2026高考數學高頻考點練：導數的應用

導數的應用

一、單選題

1.曲線y=工在點（1,：〕處的切線方程為（）

x+1k2）

ee?e3e

A.v=—xB.v=—xC.v=D.y=—x+——

-24

【答案】c

【解析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.

設曲線尸鼻在點處的切線方程為y-]=Nx-i）,

因為），=

X+1

e^x+lj-e*xex

所以y(?1)2

所以左

所以y-：=5（xT）

11

所以曲線），=上二在點八處的切線方程為y=

x+1\44

故選：C

2.函數+仆+2存在3個零點，則。的取值范圍是（）

A.（田,-2）B.2,-3）C.（-4,-1）D.（-3,0）

【答案】B

【解析】寫出r*）=3Y+。，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.

f（x）=x3+ax+2,則f\x）=3x2+a,

若要存在3個零點，則外“要存在極大值和極小值，則av0,

令f\x)=3x2+a=。,解得A-=一或，

且當時,r。)>o,

當H舊用/‘⑴皿

故“X）的極大值為了極小值為了

+2>0

若/(x)要存在3個零點，貝上,脩得4V-3,

「席卜。

+2<0

故選：B.

n

3.已知函數/(工)=陰一12,若-夜)/e。，c=/7l,則的大小關系為()

A.b>a>cB,a>c>b

C.c>a>bD,b>c>a

【答案】D

【解析】先判斷函數/(?的奇偶性，再分析其在XNO時的單調性，同時分析函數g(x)的單調性，進而比較自變量的大

小，最后根據了。)的單調性得出函數值的大小關系.

因為/(-6=4-(r>=ew-x2=/(x),所以/(x)為偶函數，

當xNO時，則/(x)=e'-x2,所以ra)=e'-2x.

令。(x)=/'(x)，則e'(K)=e'-2,

令d(x)<。，解得0Wx<ln2；令d(x)>0,解得工>ln2,

所以。(工)在［0,ln2)上單調遞減，在(ln2,+司上單調遞增，可得0(司2夕(巾2)=2(1-11］2)>0,即外))>0在［0,+8)上

恒成立，故/(“在［0,+功上單調遞增.

令8("=則，貝Ijg，(x)=、￥，所以當x>e時，g［x)<o,函數g(”單調遞減，當0cx<e時，g'(x)>o,函數g(x)

Xxf

單調遞增，

Xe<7r<4,所以g(e)>g(7T)>g(4),即詈>竽>軍=殍，

所以1>/>五，所以//>/卡>/(x/2)=/(-V2),即〃>c>a.

\7\/

故選：D.

4.已知函數〃"二優'-1門在區間(1,2)上單調遞增，則〃的最小值為().

A.e:B.eC.e_*D.e~2

【答案】C

【解析】根據rCr)=ae、-，2。在(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

X

依題可知，/'(x)=ae'-：2O在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以依12：,

設&(力=氏5?1,2),所以/(力=(%+1腔0,所以g(x)在(1,2)二單調遞增，

1?W>^(l)=c,故e?-,即a“=e”,即a的最小值為e".

ae

故選：c.

5.設函數/(”=(e'+2—a)in(x—〃)，若/⑴之0,則號一人的最小值為()

A.B.叵C.3D.-

222

【答案】D

【解析】由已知和函數的性質，^/(x)>o,貝Ijg(x)—ln(x—0和MM—e那-a—0都是增函數，它們的解相同,

a1

可得岳H=lna-2,即b=lna-3,代入-〃構造函數0(])=5+3-111.丫,利用導數即可求得夕(x)的最小值，即為答

T

案.

函數/")的定義域為伽+巧，函數g(x)=m(x—/?)是增函數，且g(l+〃)=0,

當。W0時，e"2_〃>0,不合題意，故a>0,函數〃(x)=e-2-a是增函數,

令〃(x)=0,得x=lna_2,由題意〃工)20,

并結合g(r),〃(x)的圖象,

則Z?+l=lna-2,即/?=】na—3,

22

則--b=—+3-\na,設*(%)=與+3一如％,

22

7

當0<xvl時，d(x)<o,8(X)單調遞減，當K>1時，o'(x)>0,必x)單調遞增，則雙外2°(1)=5即幺-〃的最

2

7

小值為工.

