2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷【廣東專用測試范圍：人教A版必修第二冊第6~9章】（全解全析）

高一數學下學期第三次月考卷（廣東專用）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如雷改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版必修第二冊第6章?第9章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復數z=；l,其中i為虛數單位，則復數三的虛部為（）

1-1

3.門3.廠3

A.—1B.--1C.—

222

【答案】D

2+i=(2十i)(l+i)l+3i13.13.

【解析】???z==-+-1,----1

(l-i)(l+i)~^2~222

3

故z的虛部為-§.

故選：D.

2.設/,機是兩條不同的直線，“，夕是兩個不同的平面，則下列說法中錯誤的是（）

A.若/_L平面a,alip,mcfl,則/B.若/_La,/，Ulm,則al/

C.若/_La,mla,貝ij/〃mD.若/〃4，則a"夕

【答案】D

【解析】對于A,因為/J?平面。，。///，所以?平面?，又因為mu/,

所以/L”，故A正確；

對于B,若/_La,l//m,則〃?又因為用u〃，所以a_L/,故B正確：

對于C,若/_La,inLa,則/〃的，故C正確：

1/16

對于D,若///a,/則可能a與人相交,故D錯誤.

故選：D.

3.如圖，4。為△48C的邊8c上的中線，且方=%衣=B,那么而為()

A.2a-bB.ci-2bD.a+2b

【答案】A

【解析］由前=配+麗=衣+3^=X+g(萬一

f22

所以方=2萬一祝=2萬一3,

故選：A.

4.已知點4T-1),8(2,-2)C(O,1),則向量方在向量就方向上的投影向量的坐標為()

A.佟，竺］B.(V5,2V5)C.［呆］D.(1,2)

【答案】c

【解析】因為/(-l,-l),8(2「2),C(0,l),可得標二(3,-1),配=(1,2),

ABAC—_3xl-lx2-1八6fl2)

則向量荏在向量萬方向上的投影向量為同L"C=所育，2尸石母.

故選：C.

5.ZU8C中，內角4B,C所對的邊分別為小b,c,若an=Eac,則的大小為()

A.gB.￡C.［或?D.弓或斗

636633

【答案】A

【解析】在ZUBC中，由余弦定理得cos8="-+c--"=立,而()<4<兀，

lac2

所以8=卜

O

故選：A

6.已知某4個數據的平均數為6,方差為3,現再加入一個數據8,則這5個數據的方差為()

2/16

A,烏18

B'?D

5-T

【答案】C

【解析】設原來4個數據依次為。、b、。、d,則a+6+c+4=24,

因為方差為3,則;[(〃—6『+"-6)2+(c-6『+(4-6『3,

即［(a_6)2+e_6)2+(c_6)2+(d_6y=12,

所以(/+62+。2+/)-12(0+6+3+4)+36*4=12,

貝iJ/+/+M+d?=12+12x24-36x4=156,

1132

再加入一個數據8,則其平均數為3。+力+。+。/+8)="24+8)=(,

JJJ

+b上32、

則這5個數據的方差為《+8-—

5JI5I5J

-(^a2+b2+c2+d2)--(a+b+c+d)+32)*4+處

55525

164?f<3322Y?,6476

=-156-----x24+—x4+—

5552525'

故選：C.

7.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年.在《九章算術》中，將

底面為矩形且?側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖P-ABCD是陽馬，2IJ.平面48cO,PA=5,

AS=3,BC=4.則該陽馬的外接球的表面積為()

A,還5OO7t

B.50兀C.10()7：D.

3~T~

【答案】B

【解析】因產力平面力5C。，力￡匚平面48。。，力Du平面48CD,

則P41AB,PA±AD,又因四邊形力8c。為矩形，則481.4).

3/16

則陽馬的外接球與以尸4AB,力。為長寬高的長方體的外接球相同.

又尸力=5,AB=3,AD=BC=4,則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為:

222

n>JPA+AB+AD正+42+5?572

A=----------------------------------------------=--------------------------------=---------1

222

則外接球的表面積為：S=4n斤=4”?絲=50".

