橢圓題（含解析）-高二數(shù)學上學期蘇教版

3,1橢圓精選題練習一高二數(shù)學上學期蘇教版(2019)

一、單選題

1.己知點P為橢圓C:工+上=1上任意一點，直線/過。M:X2+/—4X+3=0的圓心且與交于

1612

48兩點，則尸；》的取值范圍是()

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

橢圓工+片=1的焦點為4,0尸為橢圓上一點，若|P用=3,則|P引二()

2.

1625

A.4B.3C.5D.7

3.若橢圓焦點在X軸上且經(jīng)過點(-4,0),焦距為6,則該橢惻的標準方程為()

A，^+f=，B.C.二十二=1D

816-?

4.已知直線…所5=。與圓八y一沒有公共點，則點崢，”與橢圓的位置關(guān)系是

A.在橢圓內(nèi)B.在橢圓外

C.在橢圓上D.不確定

已知橢盛+%

5.=14>6>0的兩個焦點分別為4(-3,0)/(3,0),上的頂點為P,且空=60。,

則此橢圓長軸為()

A.4x/3B.2x/3C.6D.12

6.已知橢圓的左、右焦點分別為小，點。為橢圓。與，軸的交點，若巾”

是鈍角三角形，則橢圓。的離心率的取值范圍是()

A.B.C.D.

7.設(shè)用分別是離心率為孝的橢圓C:

*+3=1伍>6>0)的左、右焦點,過點片的直線交橢圓C

于4B兩點,且M用=3|"回，則COS少5=()

1B五3

A.-D，5

55-I

8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮

于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘攆開后擺放在戶外展限場地上，如圖所示，該

傘的傘沿是一個半徑為1的圓,圓心到傘柄底端的距離為1,陽光照射油紙傘在地面上形成了一個橢

圓形影子（春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為60＞）,則（）

B.該橢圓的離心率為b6-5

D.該橢圓的焦距為2百-1

二、多選題

9.已知不用分別是橢圓=1的左，右焦點，夕為橢圓C上異于長軸端點力，8的動點,

則下列結(jié)論F確的是（）

A.橢圓。的焦距為6B.△尸月用的周長為16

C.2<|P^|<8D.巴的面積的最大值為16

10.已知橢圓C：片+匕=1,則下列說法中正確的是（）

46

A.橢圓。的焦點在x軸上B.橢圓。的長軸長是2指

C.橢圓C的焦距為4D.橢圓。的離心率為正

3

11.已知橢圓C:二+^=1的兩個焦點為環(huán)、F”A、8為鞠圓的左、右頂點，。為C上一點，則

34

下列結(jié)論正確的是（）

A.周長為6

B.|尸用的最大值為3

C.橢圓的離心率為且

3

D.直線尸4與總的斜率的乘積為一1

4

三、填空題

12.已知橢圓的兩個焦點為耳卜石,0）,6（石,0），必是橢圓上一點，若礪_L歡，且|麗［麗卜8,

則該橢圓的方程是.

13.已知0行分別為橢圓C:/+，=l(4>b>0)的左，右焦點，力為橢圓。的上頂點，且△力片用為

等邊三角形；過大且垂直于4月的直線與橢圓C交于。,￡兩點，則△/1OE的周長為.

=1(0>〃>0)的離心率為;，4、4分別為。的左、右頂點，8為c的上

14.已知橢圓C：/+后

頂點.若瓦彳.瓦1=-1,則。的方程為

四、解答題

15.已知橢圓C：￡+￡=l(其中。>〃>0)的離心率為堂,左右焦點分別為月(-1,0),6(1,0).

ab~2

(1)求橢圓C的方程：

⑵過點片作斜率為左的直線與橢圓。交于不同的46兩點，過原點作力5的垂線，垂足為0.若點。

恰好是K與力的中點，求攵的值.

16.已知小鳥是橢圓C：馬+4=1(°>6>0)的兩個焦點，陽閭=2,"2,乎為C上一點.

a'b~I5)

⑴求橢圓。的標準方程:

(2)若P為。上一點，且可，百鳥，求△耳。尼的面積.

