平面向量壓軸60題12類考點專練（解析版）-2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版必修第二冊）

平面向量精選【壓軸60題12類考點】

（期中復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練）

真題實戰(zhàn)?百填通關(guān)

選填小壓軸i解答壓軸

題型1向量加減法則的幾何應(yīng)用:題型10用基底表示向量求算問題

題型2向量的線性運算幾何應(yīng)用j題型11向量與幾何最值問題

題型3三角形的心的向量表示j題型12用向量解決夾角問題

題型4向量夾角的計算

題型5垂直關(guān)系的向量表示

題型6平面向量共線定理的考察

題型7由向量線性運算，解決最值和范圍問題

題型8由向量共線，求參數(shù)

題型9向量坐標的線性運算解決幾何問題

題型一向■加減法則的幾何應(yīng)用（共5小題）

1.在中，|而|=|元|=|荔+元則△4?C是（）三角形.

A.等腰B.等腰直角C.等腰或直角D.等邊

【答案】D

【詳解】因為|而|=|比|=|荔+前|=|衣卜

所以該三角形是等邊三角形.

2.如圖所示，已知。，E,尸分別是的邊力8,BC,C4的中點，則下列等式中不正確的是（)

B,而+詼+而=0

D.DA+DE=~FD

【答窠】D

1/60

【分析】根據(jù)向量加法的運算法則逐項判斷即可.

【詳解】因為。，E,b分別是的邊力8,BC,C4的口點，所以DE〃4C,QE=g力。，即QE

//AF,且=4尸.

所以四邊形力。E/是平行四邊形

由句量加法的三角形法則可得，所+湯=的，而+餅+而=6；

由句量加法的平行四邊形法則可得，DE+DA=DF=EC痔+瓦=而。亦.

所以A,B,C正確；D錯誤.

故選：D.

3.如圖，在正六邊形力8COEF中，7C=（）

AB-2AFC.2AB+2AFD.~AB+2AF

【答案】A

【分析】連接力。、BE、C尸交于點O,分析可知元=2萬，再利用平面向量加法的三角形法則可得答

案.

【詳解】連接彳。、BE、3交于點0,如下圖所示:

由正六邊形的幾何性質(zhì)可知△。力8、△08。、△08、QDE、AOEF、A0￡4均為等邊三角形,

因為OF=AF=AB=OB,故四邊形力A。/7為菱形,

同理可知，四邊形力BC。也為菱形，所以的=1月=。心，故定=27瓦

^&AC=~AF+FC=~AF+2'AB，

故選:A.

4.已知點。是△48C內(nèi)部一點，并且滿足兩+2麗+歷=0，△/。。的面積為￡,EOC的面積為邑,

2/60

A.2B.3C.—D.y

【答案】A

【分析】利用&+2&+況=0，確定點。的位置，如圖所示，結(jié)合三角形面積關(guān)系求解.

【詳解】因為&十2辦十=

^^OA+OC=-2OB=2BO.

所以麗=；（刃+反）

取4C的中點。.則，OD=1(OA+OC).

,30=00^即0為中線8。的中點，如圖所示,

則△IOC的面積為S1,EOC的面積為$2,

，

\.WC=2SaCOD?1S&COD=S&AOC=2sA80c?

所以卷=2.

J,

故選：A

5.如圖，O.Z//4B,點p在由射線OM、線段08及力5的延長線圍成的區(qū)域（含邊界）運動，且

3

【答案】4/1.5

2

【分析】利用向量加法的幾何意義直接求解.

【詳解】由題意：0M"/出.點尸在由射線。“、線段08及48的延長線圍成的區(qū)域（含邊界）運動，且

3/60

OP=-^OA+y^OB,由向量加法的平行四邊形法則0尸為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以O(shè)B^OA

的反向延長線為兩鄰邊.

c0%

當麗=-;次+），麗時，要使Q點落在指定區(qū)域內(nèi)，即2點應(yīng)落在線段。/?上（含端點。石）.

因為CD//OB，所以△OCQ~△力。氏

因為OC=；O/1,所以CQ=go〃.

所以以弓。9.

所以y的取值范圍是.

所以），的最大值是g.

