導數(shù)與函數(shù)的零點（考點梳理）學生版-高二數(shù)學考點梳理

能章05第1*導戳易占裁的本JL

目錄

考點梳理.................................................................................1

題型杭理.................................................................................2

考點題型一判斷(討論)&數(shù)零點(方程的根)的個數(shù)()....................................2

考點題型二證明的數(shù)零點(方程的根)的唯一性()........................................4

考點題型三利用極值(最值)研究函數(shù)的掌點(方程的根)()................................7

考點題型四數(shù)好體合法研究函數(shù)的零點(方福的根)0..................................................................9

考點題型五利用同構函數(shù)法研究函數(shù)的零點(方程的根)()...............................12

考點題型六導致中新定義題0........................................................................12

提升調(diào)練...............................................................16

考點梳理

M#01jfc??X

⑴函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)y=/(c),把使/(c)=0的實數(shù)c叫做函數(shù)g=f(①)的零點.

(2)三個等價關系

方程/3)=0有實數(shù)根o函數(shù)y=/(c)的圖象與①軸有交點的橫坐標o函數(shù)y=f(x)有零點.

件事02

如果函數(shù)夕=/3)在區(qū)間［Q㈤上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(Q)?/(b)vo,那么函數(shù)夕=

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c6(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是/(c)=0的根.我們把這一

結論稱為函數(shù)零點存在性定理.

注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點

1

題型梳理

考點JB型一科斯（對論）蠡數(shù)零點（方梅的根）的個數(shù)（）

1.（2025?貴州六盤水?一模）已知函數(shù)/（a）=ex~a4-cosx+b.

⑴當a=0時,證明函數(shù)/（0在（0,+8）單調(diào)遞增；

；2）若函數(shù)/（⑼在有極值，求實數(shù)Q的取值范圍：

⑶若函數(shù)/⑸的圖象在點（2兀,/（2兀））處的切線方程為力-0-2兀=0,求函數(shù)/（/）的零點個數(shù).

2..（24—25高二下?江蘇蘇州?階段練習）已知函數(shù)/（0=跣1+。爐.

[1）若曲線g=/3）在點（1,/（1））處的切線的斜率為2e+4,求a的值;

（2）討論/（c）的零點個數(shù)，并證明.

3..（24—25高二下?江蘇無錫?階段練習）已知函數(shù)/⑸=Q+l”

（1）判斷函數(shù)/（。）的單調(diào)性,并求出/（c）的極值：

；2）畫出函數(shù)/（c）的大致圖像并求出方程/（切=。的解的個數(shù).

4..（2025?山東?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=加nc-g2+Q,QWR.

⑴當a=1時，求/（⑼在區(qū)間［l,e］上的最值；

；2）討論/（約的零點個數(shù).

5..（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知函數(shù)/3）=cosi+isin:c+Q.

⑴若Q=0,求函數(shù)/（/）在3=兀處的切線方程;

⑵討論函數(shù)/3）在（0,71）上零點的個數(shù).

考點題型二證明函數(shù)零點（方程的根）的唯一性（）

6.（24-25高三下?河南?階段練習）已知函數(shù)/（%）=21nx+烏，aWR.

x

U）討論/（出）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若直線y=ax為/Q）的切線,求a的值.

：3）已知Q>0,若曲線Cy=/（0在（1J（1））處的切線與。有且僅有一個公共點，求Q的取值范圍.

?M

7..（2025?安徽滁州?一模）已知函數(shù)/⑺=-^-x3+ax2-x—2a\nx.

o

Q）若不等式/（乃＞^^+d一1恒成立，求實數(shù)Q的取值范圍;

O

；2）若QVO,求證：/（口有且只有1個零點.

8..（2025高三?全國?專題練習）已知函數(shù)/Q）=e，+cosc—2.

（1）求/3）在（（）,/（（）））處的切線方程；

；2）證明：函數(shù)/（0只有一個零點；

9..(24—25高三下?重慶?階段練習)已知函數(shù)/(x)=-^x2-(a+l)x+lnrr，其中a>0.

⑴討論/(土)的單調(diào)性；

⑵證明：Va>O,/(rr)在(0,+8)上均恰有一個零點.

10..(24-25高三下?浙江?開學考試)已知函數(shù)/(乃=In夕也(a>0)是奇函數(shù).

L—ax

⑴求Q；

；2)求曲線沙=/(功在點(0J(0))處的切線方程；

：3)證明：函數(shù)g(%)=/(/)-2sinx有且僅有1個零點.

考點題型三利用極值（最值）研究*象的零點（方福的根）（）

11.{24-25高二下?天津?階段練習）已知函數(shù)/（%）=爐一/一）+Q（,€A）,其中。為實數(shù).