4

故選：B

8.長方體的一條體對角線與它一個頂點處的三個面所成的角分別為。，夕，/,則（）

A.cos2a+cos2P+cos2/=2B.cos2a+cos2p+cos2/=1

C.sin26?+sin2/?+sin2y=2D.sin2a+sin2/?+sin2/=3

【答案】A

【解析】依題意，體對角線/滿足則/="2+/+。2，

.DEcAEy/a2+b2

設：與上下底面成角。，則二=/04七sina=----=.,cosa=—=/

/yJa2+b2+c2/Ja2+〃+1

D

BD>lc2+b2

設，與左右側面成角△，則/=/4。5,sin/?=—=,,cos/?=

I>Ja2+h2+c2/yja2+h2+c2

CDbAC_\la2+c2

設i與前后面成角7,則y=NO/lC,、cosy-

Iy]a2+b2+c2

,、、2（/+8》2）

所以sin?a+sin?6+sin?y=。2+y+02

222=1,cos'a+cos-B+cos'y=——----；------=2?

C7+Z7+C產a2+b2+c2

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.若復數N=2+i.則下列命題是真命題的是（）

A.z-z=5

4/16

B.?2024

C.如|=|z|

D.若z是關于x的方程x2+mx+〃=()(/〃,〃€R)的根.則〃=-20

【答案】ACD

【解析】對于A選項，z-z=(2+i)(2-i)=5,A對；

對于B選項，因為12。24=上廣6=1,故向=z=2+i,B錯：

對于C選項，|-i|=-*/?=|z|,C對;

對于D選項，由題意可知，關于工的方程/+〃狀+〃=0(〃?,〃6區)的兩虛根分別為2+八2-i,

2-i+2+i=-wm=-4

由韋達定理可得10.、，可得《<,故小〃=一20.D對.

(2-I)(2+I)=/J[n=5

故選：ACD.

10.已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2、4,側棱長為2,則關于此正四棱臺的結論正確的有()

A.側面積為36B.體積為身，

C.側面與底面所成角的正切值為后D.外接球的表面積為40兀

【答案】BCD

【解析】如圖所示，

正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2、4,側棱長為2,則斜高為廬彳=打,

側面積為4x；x(2+4)x6=12百，故A錯誤；

正四棱臺/4CO-44GA，上底面的中心為下底面的中心為。.

連接。。，其上、下底面的邊長分別為2,4,得口4=應。4=2后.

5/16

過點4作4”，使4〃，/。并交月。與點，，側棱長為2,

則4〃=近，則有也，

則正四棱臺的體積P=；xJIx(4-"^+16)=今旦，故B正確；

側面與底面所成角的正切值為三="”,故c正確：

2

由于。4>4"，則該棱臺的外接球的球心在。。I的延長線上.

設其外接球的球心為G,半徑為凡則有G01-GO=OQ=亞，

則有，及2-2-g2-8=夜，解得R=W.

故其外接球的表面積為=4兀斤=4兀x(Ji6)=40TT,故D正確.

故選：BCD.

11.已知對任意平面向量翔=(2)，把而繞其起點沿順時針方向旋轉夕角得到向量?=

(xcosO+ysinOjcosO-xsinO),叫作把點8繞點力沿順時針方向旋轉。角得到點P.已知平面內。為坐標原

點，點4(41)，點8(1+八2—),卜耳=2,且刀.。耳<0.若點8繞點4沿順時針方向旋轉與角得到點P,

則()

A.點加勺坐標為(4+"1+五)B.麗=(2+五,、回)

C.^=(0,-2)D.萬?麗=4+26

【答案】ABD

【解析】由點力(4,1),5(1+/,2-/),|邳2,得”3>+(l_f)2=4,解得/=1或f=3,

J5SS=(Z-3)(Z+1)+(1-r)(2-/)=2r-5r-l,當，=3時，ABOB>Q^不符合題意，

當，=1時,荏.礪<0,符合題意，因此￡=1,8(2,1),布=(-2,0),C錯誤;

萬=(-2cos當,2sin當=(&,@,于是點尸(4+衣1+揚，A正確；

44

麗=(2+0,0),B正確;

萬?麗=&(2+&)+(&)2=4+2&,D正確.

6/16

故迄ABD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.樣本數據7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位數為.

【答案】11

【解析】首先對數據從小到大進行排序：7,8,10,11,12,13,15,17,共有8個數據

8x40%=3.2,

所以這個樣本數據的第4()百分位數為第四位，即11,

故答案為：11.

13.如圖，用斜二測畫法畫出的水平放置△45。的直觀圖為且H"=2&，HC'=VL則3C=

【答案】735

【解析】因為44'=2近，力("=石，

由斜二測畫法可知，在原圖中力。=百,48=4&,且ABJ.AC,

則8c="扃+(4可=V35.

