人教版八年級數學上冊《角的平分線》同步練習題（帶答案）

人教版八年級數學上冊《14.3角的平分線》同步練習題（帶答案）

第1課時角的平分線的性質

【知識梳理】

1.尺規作圖作角的平分線：先在角的兩邊上分別作出與角的頂點距離相等的兩點，再在角的內部作出與這兩點

距離相等的點，以角的頂點為端點，作過這個點的射線，就能得到角的平分線了.

2.角平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離.

【核心母題】

核心母題1尺規作圖作已知角的平分線

【例1］如圖，已知△ABC,點D在△ABC的AB邊上，且NACD=NA.

⑴尺規作圖：作/RDC的平分線DE,交RC于點F.（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2正⑴的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系，并說明理由.

【變式】如圖，在△ABC中,NC=90。,利用直尺和圓規作NABC的平分線，交AC于點D（保留作圖痕跡）.

核心母題2角的平分線的性質

【例2】如圖,OC是/AOB的平分線,P是0C上任意一點PE_LOA,PF_LOB,垂足分別為E,F.求證：PE二PF.

【變式I］如圖.在△ABC中,AD平分/BAC交BC于點D,DE_AB,垂足為E,SABC=9,DE=2AB=5.求AC的

長.

第1頁共10頁

E

BDC

【變式2】如圖.在△ABC中、NC=90。，AC=6,BC=8,AB=10.AO.BO是兩內角的平分線QDJ_AB于點D,

求OD的長.

核心母題3角的平分線與對稱型全等①一截長補短

【例3】如圖，在△ABC中.NA=100。，NABC=4（r,BD是△ABC的角平分線，延長BD至點E,使DE=AD,連

接EC.求證：BC=AB+CE.

【變式】如圖，AD〃BC,E是CD上一點，且/1=N2,Z3=Z4.求證：AB=AD+BC.

AB

核心母題4角的平分線與對稱型全等②一延長處理（角平分線+垂直）

第2頁共10頁

【例4】如圖在Rt^ABC中，NC90。，NBAC的角平分線AD交BC于點D,交NABC的角平分線于點E.

(1)求NBED的度數；

⑵過點E作EFJ_AE,交AC于點F,求證：AF+BD=AB.

第2課時角的平分線的判定

【知識梳理】

1.角的平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在①.

2.三角形的角的平分線的性質：三角形的三條角平分線交于三角形內部一點，并且該點到三邊的距離②

【核心母題】

核心母題1角的平分線的判定

【例1】如圖.PC_LOA于點C,PD_LOB于點D,POPD.求證：ZCOP=ZDOP.

【變式】如圖，已知BE_LAC于點E,CF_LAB于點F.BE,CF相交于點D.BD=CD.求證：AD平分NBAC.

核心母題2作垂構造垂線，角平分線的性質與判定綜合應用

第3頁共10頁

【例2】如圖，已知NADC+NABC=18。。，DC=BC.求證：點C在/DAB的平分線上.

【變式】(教材Ps3T8改編)如圖，NB=NC=90。，E是BC的中點，DE平分NADC.

(I)求證：AE是NDAB的平分線：

(2)若AE=4,DE=3,求四邊形ABCD的面積.

DC

◎

AB

核心母題3三角形三條角平分線的交點

【例3】(教材。51練習72變式)如圖.BPCP都是△ABC的外角平分線TMJ_AB于點M,PNJ_AC于點N.求證:

AP平分NMAN.

【變式】如圖，在^ABC中，ZABC=50°,NACB=60。，點E在BC的延長線上，ZABC的平分線BD與NAC

E的平分線CD相交于點D.連接AD求/CAD的度數.

核心母題4作垂構造全等或利用面積法判定角平分線

【例4】如圖，已知C為射線AD上一點，ZDAP=ZPBC,PA=PB.求證：CP平分NDCB.

【變式】如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE,AD,BE交于點H,連接CH.

第4頁共10頁

求證:(1)△ACD名△BCE;(2)HC平分NAHE.

