2026年高考數學一輪復習：第五章 平面向量與復數 綜合訓練學生版+解析

第五章平面向量與復數

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1-i

1.己知i為虛數單位，復數z==,則z的共輾復數[=()

2+21

A11-I1.「1.cL

A.------1nB.—+—iC.—iD.--1

222222

2.已知向量a=(0,l)/=(2,x),若〃_L(Z?-4a),則％=()

A.-2B.-IC.1D.2

3.已知復數z滿足i.z+2=2i,則|z|二()

A.&B,2&C.4D.8

4.在VABC中，點。在8C邊上，月.53O=2BC，則()

__9__3__.39

A.AD=-A13+-ACB.AD=-AB+-AC

5555

2112

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

3333

5.已知2-i是關于x的方程f+〃a+5=0在復數范圍內的一個艱，則實數加=()

A.4B.-4C.2D.-2

6.1新情境|任何一個復數z=a-歷(其中mi為虛數單位)都可以表示成z=r(cosO+isin0(其

中/?tO,的形式，通常稱之為復數z的三角形式，法國數學家棣莫弗發現

[r(8s6+isine)了=r"(cos〃e+isinM(〃wN),我們稱這個結論為棣莫弗定理.若復數

卜in詈—icos割”(mwN)為純虛數，則正整數，”的最小值為()

A.4B.6C.8D.10

7.已知復數z滿足|z+2-i|=手：則|z|的取值范圍為()

A.悸手|B.母同C.同D.[75,275]

8.1新考法J對任意兩個非零向量機，〃，定義新運算:m十〃=（"?，，。表小向量m?n的夾

角.若非零向量4，〃滿足,卜慟，向量〃，0的夾角Oe（間，且a十/;和十a都是集合<xx=?wZ.中

的元素，則〃十。的取值集合為（〉

A.{1}B.*1,-?C.丘,2，D.<I,］；,

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數4=4—3i,z?=2+i,則（）

A.Z1-z2=11-2iB.|Z2|=5

C.Z1+z?的虛部為一2D.4-Z2在復平面內對應的點位于第二象限

10.若向量“，〃滿足卜，卜M=?，1"+）=，則（）

JF1

A.a與的夾角為力B.ab=-

62

C.al（a-b）D.。_力在力上的投影向量為一夕

II.如圖，直線《/%，點A是乙，，2之間的一個定點，點A到4，4的距離分別為1和2.點B是直線4上

一個動點，過點A作4C_L人B,交直線4于點C,點G滿足GA+G8+GCH），則（）

A.AG=g（A8+AC）B./XGAB面積的最小值是：

C.\AG\>\D.G4G8存在最小值

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數z=l—i（i為虛數單位），則|3z-司=.

13.若兩個非零向量〃，力滿足卜+〃卜卜-可=2同，則向量力/,與石M的夾角是

14.已知VA8C,A5=4,AC=2,ZBAC=60°.則BC=；若BC邊上一動點F,則AFAB的最小

值為?

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.設〃?GR,復數z=3〃/一25一1+(2/〃一l)i.

(1)若復數z+/w-1-加是純虛數，求實數m的值;

(2)若發數z在復平面內對應的點位于第二象限，求實數m的取值范圍.

16.已知向量a,〃的夾角為45。，且滿足M=0,忖=2.

⑴求向量。在向量a+b上的投影數量：

⑵若向量2〃-①與向量4+2〃共線，求上的值.

17.如圖，在△043中，已知M為線段A3上的一點，OM=xOA+yOB.

(2)若BM=2M4，|O4|=2,|的=1,且04與0B的夾角為60“時，求OMA8的值.

18.”新考法|如圖所示,在VABC中，AB=2,AC=4,NR4C=120。，BD=2DA，CE=2EB.

⑴求的值.

⑵線段/3C上是否存在一點尸，使得C力_L/AP?若存在，求學的值；若不存在，說明理由.

Co

(3)若。是VA8C內一點，且滿足。C+2O8+〃Q4=0(meR),求0人.℃+20八08的最小值.

19.對于一組向量4，%,。3,…，4”(且"?23)，令+am,如果存在

a/pe{1,2,3,?,〃")，使得辰卜黑-/，那么稱是該向量組的“I向量

⑴若""{sin三,cos￡^,〃wN'，〃之1,則向量組/生，％，…，《,+；(注N)是否存在“1向量”?若存在，求出

“1向量若不存在,請說明理由;

(2)已知%均是向量組4，%,%的“1向量”，其中4=(siar,co&v),電=(2cosx,2sinx).設在平面直角坐標

系中有一點列/，々，…/(^N且年4)滿足：［為坐標原點，片鳥=4,且七+I(AGN,AN1)與，關于

點A對稱，占.2與匕』關于點6對稱，求|當25七26|的最大值.