17.設(shè)直線/與橢圓C：E+^=1相交于A,8兩點，已知點力(0,1).

4b~

(1)直接寫出橢圓C的標準方程；

⑵設(shè)直線/的斜率存在，求弦長|力用關(guān)于斜率人的表達式，并化簡；

⑶若設(shè)點4的坐標為(〃▼?),求弦長|/必|關(guān)于〃的表達式，并化簡；

(4)直接寫出弦長的最大值.

18.已知橢圓+過點(0,75),A,A分別是E的左頂點和下頂點，”是E右

a~b~

TT

焦點，/-AFB=-.

J

⑴求E的方程；

⑵過點廠的直線與橢圓后交于點乙Q,直線力人力。分別與直線x=4交于不同的兩點M,N.設(shè)

直線EW,EV的斜率分別為人，k2,求證：左用為定值.

19.已知橢圓E:[+;=1的左右頂點為4,小,左右焦點為a，產(chǎn)2,過R,產(chǎn)2分別

a-h-

作兩條互相平行的直線八，h,其中八交E于48兩點，I&E于C,。兩點，且點兒C位于x

軸同側(cè)，直線4。與彳力交于點P.當心與x軸垂直時，△尸EE是面積為1的等腰直角三箱形.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若直線4c與直線力4的斜率之和為1,求直線八，A的方程；

⑶求渦的取值范圍?

參考答案:

題號12345678910

答案ADBADDDBABBD

題號11

答案AB

1.A

【分析[根據(jù)圓心”為44的中點，利用向量運算將蘇?麗用|麗|來表示，轉(zhuǎn)化為橢圓上一點到焦

點的距離范圍求解即可.

【詳解】OM:x2+/-4x+3=0,UP(X-2)2+/=1,

則圓心M(2,0),半徑為1.

橢圓方程C:t+匕=1，〃2=]6,/=12,

1612

則C2=/-〃=]6-12=4,C=2,

則圓心M(2,0)為橢圓的焦點，

由題意力8的圓的直徑，旦網(wǎng)=2

如圖，連接尸由題意知M為中點，則祝3=-麗，

可得萬屈=(而+祝3)四+礪卜顏-礪)四+而')

二|啊2T洞2=|PAT|2-I.

點P為橢圓C：E+己=1上任意一點，

1612

貝！JpM="c=2,IPA/1=a+c=6,

IIminIImax

由2K網(wǎng)46,

得萬.麗=即『-1e[3,35].

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵于利用中點性質(zhì)，將多動點有關(guān)的數(shù)量積，通過向量的線性運

算與數(shù)量積運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為動點與定點圓心連線的長度來表示，進而可借助橢圓上任意一點到焦點

距離的范圍使問題得解.

2.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出結(jié)果.

【詳解】橢圓工+廣=1的長半軸長。=5,依題意，|尸耳+|”|=2〃=10,而|心|=3,

1625

所以|?鳥|=7.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)題意得出dAc,即可得解.

【詳解】由題意得橢圓焦點在x軸上且經(jīng)過點（-4,0）,焦距為6,

22

所以。=4,2。=6,貝ljc=3,〃=a-c=7,

所以橢圓的標準方程為《+《=1?

167

故選：B.

4.A

【分析】由直線與圓沒有公共點得病+/<5,再利用放縮法得匹+式<1,可判斷點與橢圓的位置

75

關(guān)系.

【詳解】?.?直線〃出+，沙-5=0與圓/+丁=5沒有公共點，

???圓心（0,0）到直線的距離d=■,5>石,即<5,

\lrn~+"

/.0K"J<5,

2，，,

pm/廣，nr.

XV——+—<——+—<1,

7555

點?（磯〃）在橢圓內(nèi)部.

故選：A.

5.D

【分析】根據(jù)焦點坐標得到C,再由/々P鳥=6（r得到“，c的關(guān)系求解.