；1）當。=-1時,求曲線"=”切）在點（2,/（2））處的切線方程；

；2）求函數(shù)/（乃的單調(diào)區(qū)間；

；3）若函數(shù)/（乃有且僅有一個零點，求。的取值范圍.

12..（2025?四川巴中?一模）已知函數(shù)/3）=Hnc

；1）求函數(shù)/（%）的極值；

⑵求證:當0VcM1時，2f（x）>x2—1；

⑶若九3）=研一2方1+&4其中ovtvi.討論函數(shù)Mt）的零點個數(shù).

7

13..（24-25高二下,山東濟南?階段練習）已知函數(shù)/3）=。11口+從2上點2（1,八1））處的切線方程為22

-y-3=（）

Q）求/M）的解析式；

（2）若函數(shù)g（c）=f（x）+zn在［l,e］上有兩個零點，求m,的取值范圍.

14..（24-25高二下?江蘇蘇州?階段練習）已知函數(shù)/3）=^-。"一叫其中@為自然對數(shù)的底數(shù)，:3）

為函數(shù)/Q）的導函數(shù).

［1）若尸3）在區(qū)間（1,2］上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

：2）若方程（（①）=0有兩個不等實根,求a的取值范圍.

15..（24-25高二下?湖南?階段練習）已知函數(shù)/（2）=Q⑹+。）一）一2.

⑴求函數(shù)f3）的單調(diào)區(qū)間;

：2）若函數(shù)/（乃有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

考點J8型四象形結合法研無西數(shù)的零點（方程的根）（）

16.{23—24高二下.廣東中山?階段練習）已知函數(shù)/（c）=e，（2￡-l）.

⑴求函數(shù)/（/）極值點：

；2）討論關于x的方程—1）=/-1解的個數(shù).

17..(24-25高二下?上海?階段練習)已知函數(shù)/(①)=爐一。①一Q,Q€H

；1)判斷函數(shù)/(①)的奇偶性.

⑵當a=-1時,求函數(shù)g(c)=但經(jīng)過點P(l,2)的切線方程；

；3)若函數(shù)尸(①)=x吁⑺在幻=1處有極值,根據(jù)實數(shù)m的不同取值,討論關于x的方程F(x)=m

的實根的個數(shù).

18..(2025?湖北?二模)已知函數(shù)/㈤=2ax+(2-Q)lnc+L

⑴當aVO時，討論/(切的單調(diào)性；

；2)若Q=0,g(c)=enun—x24-mx4--，討論方程/(4)—g(:r)=0的根的個數(shù).

10

19..（24-25高二下?天津?階段練習）已知函數(shù)/⑸=①位+康在，=1處有極大值.

：1）求實數(shù)c的值；

；2）若函數(shù)g（4）=/（0+Q,研究方程g&）=0實數(shù)根的個數(shù)及實數(shù)Q的取值范圍.

c1

20..（2025?山東?模擬預測）已知函數(shù)/（，）=ln（x—1）—a~\nata>1.

；1）若曲線夕=/①）在點⑵/⑵）處的切線的斜率為1—e（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求Q的道:

[2）若/Q）有且只有兩個零點，求Q的取值范圍.

考點題型五利用同構W數(shù)法研究函數(shù)的零點(方程的根)()

21.[24—25高三上?云南昆明?期中)已知，.是函數(shù)/(c)=砂6，+11】2的零點，則g+ln①()=()

A.0B.得C.1D.e

22..(24—25高三上?遼寧沈陽?開學考試)若函數(shù)/(c)—E—+Q—2有兩個零點，則實數(shù)Q的取

值范圍是()

A.(—8,1)B.(1,十s)C.[1,+g)D.(—8,1]

23..(2024?河南駐馬店?二模)已知函數(shù)/(c)=7ne，+eln%+(e-l)x的定義域為(0,+8),若/(c)存在

x

零點，則a的取值范圍為()

A.[《,+00)B.(0,e]C.D.[e,+8)

24..(23—24高二下?湖南?期中)已知函數(shù)f(x)=ln(x+l)-%+1,函數(shù)g(①)=aex—x+Ina,若函數(shù)

F'(x)=f(x)-g(x)有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,e)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,—)

25..(2024高三下?全國?專題練習)已知/(⑼是定義在A上的奇函數(shù)，當①>0時，/(%)=苕-31nM則函

數(shù)/(乃的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

考點題型六導數(shù)中新定義題()

26.(24-25高二下?河北邯鄲?階段練習)已知nWN+m>2,為心.…，的是函數(shù)/3)的零點，若對滿足1

<1<，&九的任意正整數(shù)切,使得|?叼|>九則稱"/(乃被2控制”.