第五章平面向量與復數

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.己知i為虛數單位，復數2=獸，則z的共規復數三=()

2+21

A11.11.廠1?1.

A.-------1BD.—+—?C.—iD.——1

222222

【答案】C

【分析】利用復數的乘法及除法運算化簡復數z,再根據共扼復數定義判斷即可.

【詳解】因為2=島=可喘用=-亂

-1

所以z=！.

2

故選：C.

2.已知向量a=(0,l),力=(2,幻，若力_L(b—4a),則-=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據向量垂直的坐標運算可求x的值.

【詳解】因為甸，所以小伍-4〃)=0,

所以一4a./?=()即4+丁-4x=0，故x=2,

故選：D.

3.已知復數z滿足i.z+2=2i,則Iz=()

A.8B,2X/2C.4D.8

【答案】B

【分析】先求出復數z,再根據復數模的公式即可求出.

【詳解】由i-z+2=2i可得，z==a=2+2i,所以以|="行=2&,

故選:B.

4.在VA3C中，點。在8c邊上，且5。。=24。，則()

—2—3—?32

A.AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

5555

.2-1-1-2

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB+-AC

3333

【答案】B

【分析】由向量的線性運算即可求解.

【詳解】如圖，AD=AB-￥BD=AB+-BC=AB+-[AC-AB^=-AB+-AC.

5555

故選：B.

5.已知2-i是關于x的方程吠+5=0在復數范圍內的一個艱，則實數〃?=()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【分析】利用一元二次方程兩虛根共扼，得到方程另一根，最后利用韋達定理得到答案

[詳解]2-i是方程x2+mr+5=0的一個根.2+i是方程x2+儂+5=0的另一個根.

則由韋達定理得：X+QuT〃nZ+i+Z-iuT“，解得：/??=-4

故選：B

6.”新情境|任何一個復數z=a+〃i(其中小bsR,i為虛數單位)都可以表示成z=r(cose+isin。)(其

中,20,6wR)的形式，通常稱之為復數z的三角形式，法國數學家棣莫弗發現

[)?(cose+isin。)]"'(cos,?。*isin/⑼eN'),我們稱這個結論為楝莫弗定理.若復數

.11兀.5兀、"'

-sin-------icos一(mcN)為純虛數，則正整數〃，的最小值為()

88)

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】根據復數新定義計算，再結合純虛數定義列式求解.

［詳解］-sin^-icos^=sin7T冗冗了..乃

-1COS—+—=cos—+isin—,

OO8(28；88

由棣莫弗定理可得(一sinUX-icos紅］=cos—+isin—nur..mjr

=cos-----i-isin—，

\88J88)88

.iu.54yM

因為復數-sin------icos——(〃?eN)為純虛數,

88)

LL1tttlTTcr-|?ftlTTcH17T7t..__,0，c..

所以cos-^-=。：I.sin-^-kO,filrkl——=—+?kwZ,得，〃=4+8攵，kwZ、

8882

所以正整數機的最小值為4.

故選：A.

7.已知復數z滿足|z+2-i|=@,則忖的取值范圍為()

2

【答案】A

【分析】根據復數的幾何意義以及模長，可得對應點的凱跡，根據圓外一點到圓上點的距離，可得答案.

【詳解】由|z+2-4=4，可知在復平面內z對應點在以(-2,1)為圓心，多為半徑的圓上，

由|z|可表示為復數Z對■應的點到復平面原點的距離，且［(—2)2+12=有,

則行—手工上花石+岑，所以目的取值范圍為當當?

故選：A.

"sin

8.|對任意兩個非零向量加，〃，定義新運算："儂〃=(也”表示向量〃7，〃的夾

角.若非零向量〃，〃滿足何訓，向量》的夾角。《嗚)，旦和〃十a都是集合卜x="eZ中

的元素，則〃十〃的取值集合為()

A.{1}B.同C.{川D.［弓2,

【答案】A

【分析】根據向量的新定義結合向量的數量積運算、三角函數的取值范圍即可得a的取值集合.