參考答案

第1課時角的平分線的性質

【知識梳理】

1?尺規作圖作角的平分線：先在角的兩邊上分別作出與角的頂點距離相等的兩點，再在角的內部作出與這兩點

距離相等的點,以角的頂點為端點,作過這個點的射線，就能得到角的平分線了.

2.角平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離涸塞.

【核心母題】

核心母題I尺規作圖作已知角的平分線

［例1］如圖，已知△ABC,點D在△ABC的AB邊上，且NACD=NA.

⑴尺規作圖：作NBDC的平分線DE,交BC于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2瘡⑴的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關系，并說明理由.

解：（1）如圖，射線DE即為所求作.

（2）DE/7AC.理由如下：:DE平分NBDC,J/BDE二NCDE.

而NBDONA+NACD,即NBDE+NCDE=NA+/ACD.4—^,

D1C

VZACD=ZA,ZBDE=ZCDE,.\ZBDE=ZA,/.DE/7AC.

【變式】如圖，在△ABC中，NC=90。,利用直尺和圓規作NABC的平分線，交AC于點D（保留作圖痕跡）.

解ZABC的平分線BD如圖所示.k

co'

A

核心母題2角的平分線的性質

【例2】如圖QC是NAOB的平分線.P是OC上仟意一點.PE_LOA.PF_LOB.垂爾分別為E.F.求訐：PE=PF.

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證明：：0C是NAOB的平分線，???NPOE:NPOF.

VPE1OA,PF±OB,.-.ZPEO=ZPFO=90°.

/.△POE^APOF(AAS).APE=PF.

【變式1】如圖在△ABC中,AD平分NBAC交BC于點D,DE_AB,垂足為E,S/<gc=9,DE=2,AB=5.求AC的

長.

解過點D作DF_LAC,垂足為F.

；AD平分/BAC,DE1AB.?.DF=DE=2

匚SA8c=S48。+$/。^；/8QE+g4CQE=5+4C=9,???AC=4.

【變式2】如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,AB=10.AO,BO是兩內角的平分線QDJ_AB于點D.

求OD的長.

解過點O作OE_LAC于點E,OFJ_BC于點F,連OC

TAO平分NBAC,BO平分NABC,??.OD=OE=OF.

!SUABC=SMOB+SIAOC+SBOC

16c匚OD+gACIOE+lBC匚O/

匚;X6X8=；(10+6+8)[OQ,,OD=2.

核心母題3角的平分線與對稱型全等①一截長補短

【例3】如圖，在△ABC中，ZA=100°,ZABC=40°,BD是△ABC的角平分線，延長BD至點E,使DE=AD,連

接EC.求證：BC=AB+CE.

解在BC上BM=BA,連接DM,TBD平分NABC

UABD=LMBD=\DJ5C=20，易證△ABD^^MBD(SAS)

ADA=DM,ZADB=ZBDM=1800-ZA-ZABD=60°

.*.ZEDC=ZADB=60o,NMDC=60。，AZEDC=ZMDC.

VDE=AD,ADE=DM,易證△EDCgZXMDC(SAS)

???EC=MC,ABC=BM4MC=AB+EC.

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【變式】如圖，AD〃BC,E是CD上一點，SZ1=Z2,Z3=Z4.求證：AB=AD+BC.

解在AB上蝴AF二AD,連接EF,易證△ADE四△AFE(SAS],，ND=NAFE.

VAD/7BC,/.ZD+ZC=180°.

VZAFE+ZBFE=180°,.\ZC=ZBFE

易證△BEF^ABEC(AAS)

???BF=BC,.「AB=AF+BF=AD+BC.

核心母題4角的平分線與對稱型全等②一延長處理(角平分線+垂直)

【例4]如圖在RtAABC中，ZC=90°,ZBAC的角平分線AD交BC于點D.交/ABC的角平分線于點E.

(1)求NBED的度數：

(2)過點E作EFJ_AE,交AC于點F,求證：AF+BD=AB.

