2026年高考數學考點復習：任意角和弧度制、三角函數的概念（學生版+解析）

專題4.1任意角和弧度制、三角函數的概念

一、核心知識：

1.角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除

端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角：如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何?個

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，

構成的角的集合是S=｛脩=0360。+。，kGZ）.

2.弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|a|=/瓜長用Z表示）

角a的弧度數公式

①1一180「"：②】rad一（九）

角度與弧度的換算

弧長公式弧長l=\a\r

2

扇形面積公式S=^lr=^a\r

3.任意角的三角函數

三角函數正弦余弦正切

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P”，y）,那么

定義y叫做a的正弦，記作sinX叫做。的余弦，記作cos刎做a的正切，記作tana

Cta

I+十+

II+——

各象限符號

III——+

IV—十—

八認4A（L0）/

三角函數線

有向線段M尸為正弦線有向線段為余弦線有向線段AT為正切線

4.同角一角函數基本關系式

sina(,n

(1)平方關系：sin'a+cos'a=1;（2）商數關系:—=tan^a/2

5.三角函數的誘導公式

公式—?二三四五六

71

角2E+a(kWZ)冗+a~aTt-a,一Q弓+Q

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函?笈名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

二、考點聚焦：

考點一：任意角與弧度制

經典例題：

1.1的角度數是（）

A.30°B.60°C.90。D.120°

2.已知角a=15°，則?；《葦禐椋ǎ?/p>

A汽C乃K

A."B.一C.D.—

12672

3.角330。的弧度數為（）

IIn、7兀IE5幾

A.-----B.—c.D.

66~\2

4.下列敘述正確的是（）

A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角

C.第二象限角比第一象限角大D,不相等的角終邊一定不同

5.每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘.這10分鐘的時間，鐘

表的分針走過的角度是（）

A.30。B.-30°C.60°D.-60°

6.已知某中學上午第一節課的上課時間是8點，那么，當第一節課上課鈴聲響起時，時鐘的時針、分針

把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是

兀3?！?it47r

A.-B.—C.D.——

22T3

變式訓練：

1.60”的弧度數是（)

nnnn

A.-B.—C.D.—

6472

2.把30°化成弧度為（）

3.下列命題中錯誤的是（）

A.三角形的內角必是第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.第四象限角一定是負角D.鈍角比第三象眼角小

4.下列說法錯誤的是（）

A.終邊與始邊重合的角是零角B.終邊與始邊都相同的兩個角一定相等

C.小于90。的角是銳角D.若。=-120",則。是第三象限角

5.鐘的時針和分針一天內會重合（）

A.21次B.22次C.23次D.24次

6.已知點尸在圓。上按順時針方向每秒轉30。，2秒鐘后，。。轉過的角等于（）

A.-60°B.-30°C.60°D.30°

考點二：終邊相同角

經典例題：

1.把角—930。化為2攵%+。（0工。＜2不水￡2）的形式為（）

“+2

A.-5乃+一4B.-4%-----C.-6^-4-150°D.

666

2.與2022。終邊相同的角是()

A.-112°B.-72cC.222°D.142°

3.角-2023。是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在-720。?0。范圍內所有與30。角終邊相同的角為（）

A.-33（）°B.-690°C.-690。或一330°D.-300°-33（）0

5.集合A={ala=一2024。+"80。,“2}中的最大負角a為（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

6."角久夕的終邊在同一條直線上〃是“sin（a-/?）=0〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知角a與夕的終邊關于）'軸對稱，則a與4的關系為（）

A.。一月=4+2々4（kwZ）B.a—夕=g+2出乃（keZ）

C.a+R=2k冗(ZeZ)D.a+付=冗+2卜冗(keZ)

8.已知角。,月的終邊關于直線y=x對稱，且sin（a-〃）=立，則。，尸的一組取值可以是。=,

2

p=.

9.若角。的頂點與原點重合，始邊與K軸的非負半軸重合，則集合｛a|版■+版■+5，&eZ｝中的角

。的終邊在單位圓中的位置（陰影部分）是（）.