故答案為：V35

14.在棱長為1的正方體48CQ-中，E、尸分別是棱8C、明的中點，。是側面叫Cg內一點，若

4尸〃平面力環，則線段4P長度的取值范圍是；4A與平面4G。所成角的正切值為

一3五店

【答案】正

2

【解析】分別取84出G的中點”，N,連接MN,B6,

因為M,N,其尸分別為54出G,BC,CG的中點,

7/16

所以MN||80,EFIIBC.,所以MN||

因為MMa平面川印，痔u平面力E/L所以A/N||平面/E/,

因為四||的，四=NE,所以四邊形/1￡川4為平行四邊形，

所以4%IIAE,

因為4Na平面力以7,平面/化產，所以4N||平面/1E產，

因為4NDA/N=N,4MA/NU平面4〃N,

所以平面4MN||平面4EF*,

因為P是側面BBCa內一點、,且4?”平面AEF,

所以點尸必在線段MN1-.,

在Rtz\44M中，4「w=J48；+BW=/?；、=。，

在Ra44N中，4M=〃冏+4M=與,

所以△4"可為等腰三角形，

當點〃為MN的中點。時，A.PLMN,此時4尸最短，

當點尸在M或N處時A.P最長，

因為MN=+（；）=~~?所以OM=gMN=>

因為40=j4M2_C"2=J［等J_（乎）=斗,4M=A1N=（

所以線段4P長度的取值范圍是坐￡,

8/16

設旦到平面4G。的距離為h,4A與平面4C。所成角為o,

因為以e=乎x2=等，所以由%-2=1sz=—皿=,可得"邛，

所以?n~3~初?所以tan6=.

sin^=-^-=——2

13

故答案為』手閘，暗

42J2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

在△/8C中，b=2網,csin28=^^sin(4+8).

3

(1)求cos8,

(2)再從以下條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△初C存在，求ZU8C的

周長.

條件①：f=10；

條件②：cos/=:

條件③：△48C的面積為5&

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得()分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一

個解答計分.

【答案】(l)cos4=；

(2)選條件②或③，存在，周長為8+2癡.

9/16

【解析】（1）因為b=2戈，csin2B=生質sin（4+8），所以c'-sin28=：/>sin（力+4）,

33

2

由正弦定理得sinCsin24=§sin4sin（/l+4）,而三角形中有sinC=sin（4+4）,

22

所以sin24=§sin4,再由二倍角公式得2sin8cos8=§sin4,且sin8H0,

所以cos8=L

3

（2）若選條件①：c=10.

因為8=2幾，由（1）可知cos8=；,所以由余弦定理可得：b2=a2-^c2-2ac-cosB,

BP24=?2+100-204/--,得3a2-20a+228=0,A=（-20）2-4x3x228=-2336<0,

方程無解，所以。邊不存在，故A/BC不存在.

若選條件②：cos[

因為8=2遙，由（1）可知cos8=",所以sin4=Jl-cos?B

同理sinJ=V1-cos2A=—?

33

,h—巫立二

所以在△48C中由正弦定理工=—得"一云萬"?■一，

sinAsmB-----

3

再由余弦定理〃=/+1一2℃?858,得24=9+c2_2x3cxg,

即,2-2c—15=0,解得c=5或c=-3（舍去）.

所以三角形的周長0+6+。=3+2石+5=8+26.

若選條件③：△48C的面積為5JL

因為/）=2"，由（1）可知cos8=；,所以sin4=J1—cos?B=,

33

由三角形面積公式S=—rzc-sinB=^^ac=55/2,得ac=15.

23

再由余弦定理〃=/+/-2ac-cos4,得24=弦+°2-10,&Pa2+c2=34.

22

所以（4+c『=a+c+2ac=34+30=64,所以a+e=8.

所以三角形的周長〃+8+c=（〃+c）+方=8+2#.

16.（15分）

加圖，在直二棱柱48C—44G中，A4BC是等邊二角形，。，E,廠分別是棱2G，AC,EC的中

10/16

點.

(1)證明：力。//平面GM；

(2)若2AA.=3AB=3,求三棱錐A-C.DE的體積.

【答案】(1)見解析

⑵*

32

【解析】(1)連接8。，?.出廠分別是4cse中點，產〃Mu平面。￡尸,力8a平面C￡”,，48//

平面CEf

在矩形中，。是B￡中點，.?.BF//DG且BF=；BC=；4G=DC\是平行四邊形，

：.BD//FC,,/Qu平面G￡7"4。仁平面。|叮，，8。〃平面4防.