故答案為：

題型二向■的線性運算幾何應(yīng)用（共5小題）

6.在正方形力8c。中，尸是邊CO上靠近。點的三等分點，連接8戶交XC于點E,若

BE=mAB+nAC（m,〃eR）,則-〃的值為.

【分析】由題意知，8n三點共線，則詬=〃而，用前1和0表示出前，根據(jù)EC，三點共線，可

得到〃值，整理化簡即可得到〃，和〃值，從而可得答案.

【詳解】由題意知，瓦旦尸三點共線，戶是邊CO上靠近。點的三等分點，

則屁=〃旃=〃阿+泊卜灰+|曲，

4/60

253

又EC/三點共線則〃+5〃=》=i,即〃=1,

則南=（瑟+河=（胸一砌一］而=_而+（工，

38

所以m=-1,/?=-,^m-n=--.

7.已知。為△/4C內(nèi)切圓的圓心，且2萬+307+3玩=0，則下=_________.

AC

【答案】：/2:3

【分析】取8c的中點力，則。5=3。方+反），代入等式可證4。,。三點共線.設(shè)

。。=1,由直角三角形的性質(zhì)以及三角形相似可求出各邊長，從而求出比例關(guān)系.

【詳解】如圖，設(shè)4c的中點。，圓。與/4MC分別相切于點￡￡,由。為8c的中點，知

OD=^OB+OC\

乂2次+3礪+3雙=0，明以2次+6而=0，即而=3麗.則4，”三點共線.

因為O為△力8c的內(nèi)切圓的圓心：所以/5=/C,0Q_L3C.

不妨設(shè)0。=1,則04=3,0石=0"=1.

在RtZXO力￡中，AE=>l0A2-0E2=732-12=25/2.

FC/）|CD

由△O"SaCD4,知下二而，即2五=丁，解得CO=&，月.CE=C。,

ZAC=AE+CE=2>/2+V2=3>/2，所以~?

8.正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以P,。,凡ST為頂點的多邊形為正五

邊形且"二苴二1,則（）

AT2

5/60

Pi

B、E

0

CD

A.BP-TS=^-RSB.CQ+TP=^-TS

22

c.ES-AP=^—DRD.AT+BQ=^—CR

【答案】AC

【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，利用平面向量的線性運算逐項計算判斷.

【詳解】在正五角星中，以P,Q,R,S,T為頂點的多邊形為正五邊形，且"=五二1.

AT2

對于A,~BP-TS=TE-TS=~SE=^^-~RS,A正確；

2

對于B,^+TP=PA+TP=TA=^^-STB錯誤：

對于C,ES-AP=RC-QC=RQ=^^-DRC正確；

對于D,AT+BQ=SD+RD,^^-CR=RS=RD-SD^

若有+詼=當」瓦，則而=6，不合題意，D錯誤.

故選：AC

9.在ZU8C中，點b為線段4C上任一一點（不含端點），若麗=31麗+），阮,則2+'的最小值為（）

xy

A.IB.4C.9D.16

【答案】D

【分析】由題意得3x+y=l,月.x>0j>0,再利用基本不等式力”的妙用求解即可.

【詳解】

由題意，在△力4C中，點尸為線段4c上任一點（不含端點），

6/60

若麗=3x麗+），冊，則有x>0,y>0,

]^~AF-XAC，則BF=BA+AF=BA+-BA^=(\-A^BA-VXBC,

所以3x+y=l-4+4=1,

則+“(3x+),)=9+l+型+%10+2I型?左=16,

xy\xy)xy\xy

3y3xi3]

當且僅當一=一，即x=y=:時，等號成立，故一+一的最小值為16.

xy4xy

故選：D.

10.正五角星是一-個非常優(yōu)美的凡何圖形，且與黃金分割有著緊密聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以

P,Q,R,S,r為頂點的多邊形為正五邊形，且萬=與1行，設(shè)無-9=義麗（/l€R）,則4=（：

AV5+1RV5—1「y/5+1口1—V5

2222

【答案】D

【分析】由平面向量的加減及線性運算即可求解.

