八年級數學下學期期中學情自測-培優卷（北師大版第1章-第4章）

八年級數學下學期期中學情自測?培優卷

【新教材北師大版】

時間：120分鐘滿分：120分測試范圍：第I章三角形的證明及其應用~第4章因式分解

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題，滿分120分，限時120分鐘.本卷題型針對性較高，根蓋

面廣，選題有深度，可量化學生的掌握程度!

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（25-26九年級上?浙江臺州?期末）巴黎奧運會項目圖標傳遞“榮譽徽章”理念，下列圖標中，是中心對稱

圖形的為（）

2.（25-26八年級上?福建泉州?期末）下列各等式中，從左到右的變形是因式分解且分解正確的是（）

A.(a4-b)(a-b)=a2-b2B.a2+2a+1=a(a+2)+1

C.x2-2xy卜y2=(x4y)2D.x(x4-2)-(x42)=(x-l)(x42)

3.（25-26八年級上.浙江紹興.期末）若QVb,則下列不等式變形正確的是（)

A.u+1</?—1B.—a<-bUT+"T+bD-

4.（25-26八年級上?江蘇揚州?期末）如圖，在a/IBC中，已知點。、E、尸分別為邊BC、AD.CE的中點,

且A48C的面積為8cm2,則陰影部分面積等于（）

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

5.若一個三角形的兩邊長分別是7,14,則它的第三邊長不可?能是（）

A.8B.12C.15D.21

X-2

無解，則”的取值范圍是（）

{x—1>

A.m>1B.m>1C.m<1D.m<1

7.（25-26八年級上?湖北恩施?期末）某課外密碼研究小組接收到一條密文：8x（7n2-n2）-8y（m2-n2）.已

知密碼手冊的部分信息如下表所示：

密文???77i-nm+nx-yx+y8X???

明文???恩愛施美我麗??.

把密文8x（評一九2）-8丫（降-九2）用因式分解解碼后，明文可能是（）

A.美麗恩施B.我愛恩施C.我愛美麗D.恩愛美麗

8.（25-26八年級上?江西贛州?期末）如圖，在四邊形48C0中，48=710=12,BC=DC,LA=60°,點

E在力。上，連接BD,CE相交于點凡CEWAB.若CE=7,則CF的長為（）

A.4B.3.5C.2D.I

9.（25-26八年級下?全國?課后作業）若一個三角形的三條邊長之比為5:12:13,周長為60cm,則它的面積

為（）

A.60cm2B.80cm2C.100cm2D.120cm2

10.（25-26八年級上?天津?期末）如圖，8。是△48C的角平分線.按以下步驟作圖：①以點:A為圓心，適

當長為半徑畫弧，與邊A8相交于點E,與邊AC相交于點F；②以點C為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊BC相

交于點H；③以點，為圓心，EF長為半徑畫弧，與第②步中所面的弧相交于點G；④作射線CG,與8。相交

于點M,與邊相交于點N.則下列結論一定正確的是（）

C.CM=CDD.AD=CD

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.關于％的方程3%+。=%+7的解是正數，則a的取值范圍是.

12.（25-26九年級上?四川成都?期末）正方形I的邊長比正方形H的邊長長6cm,它們的面積相差60cnF,

則這兩個正方形的邊長之和為cm.

13.如圖，BD平分N4BC,^ADB=60°,ABDC=80°,zC=70°,則△ABD是___三角形.

14.（25-26七年級上?浙江臺州?期末）如圖，3x3網格由9個邊長為1的小正方形組成，以點D為圓心，CD

長為半徑畫圓弧交數軸于點C',則點C'表示的實數為

15.（24-25八年級上?安徽馬鞍山?期末）在4ABC^,AB=AC,點D為BC中點,如果=40°,AD=AE,

貝l」/EOC=1

16.如圖，學校4前面有一條筆直的公路，學生放學后走4氏力C兩條路可到達公路.經測量4c=30m,AB=

40m,HC=50m,現需新修建一條從學校4到公路的路，則學校4到公路的最短距離4。為.m.