故選：D

6.若關于工的不等式(。"2”一工-2(〃>())有且只有兩個整數解，則實數。的取值范圍是()

A.(0,11B.[2-e,DC.(0,1)D.Le-2,1)

【答案】C

【解析】設/(“=竺」(a>。)，利用導數法研究函數的單調性，再結合特殊點及一次函數的性質畫出函數

e

〃x)，g(x)的大致圖象，根據圖象列不等式組求解即可.

設/(x)=^7^(a>。),g(x)=X-2,

e

則不等式(G：-2)eTN.L2(a>0)即/(x)Ng(x)有且只有兩個整數解.

因為1一"卜一、“且”二:1+2>1,

f(-)=-;-----(。>0)aa

e

所以當x〈y時，ra)>oj(x)單調遞增，

當x>山時，ra)<oj(x)單調遞減.

G

997

當x=K時，/(工)=0,當工<士時，/(x)<0,當X>4時，/(x)>0,

當x無限趨向于負無窮大時，/(x)無限趨向于負無窮大，

當x無限趨向于正無窮大時，“X)無限趨向于0.

因為函數g(力在R上單調遞增,g(為=-2,g(l)=-l,g⑵=0,

則f(O)=W=-2J⑴=。,/⑵二竺±/(0)=2(。)，

eee

函數/a),g“)的大致圖象如圖

由圖可知，要使有且只有兩個整數解，這兩個整數解必然是0,1,

土三—1,

所以解得2-eKa<l.又a>0,所以Ovavl.

2a-2八

——<0,

e

故選：C.

7.若正實數x,V滿足沖］(3沖)=。3”,則》的最小值為()

A.1B.yfcC.eD.2

【答案】C

【解析】原等式變形為ln(3")"n(3⑹=3.e,構造函數/(/)=/e'/>0,分析單調性可得1"3"，)=3工，等價變形為

)，=三">0,根據困數單調性可得)'的最小值.

-3x

由)，皿(3孫)=已“，得3_yyln(3個)=3把“，故m(3⑹0叩⑹=3肥③入.

由題意得，3x>0,3町>0,

由e3'>O,eln(3x?)>O,ln(3歲)十呻⑹-3.ve維得，ln(3,^)>0.

設/(/)=d，/>0,則r(，)=(f+l)e'>0,

???/(1)在(0,+8)上單調遞增,

*.*/(111(3^))=/(3.\),ln(3xy?)=3x,

:.3xy'=e",即y=——,x>0,

3x

.,(3A-l)e3x人,(3,r-1)e3x八伯1

??1='、]，令丁=」=o,得工=彳，

3r3x3

當％w(og)時，y<0,>，=捻■在?上單調遞減，

當Xw(g,+8時，/>(),)，=*在(!，+")上單調遞增,

???當時，y取極小值也是最小值，最小值為工

故選；C.

8.設函數f(x)=(x+與(訛'-1),若/(用20恒成立，則。-力的最小值為()

A.4B.In2C.eD.1

【答案】D

【解析】找到/(x)的零點可得-b=hJ,構造函數g(x),由導數分析單調性找到最小值即可.

a

當。=()時，f(x)=-x-bt不滿足20恒成立；

當〃工0時，令/(X)=(x+㈤(ae'_1)=0,可得工=一〃或c'=，nx=ln，，

函數/(X)="+與(優、-1)的零點為-b和In1,

因為八#20恒成立，所以—〃=ln,，

a

所以a—力=a+h]L,

a

令g(x)=x+lnL則/(力二1」，

XXf

令g'(x)=0=>x=l,

所以當0<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調遞減;

當x>l時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

則鼠初而=&⑴=1，

所以a-Z?的最小值為I.

故選：D

9.當工」時，關于x的不等式非+松_小心-12>-1恒成立，則。的取值范圍是()

A.傣,+8)B.(1,+co)C.(e,+8)D.

【答案】D

【解析】由已知得公e—構造函數/("=,k-叫匯對，利用導數判斷出〃”的單調性,可得”一

在a1時恒成立，令屋力=蛆(壯1),利用導數求出g(x)的最大值可得答案.