【詳解】由題意：ES=RCJAP=QC,

則麗-"二藍-反=正+質(zhì):尬

因為萬=與行，同樣皿=與!聲，

所以題=一_/=止!函=_@zl麗=匕好甌

，5+1222

則有匕蟲.

2

故選：D

題型三三角形的心的向?表示（共5小題）

11.下列命題為假命題的是（

7/60

A.兩個具有共同終點的向量，?定是共線向量

B.若￡與3同向，且則

c.人、〃為實數(shù)，若/1￡=方石，則￡與5共線

D.。是△48C所在平面上的任意一點，且滿足麗=5+以而+就），/le（0,-Ko）,則直線片尸一定

通過△48。的重心

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的有關(guān)性質(zhì)判斷A、B；特殊值4=4=0,即可判斷C；取4c中點。，應(yīng)田向量加減

的幾何意義得到萬=22而，即可判斷D.

【詳解】A,當兩起點與終點不在同一直線上時，雖然終點相同，向量不共線，錯，

B,兩個向量不能比較大小,錯,

c,當義=〃=。時，￡與各可以為任意向量，滿足冗￡=,但3與5不一定共線，錯，

D,如圖所示，取8。中點O,OP=OA+2,（AB+AC）,即而一刀二%（而+元），

???9=2/1而，即/、P、。三點共線，故/P一定通過△力鳥。的重心，對.

12.已知點。是△力3C所在平面內(nèi)任意一點，下列說法中正確的是（）

A.^OA+OB+OC=d^則。為△/AC的重心

B.若網(wǎng)=網(wǎng)=|因，則。為△48C的內(nèi)心

C.若O為zMSC的重心，力。是6C邊上的中線，^3AO=AD

D.若方+麗=萬，則打歡二3沙。

【答案】AD

【分析】取8C的中點。，則痂+反=2。方，得20萬=-5，即可判斷A；若|刀卜|礪卜口斗，則O為

△48C的外心，不一定是內(nèi)心，即可判斷B；由題意函=芻羽，則3；方=2而，即可判斷C；取相

8/60

的中點￡，則方+礪=2詆，得前=2詼，|喝=；|詞，即可判斷D.

【詳解】取4c的中點。，連接。。，則玩=2/，

若方+而+1=6,則2歷=衣，則。,4。三點共線，且2|西二|明,

則。為△48C的重心，故A正確；

若萬i|=|礪卜|人卜則。為△力8C的外心，不一定是內(nèi)心，故B錯誤；

若0為△N8C的重心，力。是8C邊上的中線，則|祠=§|回，則3瓦=2而，故c錯誤:

取48的中點E,連接。￡，則萬i+而=2礪，

若方+麗=函，則1=2礪，則。。/三點共線，且胸層同，

則s△皿=；S—8C，故口正確?

故選：AD.

13.已知O,G分別為的外心和重心，N為平面內(nèi)MB。一點，且滿足麗=8+赤+反，則下列

說法正確的是（）

A.GA+GB+GC=O

B.N為△48C內(nèi)心

C.OG=-GN

2

D.對于△ABC平面內(nèi)任意一點P,總有方=g（莎+方+定）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)二角形內(nèi)心、外心、重心的幾何性質(zhì)及向量的幾何關(guān)系得到相關(guān)向量的線性關(guān)系，判斷各項

9/60

的正誤.

【詳解】A：由G為△48C的重心，則3而=’(五S+正)，-CG=-(CA+CB)y-BG=-(BA+BC),

222222

3一—一1一—————_

所以5(4G+CG+8G)=5(48+,4C+O+C8+84+8C)=0,即豆+而+沅=0,正確：

A

8C

B：ON-OA=OB+OC^>AN=OB+OC^由。為外心，所以(赤+反)_L沅，

即前1而，同理麗_L就,E_L而，故N為垂心，錯誤.

CtOG=OA+JG=OB+BG=OC+CG.所以痂=而+麗+反+75+超+M?

因為就+而+1=0，故礪=；(厲+礪+3)，而麗=方+赤+反，

所以。不二！0處=4。4+而)，即。不二;而，正確.

D：~PG=PA+JG=PB+BG=PC+CG，所以3所二百+萬+無+而+瑟+且，

因為就+用+而=0，故而=，為+?至+無)，正確.

