2026年高考數學一輪復習專練：第三章 進階篇 不等式恒（能）成立問題 進階4 端點失效（附答案）

進階4端點失效

利用必要性探路，充分性護航解決恒成立問題時，利用端點處需滿足的必要條件縮小參數的取值范圍，而

往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.一般情況下單調函數是可以用端點效應的.但有時候難

以避免會遇到端點失效的情況，即通過必要條件得到的參數范圍并不是最終的解.當函數不單調時，端點效

應就會失效了，如圖.

?/一2一

o\aXo\aX

遇到這樣的情況，我們又該怎么辦呢？

例已知函數凡丫尸當時，人丫)，夕41,求。的取值范圍.

錯誤解法(端點效應失效)

令/?(A)=er+ar-x-|xi-1,其中x20,

抑0)=0,

/2'(x)=eq2a,

/f(0)=0,

h\x)=e+2a-3x,

力〃(())=1+2心()，

即心3,

但當時，力(x)=■吳大吳-I,

/i(l)=e-3<0.

正確解法方法一(必要性探路)

當在0時,段)，吳+1恒成立，

令/心尸e'+or2*吳-1,

則h\x)=e+2ax-\^?,

由儀&)=。，

出及區)=0,

A

(e°+axl-xQ-3蛭-1=0,①

即〈：C

XQ

\e+2ax0-1--X'Q=0,②

②X3①X2得(入0-2)鏟。+**+2=0,

即(xo-2)exo-1就+就一密+23助+2=0,

x

即(xo-2)e°XQ(XO-2)-XO(XO-2)-(X()-2)=O,

即(92)8。一一右一1)=0,

又當G0時e'21+刈~1■(泰勒展開與，

所以.6=2,

所以人2)20,

下證充分性：

當。2q貯時，

4

7U戶8十五-工三已'+午V-x,

只需證明e、+上笆f-x2Zv+ia)。)恒成立，

42

即323巴忘4(l20)恒成立，

令心尸1-7)/+，+2”+4(]20),

鏟

貝I]*1.尸。3-62)/+2(/-9)「一2二

_1X[2z2(i3e2)x2(e29)]

T(Y2)[2x+(e29)]

所以當同0,?)時，*x)vo,心:)單調遞減；

當同娛2),go,心)單調遞增;

當x￡(2,+8),f(x)<0,心)單調遞減.

從而；(x)max=max{z(O),z(2))=4,

即"x)W4,成立.

所以當〃2平時，府)21+1恒成立.

綜上，。的取值范圍是[7,+8).

方法二(分離參數)

由加2y+1得，3+/_彳2吳+1,其中工為，

當戶0時，不等式為121,顯然成立，符合題意；

當Q。時，分離參數。得，

記g0)=-

X2

(x-2)(ex-x2-x-l\

2

gU)=I/---,

令/心尸小吳正1(x20),

則/r(x)=P*l"(x)=P?120,

故/?'⑴單調遞增，/?。)2”(0尸0,

故函數/?)單調遞增，/?(X)^/7(O)=O,

由/心)、0可得e^-x-l20恒成立，

故當x￡(0,2)時，g'(x)〉0,g(x)單調遞增；

當在(2,+8)時,g")vo,g(x)單調遞減,

因此，g(X)max二且(2尸弓~,

故a》g(X)max二,

綜上可得，實數。的取值范圍是［與笆，+oo).

思維升華導函數含參數單調的可以使用端點效應，導函數含參不單調的不能使用端點效應，如e<ar-x-

120在［0,+8)上恒成立可以使用端點效應，因為它的導函數小2底1在。<0時為單調函數，而小*-詼

1NO在［0,+8)上恒成立就不能使用端點效應.

跟蹤訓練已知函數〃(x)=〃eE-lnx+lna-l,若〃(尤)20恒成立，求實數〃的取值范圍.

解方法一(必要性探路)

???〃*)，()恒成立，

,f//(x0)=0，

lHz(Xo)=0,

x-1

fae°—Inx0+Ina-1=0,

即aex°-1--=0,

得沏二1,

.??"(1)20,解得a21.

下面證明當時，”(x)20恒成立，

將//(x)=flevl-lnx+lna-\視為關于a的函數"i(〃)=e"%+lna-lnx-\,

易知Ma)單調遞增，

.?.w(c)^w(l)=ev-'-lnx-l,

又1"2],InxWx-l,

/.eAl-lnx-\>0,

即m(a)20,所以H(x)20,

綜上，a的取值范圍是[1,+°°).

方法二(常規分類討論+隱零點代換)

,??.”5)在(0,+8)上為增函數，

當a=\時，HU)=er1-^,〃。尸0,

當xE(0,1)時，HV)<0；

當,+8)時,H3X),

則//(x)min=H(l)=0,

故H(x)三0,符合題意.