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分）

17.（6分）（25-26八年級下?遼寧鞍山?開學考試）分解因式:

(1)(23+y)2—(2y+幻2

(2)(p-4)(p—1)+p

18.(6分)(24-25八年級下?陜西西安?期中)解不等式(組)：

⑵IX+2>°

R2(X+3)>5x-3,

19.(8分)如圖所示的直角坐標系中,△48。各頂點的坐標分別是4(一2,-4),8(0,—4),C(l,-1).

(1)在圖中畫出△4BC向左平移3個單位后的△4當。1；

(2)在圖中畫出△力BC繞原點。逆時針旋轉90。后的2c2；

(3)寫出當、Q的坐標.

20.(8分)(25-26八年級上.山東荷澤?期末)《義務教育語文課程標準》(2022年版)提出：初中階段

的閱讀量不少于260萬字.為此，學校圖書館計劃購置?批圖書以滿足學生的閱讀需求.如圖是長為94cm的

單格書架，在該書架上按圖示的方法撰放文學類和藝術類圖書，其中文學類圖書每本厚約1.2cm,藝術類圖

(1)若在該書架上，文學類圖書已經擺放了20本，剩余空間都擺放藝術類圖書，則藝術類圖書最多還可以擺

放多少本？

(2)現有文學類和藝術類圖書共100本放置在該書架上，根據擺放要求，藝術類圖書數量不多于文學類圖書

數量的2倍，請問有哪幾種擺放方案？

21.(10分)先閱讀材料，再回答問題:

材料：分解因式：a+1+a(a+1)+a(a+l)2

解：a+1+a(a4-1)4-a(a+l)2

=[(a+1)+a(a+1)]+a(a+lj2

=[(a+1)(1+a)]+a(a+l)2

=(a+l)24-a(a+I)2

回答問題：

(1)可料中最后一步分解因式的結果是.

(2)分解因式：a+1+a(a+1)+Q(Q++Q(Q+1)3,結果是.

(3)分解因式：a+1+a(a+1)+a(a++Q(Q+17+…+a(a+1產，結果是.

(4)若％+14-x(x+1)+x(x+1)2+...+x(x+I)5=64,則％的值為.

22.(10分)(25-26八年級上?陜西咸陽?期末)為增加趣味性，某科技館計劃展出一款恐龍互動模型(圖

1)，為避免在互動過程中模型出現關節卡頓、失衡等風險，該噗型一條大腿支架力B與小腿支架BC需滿足

互相垂直的條件，設計人員計劃利用現有支架實施固定，其示意圖如圖2所示，實際測得數據如下：AB=

8dm,BC=6dm,AC=10dm,Z.CAD=90°.

(DAB與BC垂直嗎？請說明理由：

⑵據設計人員介紹，支架的CD比4。長2dm,求支架AC的長度.

23.(12分)24-25八年級上?湖北武漢?期中)如圖，在等邊△48C中，點。為BC邊上一點，將△力8D沿/。翻

折得到△4ED,連接CE并延長，交AD的延長線于點F.

(1)求心尸的度數；

⑵過點。作OGIIAC交4?于點G,連接EG交40于點從求證：GH=DF.

（3）若AF=a,EF=b,則CE的長為（用含〃，力的式子表示）.

24.（12分）（24-25八年級上?寧夏銀川?期中）請回憶北師大版八年級上冊數學教材的部分內容，該內容

闡述了垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等；并給出了證明的方法.

圖①圖②圖③

（1）結合圖①，用幾何語言表示上述定理

幾何語言：,.二

???_（_）

（2）如圖②，在△4BC中,直線加、〃分別是邊BC、AC的垂直平分線,直線〃交于點O,過點。作OH_L48

于點從求證：AH=BH.

