導數的概念及其意義【八大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第二冊（原卷版）

專題5.1導數的概念及其意義【八大題型】

【人教A版（2019）］

>題型梳理

【題型1瞬時速度、平均速度1.........................................................................................................................2

【題型2平均變化率、瞬時變化率】.............................................................2

【題型3利用導數的定義解題】..................................................................3

【題型4求曲線切線的斜率（傾斜角）】.........................................................4

【題型5已知切線（斜率）求參數】.............................................................4

【題型6求在曲線上一點的切線方程、過一點的曲線方程】........................................5

【題型7函數圖象與導函數的關系】.............................................................5

【題型8兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】.............................................6

A舉一反三

【知識點1導數的概念】

i.瞬時速度

（1）平均速度

設物體的運動規律是s=s⑺，則物體在，。到"+△/這段時間內的平均速度為2>50°+T一

（2）瞬時速度

①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當△，無限趨近于。時.，/無限趨近于某個常數V,我們就說當△/趨近于。時，令的極限

是，入這時V就是物體在i時的瞬時速度，即瞬時速度v=lim組=lim一$（，。）.

A/TOA/A/TO

2.拋物線切線的斜率

⑴拋物線割線的斜率

設二次函數），=危），則拋物線上過點尸o（右,/（x。））、P（x°+Aa/（x0+?））的割線的斜率為孚=

/（凡+Ax）—/（Xo）

（2）拋物線切線的斜率

一般地，在二次函數產/㈤中，當無限趨近于。時，圖無限趨近于某個常數上我們就說當Ax趨

近于0時，會的極限是我，這時左就是拋物線在點凡G。，/*。））處切線的斜率，即切線的斜率氣im0%=

lim/（X。+&）-））

△x

3.函數的平均變化率

函數平均變化率的定義

對于函數產心），設自變量x從幾變化到xo+4x,相應地，函數值y就從.”。）變化到於W）.這時，x

的變化量為Ax,y的變化量為.我們把比值磐，即磐:/（.+,）一〃x。）叫做函數

）可＞）從.“到x0+Ax的平均變化率.

【題型1瞬時速度、平均速度】

［例1］（23-24高二下?安徽合肥,期末）若質點A運動的位移S（單位：m）與時間￡（單位：s；之間的函數

關系是SQ）=—久￡＞1）,那么該質點在t=3s時的瞬時速度和從t=1s到t=3s這兩秒內的平均速度分別

為（）

2222r22門22

AA.——，一BD.一,一C.一,——D.一,一

39399393

【變式1-1］（23-24高二下?福建廈門?期中）如果質點力運動的位移S（單位：m）與時間￡（單位：s）之間

的函數關系是S（t）=-?，那么該質點在t=3s時的瞬時速度為：）

A.B.；C.-9D.I

3399

【變式1-2］（23-24高二下.重慶.期中）某物體的運動方程為s（￡）=4尸+2（位移單位：m,時間單位：s）,

若廿二limS（3+A：）Y3）=24m/s,則下列說法中正確的是（）

△18At

A.24m/s是物體從開始到3s這段時間內的平均速度

B.24m/s是物體從3s到（3+At）s這段時間內的速度

C.24m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度

D.24m/s是物體從3s到（3+股）s這段時間內的平均速度

【變式1-3］（23-24高二下?江蘇.階段練習）如果說某物體做直線運動的時間與距離滿足s（t）=2（1-￡＞，

則其在￡=0.5時的瞬時速度為（）

A.4B.-4C.4.8D.-2

【題型2平均變化率、瞬時變化率】

【例2】（23-24高二下.福建龍巖期中）若函數/（%）=/一無，則函數/（幻從％=1到無=3的平均變化率為

（）

A.6B.3C.2D.1

【變式2-1］（23-24高二下?浙江嘉興?期中）函數/（%）=/在x=2處的瞬時變化率為（）

A.-2B.2C.4D.-4

【變式2-2］（23-24高二下?北京海淀?期末）下列函數中，在區間上的平均變化率最大的時（）

A.y=x2B.y=x3C.y=D.y=2X

【變式2-3］（23-24高三上?云南楚雄.期末）已知某容器的高度為20cm,現在向容器內注入液體，且容器

內液體的高度〃（單位：cm）與時間，（單位：s）的函數關系式為h=1￡3+亡2,當￡=給時，液體上升高度

的瞬時變化率為3cm/s,則當t=s+l時，液體上升高度的瞬時變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【題型3利用導數的定義解題】

【例3】（23-24高二下?河南?期中）若尸⑵=4,則lim>+37（2-3=（）

'AXTOAX

A.2B.4C.6D.8

【變式3-1］（23-24高二下?江西萍鄉?期中）設/（x）在R上的導函數為廣（幻，若lim--丁⑶=?,貝”,3）=

△x-?03AX

（）

A.-2B.2C.-6D.6

【變式3-2］（23-24高二下?河北保定?期末）若曲線y=fM在％=1處的切線的斜率為一3,則

lim"53=（）

△XTO

A.-6B.--C.-D.6

22

【變式3-3］（23-24高二下?甘肅蘭州?期中）若/?（x）=lnx+%3,則］舊3^112=（）

,AXTO2Ax

A.1B.2C.-D.8

2

【知識點2導數的幾何意義】

1.函數在某點處的導數的幾何意義

（1）切線的定義

在曲線7=式￥）上任取一點。（兀"）），如果當點。（力U））沿著曲線產/U）無限趨近于點名（.次4.％））時，割線

吊尸無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線吊了"是直線4r上的一點）稱為曲線產心）在點?處

的切線X。.