故選：ACD

14.已知點。，尸在△力4c所在平面內(nèi)，滿萬+赤+反=6，囪=附=附|,則點。/依次是ZVlBC的

()

A.重心，外心B.內(nèi)心，外心C.重心，內(nèi)心D.垂心，外心

【答案】A

【分析】設(shè)中點為。，進而結(jié)合向量加法法則與共線定理得三點共線，。在△力4c的中線CQ,

進而得。為△4?。的重心，根據(jù)題意得點P為ZUBC的外接圓圓心，進而可得答案.

【詳解】解：設(shè)中點為￡>,因為E+赤+反=0，

所以由+礪+方=2歷+灰=6，即一2歷=云，

因為謝，氏有公共點。，

所以，0,0,。三點共線，即。在△力AC的中線C。，

同理可得。在△48。的三條中線上，即為^力臺。的重心：

10/60

因為悶=網(wǎng)=網(wǎng)

所以，點P為的外接圓圓心，即為△力8。的外心

綜上，點。，尸依次是△力4。的重心，外心.

故選：A

15,已知力，B,C是平面上不共線的三點，。是△N8C的重心，動點P滿足麗:麗+2反

31247

則點尸一定不是（）

A.44邊中線的中點

B.43邊中線的三等分點（非重心）

C.△力8c的重心

D.44邊的中點

【答案】ACD

【分析】利用重心的向量表示及向量的線性運算，得到歷反，判斷出尸的位置，對四個選項一一驗

證，得到正確答案.

【詳解】因為。是△然。的重心，所以況+礪+反=6，

所以麗中洛+；歷+2可=；（［反+2反卜;反、

所以點P為。。的中點，即為力8邊中線的三等分點（非重心）

故選：ACD

題型四向■夾角的計算（共5小題）

16.已知向量1為單位向量：（q-2g）JL,,則1,1的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂更列方程，由此求得cosH，進而確定正確答案.

e=e2

【詳解】因為卜I-2電），芻,所以（q\\2cle2

11/60

=l-2cosepe2=0,cos^,^=—,

由于0。工［，1工180。，

所以￡1=60。.

17.已知瓦B為兩個互相垂直的單位向量，則下列說法正確的是()

A.忸+5卜1

B.(a+^)±(j-h)

C.若E=2G+B，則cos<3,，>=好

5

D.若cos<2,/>=；,則口-a的最小值為孝

【答案】BD

【分析】利用向量的數(shù)量積以及向量運算逐項驗證即可求解.

【詳解】由題意得G5=0,所以,+方［=伍+5)-=G2+2鼠5+戶=同2+何2=］+1=2,

所以收+石卜故A錯誤；

由R+孫(萬一5)=12_廬=同2_瓦=0,所以伍一/)),故B正確;

又不竟=不?21+6)=2/+必6=2同2=2,

所以同2=(22+盯=4a2+43?B+7=4同2+J,=5,所以\c\=>/5,

‘°濟㈤=端=焉=竽，故C錯誤；

口一-d2-2ci-a+a2=一2同同cos(2,1)+同2=口『一口|+1=("卜;)+',

當@時，口一值卜當，所以口-a的最小值為當，故D正確.

18.已知同=4,|*3,且(2"研2"3町=61,求一與J的夾角。=.

【答案】y

【分析】先展開向量的數(shù)量積運算式，代入已知模長求出兩向量的數(shù)量積，再利用向量夾角公式計算余弦

值，最后結(jié)合夾角的取值范圍確定最終角度.

12/60

【詳解】由（2"現(xiàn)2"35）=61,展開得4同2j.）-3回=61,

代入同=4帆=3,得4x16-4,3-3x9=61，

64-45^-27=61，即37—41.6=61，

解得。石=-6.

Aa-b-61

由頡"麗=而=一5,

X^e[O,n],故。=苧.