X

ar

由e"~"，-e"~M”—Inx—1得?cat>IILV-1,

x

即oxeax-e<w>x\nx-x=e,nrliu--elnx,

令/(x)=Ae'-e'(x>l),則/'(x)=>0,

所以/W在[1，位)上單調遞增，

由a股小一6〃>心*瓜工一心"，

可得了(因>/(3)，ar>lav,即a>空在xN1時恒成立，

X

令g(x)=媽(KN1),則g'(x)=匕學，令g'(x)=O得X=e,

XX

當lKx<e時g'(x)>0,g(“單調遞增，

當1>e時g<x)<0,g(x)單調遞減,

所以g(x)?g(e)=?^=；,所以a>g.

故選：D

10.己知函數〃司="：二山一尸：°",Vx€(0,-kz>),有恒成立，則〃的取值范圍是()

—2.X-CLX+1,XSI)

A.[1,-KC)B.口,2上]C.-,2D.[1,3]

【答案】D

【解析】由xw(O,s)及得至ij/(x)和〃r),討論，的范圍：當"0時，/(一)>()在工?0,位)上恒成立，由函數

尸骨-1和y=lnx在x?0,”)存在交點,得到/(“存在區間使得/(“<0,不合題意；當()<〃時，由過點(0,-1)作

曲線)=lnx切線得到a=l.再分類討論：當Ovavl時，由導數求得/(一)最小值，然后得到/(-力>0,由切線可知

存在區間使得不合題意；當a=l時，/(-力>0,/")之。恒成立，滿足題意；當〃>1時，/(%)>0,則需

要/(-6>0成立，即得到/(-回的最小值大于0,然后得到。的范圍.綜上所述得到結果.

XG（O,+CC）,/.-XG（^O,0）,

當a<0時，則/(-x)=-2(-x)3一+1=2x3-ar?+1>0恒成立,

/(x)=奴-Inx-1在(0,+司上單調遞減,

由一次函數>=與函數y=Inx一定存在交點可知函數/(力存在零點，

即存在維,使得x?0,飛)時，/(力>0,xe(^,+oo)Rt,/(x)<0,

不符合題意，舍去.

當a>0時,

設直線y=ar-l為函數>=lnx切線，設切點為(％,In%)

則。=,，KPInx,=—xxj-l=o,則％=1,a=l,

①當OvaV1時，函數/(x)=avTnxT存在兩個零點，

令g(x)=f(-x)=2xy-ax2+\,則,(/)=6犬2-2av=2x(3x-a),

???當％電⑥時，/(x)<0,x(x)單調遞減：當收仁收)時，/(x)>0,2⑺單調遞增:

???/(―力=g(工)Ng(與)=>0,即/(一可>0恒成立.

此時無法滿足題意，舍去；

②當4=1時，由①可知f(x)",/(-A)>0,滿足/(x)/(-x)N0,

③當時，小)>。恒成立，要使得/("(—X)"恒成立，則需要/(—X)2O恒成立，由①得1-奈0,???d3,

即lva?3.

綜上所述14a?3.

故選：D

【小結】思路點睛，要想得到了W〃r)N0,則需要函數〃力,〃-力在相同區間內同號.然后借助直線與曲線的切

線以及導函數等知識來找創函數在某曲I乂間卜的正負情況.

二、多選題

11.設函數函幻=2丁-3加+1,則()

A.當〃>1時，有三個零點

B.當〃<0時，x=0是/*)的極大值點

C.存在小b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在。，使得點(1J⑴)為曲線y=f(M的對稱中心

【答案】AD

【解析】A選項，先分析出函數的極值點為x=O,x=a,根據零點存在定理和極值的符號判斷出/(x)在㈠,0),(0"),(a,2”)

上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的4以使得x=b為/(幻的

對稱軸,則/(x)=/(2〃-x)為恒等式，據此計算判斷;D選項,若存在這樣的。，使得(1,3-3。)為F(x)的對稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6a,據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.