（3）如圖③，在A/IBC中，AB=BC,邊4B的垂直平分線交4c于點。，邊的垂直平分線交4c于點￡若

/.ABC=120°,AC=9,求DE的值是多少？

八年級數學下學期期中學情自測?培優卷

【新教材北師大版】

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（25-26九年級上?浙江臺州?期末）巴黎奧運會項目圖標傳遞“榮譽徽章”理念，下列圖標中，是中心對稱

【答案】D

【分析】根據中心對稱圖形概念：把一個圖形繞某一點旋轉180,，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重

合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據此求解即可.

【詳解】解：根據概念可知，A、B、C不是中心對稱圖形；D是中心對稱圖形.

故選：D.

2.（25-26八年級上?福建泉州?期末）下列各等式中，從左到右的變形是因式分解且分解正確的是（）

A.（a+d）（a-b）=a2-b2B.a2+2a+1=a（a+2）+1

C.x2-2xy+y2=（x+y）2D.x（x+2）-（x+2）=（x-l）（x+2）

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，根據因式分解的定義（把一個多項式化為幾個整式的積的形式），結合因

式分解的方法逐一判斷選項.

【詳解】解：，A選項是整式乘法，從整式的積化為多項式，不符合因式分解定義，錯誤：

???B選項右邊是整式與常數的和，不是整式的積的形式，不符合因式分解定義，錯誤：

???C選項中/-2xy+y2=a-y）2,原式分解錯誤，錯誤；

選項中，提取公因式（k+2）,工（才十2）—（k+2）=&+2）（x—1）=（%—1）（尤十2）,符合因式分解定義

且分解正確；

???故選：D.

3.（25-26八年級上.浙江紹興.期末）若QVb,則下列不等式變形正確的是（）

A.a+l<b—1B.-a<-bC.-l+a<—1+bD.-^<-1

【答案】C

【分析】不等式的兩邊同時加上（減去）同?個數，不等式的方向不變；不等式的兩邊同時乘以（除以）

同一個正數，不等式的方向不變：不等式的兩邊同時乘以（除以）同一個負數，不等式的方向改變.

【詳解】解：??&<》，

.-.a+Kh+l,-a>-b,-l+a<-l+b,

故只有選項C變形正確，符合題意.

4.（25-26八年級上?江蘇揚州?期木）如圖，在△4NC.中，已知點。、從卜分另1J為邊坎;、A"、C4的中點，

且AA8C的面積為8cm\則陰影部分面枳等于（）

BDC

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

【答案】B

【分析】本題主要考查了三角形的中線的性質，根據三角形的中線平分三角形的面積可得梟8履

SRBDEMQS&ABD,^ACDE=^Ai4CD?則可證明S&EBC=[Sggc，進而得到S^BEF=SMsc，據此可得答案?

【詳解】解：?.?點戶是CE的中點,

:,腔BEF=Q'ABEC，

???E是40的中點，

，

:?S&BDE=2^^ABDS^CDE=5suc。，

'SABDE+S&CDE=5sAA8D+-S&ACD=-(S^ABD+SAACD)=5sAA8c

:S&EBC-5sA/tBC，

,S^BEF=[SAABC，

vS”8c=8cm2,

:5&BEF=2cm2，即陰影部分的面積為2cm2.

故選：B.

5.若一個三角形的兩邊長分別是7,14,則它的第三邊長不可能是（）

A.8B.12C.15D.21

【答案】D

【分析】先根據定理求出第三邊長的取值范圍，再判斷哪個選項不符合范圍即可.

【詳解】解：設三角形的第三邊長為X，

???兩邊長分別為7和14,

.-.14-7<x<14+7,

即7VxV21,

第三邊長不可能是21.

'X-2

6.若關于X的不等式組無解，則”的取值范圍是（）

,X-1>4m

A.m>1B.zn>1C.m<1D.zn<1

【答案】B

【分析】先分別解不等式組中兩個不等式得到X的解集，再根據不等式組無解的條件得到關于/〃的不等式,

求解即可得到機的取值范圍.

【詳解】解：解第一個不等式詈工771

兩邊同乘3得2W3m,

移項得％<3m+2；

解第二個不等式x-1>4m,

移項得%>4m+1,

???不等式組無解，

???可得4m+1>3m+2.

