人教版高中數學必修2考點訓練：專項強化07 空間幾何體內、外接球模型（原卷版）

專題強化07：空間幾何體內、外接球模型

【模型歸納】

模型一、墻角模型

模型二、對棱相等模型（補形為長方體）

題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（A3=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱：

第二步：設出長方體的長寬高分別為a,4c,AD=BC=xf

a-+b-=x~

22

2222222V+V+Z

AB=CD=ytAC=BD=z,列方程組，b+c=y=>（2R）=a+b+c=--

，，■>2

L+Q-=Z-

i1I22

補充：圖2-1中，匕皿）=而一一"cx4=-ahc.第三步：根據墻角模型，2/?二十/=二+「

63V2

模型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）

題設:如圖3-1,圖3-2,圖3-3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可〃是任意三角形）

第一步：確定球心。的位置，。|是A48C的外心，則OO1_L平面A8C；

第二步：算出小圓01的半徑AO】=乙OO.=-AA,=-h（A%=力也是圓柱的高）；

22222222

第三步：勾股定理：OA=O}A+O}OR=（^）+r=>/?=^r+（^）,解出/?

模型四、切瓜模型（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑）

正弦定理求大圓直徑是通法

1.如圖4-1,平面B4C_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑），且尸的射影是AABC的外心=三

棱錐P-ABC的三條側棱相等<=>三棱尸一A3c的底面AA3C在圓錐的底上，頂點尸點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AASC的外心。1,則P,0,01三點共線；

第二步：先算出小圓01的半徑AO1二r，再算出棱錐的高PQ=/?（也是圓錐的高）：

222222

第三步：勾股定理：OA=O,A+O]O^R=（h-R）+r,解出R；

事實上，A4C尸的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如圖4-2,平面P4C_L平面A8C,且A8JL8c（即AC為小圓的直徑），且P4_LAC,則

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2R）2=PA1+（2r）2=2R=歷二語"；

②R2=r2+00；OR=y]r2+OO-

3.如圖4-3,平面PAC_L平面A4C,且A8JL3c（即AC為小圓的直徑）

OC-=OC+002oR2=r+OO2oAC=2j/?2—Q02

4.題設：如圖4-4,平面PAC_L平面ABC,且AB_LBC（即AC為小圓的直徑）

第一步：易知球心O必是AP4C的外心，即"AC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑4c=2，：

第二步：在APAC中，可根據正弦定理‘一二〃一二-^=2A,求出R.

sinAsinBsinC

模型五、垂面模型（一條直線垂直于一個平面，考得比較多）

I.題設：如圖5,H4_L平面A8C,求外接球半徑.（一條側棱垂直底面）

解題步驟：

第一步：將A43C畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑A。，連接P。，則PO必過球心O;

第二步：01為A48C的外心，所以。。1J■平面A8C,笄出小圓。的半徑?。=，?（三角形的外接圓直徑算法：

利用正弦定理，得，一=」一=」一=2r）,OO1=-PA：

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外凄球半徑：①（27?）2=。屋+（2r）2O2/?=JR42+（2〃）2；

②R2=/+OO；<=>R=yjr2+OO^.

2.題設：如圖5-1至5-8這七個圖形，P的射影是AABC的外心O三棱錐P—A8C的

三條側棱相等<=>三棱維P—A/C的底面A4BC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心01,則P,0,01三點共線;

第二步：先算出小圓。?的半徑AO】=r，再算出棱錐的高PQ|=/?（也是圓錐的高）:

第三步：勾股定理：0A2=0小2+。。2=於=（/LR）2+,，解出R

方法二：小圓直徑參與構造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【題型歸納】

題型一：直接法（公式法）

1.（23-24高一下.甘肅白銀.期末）若棱長為。的正方體的內切球的表面積為16兀，則〃=（）

A.2B.4C.及D.2yf2

2.（23-24高一下?廣東東莞?期末）棱長為。的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積為（）