【詳解】依題意，匕十”普土而忖訓行危}則0<*1,o—in。考，

于是0〈人十a<立，顯然存在&cZ,。十〃=3,則0<&<把，

2222

因此4=i，則一二2sin8,

b

顯然2sin〃>l,BPsin^>-,

2

i同asin0（i3、

從而±<sin夕〈土，因此。十b=-,------=2sin2^e,

22\b\U2）

乂存在&wZ,使得a十力=當，即！<。<二，解得1<&<3,則L=2,

2222

所以a?方的取值集合為{1}.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知兔數4=4—3i，4=2+i,則（）

A.z,-z2=11-2iB.\Z2\=5

C.4+4的虛部為_2D.4-Z2在復平面內對應的點位于第二象限

【答案】ABC

【分析】根據復數的乘法計算臼〃2,判斷A的真假，根據復數的模的概念判斷B的真假，計算4+4,根

據虛部的概念判斷C的真假，計算4-Z2,根據復數的幾何意義判斷D的真假.

【詳解】對A：因為4?22=（4-3）（2+。=8+小一日一玉2=11-2"故A正確；

對B：因為.|="喬=］，故B正確；

對C：因為4+22=（4-3。+（2+刊=6-2，所以4+22的虛部為一2,故C正確；

對D：z1-z2=（4-3i）-（2+i）=2-4i,所以z1-z?在兔平面內對應的點（2,-4）位于第四象限，故D錯誤.

故選：ABC

10.若向量〃，〃滿足,卜,卜?,卜+^=6,則（）

7T--1

A.a與〃的夾角為二B.。山=7

62

C.al（a-b）D.〃在b上的投影向量為一:〃

【答案】BD

【分析】由已知可得。力=g可判斷B；利用向量的夾角公式求解可判斷A；求得（。叫電可判斷C；利用

投影向量的定義求解可判斷D.

【詳解】因為卜百，所以）+2〃3+。2=3，又卜卜|〃卜1.

所以『+2.力+|2=3，所以故B正確;

所以cos（〃,?=前=；,乂0%,/兀，所以??=方，故A錯誤；

????211

a（a-b）=a-ab=l--=-^O;所以a與力不垂直，故C錯誤；

因為（。一匕”:〃6一/=一：,

（a-h]h1

所以a-b在》上的投影向最為，L—?b=--b

H

故選：BD.

11.如圖，直線右/〃2,點人是J，2之間的一個定點，點A到心，2的距離分別為I和2.點8是直線，2上

一個動點，過點A作AC_LA6,交直線4于點C,點G滿足GA+G8+GC=0，則（）

2

B./XGAB面積的最小值是,

c.|AG|>ID.GAGZT存在最小值

【答案】ABC

【分析】根據直角坐標系，設出C（科3）,8（〃,0）,G（x,），），根據AC_L/W及G4+G/3+GC=0,即可找

到三個點的坐標關系，分別寫出AG，!（AB+AC）,即可判斷A；取A8中點為廣，連接C尸，根據

GA+GB+GC=O,可得GC/三點共線，且G為CF靠近產的三等分點，即可找到aGAB面積與VABC面

積之間比例關系，進而建立△G4B面積等式，根據基本不等式即可判斷B；求出k耳,再根據基本不等式

可判斷C；寫出GA-GB進行化簡，根據川的范圍即可得到G4G/3的最值情況判斷D.

【詳解】設A8中點為f，連接CF.

以。為原點，OE方向分別為軸建立如圖所示的直角坐標系,

則人（0,2）,E（0,3）?設。（n3）,G（x,y）,eR,且利,，?不0,

所以4c=G%1),AB=(〃,一2),因為AC_LAA,所以ACA5=0,

即"〃z—2=0,故〃=2,即42,o],

mkmJ

所以GA=(-x,2-y),G8=，一貓一y),GC=(/??-x,3-y),

因為GA+GB+GC=0，

2

-+m

2

一+tn-3x=0x=^—

所以《m，即《3

5-3y=05

y=-

3

2

—+m

1

AB+AC)=m___,故AG=；(A8+4C),A正確;

亍3

因為G4+GA+G6=0，所以GC=-（GA+G8）,即GC=-2G產，

所以GC,尸三點共線，且G為CF靠近廣的三等分點，

所以S.G"=gSA.=[JAC,A'=：g+4=；

二施+持242卜.+2吾，

當且僅當加S=」T，即加=±1時取等，故B正確;

nr

21

1—卜mi

因為AG=a（A8+AC）=,

JJJ

所以,G

當且僅當*=一即加=±3時取等,故國“C正確;

(2}4

+〃2.----m

5

因為G4=-^―-,GB=J

333

—+m----rn2828

Kr；i.i〃mJm----24

7外以GrAA，Gm6一-—一?；——----_nr5_tn---t-)r/

53y--------------------------------------

999

\7\/

因為〃JwR且mwO,所以〃廣〉。，

QQ

iLif(x)=x---7,x>0,由函數y=x和)，=在(0,+8)上遞增，

XX

“『知/(x)在(0,+8)I:單調遞增，沒有最值，即G4-GB沒有最值，故D錯誤.