解得m>1,

所以m的取值范圍是zn>1.

7.（25-26八年級上?湖北恩施?期末）某課外密碼研究小組接收到一條密文：8x（7n2-n2）-8y（m2-n2）.已

知密碼手冊的部分信息如下表所示：

密文???m-nm+nx+y8X???

明文???恩愛施美我麗??.

把密文8x（?n2一n2）-8y（m2一九與用因式分解解碼后，明文可能是（）

A.美麗恩施B.我愛恩施C.我愛美麗D.恩愛美麗

【答案】B

【分析】本題考查因式分解的應用，關鍵是熟練應用知識點解題；通過提取公因式法和平方差公式對密文

進行因式分解，再對應密碼手冊得到明文.

【洋解】解：?.?原式=8x（小一九2）一8y（而一層）

=8（x-y）（m2-n2）

=8（%-y）（m+n）（m—n）

???根據密碼手冊:8對應“我”，x-y對應“施"，m+n對應“愛”，m-n對應“恩”,

二組合后明文可能為“我愛恩施”，

故選:B.

8.（25-26八年級上?江西贛州?期末）如圖，在四邊形48co中，AB=AD=12,BC=DC,LA=60°,點

E在力。上，連接80,CE相交于點心CEWAB.若CE=7,則CF的長為（）

A

A.4B.3.5C.2D.1

【答案】C

【分析】連接4c交BD于點O,由題意可證4c垂直平分8D,LABD.△DEF是等邊三角形，△AEC是等腰

三角形可得力E=CE=7,易得EF=OE=5,再根據線段的和差計算即可.

【詳解】解：如圖：連接力C交8。于點O,

-AB=AD=12,BC=DC,/-BAD=60°,

???AC垂直平分8D,△力BD是等邊三角形，/-CAB=ACAD=\z-BAD=30°,

"ADB=60°,

?：CE\\AB,

.'.Z.8AD=乙DEF=60°,乙CAB=LCAE=Z.CAD=30。，

??.△DE"是等邊三角形，△AEC是等腰三角形，

"E=CE=7,

，EF=DE=AD-AE=12-7=5,

:.CF=CE-EF=7-5=2.

9.（25-26八年級下?全國?課后作業）若一個三角形的三條邊長之比為5:12:13,周長為60cm,則它的面積

為（）

A.60cm2B.80cm2C.100cm2D.120cm2

【答案】D

【分析】設三邊長為5%,12%,13%,根據周長求HI-再驗證是否為直角三角形，最后計算面積.

本題主要考查勾股定理的逆定理的理解與運用，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

【詳解】解；???三邊之比為5:12:13,

???設三邊分別為5xcm,12xcm,13xcm.

,??周長為60cm,

?,?5x+12x+13x=60,

???x=2.

二三邊分別為10cm,24cm,26cm.

vlO2+242=100+576=676=262,

二三角形為直角三角形，直角邊為10cm和24cm.

二面積為:x10X24=120cm2.

故選：D.

10.（25-26八年級上?天津?期末）如圖，8。是AABC的角平分線.按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適

當長為半徑畫弧，與邊相交于點E,與邊AC相交于點尸；②以點C為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊BC相

交于點H；③以點”為圓心，EF長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點G；④作射線CG,與BD相交

于點M,與邊48相交于點N.則下列結論一定正確的是（）

A.乙ABD=/.ACMB.CNLAB

C.CM=CDD.AD=CD

【答案】C

【分析】本題主要考查了尺規作圖，等角對等邊，三角形外角的性質.由作法可得：乙BCN=U,再結合

三角形外角的性質，等角對等邊解答即可.

【詳解】解：由作法得：乙BCN=LA,

"BDC=Z.A+Z.ABDf乙BCD=乙BCN+Z.ACN

根據題意無法得到乙HOC與乙BCD用等，

無法確定乙480與乙4CN的大小關系，故A選項錯誤；

根據題意無法證明OV143,故B選項錯誤；

???BD是△ABC的角平分線，

???Z.ABD=乙CBD,

：.LABD+4力=Z.CBD+BCM,

:,乙3DC=乙CMD,

：.CM=CD,故C選項正確；

根據題意無法得到4D，CD的大小關系，故D選項錯誤：

故選：C.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分)

II.關于％的方程3X+Q=X+7的解是正數，則Q的取值范圍是.

