《線性代數及其應用》課件 第2章 行列式

2.1行列式的定義第2章行列式1.二階行列式的引入類似地，也可以得到：

我們首先回顧用Gauss消元法求解二元線性方程組的解法：兩式相減，得到：1.二階行列式的引入(續)當時，解的表達式的分母由方程組的四個未知數的系數確定.二元線性方程組記號數表

的解為我們引進新的符號來表示“四個數分成兩對相乘再相減”.表達式稱為由該數表所確定的二階行列式，即2.二階行列式的定義定義2.1由四個數排成二行二列(橫排稱為行、豎排稱為列)的數表表示代數式，稱這個數表為一個二階行列式，并記作其中，稱為行列式的元素，

i為行標，表明元素位于第i行；

j為列標，表明元素位于第j

列.3.二階行列式的計算對角線法則：例如：主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積.

二元線性方程組若令(方程組的系數行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為4.二階行列式的一個應用5.例1例1

求解二元一次線性方程組

解：因為所以6.三階行列式的定義設有9個數排成三行三列的數表稱為由以上3行3列數表所確定的一個三階行列式.6.三階行列式的定義(續)(1)沙路法

(2)對角線法則紅線上三元素的乘積冠以正號藍線上三元素的乘積冠以負號6.三階行列式的定義(續)注：(1)對角線法則只適用于二階與三階行列式．(2)三階行列式包括3!項，每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積，其中三項為正，三項為負.6.三階行列式的定義(續)7.例2

例2

計算三階行列式

解：

例3求解方程

解：方程左端為由此解得

8.例39.三階行列式的一個應用再設假設三元一次線性方程組的系數行列式9.三階行列式的一個應用(續)的解為則用消元方法可得三元線性方程組10.引例共有種放法，可以組成6個沒有重復數字的三位數．

引例：用1、2、3三個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法

解：11.全排列定義2.2把n個不同的元素排成一排，稱為一個n元排列(或簡稱排列).同理：問題：

n個不同的元素排成一排，共有幾種不同的排法？

n個不同的元素的所有排列的總數，通常用表示.由引例可知：所有6種不同的排法中，只有一種排法(123)中的數字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數排在小的數之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，32111.全排列規定：

各元素之間有一個標準順序，n個不同的自然數，規定由小到大為標準順序．12.逆序數按照這個規定，排列123······n稱為一個標準排列(或自然排列)．例如：排列32514中，32514逆序逆序逆序定義2.3當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序.3251412.逆序數(續)定義2.3(續)一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數.通常用故此排列的逆序數為3+1+0+1+0=5.

例如：排列32514中，31

定義2.3(續)逆序數為奇數的排列稱為奇排列；逆序數為偶數的排列稱為偶排列.0

來表示排列的逆序數.0113.計算排列逆序數的方法方法：分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼的個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，這些元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數.14.例4

例4

求排列32514的逆序數.

解：在排列32514中：3排在首位，逆序數為0;2的前面比2大的數只有一個3，故逆序數為1;5的前面沒有比5大的數，其逆序數為0;1的前面比1大的數有3個，故逆序數為3;4的前面比4大的數有1個，故逆序數為1.32514于是排列32514的逆序數為

這個排列是奇排列.0103115.例5

例5

計算下列排列的的逆序數，并討論它們的奇偶性：(1)217986354

解：此排列是偶排列.15.例5(續)

解：當時，此排列是偶排列.當時，此排列是奇排列.(2)15.例5(續)

解：當為偶數時，此排列是偶排列.當為奇數時，此排列是奇排列.(3)n

階行列式問題1:由哪些項組成？問題2:總項數為多少？問題3:每項符號如何確定？16.n階行列式的引入16.n階行列式的引入(續)考察三階行列式總結：(1)三階行列式共有

項，即6項．(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．(3)每一項可以寫成（正負號除外），其中是1、2、3的某個排列.(4)當是偶排列時，對應的項取正號；當是奇排列時，對應的項取負號.

例如：的列標排列的逆序數：偶排列，符號：+的列標排列的逆序數：奇排列，符號：-所以有16.n階行列式的引入(續)17.n階行列式的定義

定義2.4由個數排成的n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和記作也簡記為，數稱為行列式的元素.其中，為自然數的一個排列，為這個排列的逆序數.

也就是說，17.n階行列式的定義(續)注：

(1)n階行列式是

項的代數和.