故選：ABC

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數z=l—i(i為虛數單位)，貝中z-司二.

【答案】2石

【分析】由共挽復數的概念、復數減法以及模的計算公式求解即可.

【詳解】已知復數z=l—i,則|3z-2|=|3(l-i)-(l+i)|=|2-4i|="T而=2行.

故答案為：2小.

13.若兩個非零向量“，力滿足卜+可=k一可=2同，則向量a+r與d-b的夾角是

【答案】y/120

【詳解】由,+.=,/可得力=0，

由卜+。|=2問平方可得力’=31，

(a+/?)?(〃一力)一忖=-2|t/|',

因此”+禍叫y；)

由+兒4一力)￡[0,兀],故，/+6,白一〃)=T

故答案為：—

14.已知VA8C,A8=4,AC=2,NAAC=60°.則8C=；若8c邊上一動點F,則AFM8的最小

值為?

【答案】2百4

【分析】利用余弦定理求出4c.設所=/8C(0WYl),利用向量線性運算得A/=L4C+(1T)A8,然后利

用數量積的運算律得，結合一次函數性質求解最小俏即可.

【詳解】A8=4.AC=2,㈤C=60。，

所以BC=y/AI32+AC2-2ABACcos60=46+4-8=26?

設跖=幽(0缸1),

則從尸=48+8尸=人8+/5。=48+?4。一48)=^4。+(1—1)48,

所以4p.AB=[/AC+(l—/)AB14B=/ACA8+(l—/)A//

2

=rx2x4xl+(l-r)x4=16-12z,

因為OWfKl,所以44A戶A3G6，即A/7A3的最小值為4.

故答案為：26；4.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.設"蚱R,復數z=3〃?2—2〃?-1+(2〃?-l)i.

⑴若復數z+m-1-加是純虛數.求實數m的值：

(2)若復數z在復平面內對應的點位于第二象限，求實數，〃的取值范圍.

【答案】⑴一：2

⑵聲)

【分析】(1)根據純虛數的概念列出方程求解即可；

(2)根據復數對應的點在第二象限，列出不等式組求解.

【詳解】(1)z+m-l-mi=3/7z2-2m—i+(2m-l)i+m-l-mi=3m2-m-2+(m-V)i,

J2a。八

又復數z+,〃-1-，歷是純虛數，所以、'〃「〃："=，

m-\/0

2

解得加=_'

(2)復數z在復平面內對應的點為(3療-2m-1,2m-1),

3W2-2/77-I<0,

又兔數Z在更平面內對應的點位于第二象限，所以

2m-1>0,

解得;＜機＜1,即實數/〃的取值范圍是（；」）.

16.已知向量〃，8的夾角為45。，且滿足悶=&,|可=2.

⑴求向量a在向量a+8上的投影數最；

⑵若向量2〃-妨與向量〃+2〃共線，求出的值.

【答案】（1）等

⑵k=T

【分析】（1）首先根據數最積的定義求出a-b，然后求出卜+。，最后帶入投影數最公式進行計算即可;

（2）由共線設2a-姑=義（〃+23，再根據平面向量基本定理列方程求解.

【詳解】（I）因為|4=3,仰=2,且向量〃與〃的夾角為45。，

所以〃.〃=同上際45。=2,

所以,+.=^a'+b~+2ab=＞/10.

/\a（a+b\??2\/K）

所以向最a在向量“+）上的投影數量為同伸卜,〃+與=一^才=方+=比一

（2）若向量2a-妨與向量a+2〃共線，則存在實數;I,使2a-姑=%（〃+2））=%+2勸，

一[2=2

所以,一，解得A=T.

\-K=2A.

17.如圖，在△044中，已知M為線段4?上的一點，OM=xQ4+yO8.

（2）若BM=2M4，|。八|=2,|。0=1,且OA與08的夾角為60“時，求OM4B的值.