A選項，f(x)=6x2-6av=6x(x-a),由于。>1,

故工￡(『》,0)口(4,+8)時f(x)>0,故f(x)在(e,0),(a,+8)上單調遞增，

%e(04)時，Ax)<0,f(x)單調遞減，

則/0)在x=0處取到極大值，在x=〃處取到極小值，

由/(0)=I>0,f(a)=\-a3<0,WiJ/(0)/(a)<0,

根據零點存在定理/*)在(0,。)上有一個零點，

又/(-I)=-l-3a<0,/(2a)=4/+1>0,則/(-1)/(0)<0,/(?)/(2^)<0,

則/⑶在(T,0),3,2a)上各有一個零點,于是。>1時,/。)有三個零點，A選項正確;

B選項，rM=6x(x-a)t。<0時，AG(?,()),/V)<0,/(X)單調遞減，

工￡(0,+0))時/(幻>(),單調遞增，

此時/(?在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的4。，使得x=b為的對稱軸，

即存在這樣的。，〃使得fM=f(2b-x),

艮［J2x3-3ax2+\=2(2〃一x)3-3aQb-x)2+l,

根據二項式定理，等式右邊(28-?展開式含有/的項為2C；(2〃)°(-x)3=-21,

于是等式左右兩邊Y的系數都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的使得x=b為/(%)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(1)=3-3〃，若存在這樣的〃，使得。,3-3〃)為/G)的對稱中心，

則/(幻+/(2-幻=6-6。，事實上，

f(x)+f(2-x)=IXs-3ar2+I+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a—24)x+18—12a,

于是6-6a=(12-6?)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即r12a-24=0,解得.a=2,即存在a=2使得(1J⑴)是的對稱中心，D選項正確.

18—12。=6—6。

方法二：直接利用拐點結論

任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，

/(.r)=2x3-3ar2+1,=6x2-6ar,/*(x)=12x-6a,

由/〃(x)=Oox=M于是該三次函數的對稱中心為

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故3=104=2,

即存在。=2使得(1,/(D)是/(X)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

【小結】結論點睛：(1)/@)的對稱軸為工=。0/0)=/(2〃7)；(2)/⑴關于(“,〃)對稱o/3+/(2a—x)=竊;

(3)任何三次函數/")="3+取2+以+〃都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是/。)=0

的解，即［白［十))是三次函數的對稱中心

12.設函數/0)=。一1尸(％-4),則()

A.x=3是/(幻的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當l<x<2時，-4</(2x-l)<0D.當—IvxvO時，/(2-x)>/(x)

【答案】ACD

【解析】求出函數的導數，得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數/(X)在(1,3)上的

值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

對A,因為函數/(M的定義域為R,而r(x)=2(x—l)(x—4)+(x—if=3"-1)(工一3),

易知當x?l,3)時,r(x)<0,當或“「(3,同時,r(x)>0

函數在(-8,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,戶)上單調遞增，故x=3是函數/(力的極小值點，正確;

對B,當0</<1時，x-x2=x(l-x)>0,所以I〉］〉/,。，

而由上可知，函數/(可在(0,1)上單調遞增，所以/")>/(/),錯誤；

對C,當l<x<2時，而由上可知，函數/(刈在(L3)上單調遞減，

所以〃1)>/(21一1)>/⑶，BP-4</(2x-l)<0,正確；

對D,當T<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-A)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,

所以/(2-*)>/(、)，正確；

故選：ACD.

13.已知函數/("的定義域為R,/(孫)=y/(x)+x7(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C.f(x)是偶函數D.工=0為/(工)的極小值點

【答案】ABC

【解析】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/。)二。即可排除選項D.

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構造特殊函數/(/)=］，“切""°進行判斷即可.

0,x=0

方法一：

因為/Uy)=y2fM+F/(y),

對于A,令x=y=O,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/⑴=1/⑴+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則.”-1)=0,

令y=-L/(-幻=令x)+x2/(-D=fM,

又函數/(x)的定義域為R,所以/")為偶函數，故C正確，

對于D,不妨令/")=。，顯然符合題設條件，此時/(幻無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(*)=y2/(x)+x；f(y),

對于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/(1)=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝=

令y=-L/(-x)=/(x)+x2/(-l)=/*),

又函數/(x)的定義域為R,所以/")為偶函數，故C正確，

對于D,當爐),2工。時，對/(孫)=)，2/5)+//(y)兩邊同時除以工2),2,得到%2=綽+駕,

xyxy

故可以設型=InW(xw0),則嗎，％/°,

JT[0,^=0

2

當x>。肘，/(A)=x1nxf貝lj/'(x)=2xlnx+%2?一=A(21nx+1),

令/'W<o,得o-T；令ra)>o,得x>??；

(_i\(i\

故/(X)在o,e上單調遞減，在e4+8上單調遞增，

因為/(X)為偶函數，所以在-”,0上單調遞增，在-。,一5上單調遞減,

顯然，此時K=o是/*)的極大值點，故D錯誤.