(2)n階行列式的每一項都是位于不同行,不同列的n個元素的乘積.

(3)前面的符號為.

(4)行列式是一種特定的算式，它首先是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次線性方程組的需要而定義的，但其用途大大拓廣了.17.n階行列式的定義(續)18.例6例6寫出四階行列式中含有因子

的項.解：和

答：符號

可以有兩種理解：若理解成絕對值，則

；若理解成一階行列式，則

.思考：

成立嗎？注：當n=1時，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式

.19.知識點對比行數不等于列數共有m×n個元素本質上就是一個數表行數等于列數共有n2個元素矩陣行列式20.方陣的行列式若則稱矩陣A為非奇異矩陣,否則稱為奇異矩陣.定義2.5由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.例如：21.例7

例7

計算上三角矩陣A=的行列式.

解：展開式中項的一般形式是因此，只需考慮所以，可能不為零的項只有.21.例7(續)于是有例如：上三角行列式同理可得下三角行列式特別地，對角行列式21.例7(續)22.例8例8

計算副對角行列式.

解：展開式中項的一般形式是若，則，從而這個項為零，所以只用考慮的項.同理可知，只用考慮的項.也就是說，行列式展開式中可能不為零只有.22.例8(續)于是有23.例9例9

證明

.

證明：若記，則有于是有例如：23.例9(續)24.四個結論(1)對角行列式(2)副對角行列式

(3)上三角行列式（主對角線下側元素都為0）(4)下三角行列式（主對角線上側元素都為0）24.四個結論(續)

(1)二階和三階行列式是由解二元和三元一次線性方程組引入的.

(2)二階與三階行列式的計算——對角線法則.(4)計算排列逆序數.(5)排列具有奇偶性.(3)n個不同的元素的所有排列總數為.(6)行列式是一種特定的代數式.(7)n階行列式共有項的代數和，每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積，其正負號由下標排列的逆序數決定.(8)四種特殊的行列式.25.本節小結26.思考題1已知，求中的系數.解：中含的項有兩項：故中的系數為.試判斷和是否都是六階行列式中的項.解：下標的逆序數為所以，是六階行列式中的項.而下標的逆序數如下計算所以，不是六階行列式中的項.27.思考題2在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.解:(1)列表排列431265的逆序數為所以，前邊應帶正號.

(2)28.思考題3列表排列452316的逆序數為所以，前邊應帶正號.28.思考題3(續)計算

.解：因為所以，.29.思考題42.2行列式的性質與計算第2章行列式1.轉置行列式及其性質為行列式D的轉置行列式.記n階行列式則稱若記,則.

性質2.1行列式與它的轉置行列式相等.注：以上性質說明：行列式中行與列具有同等的地位，因此，行列式的性質凡是對行成立的，對列也同樣成立！2.行列式中兩行(列)互換的性質

性質2.2互換行列式的兩行(列)，行列式變號.例如:第i行與第j行互換，記作.

第i列與第j列互換，記作.

注：2.行列式中兩行(列)互換的性質(續)于是.

推論2.1若行列式有兩行(列)元素完全相同，則此行列式為零.

證明：互換相同的兩行，有3.行列式的數乘性質性質2.3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數，等于用這個數乘此行列式.即某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.

證明：3.行列式的數乘性質(續)注：第i行乘k，記作.

第i列乘k，記作.

第i行提出公因子k，記作.

第i列提出公因子k，記作.

注：

數乘矩陣與數乘行列式是有區別的：4.行列式中兩行(列)元素的比例性質推論2.3行列式中若有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零.

證明：5.行列式的拆分性質性質2.4若行列式的某一行(列)元素都是兩數之和，則它等于兩個行列式之和.

5.行列式的拆分性質(續)證明：6.兩個行列式/矩陣相加的區別知識點比較

7.行列式中行(列)相加的性質性質2.5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式的值不變．7.行列式中行(列)相加的性質(續)

證明：7.行列式中行(列)相加的性質(續)注：第i行乘k加到第j行上，記作.

第i列乘k加到第j列上，記作.