【詳解】因為橢圓￡+右=10>6>0的兩個焦點分別為6（-3,0）,乙（3,0）,則0=3,

ab“

又上頂點為尸，且/月尸￡=6（）,所以￡c=sin3（）o=I：,所以。=6,故長軸長為12.

a2

故選：D

6.D

【分析】依題意，根據(jù)圖形，根據(jù)離心率的計算公式求解即可.

【詳解】

所以sinN吵

則橢圓C的離心率的取值范圍是故A,B,C錯誤.

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到NZ=90。，從而得到結(jié)果.

【詳解】因為￡=立，所以〃=缶.設(shè)比同=d>0),則|朗|二3，,|力回=4/.

a2

(3/>+(2a-3/尸-(2c>9-+(2a-3/)?-2/

在△片片網(wǎng)中,cqsA==

2x3fx(2a-3r)2x3/x(2。-3，)

(4/)2+(2a—31)2-(2a-1)?_16/+(2〃-3/產(chǎn)一(2a―/了

在△43%中,

2x4zx(2tz-3/)2x4/x(2tz-3/)

9」+(2〃-3/)2-2“2=16」+(2〃-3廳一(2a-I

‘2x3/x(2a-3z)2x4/x(2a-3/)整理得，3at=a2,a=3t.

于是|力用|=3f=|力用,忸工|=5t\AB\=4/,ZJ=90°,cosZJF,Z?=1.

故選：D.

8.B

【分析】先求出結(jié)合橢圓的知識以及正弦定理求得dJ進而可得橢圓的離心率和焦孔.

【詳解】如圖，傘沿的圓心位于點。，傘柄底端位于點月，，43為圓的直徑，C8為橢圓形的左右頂

點，

由題意可得<8=2,OB=OF、=l,則4=45°，

22

BFX=^OF.+OB=Vl+T=>11,即4+6=啦,

陽光照射方向與地面的夾角為60。，即C—60。，

貝UNCAB=180-60,-45°=75',

sin75c=sin(30°+45°)=sin30;cos450+cos30,sin45°=；x孝+孝x曰=&；應,

BCAB2

在△48C中,,即

sinZ.CABsinCsin75sin60

2a=2

即6+及二瓦解得”'，而8=1,故c=\Ja2-b2=

6

42

x/3-1

~1~=,355,故A錯誤,B正確.；

-[24+126

36

2c=2》36-5，故CD錯誤.

故選：B.

9.AB

【分析】由橢圓方程求得。，b,c的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項即可逐一求解.

【詳解】由橢圓C:二+匕=1,得〃=5,6=4,c=3,

2516

「?橢圓。的焦距為2c=6,故A正確；

又P為橢圓。上異于長軸端點A,4的動點，.?.△尸片5的周長為2a+2c=16,故B正確；

2=a-c<\PFl\<a+c=S,故C錯誤；

當P為橢圓C的短軸的一個端點時，△地馬的面積取最大值為gx2cxb=bc=12,故D錯誤.

故選：AB.

10.BD

【分析】根據(jù)桶圓的標準方程求出。力,°,再逐項判斷可得答案.

【詳解】a2=6,b2=4,;h2=a2-b2=6-4=2,可得。=&,b=2,c=亞，

6>4,所以橢圓C的焦點在），軸上，故A錯誤;

橢圓。的長軸長是2a=2#,故B正確;

橢圓C的焦距是2c=2及，故C錯誤;

五

橢圓。的離心率為￡==故D正確.

a^T

故選：BD.

11.AB

【分析】利用橢圓的定義可判斷A選項；利用橢圓的范圍可求出IPFJ的最大值，可判斷B選項；以

橢圓的離心率公式可判斷C選項；利用斜率公式結(jié)合橢圓方程可求出直線與P8的斜率的乘積，

可判斷D選項.