3

A.-B.C.D.12m,

4

3.（23-24高一下?浙江杭州?期中）一個四面體的所有棱長都為拉，四個頂點在同一球面上，則此球的體積為（）

A.yB.兀C.4D.區

題型二：構造法（補形法）

4.（23-24高一下?甘肅?期末）如圖，在四棱錐P-人ACT）中，底面八4CO是矩形，A4_L平面/WC。，PA=AB=3,

AD=4,則該四棱錐外接球的表面積為（）

A.7347tB.2后兀C.347rD.1367r

5.（23.24高一下?重慶?期末）四棱錐，一A38中，平面A4CD,四邊形A8CO為矩形，幺=4,AB=30

若四棱錐P—A8CD的外接球的表面積為52兀，則3C=（）

A.3B.6C.2D.2.5

6.（23-24高一下?江蘇鹽城?期末）《九章算術》中將“底面為直角三角形且側棱垂直廣底面的三棱柱”稱為塹堵；將“底

面為矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐”稱為陽馬.如圖，在塹堵ABC-A8c中，ACLBC,AC=0BQ=l,

陽馬的外接球表面積為（）

A.8兀B.6兀C.4兀D.27r

題型三：確定球心位置法

7.（2324高二下.江蘇南通.階段練習）已知正三棱錐尸-A8C的底面邊長為26,若半徑為1的球與該正三棱錐的

各棱均相切，則三棱錐P-A8C外接球的半徑為（）

A.6B.2C.氈D.迪

33

8.（23-24高一下?河南信陽）在三棱錐尸一ABC中，ACJL平面必從AB=6,AC=\O,BP=2*，ZABP=45°,

則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為（）

A.144兀B.1287rC.1407rD.1487r

9.（2024.湖南常德?一模）已知二棱錐A—ACD中，48_1_平面8co.48=4,?C=3,CD=5,BD=7,則該二楂

錐外接球的表面積為（）

1967r八244兀〃196兀-244兀

A.----B.----C.-----D.----

3355

題型四：球體積最值問題

10.（23-24高一下?浙江?期中）己知球O的半徑R=13,球面上有三點A,B,C,滿足48=12x/5,AC=次?=12,

點。在球面上運動，則當四面體O-A3C的體枳取得最大值時，DC=（）

A.65/13B.1372C.13D.5x/14

11.（23-24高一下?浙江寧波?期中）三棱錐P—ABC中，PA=PB，CP=4,BA=BC=2,乙48。=號，則三棱錐

2-ABC的體積的最大值為（）

A.1B.2C.6D.12

12.（22-23高一下?福建龍巖?期中）已知正六棱錐P-A8CZ）律的側棱長為2加，底面邊長為2,點。為正六棱錐

P-/VO）所外接球上一點，則三棱錐Q-PAB體積的最大值為（）

r2G口?差

3

題型五：臺體球體內外切問題

13.（2024?江西九江?二模）已知一個圓臺內接于球。（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底

面半徑分別為1和2,且其表面積為（5+3拉）兀，則球。的體積為（）

A.現「20石兀D,也

B.5兀L?----------

333

14.（23-24高一下?浙江?期中）如圖，一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3cm和6cm,高是則正三棱臺