8.利用行列式性質計算行列式的的思路利用行列式的性質，特別是以下運算將行列式化為上(下)三角形行列式，從而算出行列式的值．9.例1例1

計算

解：9.例1(續)9.例1(續)9.例1(續)10.例2例2

計算n階行列式

解：將第2、3、…、n列都加到第1列得10.例2(續)例3(練習)計算4階行列式(1)(2)

(3)11.例312.例4例4

設，且設證明：.12.例4(續)

證明：對作運算，將其化為下三角形行列式，設為對作運算，將其化為下三角形行列式，設為12.例4(續)對的前k行作運算，再對后n列作運算，將化為下三角行列式故13.例5

例5計算行列式13.例5(續)

解：將第2n行依次與第2n-1行、第2n-2行、···、第2行作對換，可得再將第2n列依次與第2n-1列、第2n-2列、···、第2列作對換，可得13.例5(續)于是，由例4的結論有13.例5(續)以此作遞推，可得14.關于行列式的運算順序

例如：特別值得注意的是：上述各例都用到把幾個運算寫在一起的省略寫法，要注意各個運算次序一般不能顛倒，因為后一次運算是作用在前一次運算的結果上.15.方陣行列式的運算性質(1)(2)(3)(4)注：雖然但16.例6例6

設A是三階方陣，且，求和.

解：17.行列式展開的引入考慮三階行列式：一個三階行列式可以轉化成三個二階行列式的計算！問題：一個n

階行列式是否可以轉化為若干個n-1階行列式來計算？18.余子式與代數余子式定義2.6在一個n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作.

稱為元素的代數余子式．例如：18.余子式與代數余子式(續)注：

行列式的每個元素分別對應著一個余子式和一個代數余子式．19.引理引理一個n階行列式D，如果其中第i行所有元素除外都為零，那末這個行列式等于與它的代數余子式的乘積，即例如：19.引理(續)

證明：當位于第一行第一列時,由上一節的例題，有又因為，從而19.引理(續)將D的第i行依此與第i-1行、第i-2行、···、第1行作對換，可得再證一般情形，此時19.引理(續)再將以上行列式第j列依次與第j-1列、第j-2列、···、第1列作對換，可得19.引理(續)19.引理(續)因此有，我們以4階行列式為例.思考：能否以代替兩次行變換？

被調換到第1行，第1列.19.引理(續)20.行列式按任一行(列)展開定理2.1行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即

證明：只對行的情形證明，列的情形類似可證．20.行列式按任一行(列)展開(續)注：定理2.1稱為行列式按行（列）展開定理．21.例7例7

計算行列式

解：21.例7(續)22.利用展開法則計算行列式的思路(1)利用行列式的性質，將行列式的某一行（列）盡量多地化出0；(2)利用展開法則將行列式展成低階行列式；(3)依此下去；(4)直至展成二階行列式或者可直接計算的行列式．23.例8例8

計算行列式

解：23.例8(續)24.例9

例9

證明：范德蒙德（Vandermonde）行列式24.例9(續)

證明：用數學歸納法證明.因為所以，當n=2時，Vandermonde行列式成立.假設Vandermonde行列式對于n-1階成立，下面考慮n階的情形.從第n行開始,后一行加上前一行的倍,可得24.例9(續)按第1列展開，并將每列的公因子提出，得到

n-1階Vandermonde行列式24.例9(續)因此有24.例9(續)25.一個推論推論2.4行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即25.一個推論(續)

證明：將行列式按第j行展開，有上式中，將換成，可得25.一個推論(續)所以有相同類似可證26.代數余子式的重要性質

將定理2.1和推論2.4結合，我們將得到以下重要性質：對于n階行列式D，它的元素的代數余子式滿足：27.例10例10設，求和.

解：27.例10(續)28.本節小結

3.計算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用行列式按行（列）展開法則，把高階行列式的計算化為低階行列式的計算.1.行列式的5個性質及其推論(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對行成立的性質對列也同樣成立).2.方陣行列式的運算性質.4.29.思考題1計算解：29.思考題1(續)30.思考題2解：設，計算和.30.思考題2(續)31.思考題3求以下行列式的第一行各元素的代數余子式之和：解：第一行各元素的代數余子式之和可以表示成：31.思考題3(續)箭形行列式目標：把第一列化為從而得到三角形行列式32.思考題4計算.解：32.思考題4(續)謝謝各位同學！2.3行列式的應用第2章行列式1.伴隨矩陣定義2.7行列式|A|的各個元素的代數余子式

Aij所構成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.注：元素aij的代數余子式Aij位于第

j行第i

列.2.例1

例1求矩陣的伴隨矩陣.