【詳解】對于橢圓C:土+匕=1,。=2,6=百，c=」/-b?=J4-3=1，

34

對于A選項,△刊例的周長為|尸制+|產(chǎn)用+|￡&=2〃+2c=2x2+2xl=6,A對;

對于B選項,易知點”（0,7）、瑪（0,1）,

設(shè)點P（x,y）,則宣=3-，/,其中一2WyW2,

4

則|P國=Jd+Q+lf=小3十+/+2），+1=3+2y+4=2+^

=2+產(chǎn)3,當且僅當y=2時，等號成立，故|P片］的最大值為3,B對:

c1

對于C選項，橢圓的離心率為e=￡=C錯；

a2

對于D選項,易知點力（-G。）、B（6,0）,

4x24（3--）

則6〃=a_____"二/亍二^~~二f，D錯.

“網(wǎng)x+x/3x-^3/一3/-33-x23

故選：AB.

12.2=1

94

【分析】先設(shè)點的坐標，再根據(jù)已知模長及向量垂直化簡得出橢圓方程.

【詳解】設(shè)點”（x,y）,

又因為何_L西,|叫叫=8,|福=2氐

所以|礪『+帆同2=麻,=20,

所以《礪卜|斯『=|礪『+1麗『+21礪J]近卜20+16=36,

所以|應用+|麗卜6,根據(jù)橢圓定義可得2a=6,c=石萬=/-c?=9-5=4,

所以橢圓的方程是￡+片=1.

94

故答案為：—+￡-=1.

94

13.16

【分析】根據(jù)條件可得|AD|=\DF2\,\AE\=\EF2\,然后根據(jù)橢圓的定義可得

因為△力石行為等邊三角形，\AF.\=\AF2\=a=2c=4,

且過鼻且垂直于AF2的直線與橢圓C交于D,E兩點,

所以DE為線段AF的垂直平分線，

n\AD\=\DF2\f\AE\=\EF2\,

則LADE的周長為歷D|+\AE\+\DE\=\DF2\+\EF2\+|DFJ+\EFt\=2a+2a=4a=4x4=46,

故答案為：16

【分析】根據(jù)離心率及斯?項;=-1,解得關(guān)于。2,〃的等量關(guān)系式，即可得解.

【詳解】因為離心率e=￡=J1—咚」，解得耳=]

a\a23a-99

4,4分別為c的左右頂點,則4（一0）,4（凡0），

〃為上頂點，所以4（（）力）.

所以可=（-a,-〃）,甌=（a,-⑴，因為麗?麗二7

Q

所以—/+/=_1,將從=］。：代入，解得6=9,〃=8,

故橢圓的方程為E+E=i.

98

故答案為：—+^=1.

98

2

15.（Dy+r=l

⑵±1

【分析】（1）由題意可得c的值，由離心率可得。的值，進而可求出〃的值，可得橢圓方程；

（2）聯(lián)立4g,由題意可得0。為中位線，進而可得力￡_L4鳥，在直角三角形中，可得A為上頂點

或下頂點，可得直線48的斜率.

【詳解】（1）由題意可得C=l,又e=￡=①，可得q=VL

a2

所以b-2-1=1,

2

所以橢圓。的方程為：—+/=1.

2

（2）連接力與，由。為的中點，而。為力￡的中點，所以0。為中位線，即。。"加，

即4Kl//,設(shè)|力用?，可得用=/一/*=2應—，

在中，\F}F2\=2C=2,所以（2&-r『+〃2=22,

整理可得卜-拉）'=（），可得|力用=|加2二&,

所以可得力為上頂點或下頂點，

所以直線48斜率為2或-2,即〃=1或-1.

cc

所以〃的值為±1.

16.(1)—+^=

54

⑵竽

【分析】（1）根據(jù)條件先求解出C的值，然后根據(jù)橢圓定義求解出〃的值，結(jié)合〃2=/>2+°2求解出人的

值，則方程可求；

（2）根據(jù)鳥先求解出。點坐標，然后由三角形面積公式求解出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)橢圓。的焦距為2c,因為內(nèi)國=2,可得c=l,所以/T,0）,馬（1,0）,

叫"一,9+]一學'I“引-^f-挈，

7石3石

由橢圓的定義可得_+_5+5_/7?所以力=J5-1=2，

Q=------=-----=7、

22

故橢圓C的標準方程為二+亡=1.