19.設(shè)點P在△48C所在平面內(nèi)，且點G、〃、。、/分別為該三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.麗=；（可+而+碼

B.若痂+3而+4沅=0,則cos4〃8=q

____________________1

C.若|。*=|。8|=|。。|=1且40/+3。8+20。=0，則。8。。二一了

4

一（AQ、

D.若4=2不一-+-=~-（AeR）,則MAC為等腰三角形

481cos8|/IC|cosC）

【答案】ABD

【分析】對A,取，“的中點。，根據(jù)重心的性質(zhì)化簡判斷即云；對R,根據(jù)垂心的性質(zhì)推導(dǎo)可得

17AHC~=TIA7TB=~HCHB再設(shè)7Z5?衣=7Z??麗=77??麗=工，根據(jù)3麗=一2立一4祝可得

1"卜1不，同理可得I而卜百，再根據(jù)向量的夾角公式求解即可：對c,化簡可得

3OB+2OC=-4OAf再兩邊平方化簡即可；對D,根據(jù)條件推導(dǎo)萬?沅=0即可.

【詳解】對A,取相的中點。，因為G是△力8。的重心，有2麗=而，

所以，2（PD-PG）=PG-PC,即2而+正=3所，

又因為蘇+方=2而，所以⑸+A7+1=3的，故A正確；

對B,因為〃為△力8。的乖心，則7771^7）即而.正=0,

13/60

即屈.(比一筋)二加.沅一而屈=(),則包.阮=蘇.麗,

同理，HA~HC=HCHB^所以互i城=用百?=麻而,

設(shè)而?沅=俞序=沅?卷=工，

因為2蘇+3鋸+4布=0，所以2錨二一4沅-3/，

即2而、-4近萬-3麻屈=-7門則xvO，所以同

因為3麻=一2立一4瓦，所以3證2=-2HA~HB-4HCHB=-6x^

___.___.LIAwrrn

所以|麻卜則cos乙4HB=cos典麗)=

RR

x_V7

V7|j|---?故B正確;

--X?J-2x

2

對C,若|8R麗4(5^1=1.^465+305+205=6，貝萬十2。己=一4(萬，

兩邊同時平方可得：9OB~+4OC2+\2OBOC=\6OA2

所以13+12而灰=6即礪衣故C錯誤;

f???'??一

一AHAC

對D,因為/為△48c的內(nèi)心，AI=A\---------F=：--------UeR),

ABIcos5ACcosC

ABAC

故4〃C=2BC=A

而「os4|^c|cosC

=2(-|5C|+|5C|)=0,即前,前,

故點/的軌跡為垂直于8C的直線，乂力/平分乙%C,因此4是8C的中垂線,

△48。是以8。為底邊的等腰三角形，故D正確.

20,設(shè)向量G、B滿足同=1,忖=2,且/、B的夾角為60。，若向量G-2B與向量應(yīng)+B的夾角為鈍角,

則實數(shù)/的取值范圍是

【答案】口卜;，+0°

【詳解】向量，、B滿足同=1,|q=2,且G、B的夾角為60。,

故鼠B=H|?Wcos60o=lx2xg=l.

因為向最方-2石與向最疝十」的夾角為鈍角,

14/60

所以（,-2孫（而+B）<o且向量與向量疝+B不共線（反向），

所以1-21+1-2x22<0且1x1工-2x1,

解之得：/>-7且EW-g,

故實數(shù)t的取值范圍為卜7,+8）.

題型五垂直關(guān)系的向量表示（共5小題）

21,已知正三角形4AC的邊長為2,設(shè)施=2%BC=b,則下列結(jié)論正確的是（）

A.卜+可=1B.albC.（4a+B）_lBD.標=一1

【答案】CD

【分析】由題意知同=1，W=2,[與5的夾角是120°,可判斷B：利用向量數(shù)量積的公式可判斷D：利

用模長公式可判斷A：證明（41+5）3=0可判斷C.

【詳解】由題意知同=1，W=2,￡與5的夾角是120。，故B錯誤；

^=|a||^|cosl20o=lx2x[-|l=-l,故D正確；

伍+6）2=12+戶+2萬石=1+4+2?—1）=3,

所以故A錯誤；

（4a+b）b=4ab+b2=4x（-l）+4=0,

所以（41+B）J_B,故C正確.

22.已知同=2石，R|=6,且（2"B）_L（M—3與，則方與B的夾角為

【答案】y

【分析】借助平面向量垂直定義及夾角公式計算即可得.