解：按定義，因為2.例1(續)所以3.伴隨矩陣的重要性質定理2.2設A*為n階方陣A的伴隨矩陣，則必有

證明：同理可得：于是注：

這個結論對任意方陣成立！它在矩陣的理論分析中有重要作用.4.方陣可逆的充分必要條件定理2.3

n階方陣A可逆的充分必要條件是

，且當A可逆時，由定義1.13可知，A是可逆的，且證明：由定理2.2，若，有5.奇異矩陣與非奇異矩陣由上述討論可知：

可逆矩陣非奇異矩陣奇異矩陣非奇異矩陣

不可逆矩陣奇異矩陣6.例2例2

求的逆矩陣(假定A的行列式不為零).

解：易知所以，當時，7.例3

例3

求3階方陣的逆矩陣.

解：因為則8.例4

例4已知，求.

解：因為，所以A可逆.且8.例4(續)一般地，若，則8.例4(續)9.逆矩陣的重要定理定理2.4設A，B是同階方陣，且滿足AB=E，則A，B都可逆，且證明：由條件，兩邊取行列式可得故，因此有存在，于是注：

以上推論說明，判斷B是否為A的逆矩陣，只需驗證AB=E和BA=E中的一個即可．例5設方陣A滿足方程，證明A和都可逆，并求它們的逆矩陣.

證明：由條件可得所以A可逆，且10.例5分析：矩陣等式，要證A可逆，應設法從已知關系式分解出因子A，并把已知矩陣等式改寫為AB=E的形式，則A可逆，且A-1

=B.

10.例5(續)所以可逆，且再由條件可得(4)若A可逆，則11.逆矩陣的性質(1)若A可逆，則也可逆，且.(2)若A可逆，，則也可逆，且(3)若A可逆，則(5)若A可逆，則可逆，且

(6)若A，B為同階可逆方陣，則AB也可逆，且

推廣：12.例6例6

設A為3階矩陣，，求

解：因為，所以二元線性方程組若令(方程組的系數行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為13.克拉默法則的引入含有n個未知數n個方程的線性方程組Ax=b的形式是其中，稱為這個線性方程組的系數行列式.14.

n個未知數n個方程的線性方程組15.克拉默法則定理2.5(克拉默法則)線性方程組Ax=b的系數行列式時，線性方程組Ax=b有唯一解，其解為其中，是將D中的第j列換成方程組右端的常數項得到的行列式.15.克拉默法則(續)16.克拉默法則的等價命題定理2.6如果線性方程組Ax=b的系數行列式不等于零,即，則方程組一定有解，且解是唯一的.

定理2.7如果線性方程組Ax=b無解或者有無窮多解，則它的系數行列式必為零，即.

17.例7

例7

求解方程組

解：由和Cramer法則可知，方程組有唯一解：17.例7(續)18.關于Cramer法則的說明

(1)Cramer法則僅適用于方程個數與未知量個數相等且系數行列式不為零的情形．

(2)Cramer法則的理論意義是：給出了解與系數的解析表達式．

(3)用Cramer法則求解線性方程組計算量大，實際求解時并不可取，但它具有重要的理論意義．定理2.9如果齊次線性方程組Ax=0有非零解，則它的系數行列式必等于零，即.19.齊次線性方程組的相關結論定理2.8如果齊次線性方程組Ax=0的系數行列式不等于零，即，則齊次線性方程組只有零解，即.20.例8

例8

問取何值時，齊次方程組有非零解？

解：如果齊次方程組有非零解，則必有.所以時齊次方程組有非零解.21.本節小結4.用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：(1)方程個數等于未知量個數；(2)系數行列式不等于零.5.克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數以及常數項之間的關系．它主要適用于理論推導．逆矩陣的概念及運算性質.逆矩陣存在.