變式訓練:

1.將885?；癁閍+h360(k€Z,ae[(r,360))的形式是()

A.165+2x360B.-195+3x360°C.165+3x360,D.195+2x360

9不

2.（多選）與丁終邊相同的角的表達式中，正確的是

A.45°+2)U,keZB.h360+2,&eZC.h360'-315MeZD.2k4一工九MwZ

44

下列與角等的終邊一定相同的角是

3.)

A.yB.々）一年（々eZ）C.2k兀+日~(ksZ)D.(2k+i)7r+^-(keZ)

4.-2030。角是第象限角.

5.與1。角終動相同的角的集合是()

A.[a|a=&3600+2,AeZB.\a\a=k-360+、keZ

180I180

C.a\a=2k^+-^^,keZD.{a\a=2k7i+\Q,keZ)

6.若角。的終邊與75。角的終邊關于x軸對稱，且-3600<a<360。，則角a的值為

8.m，且2a與一彳的終邊互相垂直，則

kk

9.設集合〃=卜X=1.180。+45。,丘2卜N=ix〒8。。+45。,丘Z,則集合M,N的關系為（)

A.MCN=0B.MNC.NMD.MuN=M

10.已知角。的終邊在圖中陰影所表示的范圍內（不包括邊界），那么aw.（用弧度制描述）

考點三：扇形的弧長及面積公式

經典例題：

4.如果1弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長為

1

A.-----------B.sin().5C.2sin(),5D.tan().5

sin0.5

5.已知扇形的半徑為1,圓心角為60°,則這個扇形的弧長為（）

71

D.D.60

3

6.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為三，底面圓的半徑為1,則圓錐的側面積為

7.折扇又名“撒扇〃〃紙扇〃，是一種用竹木或象牙做扇骨、韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其

平面圖如圖2的扇形40B,其中4404=150。，OA=2OC=6,則扇面（曲邊四邊形A8DC）的面積

是,

圖1圖2

8.《九章算術》是我國古代內容極其豐富的數學名著，書中有如下問題："今有委菽依組內角，下周三丈,

高七尺，問積及為菽幾何？”其意思、為：”靠墻壁堆放大豆成半圓錐形，大豆堆底面的弧長為3丈，高為7

尺，問大豆堆體積和堆放的大豆有多少斛？"己知1斛大豆=2.43立方尺，1丈=10尺，圓周率約為3,估

算出堆放的大豆有（）

A.140斛B.142斛C.144斛D.146斛

9.數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫

等邊三角形八8c,再分別以點48,C為圓心，線段48長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所

示）.若萊洛三角形的周長為2〃,則其面積是（

In

A.一+GB.2乃+26

3

10.短道速滑，全稱短跑道速度滑冰，是在長度較短的跑道上逆行的冰上競速運動.如圖，短道速滑比賽

場地的內圈半圓的彎道計算半徑為8.5m,直道長為28.85m.若跑道內圈的周長等于半徑為27.78m的扇形

密道

8.50?

28.85m30m

的周長，則該扇形的圓心角為（參考數據：取174=53.42）（）

跑道

60m

變式訓練：

1.已知扇形弧長為圓心角為2,則該扇形面枳為（）

72

冗71

AA.—kCB.—C.-CD.41

18363

2.半徑為2的圓上長度為4的圓弧所對的圓心角是（）

A.1B.2C.4D.8

3.已知扇形的周長是12,面積是8,則扇形的圓心角的弧度數可能是（）

A.1B.4C.2D.3

4.一個扇形的周長是6厘米，該扇形的中心角是1弧度，該扇形的面積是.

5.已知一扇形的弧所對■的圓心角為54。，半徑r=20cm,則扇形的周長為cm.

6.在周長為定值P的扇形中，扇形的面積最大時半徑是.