；1)已知函數(shù)/(①)=(■^■d+inc-Zz+mjlnc,若“/⑺被2控制”，求m的取值范圍.

；2)已知函數(shù)/(n)=21n|rc|—arc有三個零點.

短)求。的取值范圍；

口)證明："/3)被1控制”.

12

27..（24-25高二下?山西?階段練習）用數(shù)學的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條

感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的.重要指標是曲率，曲線的曲率定義如卜：若/'（切是八⑼

的導函數(shù),/"3）是:㈤的導函數(shù)，則曲線"=73）在點3JG））處的曲率穴=—―（功?.

n+（rQ））乎

；1）已知函數(shù)/（/）=21nc+/,求曲線u=/（0在（1J⑴）處的曲率Ki的值；

；2）―知函數(shù)Ma）=sinc,求曲線g=在點3，九（4））處的曲率見的最大值初；

⑶對⑵中的M,記g（c）=Me”cosc—①sine,證明：g（x）在區(qū)間一卷,與］上有且僅有2個零點.

22」

13

28..（2025?湖南?模擬預測）若函數(shù)的圖象有公共點，旦在公共點處的切線相同，則稱該公共點

為函數(shù)/3）與g（z）的一個“公切點”.

；1）若函數(shù)/（工）=7n￡2與g（i）=Ini存在“公切點”，求實數(shù)m的值：

：2）設函數(shù)/（0=①一1+k111武人聲0），直線/是曲線?/=/（工）在點?，/（。）。>1）處的切線?求證：直

線，不經(jīng)過點（1,0）;

l

：3）已知函數(shù)/（，）=xayg（x）=如■，對任意a>0,判斷是否存在b>0,使函數(shù)/①）與9（工）在區(qū)間

ex

（0,+oo）內(nèi)存在“公切點”？并說明理由.

29..(24-25高三下?上海?階段練習)已知人函數(shù)y=f(⑼的定義域為凡直線，的方程為v=L

+m,記集合AI={x\f(x)>Me+m}.

(1)若/3)=2，店+(m-1尸=0,求集合為；

；2)若/Q)=—c，+爐+b/,且存在實數(shù)履小使得集合a中有且只有兩個元素，求實數(shù)上,的取值范

圍；

；3)若函數(shù)y=/(0的圖象是一條連續(xù)曲線，且其導函數(shù)是定義域為A的嚴格減函數(shù)，求證:“集合從

是單元素集合{0”是“直線Z是曲線g=/(乃在點F(t,/(t))處的切線”的充要條件.

15

提升訓練

一、單?！?/p>

30.（24—25高二下?天津紅橋?階段練習）已知函數(shù)〃切=〃+蔡爐+c有3個零點，則c的取值范圍是

（）

A.（-|,0）B.（-co,-^）U（0,+co）

C.（一苧,0）D.（-co,-^）u（0,+oo）

31.（24-25高三上?福建泉州?期末）若函數(shù)/（①）=|lmr|-Q4有3個零點，則a的取值范圍是（）

4（哈）B.（0,蚩）C,（0,1）D.（0,1）

32.（2024高三?全國?專題練習）若函數(shù)/（c）=\nx-^+a在區(qū)間（l,e）上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍

X

為（）

A.（0,1）B.—,11C.―Li）D.+

■ece

33.（23—24高二下?四川眉山?期末）已知函數(shù)/3）=/"+。），。￡兄有大于一1的極值點，則。的取值范

圍為（）

A.（-j+co）⑶（一co,一。）C.（0,+cc）D.（-co,0）

e

34.（24-25高三下?陜西咸陽?階段練習）定義：若函數(shù)”=/（露存在九一1（71《“）個極值點，則稱2/=

f（2）為九折函數(shù).例如，函數(shù)/（c）="-3c為3折函數(shù).已知函數(shù)/（4）=cos2c+①ln3—c,則/（c）

為（）（參考數(shù)據(jù)：ex2.718,7：y3.14）

A.3折函數(shù)B.4折函數(shù)C.5折函數(shù)D.6折函數(shù)

35.（24-25高二下?江蘇無錫?階段練習）函數(shù)/（乃=2〃一332+1有三個零點，則。的取值范圍為

（）

A.a>1B.a>2C.a<1D.a<0

36.（20-21高二下?陜西榆林?階段練習）已知方程/（①）=lna+c-a/有兩個零點，則實數(shù)Q的取值范

圍為（）

A.（0.1）B.（11）C,（一8,詈）D.（0,管）

37.（24-25高二下?河南洛陽?階段練習）若函數(shù)/（⑸=爐一爐一c+。與g（c）=\nx-x+l的零點個數(shù)

相同，則實數(shù)。的取值范圍是（）