平方根（第1課時(shí) 平方根）教學(xué)設(shè)計(jì)-七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）

8.1平方根（第1課時(shí)平方根）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第八章實(shí)數(shù)8.1平方根，內(nèi)容包

括：第1課時(shí)平方根.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)以及有理數(shù)乘方的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)平方根，之前的有理數(shù)乘

方的學(xué)習(xí)為本節(jié)課學(xué)習(xí)奠定了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，更利于學(xué)生找出一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根.它

不僅是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的鞏固，也為后面算術(shù)平方根的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).教材通過求具體數(shù)

字的平方根引入，順勢(shì)給出平方根的定義，結(jié)合具體例子便于學(xué)生理解與掌握平方根的概念，

并運(yùn)用概念，會(huì)求一個(gè)數(shù)的平方根.

基于以上分析。，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：掌握平方根的概念并會(huì)求?個(gè)數(shù)的平方根.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）正確理解平方根的概念，會(huì)求一個(gè)數(shù)的平方根

（2）知道平方根的表示方法

（3）學(xué)生經(jīng)歷由特殊到?般，培養(yǎng)學(xué)生觀察，歸納，類比的能力..

2.目標(biāo)解析

（1）教材由具體數(shù)字引入，并引導(dǎo)學(xué)生利用有理數(shù)乘方公式反推出一個(gè)數(shù)的平方根，

順勢(shì)引出平方根的概念過渡自然水到渠成.通過小組討論，培養(yǎng)合作精神，讓學(xué)生在探索問

題的過程中，體驗(yàn)解決問題的方法和樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣.

（2）學(xué)生能根據(jù)平方根的定義求一個(gè)數(shù)的平方根.

（3）在實(shí)際問題中能運(yùn)用平方根解決問題，并會(huì)表示一個(gè)數(shù)的平方根.

三、教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課平方根學(xué)習(xí)是建立有理數(shù)乘方學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上.由具體數(shù)字引入，讓學(xué)生更加清晰

深刻地理解平方根的定義本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的困難之處在能表示一個(gè)數(shù)的平方根，理解平方

根，正的平方根，負(fù)的平方根表示的區(qū)別，能在具體題目中理解“士廠”“廠”“-廠”

這三種所代表的不一樣的意義，一題一解讓學(xué)生對(duì)解題技巧和解題步驟有清楚的認(rèn)知，最后

通過拓展訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力.

基于以上分析?，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：認(rèn)識(shí)和會(huì)表示--個(gè)數(shù)的平方根.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

觀看表格信息思考問題

符號(hào)表示+x+a"

運(yùn)算結(jié)果和差積商第

運(yùn)電關(guān)系互為逆運(yùn)算互為逆運(yùn)算？

有什么運(yùn)算與乘方互為逆運(yùn)算的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)引入，讓學(xué)生明白運(yùn)算與運(yùn)算之間的關(guān)系，并提出問題，激發(fā)學(xué)

生思考和學(xué)習(xí)的興趣.

（二）新知講解

①任何數(shù)的平方都是一個(gè)非負(fù)數(shù)

②互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的平方相等

我們把（），±1，±0.4,二:分別叫作0,1,0.16,卷的平方根

歸納：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫作Q的平方根或二次方根.這就是

說，如果/=Q,那么x叫作Q的平方根.

1.判斷下列說法是否正確，

①6是36的平方根.（V）

②一6是36的平方根.（V）

③±6是36的平方根.（J）

④36的平方根是一6.（x）

⑤0.64是0.8的一個(gè)平方根.（x）

⑥一9的平方根是一3;（x）

⑦一個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根是8,另一個(gè)平方根一定是-8（7）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過正反例講解讓學(xué)生深刻理解平方根的概念，對(duì)比乘方的運(yùn)算和求平

方根的運(yùn)算，讓學(xué)生掌握平方和開方互為逆運(yùn)算.