【答案】a<7

【分析】求出方程的解，根據方程的解是正數得出％=個>0,求出即可.

(詳解］解：3X+Q=X+7,

3x-x=7-a,

2x=7-a,

7-a

x=~

??,x的方程3x+a=x+7的解是正數，

:.x=>0,

解得Q<7.

12.(25-26九年級上.四川成都.期末)正方形I的邊長比正方形I【的邊長長6cm,它們的面積相差60cm

則這兩個正方形的邊長之和為cm.

【答案】10

【分析】本題考查了平方差公式因式分解，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

設正方形I的邊長為acm,正方形II的邊長為加m,根據題意得a-匕=6和小一/=60,利用平方差公式

a2-h2=(a—b)(a+b)求解.

【詳解】解：設正方形I的邊長為acm,正方形II的邊長為加m,則Q=b+6.

由面積差得。2一力2=60.

根據平方差公式,a2-b2=(a-bXa+b).

代入a—b=6,得6(a+b)=60.

所以a+/?=—=10.

6

故這兩個正方形的邊長之和為10cm

故答案為：10.

13.如圖，BD平分乙ABC,LADB=60°,LBDC=80°,zC=70°,則△ABO是___三角形.

【答案】直角

【分析】通過三角形的內角和等于180。，計算乙D8C,再利用角平分線的定義得到41BD,根據直角三角形

的判定定理即可得到答案.

【詳解】解：LDBC=180°-LBDC一乙C=30°,

???BD平分NABC,

“ABD=乙DBC=30°,

?：z.ABD+Z.ADB=90°,

是直角三角形.

14.（25-26七年級上?浙江臺州?期末）如圖，3X3網格由9個邊長為1的小正方形組成，以點。為圓心，CO

長為半徑畫圓弧交數軸于點C',則點C'表示的實數為.

【分析】本題考查了實數與數軸，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的應用.

根據勾股定理可得〃C'=DC=Vl2+Z2=瓜即可求解.

【詳解】解：由題意得，DC1=DC==V5,

???點C，表示的實數為遙，

故答案為：V5.

15.（24-25八年級上?安徽馬鞍山.期末）在4ABC^,AB=AC,點D為BC中點,如果4D=40°,AD=AE,

則/EDC=°

【答案】20

【分析】先推導出NCA。=/-BAD=40°,Zz4DC=90。,進而求出/ADE=1（180。一N/X4C）=70。,則NEDC=

/.ADC-Z-ADE=90°-70°=20°,即可解答.

【詳解】解：在△/1BC中，D為BC中點,AB=AC,4BAD=40。,BD=DC,

：,Z.CAD=乙BAD=40°,AD1BC,

：^ADC=90°,

XvAD=AE,

Z.ADE=*180。-LDAC)=70°,

???Z.EDC=/-ADC-/.ADE=90°-70°=20°.

16.如圖，學校A前面有一條筆直的公路，學生放學后走力從4C兩條路可到達公路.經測量4c=30m,AB=

40m,BC=50m,現需新修建一條從學校力到公路的路，則學校力到公路的最短距離4。為m.

b

AC

【答案】24

(分析】由勾股定理逆定理得出NBAC=90°,再根據Su.=[A。.AB=泗,AD計算即可得出結果.

【詳解】解：,??302+402=5()2,

--.AC2+AB2=BC2,

：./.BAC=90°,

-S.ABC=^AC-AB=^BCAD,

弓x30x40=1x50x/ID,

MD=24m.