7.如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌"，形象象征若新時代中國特色社會主義大潮的涌動

和發展.如圖是會徽的幾何圖形，設弧A。長度是4,弧8c長度是4,幾何圖形A8C。面積為S,扇形

80c面枳為$2,

A.1

8.中國扇子歷史悠久，源遠流長，在長達數千年的發展過程中，被賦予了極其深厚的文化內涵和鮮明的

民族特色.自古中國就有“制扇王國”的美譽，數量之大品種之多，皆居世界首位.如圖，現從一圓面中剪

下一個扇形制作一把扇形扇子，為了使扇子形狀更為美觀，要求剪下的扇形和圓面剩余部分的面枳比值為

黃金分割比或二1,則扇子的圓心角應為（

L乂

2

C.(±1業D.0

A.（3-石）兀B.（3石-6卜

9.如圖是古希臘數學家希波克拉底用于求月牙形圖形面積所構造的兒何圖形，先以48為直徑構造半圓

O,C為弧48的中點，。為線段4C的中點，再以AC為直徑構造半圓。，則由曲線AEC和曲線AFC所圍成

的圖形為月牙形.若A8=4,則該月牙形圖形的面積為（）

8

A.4B.25/2C.&nD.2

10.機械學家萊洛發現的萊洛三角形給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形A8C,再分

別以點48,C為圓心，線段4B長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.若線段4B長為1,貝］萊洛三角形

11.羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在

球托之外的長為6cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側面，測得頂端所圍成圓的直徑是

底部所圍成圓的直徑是2cm,據此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為

W

TtTt

A.-B.一C.—D.兀

323

考點四：三角函數的定義及其應用

經典例題：

1.已知角。的終邊與單位圓相交于點。卜

貝l"inO=（）

A&B應C.BD.\

2232

2.已知角。的終邊經過點。（3,-4）,則（：）

44/\3n（nA4

A.sina=—B.tana=—C.cosi（7r+a）=--D.cos^-+al=--

53

3.已知角a的終邊經過點（，幾-2m）,其中/，〃工0,則sina+cosa等于

A..如B.土立33

C.--D.±-

5555

3

4.角0的終邊經過點打4,），），且sin0=---,則tan〃=_____.

3

5.已知。為第四象限的角，且85。=',則tan。的值為（）

6.已知角a的終邊在直線），=-2%上，貝ljcosa=（）

A.正B.正

55

7.如果8sdvO,則。可能是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角

8.已知角1的終邊上一點的坐標為（疝】￡,cos與

則。的最小正值為（)

B,包4兀17幾

A-C.—D.

,5105

9.已知點P（V5,1）為角。終邊上一點，繞原點。將OP順時針旋轉器，點尸旋轉到點Q處，則點。的坐標

為（）

A.(-73,-1)B.U[-卜圖。?甘T

10.在平面直角坐標系中，角。的頂點在坐標原點，始邊與x的非負半軸重合，將角。的終邊按逆時針旋

轉?后，得到的角終邊與圓心在坐標原點的單位圓交于點｛一線｝則sin"aj卜

)

72424

AB.——C.D.——

-i252525

變式訓練：

1.已知角a的終邊經過點貝ijsina等于（)

JJ

4343

A.一B.--C.---D.——

5534

2.己知角a的終邊過點P（-1,2）,則tana等于()

A.2C.D-

B.-2~2,2

3.在平面直角坐標系中，若角。的終邊經過點P（l「2）,則sina=（）

石口布「2石

A.------D.—L?ID..班

5--------------------555

4.若角a的終邊經過點（1,-G）,則sina=（）

1RGr1D.B

A.

2222

4

5.角a的終邊經過點2-3,），），且sina=],則＞=

6.已知角a的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合,終邊上的一點為尸（2m,TW）（〃7K0）,則下列

各式一定為負值的是（）

A.sinacosaB.tanaC.coscr-sincrD.cos2a

sinx,x>0

7.已知/*)=<cosx。,則/⑺75等于()

A.-1B.0C.1D.2

8.J知角a的頂點與坐標原點0重合,始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上的一點P的坐標為（-L3）,則

cosa=()

A_亞回

RD.一,‘r屈

1()1010。?嚶

9.已知角1的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，角。的終邊繞原點逆時針旋轉/后經過點

34

—,則sina-()

55)

3344

A.--B.-c.——D.-

5555

10.已知角a的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終達過點（-3,2）,則cos2a=（）

AC.上12

--llBD.—

-H1313

11.在平面直角坐標系g中，已知點，將線段OA繞原點順時針旋轉T得到線段OB，則點B的

橫坐標為

三、達標檢測:

《任意角和弧度制、三角函數的概念》小題檢測

（限時30分鐘,滿分73分）

一、單選題（每小題5分，共40分）

1.方的角度數是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.在平面直角坐標系中,角a的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點

則()

