高考數學（理科）三輪突破訓練講義（三）

高考數學(理科)三輪歷年真題突破訓練講義(三)

一、選擇題

1.集合A={x|-14x42},B={xIx<l},則力n(C*)=()

(A){x|x>l}(B){x|x>1}(C){x|l<x<2.}.(D){xIl<x<2}

2.復數z=」一在復平面上對應的點位于()

\+i

(A)第一象限(B)第二象限.(C)第三象限(D)第四象限

3.對于函數/(x)=2sinxcosx,下列選項中正確的是()

(A)/(x)f(x)在(?，上是遞增的.(B)/(幻的圖像關于原點對稱

(C)/(X)的最小正周期為2乃(D)/(幻的最大值為2

4(》+25(xwR)展開式中/的系數為10,則實數a等于()

x

(A)-1(B)-(C)1(D)2

(2*+1,x<\

5.已知函數/(》).={,若/(/(0))=4a,則實數a=()

x2+ax,x>1

I4

(A)(B)](C)2(D)9

6.右圖是求樣本JV2,…XIQ平均數卜的程序框圖，圖中空白框中應填入的內容為【】

Y

(A)5=5+x?(B)S=S+^

(C)S=S+n(D)5=S+-

n

7.若某空間幾何體的三視圖如圖所示,

則該幾何體.的體積是【】

(A)|(B)|

JJ

(C)l(D)2

8.已知拋物線〃=2px(p>0)的準線與圓x2+y2—6x—7=0相切，則p的值為[]

(A)(B)l(C)2(D)4

9.對于數列｛〃〃｝,I4〃I（〃=1,2…）”是“｛〃〃｝為遞增數列”的［］

（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件

（C）必要條件（D）既不充分也不必要條件

10.某學校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當各班人數除以10的余數

大于6時再增選一名代表。那么，各班可推選代表人數），與該班人數x之間的函數關系用取整

函數尸四（卬表示不大于x的最大整數）可以表示為［］

如片［歷X］Kx+H3（B）J;=mx+3x+4①）片［可x+5］

二、填空題

11.己知向量a=（2,-1）,b=（-l,m）,c=（-l,2）,若（a+b）IIc,則m=

12.觀察下列等式：13+23^2,U+23+32=62,13+23+33+4、102,……，

根據上述規律，第五個等式為」3+23+_32_+43+53_=212.

13.從如圖所示的長方形區域內任取一個點M（x,y），則點M取自陰影部分

的概率.為.

14.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的小％的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如

下表：

ab（萬噸）C（百萬元）

A50%13

B70%0.56

某冶煉廠至少要生產1.9（萬噸）鐵,若要求小%的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石的最少費用

為（百萬元）

15.（考生注意:請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）

A.（不等式選做題）不等式I1+3|一|2-2123的解集為

B.（幾何證明選做題）如圖，已知Rt/W3C的兩條直角邊AC,BC的長分別為3cm,4cm以AC為直

徑的圖與AB交于點D,則__________________._________________

C.（坐標系與參數方程選做題）已知圓C的參數方程為n/7

程為｛：=隱/為參數）以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐

標系，直線Z的極坐標方程為作i/=】，則直線Z與圓C的交點的直角十

坐標為______________

三,解答題

16.（本小題滿分12分）已知匕力是公差不為零的等差數列，①=1,且5,&,熱成等比數列.

{I）求數列匕力的通項；（U）求數列{2%）的前n項和S.

17.（本小題滿分12分）如圖，A,B是海面上位于東西方向相聚5（3十海星的兩個觀

測點，現位于A點北偏東45,，B點北偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船

立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船達到D點需要多長時間？

18（本小題滿分12分）如圖，在四棱銖P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面

ABCD,AP=AB=2,BC=2V2,E,F分別是AD,PC的重點

（I）證明：PC_L平面BEF；（II）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。

19（本小題滿分12分）

為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行出樣檢查，測得身高情

況的統計圖如下：

（1）估計該小男生的人數：

（U）估計該校學生身高在170?185cm之間的概率；

（W）從樣本中身高在165?180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170?180cm

之間的概率。

20.(本小題滿分13分)