(三)典例講解

例1求下列各數(shù)的平方根：

⑴64⑵亮⑶0.01⑷2；

⑸0(6)(-4)2(7)-42⑻*

解⑴;(±8)2=64,J64的平方根是±8

⑵.?.(土靜=言，?.喻的平方根是土方

⑶;(±0.1)2=0.01,???0,01的平方根是±0.1

(4)V(土L=2”2:的平方根是土弓

(5)???。2=0,JO的平方根是0

(6)V(±4)2=(-4產(chǎn)??,(一4)2的平方根是±4

(7)???任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，???-42沒有平方根

⑻.?.(±-)2=+"?泉的平方根是土圭

歸納總結(jié)：

正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；

0的平方根就是()；

負(fù)數(shù)沒有平方根.

例2.解下列方程(1)一/+￡=02

64(2)9x-25=0

(3)4(2%-I)2=36(4)(2%—3/=(-7產(chǎn)

解(1)原式可變形為:

3/

解(2)原式可變形為:

,.,(±乎=卷

???%=3或%=-9

解(3)原式可變形為：

(2%-=9

;(±3)2=9

，2%-1=3或2%-1=-3

解得：x=2或x=-1

2

解⑷??，±7)2=(-7)

A2x-3=7或2%-3=-7

解得x=5或乃=-2

點(diǎn)撥：a(mx+b)2=c變形為(?nx+b)2=￡開方加無+b=土J|解方程得工的值

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生熟練運(yùn)用平方根的定義，求一個(gè)數(shù)的平方根，并歸納出

正數(shù)，負(fù)數(shù)，。的平方根的情況.

(四)新知講解

Q的平方根表示為±6,讀作：正負(fù)根號(hào)Q

府表示a的正的平方根

-乃表示a的負(fù)的平方根

±VH表示a的平方根

X2=Q即得X=±y/a

1.判斷下列各式計(jì)算是否正確，并說明理由.

(1)74=±2(x)

(2)±V4=±2(V)

(3)-V4=±2(x)

(4)±V^4=±2(x)

⑸±7^可的平方根是±2(J)

2.下列各式是否有意義？為什么？

(DV3(2)1(3)-V3(4)斤并(5)±7^32

解⑴有意義

(2)無意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，也就沒有負(fù)的平方根

(3)有意義

(4)有意義

(5)無意義，負(fù)數(shù)沒有平方根

歸納總結(jié)

因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根

所以只有當(dāng)Q20時(shí)，G有意義，而當(dāng)aVO時(shí)，G沒有意義

【設(shè)計(jì)意圖】通過正反例辨別讓學(xué)生掌握正的平方艱，負(fù)的平方根，平方根三者表示

之間的聯(lián)系與區(qū)別.

(五)典例分析

例3說出下列各式的意義，并求它們的值

(1)±V196⑵士詈⑶士2三⑷土5

YoiMV

(5)7169(6)-VM049(8)J|-恕

解(1)196的平方根；±VT^=±14

⑵答的平方根；±聆=±￡

(3)2的勺平方根；±居=±9

(4)32的平方根；±序=±3

(5)169的正的平方根；7169=13

(6)0.0049的負(fù)的平方根；70.0049=-0.07

(7)(-3)2的負(fù)的平方根；一=-3

⑻卜恕的正的平方根；底=看

【設(shè)計(jì)意圖】通過此題練習(xí)讓學(xué)生更加熟練辨別正的平方根，負(fù)的平方根和平方根三

者表示之間異同，準(zhǔn)確理解式子的含義.

(六)變式訓(xùn)練

1.計(jì)算下列各式

⑴居=——⑵-得

⑶(4)±

2.若士，2x-5=±4,則》的值為_

3.若4=7,則》的值為_____

4.256的平方根是______

5.的平方根是___________

6.若石的平方根是土式,則產(chǎn)_______

解1.⑴：(2)一節(jié)(3；；(4)土：

353o

2.-

2

3.49

4.±16

5.±4

6.4

點(diǎn)撥：聲的平方根：表示的意義為A的正的平方根，即應(yīng)先算出儲(chǔ)的值，再求其平方根

7.已知一疹=一苓且不是正數(shù)，求2V5X+13的值

解：由一療二一茬

144

.Y2-

一石

即得入=±孩

是正數(shù)

?