又ABCBD=B,48,4Ou平面/〃。，.?.平面平面。￡尸，力。u平面力〃。，.?.力。〃平面GEF.

(2)過。作。〃JL4G交4G于點〃.

直棱柱ABC-Afi.c｛中，平面ACCA11平面44G,又平面4n平面/￡G=4G，DH14G，：.DHI

平面力CG4，平面力eg.

F

AK——

,?244=348=3,「.4片=1,44=1，又D為B?中點，：.DH=在

SK.E=-AECC,=-X-X-=-

A/IV]C22228

11/16

YV1c八口136G

匕±DE=VD-AC,E=TSgE-D^=T>：-X—=-?

JJO51

17.(15分)

“2025廣州馬拉松”成功舉行，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面

試成績，并分成五組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,

(2)若面試成績前34%的候選者為優秀候選者，請估計優秀候選者成績的最低分；

(3)現從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的面

試成績的平均數和方差分別為62和30,第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為8()和40,據此估

計這次第二組和第四組這兩組的所有面試者的方差.

。=0.005

【答案】(1)

6=0.025

(2)73

1030

⑶〒

10〃+10。=0.3a=0.005

【解析】(1)由題意可知，10x(0.045+0,020+^)=0.7,解得［

6=0.025：

(2)由(1)及圖知，(0.020+0.005)x10<0,34<(0.045+0.020+0.005)x10,

所以面試成績前34%候選者(分數從高到低)的最低分位于區間［65,75),設為x,

所以0.25+(757)x0.045=0.34,可得x=73.

(3)設第二組、第四組的平均數分別為京,，，方差分別為s：,

且各組頻率之比為:

12/16

(0.005x10):(0.025x10):(0.045x10):(0.02x10):(0.005x10)=1:5:9:4:1,

5

所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者x20=5人,

1+5+9+4+1

4

第四組面試者x20=4人,

1+5+9+4+1

-Sx62+4xX0

則第二組和第四組面試者的面試成績的平均數X=—^——=70,

第二組、第四組血試者的面試成績的方差

S2=盛卜：+(吊一叼[32-叼[=.x[30+(62-70)2]+[x[40+(80-70)2]=等，

故估?計第二組、第四組面試者的面試成績的方差是等.

18.(17分)

如圖，在四棱錐P-48CP中，211平面力8。。，底面四邊形力8CQ為直角梯形，AD//BC,

AD1AB,PA=AD=AB=2,BC=l,M,N分別為PC,PB中點、.

(1)求證：PBA.DM.

(2)求BD與平面ANMD所成角的余弦值.

(3)求點C到平面PBD的距離.

【答案】(1)證明見解析

【解析】(1)因為P/i_L平面"CD,jOu平面/5C。，所以P.4_L4Z),

又因為力。工48,ABC\PA=A,且兩直線在平面內，所以4。，平面2出,

因為尸4<=平面44,所以力力_!_尸8,

因為P4=/4=2,且N為總中點，所以4V1.P8,

又因為4乂口力。=彳，所以尸8_L平面4MWQ,

又因為DWj平面MVM。，所以P3_LDW.

13/16

（2）連接0M因為平面4MW。，PBcBD=B,所以N8ON為4。與平面/1MWQ所成角,

又因為產力=44=2且N為P8中點，所以4N=0，

所以%。2=力%2+力。2=2+4=6,即2。=而，

又因為/。=48=2且48J.4。，所以〃。=2&，

所以cos/BDN=2=耳二旦,

BD2近2

所以8。與平面ANMD所成角的余弦值為立.

(3)由已知得，BD=ylAB2+AD2=2>/2>PB=>]AB2+AP2=272>

PDTAP'+AD?=2&

="底8四、尸4=§x；x2xlx2=3,

設點C到平面PBD的距離h,

貝打工-尸9=1%PBDX%=；X；X20X2夜X-^X/?=卒力?

?J。乙乙D

由-e=即2=馬巨〃，解得〃邛，即點c到平面尸切的距離為由.

3333

19.（17分）

在△/8C中，CA=a^CB=b若。是力B的中點存=；存），則麗=+若。是的一個

三等分點（而二；方］則麗=齊+/；若。是4?的一個四等分點（通二；翦），則