【詳解】（2G+B）（G-3B）=2同2一51萬一3%『=2x僅括了一5濟石一3x（追了=0,

15/60

則用=5,則。￡咽=筋=乖焉《，故〈咽g

23.關(guān)于向量,萬忑，下列命題正確的是（）

A.\a-b\>a-bB.存在向量用氏1，使得R石上=可兒丹

C.印/D.若小6=0,則同=0或|同=（）

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量及其數(shù)量積的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對『A,向最的數(shù)量積，石是實數(shù)，根據(jù)絕對值的基本性質(zhì)：對任意實數(shù)X,都有|x,x,因此

網(wǎng)”5恒成立，故A正確；

對于B,該命題是存在向量滿足等式，若取1=0，

任意瓦-左邊（6瑛=0,右邊00到=°，等式成立，

因比存在滿足條件的向量，故B王確；

對于C,對■不等式兩邊平方得：卜+可2=戶+2不B,

\a-b^=a2+b2-2a-b,原不等式等價于々石20,不是恒成立.故C錯誤；

對于D,兩個非零向量垂直時，點積也為0.

若1=（1,0）石=（0,1）,滿足不方=0,但同=W=1,不滿足題意，故D錯誤.

24.給出下列命題，不正確的有（）

A.伍句/-伍I仍不與干垂直B.若。為非零向量，則三與。同向

7Ia\

C.若萬〃E，b//c^則不〃5D.已知4,〃為實數(shù)，若%=而,則G與5共線

【答案】ACD

【分析】根據(jù)平面向量的垂直、單位向量、向量平行及向量數(shù)乘的基本性質(zhì)，逐項進行判斷即可.

【詳解】對于選項A,[01”—@酬卜=（九中工一伍⑹如

所以（5句"（五]"與云垂直，故A錯誤；

16/60

對于選項B,對?「非零向量2,言是與萬同向的單位向量,

因為單位向量的模長為1,且方向與原向量相同，所以言與,同向，故B正確；

對于選項C,當B=6時，因為零向量與任意向量平行，所以對于任意向量。和己，

都有。〃八月〃1,但此時。與?不一定平行，故C錯誤；

對于選項D,當幾=〃=0時，無論。與B的方向如何，都有加=〃很=0,

但此時。與B不一定共線，故D錯誤.

綜上所述，選項ACD都是錯誤的.

25,下列說法正確的是（）

A.a±b=>a-b=0

a-b

B.向量方在6方向上投影數(shù)量為時

c.數(shù)量積的幾何意義為。的長度同與B在方方向上的投影數(shù)量|B|cos&5〉的乘積

D.在△/14C中，）瓦w<0，則的形狀是鈍角三角形

【答案】ACD

【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示判斷A：利用向量數(shù)量積的幾何意義判斷BC；利用平面向量數(shù)量積的

定義判斷D.

【詳解】對于AytzJLZ;=>a-b=0yA正確；

對于B,向量B在￡方向上投影數(shù)量為|B|cos63〉二"，B錯誤；

對于C,數(shù)量積￡石的幾何意義等于￡的長度|￡|與6在［方向上的投影數(shù)量|5|cos&后的乘枳，C正確;

對于D,在△/IBC中，7BCB=（-BA）（-BC）=BABC=\BA\\JC\COSB<0,

則ccsAvO,而OVAVTT.<R<n,△力AC為鈍角三角形，D正確.

題型六平面向?共線定理的考察（共5小題）

26.如圖，設(shè)方=，工=>0,y>0）,線段。E與8C交于點八且麗二：z，通過計算得

一1一4—14

到：力尸==卜^+=X/。，則一十一的最小值為（）

55xy

17/60

A

E

D

169

Bc.D.

-IT5

【答案】C

【詳解】由蕭二：），下+而及點產(chǎn),E共線，得1+?=1,

JJJJ

工八八、、

而因此mII；1r}4=<.1+p4xz(wy+4Mx)=s8+豆y+196x之？8一2.d不y?16豆x二不16

當且僅當三=等，即x="y=I時取等號，

5x5y82

所以的最小值為學(xué).

xy5

———/、21

27,已知力、8、。三點共線（該直線不過原點0）,且。4=加％+2〃0。（〃?>0,〃>0,則一+一的最

mn

小值為.