54

（2）因為助JLZK，

⑵?沖!￡553

1+4公

(3)|力8|=」一3〃2—2〃+5

【分析】（1）根據(jù)點力的坐標,求出6,即得答案;

（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得交點坐標，根據(jù)弦長公式，即得答案:

（3）由兩點間距離公式，即可求得答案；

（4）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即得答案.

2

【詳解】（1）由題意知力（0,1）在橢圓.匕則。=1,故橢圓的標準方程為（+*=］；

（2）由于直線/的斜率存在，設(shè)其方程為歹=區(qū)+1,聯(lián)立工+/=］,

4

得（1+4/）/+8區(qū)=0,解得兩根，不妨設(shè)再=0,當=/三，

1十m

2

故|力用=J1+/一848西0+k).

1+4公1+4-

(3)設(shè)點"的坐標為(加，〃)，則巴-+1=1,則〃J=40-〃~),

則|/用=/?2+("])：,4(1_〃2.G-j=，少2一%+5:

(4)由于|48|二J—3〃2—2〃+5,

當〃=-夫［-L1］時，|力8|取得最大值為.3（-；J-2（-1）+5=苧

18.⑴三+匕=1；

43

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出。，dc即可得￡的方程.

（2）設(shè)出直線尸。的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由直線4P,%。求出M,N的坐標，利用韋達定理結(jié)合斜

率的坐標表示計算即得.

22

【詳解】（1）由橢圓￡1+4=1（八〃〉0）過點（0,6）,得6=6，

a'b'

由/力產(chǎn)8二三,得橢圓半焦距。=1,則長半軸長°=J。?+從=2，

所以E的方程為匕+仁=1.

43

（2）顯然直線也不垂直于y軸，設(shè)直線電的方程為x=〃少+1,產(chǎn)區(qū),必）,。（孫力），

x=my+1、,

由，[3.八"』2消去"陽3"+旬，+6〃少-9=0,顯然△>(),

必+為=?，必為=:，直線AP的方程為y=（X+2），

3m+43m+4xl+2

令x=4,得點時的縱坐標八/二駕二一”，同理點N的縱坐標打二一生,

因此強=也.氏=―皿—=―一皿--------

33（〃/i+3）（"％+3）m~yxy2+3訊乂+”）+9

3〃產(chǎn)+4

-1為定值,

3"+4

（2）直線4:y=-x-L直線4：y=-x+i

⑶［百-也6+穹

【分析】(1)根據(jù)是等腰直角三角形得到直線CK方程和力入方程，然后求出P(O,c)，再根據(jù)

得到方程組求解.

(2)利用對稱性得到44〃4。燃后把條件轉(zhuǎn)化為L+”的=1，再然后結(jié)合韋達定理求出4和4的

斜率.

(3)通過對稱性得到4(-々，-%)，然后求出直線4c和直線4力方程，通過相乘得到戶的軌跡方程,

\PE\

最后通過P的軌跡方程消元得到導的取值范圍.

\PF2\

【詳解】(1)

設(shè)耳(一。⑼，瑪(c,0),

故直線co的方程為工=心

X=C/2\/

由y2I，得一彳",所以歹=±星，

匕+方=】I口。

(h2\

不妨設(shè)Cc,—,

I?J

由△尸八月是等腰直角三角形可得勺*=1，

所以直線方程為：x=y-c,同理可得次方程為：x=-y+c,

所以交點P(O,c),

由凡是等腰直角三角形面積為1可得：X2cXc=L

乙

解得。2=1，

又?(O,c)在直線4C上，

所以kpA=kpc,

b2

所以￡=二Z，又1=/+c2,

a-c

所以〃2=4,"=3,

所以橢圓方程￡:二+片=1.