故選：ABC.

bc

14.若函數/("=Hnx+Z+W(〃wO)既有極大值也有極小值，則().

XX

A.be>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】求出函數/(X)的導數/'(X),由己知可得/'(')在(0,+8)上有兩個變號零點，轉化為一元二次方程有兩個不等

的正根判斷作答.

函數〃汨=。1g+2+鼻的定義域為(0,M),求導得/，3=0一之一1二竺a,

XXXXXX

因為函數/(X)既有極大值也有極小值，則函數,(外在(0,+8)上有兩個變號零點，而。工0,

因此方程at2-/?工-2c=0有兩個不等的正根幣看，

△=6+8〃c>0

于是，玉-X、=’>。，即有。2+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然/灰《。，即Z?c<0,A錯誤，BCD正確.

a

2c?

xw=--->0

-a

故選：BCD

15.已知函數/Cv)及其導函數/'(x)的定義域均為R,記Kv)=/(x),若8(2-)均為偶函數，則()

A./(0)=0B.8(一;)二°C./(-D=/(4)D.g(—l)=g⑵

【答案】BC

【解析】方法一：轉化題設條件為函數的對■稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得

解.

［方法一］:對稱性和周期性的關系研究

對于/(萬，因為小一2,為偶函數，所以—=即=+】①，所以/(3-x)=/3，

3

所以/(才關于x對稱，則/(-1)=/(4),故C正確:

刈于g(x),因為g(2+x)為偶函數，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g@)關于x=2對稱，由①求導，和

g(x)=/'(x)'得［/(■1一x)=+A0-r=+—=gC+X,所以g(3—x)+g(")=°，

所以冢M關于g，0)對稱，因為其定義域為R，所以同=0,結合小)關于x=2對稱，從而周期7=4x(24)=2,

所以g(-g)=g(|)=0,g(—l)=g(l)=—g(2),故B正確，D錯誤；

若函數/(*滿足題設條件，則函數/G)+C(「為常數)也滿足題設條件，所以無法確定的函數值,故A錯誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優解】特殊值，構造函數法.

由方法一知g(x)周期為2,關于x=2對稱,故可設g(x)=cos(7ir),則/(x)='sin(兀i)+c,顯然A,D錯誤,選BC.

71

故選：BC.

［方法三］:

因為/e-2x}g(2+x)均為偶函數,

所以/6一2%)=/仁+20即/《7卜/弓+“，g(2+x)=&(2r),

所以/(3T)=/(X),g(4—x)=g(x),則/(—1)=/(4),故C正確;

函數,g(M的圖象分別關于直線/=1%=2對稱，

又g*)=/'(x),且函數/。)可導，

所以gW=0，g(3—x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以g(-g)=g(T)=0，g(T)=g0)=r(2)，故B正確，D錯誤；

若函數/(x)滿足題設條件，則函數/(x)+C(。為常數)也滿足題設條件，所以無法確定/@)的函數值，故A錯誤.

故選：BC.

【點評】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；

方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解.

16.已知函數/(x)=Y—x+l,則()

A./(X)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線丁=/(幻的對稱中心D.直線)，=2x是曲線＞=/3)的切線

【答案】AC

【解析】利用極值點的定義可判斷A,結合/(x)的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導數的幾何意義

判斷D.

由題，f(x)=3x2-I,令/(力>0得且或立，

33

令八x)<o得一且<xv烏

33

所以/(萬在(-%-母)，(*,+oo)上單調遞增，(-#,乎)上單調遞減，所以x=士*是極值點，故A正確；

因/(-亭=1+苧>0，鴻)=1-孚>0，/(-2)=-5<0,

所以，函數/("在［-應-卓］上有一個零點，

當上之且時，/(x)>等，+8)上無零點,

>0,即函數/(x)在

3

綜上所述，函數/(X)有一個零點，故B錯誤;

令人(x)=d-x,該函數的定義域為R,/z(-x)=(-X)3-(-X)=+x=-h(.r),

則〃(x)是奇函數，(0,0)是〃(％)的對稱口心，

將//(A)的圖象向.上移動一個單位得到/(x)的圖象，

所以點(C,1)是曲線y=fW的對稱中心，故c正確；

令r(x)=3f—l=2,可得x=±l,又/⑴="—1)=1,

當切點為。，1)時，切線方程為y=2x-l,當切點為(T1)時，切線方程為)，=2x+3,故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

17.函數/(x)=V(11式T)的最小值為.