【答案】8

【分析】根據(jù)共線定理的推論得加+2〃=1,然后利用常數(shù)代換法可得.

【詳解】因為《、B、C三點共線，所以〃?+2〃=1,

5、i21(21\cc4〃/〃，cI4nm門

所以—F—=—I■—(/〃+2〃)=2+2+F—>4+2.--------=8,

mnIninJmnvmn

4Hm

-------

當且僅當〃7〃，即陽=不"=:時，等號成立，

m+2rn=1I24

所以42+上1的最小值為8.

mn

28.在△月6C中，點。在6c上，且函=2赤，過點O的直線分別交直線/也,4。丁不同的兩點MN,若

AB=mAM，AC=nAN?〃？>0，〃>0，則()

A.2m+n=3B.4〃5+〃2的最小值為9

C.■!■+網(wǎng)的最小值為?D.」二+—工的最小值為三宜1

mn3m+2n+\8

【答案】ACD

----2—1—2-----1——

【詳解】對于A,由函=2麗得，AO=-AB+-AC=-mAM+-nAN,

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21

又〃,O,N共線，則*力+”=1,所以2〃?+〃=3,A正確；

對于B,由亨《聆手得，4〃1屋（2〃7）2g

當且僅當26=〃=31時取等號，即4,/+”2的最小值為9:，B錯誤；

2______

m+n

對于C，1a,3〃]~33,2〃3/〃2pi~3w8,

mnmn33/M〃3,3"?n3

當且僅當/=網(wǎng)，即〃=3帆=苫時取等號，

3mn5

所以—*■—的最小值為?，C正確；

mn3

對于D,由2機+〃=3得，2（/n+2）+（M+l）=8,

所以?J」「十卜2）（+1）]/3十〃+'2（〃7+

m+2〃+18【用+2〃+1戶'''〃8[m+2〃+1

>13+2、戶.迎辿3+20

8、機+2〃+18-

當且僅當二=2（，〃+2）,即〃[=6.4收，〃=8拒-9時取等號,

m+2/2+1

所以工+一1的最小值為三逑，D正確.

m+2/?+18

29.如圖，在△/18C中，點。是8c的中點，過點。的直線分別交射線44,4C于不同的兩點M,N.設(shè)

AB=mAM，AC=nAN?則卜列選項錯誤的是（）

A.加+〃=2B.mn<1C.m1+/?2>2D.—+—<1

mn

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的共線定理可得〃?+〃=2,即可判斷A,利用均值不等式判斷BCD.

【詳解】由圖可知〃?>0,〃>0,

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因為芯=1而+:衣=坐而+，麗，且〃,O,N三點共線,

2222

所鳴4”即-2.選項A正確;

m+n

ninW=1,當且僅當m=〃=1時等號成立，B正確;

~2~

（mI2mn>（―十"）=2，當且僅當切=〃=1時等號成立，C正確；

'72

11，nmnm

(…仕+2+-+->2,當且僅當二二上，即w=〃=1時等號成立，D錯誤.

mn2Im"J2<m〃7mn

尸。過G點，AP=mAB，AQ=nAC,則,+'=()

30.如圖所示，△力8c中G為重心,

mn

A.1B.2C.V2D.3

【答案】D

［詳解］設(shè)荏=d,就=B,根據(jù)題意而=:2而=2177+；配）=；）+；月，

3322

因為萬=〃?而，~AQ=nAC，只G,。三點共線，則存在4,使得夕0=2對，

11-)Ab

gp=即〃5—ma-A,-a+—b-ma-

[33J133

21

-m=---mA

3II

所以.，整理得3〃?〃=〃?+〃，所以一+一=3.

Xmn

n=—

3

題型七由向量線性運算.解決最值和范圍問題（共5小題）

31.在△力。C中,AB=(2m,m+5)./(?=(cosa,sina),(wcR.〃uR),若對任意的實數(shù)，.

牌一就閆萬-毛恒成立，則4C邊的最小值是.

