(2024·山東淄博·統考一模)已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐

的體積為．

LaoFan15

33(2024·安徽·蚌埠二中校聯考模擬預測)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，CD∥

465

AB，AB⊥AC，AB=2AC=2，CD=13，cos∠BCF=，則三棱錐P-ABC外接球表面

65

積為．

34(2024·全國·高三專題練習)已知三棱錐P-ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱

513

錐P-ABC的平面展開圖中，P，F，E三點共線，B，C，E三點共線，cos∠PCF=，PC=

26

13，則PB=．

35(2024·安徽黃山·統考一模)如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊

長為4，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，HDC=FAB=90°，則該四棱錐外接球被平

面PBC所截的圓面的面積為．

16LaoFan

36(2024·山西大同·高三統考階段練習)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=1，

AB=AD=3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為

．

【解題方法總結】

多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關

系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．

LaoFan17

考點6:最短路徑問題

37(2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學校考期末)如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的

母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬

行的最短路程為43，則這個圓錐的體積為()．

153235π1282π83

A.B.C.D.

327813

38(2024·陜西寶雞·高一統考期末)盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產廠商要為棱長

為2cm的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內任意轉動，則

包裝盒的棱長最短為()

A.6cmB.26cmC.46cmD.6cm

39(2024·全國·高一專題練習)如圖，已知正四棱椎S-ABCD的側棱長為23，側面等腰三角

形的頂角為30°，則從A點出發環繞側面一周后回到A點的最短路程為()

A.26B.23C.6D.6

40(2024·安徽·高二馬鞍山二中校聯考階段練習)我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是

把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據兩點之間線段最短確定最短路線．請根據此方法求

18LaoFan

函數fx,y=x2-3x+1+y2-3y+1+x2-3xy+y2(x>0,y>0)的最小值()

A.2B.3C.6D.23

41(2024·全國·高三專題練習)盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產廠商要為棱長為

4cm的正四面體魔方設計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內任意轉動，則包

裝盒的棱長最短為()

A.6cmB.26cmC.46cmD.6cm

42(2024·山東濟寧·高一校考階段練習)如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為4的邊旋轉二

周后所得如圖的一開口容器(下表面密封)，P是BC中點，現有一只媽蟻位于外壁A處，內壁P處

有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點P處取得米粒，則它所需經過的最短路程為

()

A.π2+36B.π2+16C.4π2+36D.4π2+1

43(2024·全國·高一專題練習)如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由頂

點B沿棱柱側面(經過棱AA1)到達頂點C1，與AA1的交點記為M，則從點B經點M到C1的最短

路線長為()

LaoFan19

A.22B.25C.4D.45

44(2024·河北·高三專題練習)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點E為AA1的中

點，在對角面BB1D1D上取一點M，使AM+ME最小，其最小值為

【解題方法總結】

此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變為平面兩點間線段最短問題

20LaoFan

§6.2空間點、直線、平面之間的位置關系

知識點一．四個公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．

注意：(1)此公理是判定直線在平面內的依據；(2)此公理是判定點在面內的方法

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．

注意：(1)此公理是確定一個平面的依據；(2)此公理是判定若干點共面的依據

推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；

注意：(1)此推論是判定若干條直線共面的依據

(2)此推論是判定若干平面重合的依據

(3)此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；

推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．

注意：(1)此公理是判定兩個平面相交的依據

(2)此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據(比如證明三點共線、三線共點)

(3)此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

知識點二．直線與直線的位置關系

位置關系相交(共面)平行(共面)異面

圖形

符號a∩b=Pa∥ba∩α=A，b?α，A?

b

公共點個100

數

特征兩條相交直線確定一個平兩條平行直線確定一個兩條異面直線不同在

面平面如何一個平面內

知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情

況．

位置關系包含(面內線)相交(面外線)平行(面外線)