W+芻=1

如圖，橢圓C：。b的頂點為4528,82樵點

為尸/，尸2,|小必i=W,

SQA1Hl43=

(I)求橢圓C的方程；

(II)設〃是過原點的直線，/是與〃垂直相交于尸點、與橢圓相交于48兩點的直線,

1>1=】?，是否存在上述直線1使L?詡=1成立？若存在，求出直線1的方程;

若不存在，請說明理由E

21、(本小題滿分14分)

已知函數f(x)=4,g(x)=alnx,aeRo

(1)若曲線產f(x)與曲線產g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程;

(2)設函數h(x尸f(x)?g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值°(a)的解析式；

(3)對(2)中的°(a),證明：當aw(0,+00)時，①(a)<1.

高考數學（理科）三輪歷年真題突破訓練講義（三）

參考答案與試題解析

I.[D

2.[A]

3.[B]

4.[D]

5[C]

6.[A]1

7.[C]-

8.[C]

9.[B]

10.[B]

二、填空題：

II.tn=-l

解析：4+〃=（1,m一1）,由（4+6）〃0得1乂2—（〃7—1）乂（-1）=0,所以m=l

12.1+23+33+43+5,+6’=21?,第i個等式左邊為1至心+】的立方和，右邊為1+2+...+（i+D的平方所以第而個

等區為廣+2?+3^+43+5,+63=212.

1

13.~

T

長方形區域的面積為3,陰影部分部分的面積為f3x2dx=1,所以點M取自陰影部分部分的概率為工

Jo3

14J1（萬元）設購買鐵礦石A和B各x,y萬噸，則購買鐵礦石的費用Z=3x+6y

"0〃"l0.5x+0.7y>1.9

x,y滿足約束條件J

yx+0.5y<2

表示平面區域為

、x>0,j^>0

則當直線z=3x+6y過點B（1,2）時，購買鐵礦石的最少為用

z=15

I5.A.{x|x21卜去一:分段討論

x<-3時,原不等式等價于-523,x￡°

一3<x<2時，原不等式等價于2_r+123,x211<戈<2

入：22時，原不等式等價于5之3,.?.工之2

綜上，原不等式解集為｛x|x21｝

法二：利用絕對值的幾何意義放在數軸上研究

法三：借助函數y=|x+3]一卜一2|的圖像研究

B.4解析:由直角三角形射影定理可得

丁

BC1=BD-BA,乂BC=4,BA=5,所以BD=/

9BD16

AD------=——

5DA9

解析：直線I的極坐標方程為0sin0=1化為普通方程為y=h

所以直線1與圓工2+（y-l）2=1的交點坐標為

三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）

16.解：⑴由題設知公差dKO

由q=1且q,%，小成等比數列得1+；d=；+；；

解得d=l,d=O（舍去）故｛%｝的通項=1+（〃-1）x1="

（2）由（1）知2""=2",11等比數列前n項和公式得Sa=2+2?+2,+…+2"=----------=2W+1-217.

"1-2

解：由題意知AB=5（3+百）海里,

/DBA=90°-60°=30°,NDAB=45°,z./ADB=105°

在.AD4B中,由正弦定理得

DBAB

sinNDAB-sin4DB

nc.4^*sinZ.DAB5（3+VJ）?sin450_5（3+揚?sin45。

DB=-------------------

sinZ.ADBsin105°sin45°?cos600+sin60°?cos45°

5行（1+拘

=1073（海里），又/。8。=/。84+乙48。=30。+（90。-60。）=60。,8。=206海里，在

a+5

2

ADBC中,由余弦定理得

CD?=BD?+BC?—2BD?BC?asNDBC=300+1200-2x10>/3x20V3xl=900

2

...CO=30(海里)，則需要的時間f=——=1(小時)。答：救援船到達D點需要1小時。

30

注：如果認定AQBC為直角三角形，根據勾股定理正確求得CD,同樣給分。

18.解法一：

<I)如圖，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系。

???AP=AB=2,BC=AD=2>/2,四邊形ABCD是矩形

??.A,B,C,D,P的坐標為J(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2V2,0),D(0,2拒,0),P(0,0,2)

又E,F分別是AD,PC的中點，

??.E(0,V2,0),F(l,V2,l)