【答案】V19

【分析】設(shè)詬=/元，得至“而一次卜|礪以|萬|恒成立，得出力CJL8C,根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理,

得到忸q=,阿_?2,即可求解.

20/60

【詳解】設(shè)而=/7心，如圖所示,

因為對任意的實數(shù)/,那有胸7狗＞\AB-園恒成立,

由AB-(AC\=\AB-AD\=\DB\>KN恒成立，則力C_L8C,

因為48=(2〃?,〃?+5),JC=(cosa,sina),所以|洞二應(yīng)加+y+20,|^c|=1,所以

忸q-J研一|研一,5(〃?+1)2+20-13J20-1一炳,

當且僅當〃?=-1時，等號成立.

”=3,力。=4,A/、N分別為線段8C、CD上的點，且滿足

則x+V的最小值為

【分析】建立直角坐標系，確定向量坐標，根據(jù)％=x萬W+y而得到6=二±,。=土也，根據(jù)

yx

志+備T得唬+/(*，％變換X+…?，計算金。得到答案.

【詳解】由題意，易知不為0,建立如圖所示坐標系，

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設(shè)點A/(3,a),N(b,4),0<<z<4,0<b<3,

JC=(3,4),加=(3,a),京=他4),

3=3x+W)

1C=xAM+yAN,(3,4)=x(3、〃)+y(44),即

4=xa+4y'

,3-3x4-4y

o=-------,a=-------,

yx

A22

i=]=i-]=]=iy

CM2~(4-a)2-T6(X+^-1)2，CN2~(3叫2-9(x+y-1)2

利—十-/=i，即±+《=(x+y-i)2,

攸[6(X+J，_1)29(x+y-l)210y

設(shè)X+)'=M,

當％MC三點共線時X+J=l,4。在直線MN的異側(cè)，故〃”1,則x=m-幾

貝IJ⑺()+y=(〃?一尸，即25/-18,町，+9"戶-144(w;-I)3=0,

故A=(1故)2—4X25X(9m2-144(w-l)2)>0,即24m2-50m+25>0?

解得機或m(舍去)；

46

故答案為：:.

4

33.在直角梯形中，AB1.AD,AB//DC,AD=DC=l,48=2,動點尸在以點。為圓心，且與

直線相切的圓上移動，設(shè)萬=2痛+〃前(A〃eR),則，最大值是.

【答案】4

【分析】建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出8。的方程，求出圓的方程，設(shè)出P(x,y),求出三個向量

的坐標，用尸的坐標表"則>2?=2?m,根據(jù)直線小尸質(zhì)與(i)2+(z)w有交點，求

出范圍.

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【詳解】解.：以片為原點，分別以48,4。方向為X/軸，建立如圖所示直角坐標系:

所以4(0,0),8(2,0),C(l,l),0(0,1),所以力=(0,1),茄=(2,0),

因為圓C與直線相切，而/8c：x+2y-2=0,圓心C(lJ),

1所以圓C：(x_l)2+(y_l)2=",

所以半徑，?二4V

設(shè)P(*M，則方=(xj),而=(0,1),方=(2,0)

又萬=2而+〃益="0,1)+〃(2,0)=(2〃,/1)

所以(xj)=(2〃")，則x=2〃/=N,所以4=]/l=y

2,VV—0

所以一=2-2=2?一不表示坐標原點力與點P兩點之間連線的斜率★的2倍，

因為動點P在圓。上移動，所以直線解：y二云與(X-1『+()，-1)2=(有交點,

則圓心C(1,1)到y(tǒng)=Ax的距離■為

解得:1〈RK2,貝IJ1S2-204

2x

所以1工2工4,則人最大值是4.

故答案為：4.

34.如圖，在直角梯形力BCO中，AD//BC.ABLBC,力。=1網(wǎng)=2,尸是線段相上的動點，則回+4P4

的最小值為.

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【答案】6

【分析】以8點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)48=a,8P=x(04xW。)，寫出各點坐標，結(jié)合向

量加法以及模的坐標運算，運用二次函數(shù)的知識即可求出最小值.

【詳解】如圖，以8點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)48=4,80=x(0(悵a