圖形

LaoFan21

符號l?αl∩α=Pl∥α

公共點個數無數個10

知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．

位平行相交(但不垂直)垂直

置關系

圖

形

符α∥βα∩β=lα⊥β，α∩β=l

號

公0無數個公共點且都在無數個公共點且都在唯

共點個唯一的一條直線上一的一條直線上

數

知識點五．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．

22LaoFan

考點1:證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”

45(2024·山西大同·高一校考期中)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD

的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2，求證：

(1)E，F，G，H四點共面；

(2)EG與HF的交點在直線AC上．

46(2024·陜西西安·高一校考期中)(1)已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過a，b，l有

且只有一個平面；

(2)如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別是邊AB，BC上的

CFAE1

點，且==．求證：直線EH，BD，FG相交于一點．

FBEB3

47(2024·河南信陽·高一校聯考期中)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，

AA1上的點，且A1F=2FA，BE=2AE．

LaoFan23

(1)證明：E，C，D1，F四點共面；

(2)設D1F∩CE=O，證明：A，O，D三點共線．

48(2024·全國·高一專題練習)如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中

點，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2．求證：

(1)E、F、G、H四點共面；

(2)EG與HF的交點在直線AC上．

49(2024·云南楚雄·高一統考期中)如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別

為棱A1B1，B1C1，AB，BC的中點．

(1)證明E，F，G，H四點共面；

(2)證明GE，FH，BB1相交于一點．

24LaoFan

50(2024·全國·高三專題練習)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，

AA1的中點．

(1)求證：CE，D1F，DA三線交于點P；

(2)在(1)的結論中，G是D1E上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．

【解題方法總結】

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內．

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．

LaoFan25

考點2:截面問題

51(2024·全國·高三對口高考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為23，動點P在對角線

BD1上，過點P作垂直于BD1的平面α，記這樣得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y，設BP=

x，則當x∈1,5時，函數y=fx的值域為()

A.36,66B.6,26C.0,6D.0,36

52(2024·北京東城·高三北京市第十一中學校考階段練習)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的

棱長為1，E，F，G分別為線段BC，CC1，BB1上的動點(不含端點)，

π

①異面直線DD與AF所成角可以為

14

②當G為中點時，存在點E，F使直線A1G與平面AEF平行

9

③當E，F為中點時，平面AEF截正方體所得的截面面積為

8

④存在點G，使點C與點G到平面AEF的距離相等

則上述結論正確的是()

A.①③B.②④C.②③D.①④

53(2024·河南·模擬預測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點，過

M，N，B1三點的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面形狀為()

26LaoFan

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

54(2024·河南·模擬預測)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點，則

下列結論正確的個數為()

22

①MN?平面AACC；②MN⊥BC；③直線MN與AC所成角的余弦值為

11113

④過M，N，B1三點的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

55(2024·上海閔行·高三上海市七寶中學校考階段練習)在棱長為2的正方體ABCD-

A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，對于如下命題：①異面直線DD1與B1F所成角的余弦

532

值為；②點P為正方形ABCD內一點，當DP?平面BEF時，DP的最小值為；③過

5111112

點D1，E，F的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面周長為213+2；④當三棱錐B1-

BEF的所有頂點都在球O的表面上時，球O的體積為6π．則正確的命題個數為()

A.1B.2C.3D.4

56(2024·河南新鄉·統考三模)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的

中點，過A，D1，E三點的截面把正方體ABCD-A1B1C1D1分成兩部分，則這兩部分中大的體積與

小的體積的比值為()

LaoFan27

171377

A.B.C.D.

7734

57(2024·新疆·校聯考二模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別為BB1，A1C1的中

點，AA1=2，AB=2，BC=32，AC=4，如圖所示，若過A、E、F三點的平面作該直三棱柱

ABC-A1B1C1的截面，則所得截面的面積為()

A.10B.15C.25D.30

58(2024·新疆阿克蘇·校考一模)已知M，N，P是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1，

CC1的中點，則平面MNP