.?.PC=(2,2x/2,-2),而=(一1,正,1),際=(1,0,1),

??.PC-5F=-2+4-2=0,PC.￡F=2+0-2=0,

/.PC1BF,PC1EF,

.'.PC1BF.PClEF,BFnEF=F,

PC上平面BEF

(II)

由(【)知平面BEF的法向量/=PC=(2,2^/^,—2),平面BAP的法向量〃2=AD=(0,2\/2,0),

工〃]?〃2=8設平面BEF與平面BAP的家教為0,

則COS0=|COS(Wj,77,)|==——^—r=--,

2

'l^ll?2l4x2及2

???8=45",.??平面BEF與平面BAP的夾角為45°

解法二：(I)連接PE,EC,在Rt△產力￡*和Rt^CDE中，

PA=AB=CD,AE=DE,

/.PE-CE,即△PEC是等腰三角形，

又F是PC的中點，???EF_LPC,

又BF=NAP?+4B?=2J2=BC,F是PC的中點,

???BF1PC

又BFcEF=F,PC1平面

(11)?/PA_L平面ABCD,工PA1BC,

又ABCD是矩形，/.AB±BC,

:.BClTffiBAP,BC1PB,

又由(I)知PC_L平面BEF,

/.直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角,

在△P8C中，PB=BC,NPBC=90',ZPCB=45°

所以平面BEF與平面BAP的夾角為45°

19,解:

<I）樣本中男生人數為40,由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數為400人。

（1【）由統計圖知，樣本中身高在17a185cm之間的學生有14+13+4+3+1=35人，樣本容量為70,所以樣本中學生身高在

170-180cm之間的概率p=0.5

（IB）樣本中女生身高在165~180cm之間的人數為10,身高在170780cm之間的人數為4,

設A表示事件“從樣本中身高在165?180cm之間的女生中任取2人,至少有1人身高在170T80cm之間”,

則p（/）=i—與=2（或p（/）=c：+q+c；=）

C；。3C：。3

20.（本小題滿分13分）

解：（I）

由14Al=知/+//=7,①

=

由^oAtBtA2B22s0用尸總尸2知a=2c,②

又〃=-，③

v.2v2

由①②③解得/=4,/=3,故橢圓C的方程為=十二=1

43

（II）設A,B兩點的坐標分別為區,.匕）,（占,必），假設使而?戶?=1成立的直線/存在，

（i）當/不垂直于x軸時，設/的方程為y=H+m,山/與〃垂直相交于P點且|而|=1得=1,即

/=公+1V方?而=1,|而1=1,.?.OA.OB=（OP+~PA^（OP+PB）

OP+OPPB+PA-OP+PA?PB=i+o+o-i=o,即xxx2+yiy2=0，將y=Ax+m代入橢圓方程，得

(3+4k2)x2+^kmx+(4/H2-12)=0

—8km4m2-12

由求根公式nJ■得X]+X=---------7④X.X=--------------—⑤

'23+4-1223+4公

X1X+k2xx+km"+x)-\-m2

0=xlx2+y]y2=x/2+(傷+ni)[kx2+m)2122

2

(1+A)x,x2+km"+x2)+〃/

將④，⑤代入上式并化簡得（1+興）（4川―12）—8系2m2+加2（3+4/）=0

將陽2=1+代入⑥并化簡得一5(犬+1)=0,矛盾即此時直線I不存在

(ii)當/垂直于X軸時，滿足I91=1的直線/的方程為x=l或x=l,

33

當x=i時，人上]的坐標分別為。，5),(1,-5),(1,0),

—3—3

??.4尸=(0,一5),尸8二(0「5),

------9

:.AP?PB=一手'

4

當x=-l時，同理可得萬?麗W1,矛盾

即此時直線/也不存在

綜上可知，使NA?而=1成立的直線/不存在

21.(本小題滿分】4分)

1aJVx=a\nx,

解：(I)f\x)--五,g'(x)=@(x>0)，由己知得《1a解得。=￡,x=/,

2Vxx—i==-,2

12Vxx

:,兩條直線交點的坐標為(/,e),切線的斜率為％=/'(/)=」一,

2e

切線的方程為y-e=」-(x-/)

2e

]-2a

(II)由條件知萬(x)=五一alnx(x>0),，h\x)=------—