A

解⑴VZC=90°,.\ZCAB+ZCBA=90°.IK

TAE平分NCAB,BE平分NABC

匚匚BAE=DC<D=；DCHB,D4BE=DDBE=；C14BCCDB

BAE+^ABE=\(\2CAB+[JABC)=45.

(2)延長FE交AB于點M,VEF1AE,/.ZAEF=ZAEM=ZDEM=90°.

VZDEB=45°,r.ZBEM=ZBED=45o,AEF^AAEM(ASA),/.AF=AM,^?EABDE^ABME(ASA),

.\BD=BM,

第2課時角的平分線的判定

【知識梳理】

1?角的平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在①角的平分線上.

2.三角形的角的平分線的性質：三角形的三條角平分線交于三角形內部一點，并且該點到三邊的距離②罩

【核心母題】

核心母題1角的平分線的判定

【例1］如圖,PC_LOA于點C,PD_LOB于點D,PC=PD.求證:ZCOP=ZDOP.

第7頁共10頁

證明：???PC_LOA,PD_LOB,???/OCP=NODP=90°.

在RtAOCP和RtAODP中號.RtAOCP^RtAODP(HL)

rC=rD

AZCOP=ZDOP.

【變式】如圖，已知BE_LAC于點E,CF_LAB于點F,BE,CF相交于點D,BD=CD.求證：AD平分NBAC.

證明：:BE_LAC,CF1AB.AZBFD=ZCED=90°.

在ADFB和△DEC中、(CADFECCOEXAADFB^ADEC(AAS).

，DE=DF.JZ.VDEXAC,DF±AB,，AD平分NBAC.

核心母題2作垂構造垂線，角平分線的性質與判定綜合應用

【例2】如圖.已知/ADC+NABC=180。，DC=BC.求證：點C在NDAB的平分線上.

證明：作CE_LAB,CF_LAD,垂足分別為E,F,/.ZBEC=ZDFC=90°.

VZADC+ZABC=180°,ZADC+ZCDF=180°,/.ZABC=ZCDF.

/.△CBE^ACDF(AAS).

???EC=FC,?,?點C在NDAB的平分線上.

【變式】(教材Ps3T8改編)如圖，ZB=ZC=90°,E是BC的中點，DE平分NADC.

(1)求證：AE是/DAB的平分線:

(2)若AE=4,DE=3,求四邊形ABCD的面積.

解(1)過點E作EF_LAD于點F,TDE平分NADC,EC1DC,EF1DA,/.EC=EF.

?1E是BC的中點，???EC=EB=EF.???EFJ_AD,EBJ_AB,???AE是NDAB的平分線.

(2)ffiRtACDE和RsFDE中，｛甯空,RsCDE^RtAFDE(HL)

CE=rE

AZCED=ZFED,SCD￡=S田修同理可證RsAEBgRsAEF(HL)

1

/.ZAEB=ZAEF,SAEB=SAEEi□LAED=；[BEF+；CCEF=90

1

S四邊形DEF+2SLAEF=2S[八DE=2X,DEAE=12.

核心母題3三角形三條角平分哪交點

【例3】(教材Ps】練習T2變式如圖.BPCP都杲△ABC的外角平分線.PM_LAB于點M.PN_LAC于點N.求

第8頁共10頁

證：AP平分/MAN.

證明：過點P作PF_LBC于點F

VBP,CP分別平分/CBM,ZBCN,PM1AB,PN1AC

APM=PF,PN=PF,，PM=PN,?，,AP平分/MAN.

【變式】如圖在△ABC中，NABC=50。，NACB=60。,點E在BC的延長線上，ZABC的平分線BD與NACE

的平分線CD相交于點D,連接AD.求NCAD的度數

解過點D作DFJ_AC于點F,DM±BA于點M,DN_LBC于點N

VBD,CD分另!J平分NABC,ZACE,ADM=DN,DF=DN

???DM;DF,.二AD平分/CAM.

VZCAM=ZABC+ZACB=110°.□匚。口。歷=55.