A.sin」I

B.sina=——C.cosa=一D.tana=V3

222

3.若角〃的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊過點〃（1,6「則2sine+cos6=()

cV3+1

A.-+^

B,+D.G+1

2-T2

4.已知角。的終邊經過點產（-4〃?，3加）。〃工0）,則2sina+cosa的值是（）

2。22

A.1或一1B.二或二C.1或-1D.T或一3

5.已知角a的頂點與坐標原點重合,始邊與1軸的非負半軸查合，點A是角a的終邊與單位圓的交點,

4

若點A的橫坐標為-三，則cos2?=（)

2c2

A.——B.一c?VD

55-i

已知角a的頂點是坐標原點，始邊是1軸的正半軸，終邊是射線），=2x（x20）,則tan（2a+；）

6.

)

I

A.-BC.-7D.

7-43

已知點P(sina3sin8+I)0,g在直線x+y-3=0上，則()=

7.

571n71it

A.—B.-C.-D.

12346

8.如圖，一個尢線電信號定向發射裝置位于扇形的圓心。處，其信號覆蓋范圍為扇形區域AO4,扇形圓

心角為。（0<。〈乃）.己知該扇形的陰影區域為弱信號區域，若在扇形內隨機地選?地點，則該地點為弱信

號區域的概率是（

1-sini9sin"-sin<9

，B.C.sin〃

A~~0~0~0~

二、多選題（每小題6分，共18分）

9.與一835。終邊相同的角有（）

A.-245°B.245°C.-115°D.-475°

10.在平面直角坐標系AOY中，角。頂點在原點O,以x正半軸為始邊，終邊經過點P（L〃?）（”?<0）,則下

列各式的值恒大于。的是（）

sina

A.--------B.cossin?C.sinacosaD.sina+cosa

tana

11.下列說法正確的是（）

A.角。終邊在笫二象限或第四象限的充要條件是sinHcosSvO

B.圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角等于g

C.經過4小時，時計轉了120

D.若角。和角夕的終邊關于），=工對稱，則有a+夕=]+2而McZ

三、填空題（每小題5分，共15分）

12.已知。為鈍角，sin?=—,則cosa=.

10

13.已知扇形圓心角a=60,a所對的弧長/=6兀，則該扇形面積為.

14.如圖，在邊長為2的正方形48C。中，以A8的中點。為圓心，以J2為半徑作圓弧，交邊AD8C于

點M,N,從正方形ABC。中任取一點，則該點落在扇形OM/V中的概率為.

答題卡

班級：姓名：總分：

題號：12345678

答案：

題號：91011題號：121314

答案：答案：

專題4.1任意角和弧度制、三角函數的概念

一、核心知識：

I.角的概念

（I）任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

（2）象限角：以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系.這樣，角的終邊（除

端點外）在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角。在內，

構成的角的集合是S={能=k36（r+a"￡Z}.

2.弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心先叫做1弧度的角，弧度記作rad

|。|='弧長用/表示）

角a的弧度數公式

①1°-180rad：②1rad-（冗）

角度與弧度的換算

弧長公式弧長Z=|a|r

11,

扇形面積公式5=/=臚|廣

工任意角的1角函數

三角函數正弦余弦正切

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么

定義，叫做a的正弦，記作sinK叫做。的余弦，記作COS

^叫做。的正切，記作tana

aa

I++4-

II十——

各象限符號

III——+

IV—十—

平（皿一隊/斗（1,0）,

三角函數線

有向線段MP為正弦線有向線段。川為余弦線有向線段A7為正切線

4.同角一角函數基本關系式

（1）平方關系：sir^a+cos2a=1；（2）商數關系：普￡=tana（a埠+E，k￡Z）.

5.三角函數的誘導公式

公式—「二三四五六

71兀

角2E+a(&￡Z)兀+a—ait—a2~a2-ra

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口訣函孑取名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

考點聚焦:

考點一：任意角與弧度制

經典例題：

1.3的角度數是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.己知角a=15"，則?；《葦禐椋ǎ?/p>

兀

A.—B.一D.

1262

【答案】A

【詳解】???a=15。=15乂之=弧度數為.故選:A

1801212

3.角330。的弧度數為（）

1E7n1In5n

A.-----B.—C.-----D.—

66126

【答案】A

【詳解】3300=330乂4=1兀.故選：A.