【答案】（1）證明見解析

Q）-2

【分析】（1）設8M=/MA，再將和AM轉化成OM,04,08,即可得證；

21T_,___

（2）由（1）的結論可知+再將A8轉化成人和。九即可求出OM-A4.

【詳解】（I）如圖所示:

設8"=/加4(/>0),則8O+OM=/(MO+QA),

可化簡為（1十/）OM=03十/Q4,

所以OM=-LOB+—OA,

\+tl+r

因為OM=X0A+)C8.

“一t1

所以-,y=--

1+r1+r

所以x+y=l,所以（1）得證;

____一0.1一

（2）因為8W=2M4，由（1）的結論易知OW=1。4+3。8,

又A4=A0+04，所以0MAB=(|0A+g0B>(40+0B

221)

=——OA+-OB+-OAOB

333

2I1

=——x22+-xl2+-x2x1xcos60°=-2.

333

18.*新考法|如圖所示，在VA6C中，/3=2，AC=4,ZfiAC=120",BD=2DA，CE=2EB-

⑴求AECO的值.

（2）線段BC上是否存在一點P,使得C￡）_LA尸？若存在，求名的值：若不存在，說明理由.

⑶若0是YABC內一點，且滿足。。+20B+mOA=0（/??eR）,求。voc+2OA.08的最小值.

【答案】⑴-三20

CP13

（2）存在,

CB17

⑶一

【分析】（1）應用向量的加減法轉化向量的數量稅即可;

(2)應用向量的數量積表示向量的垂直計算求參；

(3)由已知得出0,4E三點共線，再結合基本不等式求出最小值即可.

11一.21

【詳解】(1)AE=AB+BE=A8+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

3333

CD=AD-AC=-AB-AC,

3

AAECD=^AB^AC《AB—Ac]

oum25umuimimm2?5i1620

=-AB--AB?AC-AC=-?4二倉企4?----=-----

9939923------9

⑵設CP=/IC8，

”=AC+b，

LUUIHMIULIIRM1IILUIUHIIKll5?1

\AP=AC+ICB=AC+I(AB-AC)=IAB+(1-/)AC，

CDA.AP,:.CDAP=O>

4413

=-2-16+162--+—2=0,解得幾=上，

33317

???存在?點尸，使得CD_LA尸，mCP=1"3.

C151/

2I

(3)AE=-AB+-AC,

33

.?J441?_2I…A_1616c2/r116

..AE=—A6+—AC-+2x-x—xAB,AQ-=—+——2x-x4x2x-=—,

993399929

二網4

LU.M1IKUIMr

QOC+2OB+mOA=0(w?R)，

liaiULMlUUUIKIULI1

\OE+EC+2(OE+EB)+mOA=0，

uuuuimuuuui

\3OE+EC+2EB+mOA=0，

uuuuur、八4c一?/K

\3OE+mOA=0，/.mOA=-3OE>\。45一點共線，

當且僅當|o目二卜;時，即0為AE中點時等號成立,

ULTULHULI'ULULU'ULIDUUflULT，

而OA?OC2OA2OB047(002OB)=-mOA?

4

所以OA-OC+2OA-013的最小值為一§.

19.1^^^^對于1組向量。］,,,%一.”明(〃7￡^^且〃此3)，令5?,=6+%+4+am?如果存在

a/〃e{123,“〃}),使得反上鼠一瑪那么稱盤是該向量組的、向量”.

.nitnit

⑴若4=sin——,cos——,〃cN,//>1?則向量組對生，％，…Mi+3(iwN)是否存在“1向品”?若存在，求出

22

“1向量''；若不存在，請說明理由;

⑵已知均是向量組4，%，％的力向量”，其中a\=(siav,cosx),生=(2cosx,2sinx).設在平面直角坐標

系中有一點列7…且壯4)滿足：片為坐標原點，他=%，且%+i(〃eNK8)與匕關于

點尸］對稱，￡*.2與巴關于點6對稱，求|巴025巴026|的最大值.

【答案】(1)存在，,+2(iwN?)

(2)12144

【分析】(1)法1:先判定向量組泉4,…,%+；以4為周期，進而Sg3=(0,T)，然后根據“1向量”驗證判

斷即可；法2：先求出向量模長，再根據"1向量''的定義列出不等式，結合三角函數的值域求解.

(2)根據“1向量”的定義及數量積的運算律得生2+%|.《+生，同理生22。：+2693+%二

a3%a；+2%.a；+%。相加變形得q+%+&=0，則%=(-sinx-2cosx,Yosx-2sinx),設夕(匕,》),由條

件列式變形得七.武