的側面積及外接球體枳分別為（）

R27后

B.---------;60n

4

n27/0

D.--------;60n

2

15.（23-24高一下?重慶渝中?期中）已知正四棱臺AACO-AMGR的高為迷，其所有頂點均在同一個表面積為32元

的球面上，且該球的球心在底面H3CD上，則楂臺"CO-AgCQ的體積為（）

A.—>/6B.14mC.—y/6D.28x/6

33

【專題強化】

一、單選題

1.（23-24高一卜.?廣東云浮.期末）已知矩形A8CO的對角線長為1,將△A8D沿8。折起得到三棱錐A-8C。，且

三棱錐4-4C0的各個頂點均在球。的表面上，則球。的表面積為（）

A.—B.兀C.4冗D.87r

4

2.（23-24高一下?廣西南寧?期末）在《九章算術》中，將四個面都是百角三角形的四面體稱為整嚅.在整脯P-A8C

中，PA_L平面ABC,AC±CB,PA=2BC=2,AC=6則此四面體的外接球表面積為（）

A.3冗B.8兀C,9兀D.—n

3

3.（23-24高一下.吉林?期末）長方體的一個頂點上三條棱長分別是1,3,岳,且它的八個頂點都在同一球面上，

這個球的體積是（）

A.—nB.1257rC.257rD.75兀

6

4.（23-24高一下.福建龍巖?期末）已知球。內切于圓臺E凡其軸截面如圖所示，四邊形ABC。為等腰梯形，AB//CD,

且8=2A3=6,則圓臺后廠的體積為（）

4B

一

。/\c

A276＞式口51夜兀「57X/2TI八63yl

4444

5.（23-24高一下?江蘇南通?期中）如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為，i，，3,半徑為「的球與圓臺的上、下底面

及母線均相切，圓臺的側面積為25兀，則4+〃=（）

A.5B.5兀C.10D.lOn

6.（2324高一下.江蘇南京.期末）如圖，四棱錐夕—A8a＞中，H4JL面48c。，四邊形A8c。為正方形，H=4,

PC與平面4BCD所成角的大小為凡且tan（9=^N,則四棱錐P-ABCO的外接球表面積為（：

3

B.287r

C.34TID.14K

7.（23-24高一下.安徽阜陽.期中）已知球0的半徑R=13,球面上有三點A,B,C,滿足4?=126,AC=BC=\2,

點。在球面上運動，則當四面體O-A8C的體積取得最大值時，DC=（）

A.6位B.13應C.13D.18

8.（22-23高一下?廣西南寧?期末）在三棱錐P—A3C中，PA=PB=PC=2g,A8=AC=8。=3,貝J三楂錐P—A8C

的外接球的體積是（）

A4"R8丘Tt「32nr-

A.—B.-------C.-----D.4yJ3n

333

9.（22-23高一下?廣東肇慶?期末）已知三棱錐P-A8C的底面ABC為直角三角形，且ZAC4=].若％J_平面A8C,

且河=3,%=4,三棱錐尸-A8C的所有頂點均在球。的球面上，記球。的體枳和表面積分別為V,S,則營=（）

A.—B.-C.-D.一

12632

10.（22-23高一下?廣東汕尾?期末）如圖，在邊長為2的正方形A3C。中，E,r分別是AB,3c的中點，將△AEQ,

△BEF,DC尸分別沿。石，EF,折起，使得ABC三點重合于點A,若三棱錐4—的所有頂點均在球。

的球面上，則球。的體積為（）

D.以

3

11.（22-23高一下?四川遂寧?期末）如圖，在正方體A4CD-A8cA中，截去三棱錐4-A4,。，若剩余的幾何體的

表面積是苧，那么正方體口C°d￡CQ的內切球的表面積和其外接球的體積分別是（

)

B.4乃,立兀

A.冗，—

22

D.不,g乃

C.44,乃

12.（2023?廣東茂名?一模）已知菱形A8C。的各邊長為2,28=60。.將VA8C沿AC折起，折起后記點4為P,連

接尸D,得到三棱錐尸-ACZ）,如圖所示，當三棱錐尸-AC。的表面積最大時，三棱錐P-4CZ）的外接球體積為（）

p

D.成兀

C.2扃

3

二、填空題

13.（22-23高下?云南昭通?期末）匚知圓柱QQ的高為2,且其上下底面圓周都在同?個表面積為24兀的球面上,

則此圓柱的底面半徑為.

14.（23-24高一下?天津河北?期中）一個正方體的表面積為96,若一個球內切于該正方體，則此球的體積是,

15.（23-24高一下.山東青島.期末）已知直三棱柱ABC-AB?的所有頂點都在表面積為20兀的球的表面上，

AB=AC=AAi,Z^C=y,則此直棱柱的體積為.

16.（23-24高一下.四川成都.期末）如圖