【答案】

【解析】苜先根據導數判斷函數的單調性，再求函數的最值.

f'(x)=2A(Inx-1)+.￥=A(2In-1),x>0,

令/'(x)=0,得x=&,

當0vx<6時，r(x)<0,/(x)單調遞減，

當x>人時，r(x)>。，單調遞增，

所以當x=五時，函數/(x)取得最小值-

故答案為：

18.曲線)，=.一一3、與丁=-(工-1『+〃在(0,+8)上有兩個不同的交點，則4的取值范圍為.

【答案】(一2,1)

【解析】將函數轉化為方程，令丁-3x=-(x-1)?+〃，分離參數”，構迨新函數網“=丁+9-5工+1,結合導數求得g(x)

單調區間，畫出大致圖形數形結合即可求解.

令_?_34=_(工—1)2+〃，即4=_?+X2一5犬+],令g(x)=V+x2-5x+l(x>()),

則/(工)=31+23-5=(3X+5)(工一1),令/(x)=o(x>o)得x=l,

當x?O,l)時,/(x)<0,g(x)單調遞減，

當JW(L+e)時,/(x)>0,g(x)單調遞增,g(0)=l,g(l)=-2,

因為曲線y=F-3x與y=-(x-l『+a在(0,+8)上有兩個不同的交點，

所以等價于￥=?與g(x)有兩個交點，所以。￡(-2,1).

故答案為：(-2,1)

19.若曲線)，=e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，則。=.

【答案】In2

【解析】先求出曲線y=e，+K在(0」)的切線方程，再設曲線y=ln(x+l)+〃的切點為(xo/n(%+l)+a),求出)，'，利

用公切線斜率相等求出與，表示出切線方程，結合兩切線方程相同即可求解.

xx

由y=e+x^/=e+1,/l.t_0=e°+1=2,

故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為)，=2x+l；

由):=In(x+1)+a得)；=士,

設切線與曲線y=hi(x+l)+。相切的切點為(.％』n(xo+l)+a),

由兩曲線有公切線得==2,解得/=—4，則切點為+

11

切線方程為y=2x+—J+?+In—=2x+1+?-In2,

根據兩胡線重合，所以。-如2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

20.設。￡(0,1),若函數〃"=優+(1+4在(0,+8)上單調遞增，則.的取值范圍是.

【答案】［與

【解析】原問題等價于r(x)=優M〃+(1+〃)111(1+〃)?()恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得

ri+￡Y_由右側函數的單調性可得實數〃的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數〃的取值范圍.

\a)ln(l+a)

由函數的解析式可得r(x)=優Ina+(1+a)”n(I+a)20在區間(0,+。)上恒成立，

則(1+a)In(1+a)N-/Ina,即(蜉)之一也；工)在區間(°，+8)上恒成立，

故化H,而。+1?1,2),故ln(l+a)>0,

Ia,In(l+t/)

瞰W即股學故亨…

21.若關于上的不等式fjauu在(o,")上恒成立，則實數。的取值范圍為.

()2\

【答案】-ec,2e

【解析】構造函數/=/(x)=xlav,分<0應用導函數得出函數的單調性及最值計算求出恒成立問題.

由X2A>arlnv，得e2d,u>adnr在(0,+8)上恒成立，

令，=/("=X加，則/'(x)=hu+l,當。時，r(x)<0,/(工)在上單調遞減；

當時，/'")>(),/(“在g，+8)上單調遞增，所以=

則fc--,+oo\所以e~>“在-1,+81上恒成立.