三、解答題(本大題共8小題，滿分72分)

17.(6分)(25-26八年級下?遼寧鞍山?開學考試)分解因式：

(l)(2x+y)2-(2y+x)2

(2)(p-4)(p—1)+p

【答案】(l)3(x+y)a—y)

(2)(p-2)2

【分析】(1)先識別式子為平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同類項并提取公因式;

(2)先展開多項式乘積，合并同類項化簡式子，再利用完全平方公式分解因式.

【詳解】(1)解:原式=[(2%+y)+(2y+x)][(2x+y)—(2y+%)]

=(2x+y+2y+x)(2x+y-2y-x)

=(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y).

(2)解：原式=(p?-5p+4)十p

=/_5p+4+p

=p2—4p4-4

=0-2)2.

18.(6分)(24-25八年級下?陜西西安?期中)解不等式(組)：

⑵IX+2>°

口2(%+3)>5x-3,

【答案】(l)x<-1

(2)-2<x<3

【分析】(1)按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1解不等式即可

(2)先分別求出兩個不等式的解集，進一步求出公共解集，然后即可求解.

【詳解】(1)解：1一亨>3,

去分母，得2-(3%-1)>6,

去括號，得2-3%+1>6,

移項，合并同類項，得-3x>3,

化系數為1，得無<-1；

(2)1％+2>0①

(2(%+3)>5%-3②‘

解不等式①，得力>-2,

解不等式②，得％<3,

不等式組的解集為-2<%<3.

△4BC各頂點的坐標分別是4(一2,-4),5(0,-4),6(1,-1).

(1)在圖中畫出△48c向左平移3個單位后的4力津iG：

(2)在圖中畫出△ABC繞原點。逆時針旋轉90。后的△4282c2；

(3)寫出外、Q的坐標?

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

(3祝、G的坐標分別為(4,0)、(1,1)

【分析】(1)根據平移變換的性質作出對應的點，再順次連接即可得出△41&G：

(2)根據旋轉變換的性質作出對應的點，再順次連接即可得出A&82Q：

(3)根據已作的圖形進行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，81cl即為所求,

(2)解：如圖所示，△A282c2即為所求,

J，

（3）解：由作圖可得，%、Q的坐標分別為（4,0）、（1,1）.

20.（8分）（25-26八年級上.山東荷澤?期末）《義務教育語文課程標準》（2022年版）提出：初中階段

的閱讀量不少于260萬字.為此，學校圖書館計劃購置一批圖書以滿足學生的閱讀需求.如圖是長為94cm的

單格書架，在該書架上按圖示的方法擺放文學類和藝術類圖書，其中文學類圖書每本厚約1.2cm,藝術類圖

書每本厚約0.8cm.

III

III

W/

<---------94cm------------?

（1）若在該書架上，文學類圖書已經擺放了20本，剩余空間都擺放藝術類圖書，則藝術類圖書最多還可以擺

放多少本？

⑵現有文學類和藝術類圖書共100本放置在該書架上，根據擺放要求，藝術類圖書數量不多于文學類圖書

數量的2倍，請問有哪幾種擺放方案？

【答案】（1）87本

⑵共有2種擺放方案，方案1：擺放34本文學類圖書，66本藝術類圖書；方案2：擺放35本文學類圖書，

65本藝術類圖書

【分析】本題考查了一元一次不等式（組）的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，建立不等式（組）

求解.

（1）設藝術類圖書還可以擺放x本，根據文學類圖書的厚度+藝術類圖書的厚度小于等于94建立不等式求

解；

（2）設文學類圖書擺放/〃本，則藝術類圖書擺放（100-7H）本，根據題意建立不等式組求解整數解即可.

【詳解】（1）解：設藝術類圖書還可以擺放工本，根據題意得：1.2x20+0.8%W94,

解得：忘爹,

又???％為正整數，

:x=87.

???藝術類圖書最多還可以擺放87人

(2)解：設文學類圖書擺放小本，則藝術類圖書擺放(100-m)本,

根據題意得：｛12九：胃(1。。二n)三9、

解得：<w<35,

又為正整數，

???m可以為34,35,

???共有2種投放方案，

方案1：擺放34本文學類圖書，66本藝術類圖書；

方案2：擺放35本文學類圖書，65本藝術類圖書.