（2）函數在某點處的導數的幾何意義

函數產/U）在處的導數八Xo）就是切線尸"的斜率〃0,即ko=lim/（X。+與?―/（與）=f（x0）.這

就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y—/（見）=/'（凡）（x—x。）.

2.導函數的定義

從求函數月"）在尸X。處導數的過程可以看到，當尸X。時.，/（.%）是一個唯一確定的數.這樣，當X變化

時,），于㈤就是工的函數，我們稱它為產"）的導函數（簡稱導數）.產/U）的導函數有時也記作y,即/（工尸產lim

Ar-＞（

/（■TO+AX）-/（XO）

At

【題型4求曲線切線的斜率（傾斜角）】

【例4】（23-24高二下湖北武漢?期末）設/（均是可導函數，且盤工"“3；：）一/⑴=2,則/⑴在x=l處的

切線的斜率等于（）

A.2B-IC.-1D.-2

【變式4-1】（23-24高二下?全國,課后作業）曲線/'（%）=:在點（3,3）處的切線的傾斜角a等于（)

A.45°B.60°C.135°D.120°

【變式4-2］（23-24高二下?河南南陽?期中）函數y=/（幻的圖象如圖所示，下列關系正確的是（）

A.0<r(4)<r(5)</(5)-/(4)

B.0<f(4)</(5)-/(4)<r(5)

C.0<f(5)</(5)-/(4)<f(4)

D.0</(5)-/(4)<f(5)<r(4)

【變式4-3］（23-24高二下?廣東中山,階段練習）設/'（%）為可導函數，且滿足如⑶=2,則曲線

y=/（%）在點（3,/（3））處的切線的斜率是（）

A.6B.2C.3D.-

3

【題型5已知切線（斜率）求參數】

【例5】（2024.山西?模擬預測）已知函數/'（%）=（%—a）（x—2）（%—3）（%-4）,若/'（%）的圖象在％=2處的

切線方程為y=6x+b,則Q+b=()

A.-11B.-12C.-13D.-14

【變式5-1］（23-24高二下?福建寧德?期末）已知函數/Xx）在點》=一1處的切線方程為％+丫-1=0,則

f（-1）+/（-1）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式5-2］（23-24高三上?遼寧葫蘆島?期末）已知直線、=QX—1與曲線y=?相切，貝b的值為（）

A.1B.-C.D.2e2

e4

【變式5-3］（23-24高二上?江蘇,課前預習）若更線y=（x+b是曲線y=lnx（x>0）的一條切線，則實

數b的值為（）

A.4B.In4+1

C.In4-1D.In4

【題型6求在曲線上一點的切線方程、過一點的曲線方程】

【例6】（23-24高二下?甘肅臨夏?期末）曲線y=lnx在點（c,l）處的切線方程為（）

A.y=ex-2B.y=）C.y=ex—e2+1D.y=-x4-1

【變式6-1］（24-25高三上?湖南永州?開學考試）函數/⑺二爐+5無在點（1」）處的切線方程是（）

A.3x—y—2=0B.2x—y—2=0

C.3x+y—2=0D.2x+y-2=0

【變式6-2］（2024.新疆.二模）過點（1,4）且與曲線/（%）=/+%+2相切的直線方程為（）

A.4x—y=0B.7x—4y4-9=0

C.4X-y=0或7x-4y+9=0D.4%-y=0或4%-7y+24=0

【變式6-3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知函數/'（力=產-（3+］.一9,則函數在％=1處的切線

方程是（）

Q79Q47

A.y=-x-9B.y=19%—19C.y=19x——D.y=-x4-y

【題型7函數圖象與導函數的關系】

【例7】（23-24高二下?吉林?階段練習）已知函數/（幻的部分圖象如圖所示，（（x）為f（幻的導函數，則

（）

A./（I）-/（o）＞r（i）＞八o）B.r（i）＞/（0）＞/（i）-/（o）

c.rm＞/（D-/（o）＞r（i）D.一⑴〉f⑴-/（o）＞/（0）

【變式7-1］（23-24高二下?新疆烏魯木齊?期中）函數/（切的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（）

A.0<f(1)<f(2)<f(2)-/(l)B.0<f(2)</(2)-/-(l)<r(l)

C.o<f(2)<r(l)<f(2)-/(l)D.0<f(2)-f(l)<f(l)<f(2)

【變式7-2](2024?福建泉州?模擬預測)如圖是函數/'(%)的部分圖象，記/■(%)的導數為，(>),則下列選項

中值最大的是()

A./⑶B.3/⑶C./（-14）D.尸（8）

【變式7-3］（23-24高二下.江西上饒.階段練習）函數/（%