,,x=—12

/.2V5x+13=2J5x^+13=10

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)讓學(xué)生更加熟練運(yùn)用平方根解決問題，利用(4)(5)對(duì)比兩者的

區(qū)別，這也是學(xué)生一個(gè)高須錯(cuò)誤點(diǎn)，針對(duì)這個(gè)錯(cuò)誤提出了解決方法.

(七)拓展探究

1.已知2a-1的平方根是±3,3。+6-26的平方根是它本身，求Q+b的平方根

解：由題意可得2。-1=9,3a4-b-26=0

解得：a=5,b=11

/.+>Ja+b=+VT6=+4

2.己知m的兩個(gè)平方根是Q+3與2Q-15,求m的值.

解：由題意可得

a+3+2a—15=0

解得：a=4

???m的兩個(gè)平方根分別7和一7

*.m=(±7)2=49

3.若Q+3與2Q-15是數(shù)m的平方根，求這個(gè)數(shù).

解：由題意可得當(dāng)Q+3+2Q-15=0時(shí)，

解得：Q=4

???/n的兩個(gè)平方根分別7和一7

Am=(±7)2=49

當(dāng)Q+3=2a-15時(shí)

解得：a=18

???21是根的平方根

=(21)2=441

綜上所述：這個(gè)數(shù)是49或441

點(diǎn)撥：

①若M的平方根為a和b：a4-b=0

②若a和b是M的平方根：a+b=。或a=b

4.對(duì)a,b定義運(yùn)算”如下:,已知3*m=30,則求數(shù)m的值

kabz(a<b)

解：由題意得：

當(dāng)3>m時(shí)，

97n=30,

解得m=M舍去)

當(dāng)3<m時(shí)，

3m2=30解得m=或m=一同(舍去)

綜上所述：m=V10

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)側(cè)重學(xué)生培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力，通過(2)(3)實(shí)例區(qū)

別兩種表述的不同，利于學(xué)生理解和掌握此知識(shí)點(diǎn).

(八)當(dāng)堂測(cè)試

1.9的平方根是（A）

A.±3B.±1C.31).-3

2.下面說法中不正確的是（I））

A.4是16的平方根B.—4是16的平方根

C.16的平方根是±4D.16的平方根是4

3.下列式子錯(cuò)誤的是（B)

A.±VM4=±0.2B.vOl=±0.1

c.-/Too=-io小=1

4./+2024的平方根分別是a,b,則a+b-2的值為__j_____

a

5.計(jì)算下列式子

(1)7225=—⑵一得——

一⑷±店=——

(3)±V289=

⑸J(-5.4)2=⑹」(±5.4)2=

解(1)15⑵.(3)±17⑷土|(5)5.4(6)5.4

6.解方程

(1)3/-6.75=0(2)(x-I)2=4

⑶Vx^T=3(4)±V%2=±4

解(DX=±1.5

(2)x=-1或x=3

(3)x=10

⑷工=±4

7.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根

解：由題意可得

(2a-1=9

13a+b—1=16

解得：a=5,b=2

?*?±Va+2b=±V9=±3

8.若a-1與5-2a是m的平方根，求a與?n這個(gè)數(shù)

解：由題意可得當(dāng)。-1+5-2。=0時(shí)，

解得：a=4

工血的兩個(gè)平方根分別3和一3

=(±3)2=9

當(dāng)Q—1=5—2a時(shí)

解得：Q=2

???1是m的平方根

Am=(I)2=1

綜上所述：當(dāng)a=4時(shí)，m