當，=0時，e">3恒成立，則aeR；

當/>0時，由e">”，得a<—；

當——WO時，由e”>3,得

et

設〃(x)=f,則/(戈)=(2-：)e",當—eV。或。時，//(x)<0,〃(x)在-%0)和((),g)上單調遞減;

當時，//(x)>0,川力在+8)上單調遞增，

■|\(1X1_2門、

則〃(X)在一,0上的最大值為一上=-ec,/心)在(0,+。)上的最小值為-=2e.

_e/\e/

綜上可知，實數a的取值范圍為-e匕,2c.

\/

(]二、

故答案為：-ee,2e.

\Z

22.已知函數〃x)=x+e“f,g口人生…-山若存在實數小,使得/(A))+g5)=5成立，則實數。=—.

【答案】42+1/1+加2

【解析】構造y=x-lnM-i>。)利用導致可得當工=1時，)嬴=1，由基本不等式可得4e,-"+e-24,當x=a-ln2時，

等號成立，故由/(天)+履%))=5可知％=l=a-ln2,即得.

令y=x-lnx(x>0),貝I]y'=I—，=,

XX

所以y=x-lnx在(0,1)上單調遞減，在(l,+oo)上單調遞增，

故當x=l時，)嬴=1，

由4e”"+e"T>2"4er.e“r=4，

當且僅當4eX"=e"7,即x=a-In2時，等號成立，

故/(H+g(x)之5,當且僅當兩個不等式等號同時成立時，

即x=l=a-ln2等號成立，得。=ln2+l

故答案為：ln2+l

【小結】關鍵點點睛,本題由y=x-lnx(x>0)的最小值為1,4e「"+e“rN4,故/(x)+g(x)25,進而確定/=l=a-ln2,

進而可得.

四、解答題

23.已知函數/(x)=(l-av)ln(l+x)f.

(1)當〃=-2時，求“X)的極值；

⑵當"0時，〃x)20,求。的取值范圍.

【答案】(1)極小值為0,無極大值.

⑵

【解析】(1)求出函數的導數，根據導數的單調性和零點可求函數的極值.

(2)求出函數的二階導數，就分類討論后可得參數的取值范圍.

(1)當〃=一2時，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故r(x)=21n(l+x)+^^^-l=21n(l+x)-一—+1,

1+x1+x

因為)，-21n(1十刈,)，--「一十1在(T,十動上為增函數，

1+x

故f'(X)在㈠,+巧上為增函數,而八0)=0,

故當—Icxvo時，/。)<0,當x>0時，/V)>o,

故f[.x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)門x)=一0In(1+x)+；""-1=-dIn(1+x)-(；+",x>0,

設$(■)=_〃In(]+%)—(；+1”,x>0,

x_-a(?+l)?(x+l)+?+l_ax+2a+l

則$(X)=7Tr(l+X)2=(1+X)2-J(1+xJ，

當時，*x)>0,故s(x)在(0,?)上為增函數，

故s(力>s(O)=O,即/(x)>0,

所以在［0，?)上為增函數，故〃x)2/(0)=0.

當一gva<0時，當0vxv—24+1時,s'(x)<0,

故s(x)在(。，-等)上為減函數，故在(。，--j上s(x)<s(O),

即在卜，-等)上/'(x)<0即/(x)為減函數，

故在卜，-若上〃刈<〃0)=0,不合題意，舍.

當a20,止匕時丁(力<0在(0,+。)上恒成立，

同理可得在(0,+。)上/")</(0)=0恒成立，不合題意，舍;

綜上，a<——.

【小結】思路點睛：導數背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數判斷函數單調性，有時還需要對導數進一步利

用導數研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質來確定如何分類.

24.已知函數/(力=a(x-l)-lnx+l.

(1)求〃力的單調區間;

(2)當。W2時，證明：當x>l時，/(x)vei恒成立.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【解析】(1)求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性;

(2)先根據題設條件將問題可轉化成證明當x>l時，eZ-2x+l+lnx>0即可.

(1)"D定義域為(。,內)，f\x)=a--=—

AA

ax—I

當a4()時，fM=-一<0,故/*)在(0,+功上單調遞減；

x

當。>0時，時，r(x)>0,/⑴單調遞增，

當xe(o[)時，/(x)<0,/(X)單調遞減.