1806

4.下列敘述正確的是（）

A.三角形的內角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角

C.第二象限角比第一象限角大D.不相等的角終邊一定不同

【答案】B

【詳解】???宜角不屬于任何一個象限，故A不正確；鈍角屬于與，兀，是第二象限角，故B正確；

由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故C不正確；由于20。與360。+20。不相等，但終邊相同，

故D不正確.故選B

5.每周一的早晨，我們都會在學校的操場.上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘.這10分鐘的時間，鐘

表的分針走過的角度是（）

A.30°B.-30°C.60°D.-60。

【答案】D

【詳解】?.?分針是順時針走的，?.形成的角度是負角，乂分針走過了10分鐘，，走過的角度大小為

2K360。=60。，綜上，分針走過的角度是-60。.故選：D.

6.已知某中學上午第一節課的上課時間是8點，那么，當第一節課上課鈴聲響起時，時鐘的時針、分針

把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是

n-3兀-2兀>4加

A.-B.—C.—D.—

2233

【答案】C

【詳解】8點時，時鐘的時針正好指向"8〃，分針正好指向“12〃，由于時鐘的每兩個相鄰數字之間的圓心角

是30°，即?，故此時時針、分針把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是?乂4=個.

6o3

變式訓練：

1.60”的弧度數是（）

冗冗式乃

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

TT7T7T

【詳解】???180°=%弧度,?一=右弧度，則60=60x痂弧度弧度，故選C.

1X（）1ov3

2.把30?；苫《葹椋ǎ?/p>

717r7171

A6.-BC.-C.-DC.—

34612

【答案】c

【詳解】30=30x去=[.故選：C.

1oO6

3.下列命題中錯誤的是（）

A.三角形的內角必是第一、二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.第四象限角?定是負角D.鈍角比第三象眼角小

【答案】ACD

【詳解】當三角形為直角三角形時，一內角為直角，直角不屬于第一、二象限角，故A錯誤；始邊相同而

終邊不同的角一定不相等，故BE確：取330。角為第四象限角，但不是負角，故C錯誤；取12（F為鈍角，

-110為第三象限角，但120>-110,故D錯誤，故選:ACD

4.下列說法錯誤的是（）

A.終邊與始邊重合的角是零角B.終邊與始邊都相同的兩個角一定相等

C.小于90。的角是銳角D.若a=-120。，則a是笫三象限角

【答案】ABC

【詳解】對于A.終邊與始邊重合的角的集合為{a|a=360&Mcz},故A錯誤，對于B,終邊8始邊都相同

的兩個角不?定相等，比如30,39（T的終邊和始邊相同，但兩個角不相等，故B錯誤，對于C,銳角為

（0.90）的角，所以小于90。的角不一定是銳角，故C錯誤，對于D,a=T2。。，則夕是第三象限角，故D

正確，故選：ABC

5.鐘的時針和分針一天內會重合（）

A.21次B.22次C.23次D.24次

【答案】B

【詳解】一天24小時中時針轉2圈，分針轉24圈，所以分針比時針多轉的圈數是24-2=22,又因為每多

轉一圈，分針就與時針相遇一次，所以鐘的時針和分針一天內會重合22次，故選：B

6.已知點P在圓。上按順時針方向每秒轉30。，2秒鐘后，。尸轉過的角等于（）

A.-60°B.-30°C.60°D.30°

【答案】A

【詳解】團點P在圓。上按順時針方向旋轉，則OP轉過的角為負角，又每秒轉30。，（32秒鐘后，OP轉過

的角等于2x（-3。。）=-60。.故選:A.

考點二：終邊相同角

經典例題：

1.把角-930?；癁?既+研0工二<2%次￡2）的形式為（）

57457r

A.-5乃+一乃B.-4^---C.-6萬+150°D.-6乃+一

666

【答案】D

【詳解】一930°=-3、360°+150°=-6乃+3，故選：D.

2.與2022。終邊相同的角是（

A.-112°B.-72°C.222°D.142°

【答案】C

【詳解】團2022°=360°X5+222°,團與2022。終邊相同的角是222\故選:C.

3.角—2023。是（）

A.第一象限B.第二象限