21.(10分)先閱讀材料，再回答問題：

材料：分解因式：a+l+a(a+l)+a(a+l)2

2

解:Q+1+a(a4-1)4-a(a+l)

=[(a+1)+a(a+1)]4-a(a+lj2

2

=[(a+1)(1+Q)]+Q(Q+l)

22

=(a+I)+Q(Q+l)

回答問題：

(1)可料中最后一步分解因式的結果是.

2

(2)分解因式：Q+1+a(a+1)+a(a+l)+a(a+1尸，結果是.

n

(3)分解因式:Q+1+Q(Q+1)+Q(a++Q(Q+1>+…+Q(Q+l),結果是

(4)若3+1+x(x+1)+x(x+1)2+...+x(x+l)5=64,則x的值為

【答案】(1)

(a+

(2)

(a+l)4

(3)

(a4-l)n+1

(4)

1

【分析】(1)提公因式即可解題；

(2)根據因式分解的方法解題即可；

(3)結合(1)(2)中的規律即可得到結論；

(4)根據(3)中的結論解方程艮]可.

223

[詳解】(1)解：(a++Q(Q+I)=(a+1)(1+a)=(a+l)；

(2)解：a+1+a(a+1)+a(a+I)2+a(a+l)3

=[a+1+a(a+1)+a(a+I)2]+a(a+l)3

-(a+l)3+a(a+l)3

=(a+1)3(1+a)

=3+1)4；

(3)解：由(1)(2)可知，

23nn+1

Q+1+a(a+1)+a(a+l)+a(a+1)+...4-a(a4-l)=(a+l)；

(4)解：x+1+x(x+1)4-x(x+1)2+...+x(x+l)5=64,

6

A(X+l)=64,

?,?%+1=2,

解得x=1.

22.(10分)(25-26八年級上?陜西咸陽?期末)為增加趣味性，某科技館計劃展出一款恐龍互動模型(圖

1),為避免在互動過程中模型出現關節卡頓、失衡等風險，該噗型一條大腿支架力B與小腿支架BC需滿足

互相垂直的條件，設計人員計劃利用現有支架實施固定，其示意圖如圖2所示，實際測得數據如下：AB=

8dm,BC=6dm,AC=10dm,Z-CAD=90°.

圖1圖2

(DAB與BC垂直嗎？請說明理由:

(2)據設計人員介紹，支架的CD比A0長2dm,求支架4)的長度.

【答案】(1)48與8c垂直，理由見詳解

(2)AD=24dm

【分析】本題主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟練掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解題的關鍵；

(1)根據題意易得A82+BC2=AC2,然后問題可求解；

(2)由題意可設AD=xdm,則有CD=a+2)dm,然后根據勾股定理可建立方程進行求解.

【詳解】(I)解：48與垂直，理由如下：

,；AB=8dm,BC=6dm,AC=10dm,

--.A82+BC2=82+62=100=AC2,

.'.AB1BC；

(2)解：由題意可設AD=xdm,則有CD=(x+2)dm,

^^CAD=90°,

??AC2+AD2=CD2,即IO2+/=(%+2)2,

解得：x=24,

MD=24dm.

23.(12分)24-25八年級上?湖北武漢?期中)如圖，在等邊△中，點D為8C邊上一點，將△4BD沿力。翻

折得到△/ED,連接CE并延長，交710的延長線于點立

(1)求乙尸的度數；

(2)過點。作0Glmc交力8于點G,連接EG交力。尸點〃，求證：GH=DF.

(3)若AF=a,EF=b,則CE的長為(用含〃，〃的式子表示).

【答案】⑴"二60。(2)見解析(3)a-2b

【分析】(1)證出44EC=設4區4。=4瓦4。=a,則2EAC=60。-2a,由三角形外角的性質可

得答案；

(2)連接DE.證明ASGO是等邊三角形，得出NAGO=120。，BG=BD,證明△4G〃三△CDF