綜上所述，當。40時，的單調遞減區間為(0,+oo)；

a>0時，八加的單調遞增區間為(L+8],單調遞減區間為

(2)a<2,且%>]時,e'-1-/(x)=e-1-6z(x-l)+lnx-l>e,"|-2x4-l+hix,

4,g(x)=ex-i-2x+1+Inx(x>1),下證g&)>。即可.

gXx)=e-l-2+-,再令Mx)=g'(x),則I*)=ez--V，

XX

顯然力(x)在然+oo)上遞增，則然X)>/7(l)=e°-l=0,

即"(x)="x)在(1,+8)上遞增，

故gXx)>短⑴=e0-2+1=(),即gM在(L+8)上單調遞增，

故g(x)>g⑴=e°-2+1+In1=。，問題得證

25.已知函數/(x)=e*—ax-

(D當a-1時,求曲線y=f(x)在點(IJ(D)處的切線方程；

⑵若/G)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【答案]⑴(e—l)x_y_l=0

⑵C

【解析】(1)求導，結合導數的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導，分析a￡0和a>0兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析可得1>0,構建函數解

不等式即可；解法二：求導，可知:(x)=e、-a有零點，可得”0,進而利用導數求/(%)的單調性和極值，分析可得

構建函數解不等式即可.

(1)當。一1時，則/(x)=e，—x—l,J'\x)^ex-\,

可得/(l)=e-2,/r(l)=e-l,

即切點坐標為(Le-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為k(e-2)=(e-Bp(e-l)x-y-l=O.

(2)解法一：因為/(x)的定義域為R,且r(x)=e'-。，

若a40,則f\x)>0對任意xeR恒成立,

可知了(萬在R上單調遞增，無極值，不合題意；

若。>0,令J"(x)>。，解得x>lna；令/"。)<。，解得/<Ina；

可知/(x)在(-叫Ina)內單調遞減，在(Ina,+8)內單調遞增，

則/“)有極小值無極大值，

由題意可得：f(\na)=a-a\na-a^<0,apa2+\na-\>0f

構建g(a)=a?+lna-l,〃>。，則g\a)=2a+->0f

可知g(a)在(0,+R)內單調遞增,且g(l)=()，

不等式J+lna-l,。等價于g(a)>g(l),解得a>l,

所以〃的取值范圍為(1,+“)；

解法二:因為二“)的定義域為R,且ra)=e-,

若/“)有極小值，則:(x)=e?有零點,

令/'(x)=e'-a=0,可得e”=c7,

可知y=e"與有交點，則。>0,

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna：令/'(x)<0,解得x<lna：

可知/(萬在(-/,In。)內單調遞減，在(Ina,y)內單調遞增，

則/(%)有極小值/(lna)=a-alna-i?,無極大值，符合題意，

由題意可得：f[\na)=a-a\na-a^<0,Bpa2+lnt7-l>0?

構建g(a)=/+hia-1,a>0,

因為則y=/,y=Ina-1在(0,+^)內單調遞增，

可知江〃)在(0,+e)內單調遞增，且g(l)=0,

不等式a，+ln0-l>0等價于g(a)>g(l),解得。>1,

所以〃的取值范圍為(1,+8).

26.已知函數/(x)=ln4+av+雙x-l)3

2-x

⑴若〃=0,且/'(月之。，求〃的最小值;

(2)證明：曲線)，=fix)是中心對稱圖形；

(3)若>-2當且僅當1<xv2,求力的取值范圍.

【答案】⑴-2

(2)證明見解析

(3)Z^>-1

。

【解析】(1)求出析(同==2+一后根據=(勸之0可求。的最小值;

(2)設P(科〃)為y=圖象上任意一點,可證尸(如〃)關于(1M)的對稱點為。(2-私2。-")也在函數的圖像匕從

而可證對稱性;

⑶根據題設可判斷/⑴=-2即。=-2,再根據在(1,2)上恒成立可求得此一：

(1)〃=0時，/(x)=ln-^+av,其中xe(O,2),

2-x

2

則，3=；+八+”+a,xe(0,2),

AZ-Ax(2r)

因為近7)4(27+1=|,當且僅當x=l時等號成立,

I2，

故/(力,=2+%而r(x)20成立，故a+2“即aN-2,

所以〃的最小值為-2.,

(2)/(x)=ln+辦+方(》-1丫的定義域為(0,2),

2—X

設夕(人“)為y=/(l)圖象上任意一點，

P(〃?,，。