逆矩陣的計算方法：方法一：利用公式方法二：利用公式.22.思考題1若為非零實矩陣，且，證明A為可逆矩陣.證明：設，由可知因此，A可逆.23.思考題2若A,B均為n階可逆矩陣，證明(1);(2).證明:(1)由假設可知，AB也可逆.且由可知同理有于是23.思考題2(續)

(2)首先有于是又于是24.思考題3當線性方程組的系數行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解是什么情況？答：當線性方程組的系數行列式為零時，不能用克拉默法則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解.謝謝各位同學！第2章行列式2.4

矩陣的秩1.矩陣的k階子式

定義2.8

在m×n矩陣A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于這些行列交叉位置的個元素，保持相對位置不變構成的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.例如：有2階子式：有3階子式：一個m×n矩陣A，它的k階子式共有個.概念辨析：k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數余子式1.矩陣的k階子式(續)相應的代數余子式矩陣A

的一個2

階子塊矩陣A

的一個2

階子式與元素

相對應的余子式1.矩陣的k階子式(續)矩陣而它的所有4階子式都等于0.有如下的一個三階子式不等于零：1.矩陣的k階子式(續)2.矩陣的秩的定義定義2.9設A為m×n矩陣，如果A中有一個r階子式

不等于0，且它的所有r+1階子式（如果存在的話）都等于0，那么，

稱為矩陣A的最高階非零子式，數r

稱為矩陣A的秩，記作R(A).規定零矩陣的秩為0.注：

當R(A)=min(m,n),稱矩陣A為滿秩矩陣，否則稱A為降秩矩陣.矩陣A的一個3階子式矩陣A的2

階子式

如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個3

階子式也等于零．2.矩陣的秩的定義(續)2.矩陣的秩的定義(續)注：

根據行列式按行(列)展開法則可知，矩陣A中任何一個r+2階子式(如果存在的話)都可以用r+1階子式來表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有

r+2階子式也都等于零．事實上，所有高于r+1階的子式(如果存在的話)也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數．A的最高階非零子式不一定唯一，但它的階數是唯一的.故.3.例1

解：在矩陣A中，顯然有一個2階子式

例1

求矩陣的秩.而A的三階子式只有一個，就是|A|，但4.矩陣秩的性質

(3)

.

(2)若矩陣A的所有t階子式都為零，則R(A)≤t.(6)n階矩陣A可逆的充分必要條件是R(A)=n.

(5)

(1)若矩陣A中有一個r階子式不為零，則R(A)≥r.

(4)

(7)

.矩陣A

的一個2

階子式矩陣AT

的一個2

階子式AT

的子式與A

的子式對應相等，從而R(AT)=R(A)．4.矩陣秩的性質(續)4.矩陣秩的性質(續)

(8)

.

證明：不妨設A，B為m×n矩陣，有初等列變換于是有

(9)若A為m×n矩陣，P為m階可逆矩陣，Q為n階可逆矩陣，則有R(PAQ)=R(A)

.即用可逆矩陣乘某矩陣，不改變該矩陣的秩.證明略.例2

求矩陣A

和B

的秩，其中

解：在A

中，2階子式．A

的

3階子式只有一個，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2

．5.例2例2

求矩陣A

和B

的秩，其中解(續)：B是一個行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個非零元為對角元的3階子式,因此

R(B)=

3

．還存在其它3階非零子式嗎？5.例2(續)解（續）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結論2：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數．結論1：例2中3階子式不唯一，但是其階數是唯一的．例2

求矩陣A

和B

的秩，其中5.例2(續)6.矩陣秩的求法引例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3

階子式共有(個)，要從40個子式中找出一個非零子式是比較麻煩的．一般的矩陣，當行數和列數較高時，按定義求秩是很麻煩的.行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數.一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.兩個等價的矩陣的秩是否相等？6.矩陣秩的求法(續)6.矩陣秩的求法(續)定理2.10若A~B，則R(A)=R(B).

應用：根據這一定理，求矩陣的秩，只要用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是該矩陣的秩．7.例3例3求矩陣的秩，并寫出這個矩陣的一個最高階非零子式.

解：對A作初等行變換如下：7.例3(續)由于矩陣B是行階梯形矩陣，且其第四行元素全為零，所以R(B)=3.由定理2.10可知R(A)=3．7.例3(續)下面求A的一個最高階非零子式．由R(A)=3可知，A的最高階非零子式是3階的，而A的3階子式有個，如何找呢？考察B的第1、2、4列，記為顯然，．7.例3(續)對應地，記A的第1、2、4列為顯然，是由進行初等行變換得到的，與等價，于是即中必有3階非零子式．計算的前三行構成的子式7.例3(續)上述子式便是A

的一個最高階非零子式.8.例4

例4設，已知，求.

解：因為，所以8.例4(續)即9.例5

例5

設，求