當心1時,取xi=min{l,:},則H\x\)<0；

取小=,則"5)>0,

，存在內￡(即，工2)使得"5)=0,

當xC（0,即）時，H\x）＜0,”（幻單調遞減；

當X￡(X3,+8)時，H,(x)>0,”(x)單調遞增，

”(x)min=〃(X3)=ae'3T-in有+Ina-\,①

又HU3)=aeX3~1--=0,即,

X3x3

兩邊取對數得Ina+xy-1=-In不，②

代入①得”(x)min;"(.0)=工+lntv+xvl+lna-1=^-+x^-2+21na,

x3x3

由題意知H(x)minNO,即J+x3-2+21n〃20=21n+必)+2,

又G+%3)+2<0,

???21na20,解得,故a>l,

綜上，。的取值范圍為［I,+8).

方法三(指對同構)

由H(x)=aev,-lnx+\na-13。得。加/印+111a+x-\^\nx+x,③

令F(x)=lnx+x,

則③式等價于F(eln<m-')^F(A-),④

又產⑴單調遞增，，④式等價于心"、”2工，

即訛口心福，

e人1

令加(X)二島，則"7。)二合，

???〃?(/)在(0,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減,

，

??m(A)max=m(l)=l,

?"力，即。的取值范圍為［1,+8).

課時精練

［分值:34分］

1.(17分)已知函數|大尸e'cos%,當x>0時，段)2e,(cosx-l)+f+g-l)x+l恒成立，求實數。的取值范圍.

解方法一(分離參數)

由五萬2cv(cosx-1)+.r+(a-1)x+1,可得tzxWe'-f+x-1,

即當x>0時，a^--x--+]恒成立.

XX

設片FT1。>°)，

則嚀^

°X2X2

令(p(x)=ex-x-],則當x￡(0,+8)時，,(幻二爐-1>0,

所以當xe(0,+8)時，g)單調遞增,夕&)>3(0)=0,

則當上￡(0,1)時,g0)<0,g(x)單調遞減；

當x￡(l,+8)時，gq)>0,g(x)單調遞增，

所以g(X)min=g(l)=e-l,

所以“的取值范圍為(-8,e-1].

方法二(指數處理技巧)

當40時,不等式等價于1+9一？“+"21恒成立，

令/心,x>0,

貝lj=(-x+l)[x+a-2),A.>(),

鏟

①若<7=1,介。尸匕半二2二壬111,

exex

因為(小1)220,e'>0,

所以力O)wo,心)一+("一？”+〃在(0,+8)上單調遞減，加i)<〃(0)=l,"I符合題意.

ex

②若“<1,則\<2-a,

當x￡(0,l)U(2-67,+8)時，/?/(x)<0；

當x￡(l,2-Q)時，》(x)>0,

所以力(%)在42-〃處取得極大值，

由當工>0時,ev>x+l知,e2a>3-a,

即力(2/)=品<1,

又/2(0)=1,所以h(jc)<1在(0,+8)上恒成立，

因此“<1符合題意.

③若\<a<2,貝I]0<2-?<1,

當XG(O,2-?)U(l,+8)時，力，(x)<0；

當x^(2-a,1)時,/??)>(),

所以/心)在戶1處取得極大值，

阿0)=1,

則由卜6=等三產1<』-1.

④若心2,則/2(1)=—^>1,與題意矛盾.

ee

綜上所述，。的取值范圍為(-8,e-1］.

2.(17分)已知函數凡i)=sinx-4+ai2(aWR),若犬］)20恒成立，求。的取值范圍.

［錯解1］容易得./(0)=0,/(x)=cosx-1+2ax,/(0)=0，/'(x)=-sinA+2”結合端點效應，當尸(x)=-sinx+2〃20,

即當時，危)20恒成立.

［錯解分析I該解法的思路是破題的一種方法.根據端點10)=0且，(0)=0的特點，學生考慮/⑴單調遞增時

的一種“理想狀態"，即/恒成立時，有八用單調遞增，結合八0)=0,得加)min/0)=0,所以

兒6》0,這必定符合題意.

因此針是問題成立的充分條件.對于此時的充分條件，如何證明其必要性呢？如果順著學生思路走下

去，接下來應考慮，當時，火燈20不恒成立，即總能找到一個的，使人的)<。.結合正確答案”2；來看，

這顯然是行不通的.因此，正確的做法是當時，繼續尋找符合題意的a,但這個思維難度就不小了.

［錯解2］容易得/0)=0,/(x)=cosx-i+2ax,/(0)=0,求得八x)=-sinx+2a.結合端點效應，必有八0)=2〃20,

即“20.

［錯解分析|該方法的思路是完全按照“端點效應”的情況處理的，所以/(0)20,即2a^0,a20.此時，

求得的范圍是問題的必要條件，如何證明其充分性呢？如果順著學生思路走下去，接下來應考慮，當

時，負x)20恒成立.

以上兩種思路都是處理該類不等式恒成立問題的常規解題思路.只是針對本題失效了而已.那么端點效應解

題為何會失效呢？關鍵還在于端點效應解題本身有一種“湊巧的成分在里面，此時不湊巧了而已！因此,

利用端點效應解題要注意解題過程的邏輯性和嚴謹性.

［正解］當x>0時，將?r)20變形，

因為函數尸等在E處的切線)，=+1恰好過

點(0,-1),如圖，

所以心士

n

下面證當4時，人幻70.