期中復習講義：正余弦定理解三角形【8大題型】原卷版-2025-2026學年高一數學下學期（人教A版必修第二冊）

正余弦定理解三角形【8大題型】

內容導航

明?期中考清把握命題趨勢，明確備考路徑

記?必備知識梳理核心脈絡，掃除知識盲區

破?重難題型題型分類突破，方法技巧精講

題型01余弦定理解三角形

題型02正弦定理解三角形

題型03面積公式的應用

題型04正余弦定理解三角形綜合

題型05正余弦定理判定三角形形狀

題型06正弦定理判斷三角形解的個數

題型07正余弦定理的邊角互化

題型08正余弦定理的應用

過?分層驗收階梯實戰演練，驗收復習成效

.明?期中考情.

核心考點復習目標考情規律

正余弦定理解三能根據已知條件合理選擇正余弦定理：掌核心高頻考題，需具備整體分析能力，根據

角形握邊角互化技巧；熟練求解多解或需檢驗條件特征選擇最優解法

的三角形

正余弦定理判定利用邊角互化將條件轉化為邊的關系或中等難度，注意特殊三角形（等腰、直角、

三角形形狀角的關系；結合三角恒等變換判斷三角形等邊）的判定條件，避免漏解

形狀

正弦定理判斷三掌握已知兩邊一對角時，通過比較距易錯考點，需理解幾何意義，結合圖形分析

角形解的個數加出力、力的大小關系判斷解的個數更直觀

正余弦定理的邊熟練將邊化角（用正弦定理）或角化邊貫穿所有題型，是解三角形綜合題的關鍵步

角互化（用余弦定理）；能識別條件中的齊次式驟，需根據目標靈活選擇互化方向

結構

1/14

正余弦定理的應掌握解三角形在實際問題中的應用（測基礎題，注重數學建模素養，需準確理解角

用量、航海、幾何圖形等）：能建立數學模度術語（仰角、俯角、方向角等）

型并求解

■記?必備知識,

限知識點01余弦定理

對三角形△ABC,角A對應的邊為a,角B對應的邊為b,角C對應的邊為c

余弦定理公式：a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2—2accos8；c2=a2+b2-2abcosC.

^+江―c2

推論:cos力=十;［一0,cos-=

2be2ab

典知識點02正弦定理

1、正弦定理的表示

abc

仕中，若角4A,C對應的邊分別是a,b,c,則有

sinAs:nBsinC

若ZUBC外接圓半徑為R,則有sinJ-sin5sin「R

2、正弦定理常見變形：

-sinAasinCcsinBb

Qsin8=/7sin4,tzsinC=csinA,/)sinC=csinB；

sinBbsinAa,sinCc

②a_bca+b4+。b+ca+b+c

ysinAsinBsinCsin4+sin4sinA+sinCsinB+sinCsin力+sin4+sinC'

@a:b:c=s\nA:s\nB:sinC；

3、三角形的邊角關系：

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.

〃>6o/>6。sin力>sin8ocos4<cos8

EX知識點03三角形的面積公式

1、SAABC=^absinC=gbesinA=^acsinB

2、SAABC=^=^a+b+cyr（r是三角形內切圓的半徑，R是三角形外接圓的半徑.）

屬知識點04解三角形

1、解三角形的概念

一般地，三角形的三個角48C和它們的對邊Q,瓦c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個

元素求其他元素的過程叫做解三角形.

2、余弦定理在解.三角形中的應用

2/14

（1）利用余弦定理求邊跟角：

已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；

已知三邊，求三角形的三個角.

（2）判斷三角形形狀

將已知的邊角關系全部化為純邊的關系式（利用余弦定理將角換成邊），然后進行代數恒等變形。

若a2+b2=c2,則90。（勾股定理逆定理）。

若小+爐>。2,則“<90°（銳角）。

若a2+/〈c2,則，C>90°（鈍角）。

（3）求三角形邊長或角的范圍

結合余弦定理與基本不等式（如〃+c2z2bc）或二次函數性質，確定邊或角的取值范圍。

3、正弦定理在解三角形中的應用

（1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，推薦使用正弦定理

（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，推薦使用正弦定理

（3）在解三角形題口中，遇到題目條件含有邊角的時候，若含有邊的齊次式或者sin的齊次式，可以考慮

用正弦定理。

三角形中的射影定理：在中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB

灣知識點05三角形解的個數

在△/IBC中，己知”，方和/時，求B角的時，解的情況如下:

若A為銳角時：

若A為直角或者鈍角時:

RX知識點06測量問題

3/14

1、測量距離問題：解三角形法測距的關鍵是將實際問題轉化為三角形模型，選擇可測數據作為已知量，通

過正弦定理、余弦定理及三角函數的直角邊關系逐步求出未知距離。畫出清晰圖形、選擇合適的初始三角

形是解題的突破11。

（1）兩點間不可達又不可視，如圖，A、B兩點間有障礙物，但分別可以到達力

和8,并能測量力C、BC及

方法：已知兩邊及夾角（AC、BC、ZC）,用余弦定理直接求AB。

①在△4C0中由CD及匕AOC求AC或力。。

②在△BC。或△中繼續用正弦定理或余弦定理最終求力從

2、測量高度問題：利用水平面（或基線）、視線構成的三角形，通過測顯角度和可及距離，計算出不可直

接測量的高度。基本關系（在直角三角形中）：高度=水平距離Xta〃（仰角），其中仰角是觀測點與目標頂

端連線和水平線的夾角。

（1）底部可達：利用直角三角形解

（2）底部不可達（仰角在不同位置測兩次）：設兩次測量點與塔底共線，測得仰a、。及兩次距離差（或直

接距離）,建立方程求高。

4/14

測量高度問題關鍵：畫圖、標已知、選三角、列方程。

3、測量角度問題

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角

（2）方位角是從指北方向線順時針轉到目標方向線的角

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.例：北偏東*即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向.

（4）坡角與坡度：坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數；坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比.坡

度又稱為坡比

（5）測量角度的核心思想是：

將待測角置于一個或一系列三角形中，通過測量足夠數量的邊和其他角，利用三角形內角和定理、正弦定

理、余弦定理反推出目標角。

.破?重難題型.

②題型一余弦定理解三角形

俑「題「￡「后

［利用余弦定理來解三角形的情況：

i1、已知三邊，求任意角。

5/14

...................................................................................................................r

i2、已知兩邊和其中一邊的對角，可用余弦定理。

：3、三角形中有分線的情況，可以考慮用兩次余弦定理來處理。:

:4、余弦定理跟面積公式結合去解三角形的三邊。：

L________.....-------........-------.............---------------....----------------............_______________________.......................____...........------------.......____............--------------------------------I

【典例1］（25-26高一下?全國?課后作業）已知鈍角三角形48C的三邊。=攵，b=k+2,c=k+4,則左

的取值范圍為.

【典例2】（多選）（25-26高一下?全國?單元測試）在△/3C中，已知/+/+°4=24/+/）,則角。

的可能值為（）

A.45°B.60°C.135°D.120°

【變式1］（2026高一?全國?專題練習）△/SC中，48=2上，BCf,4=45°,/B為△力BC中最大

角，。為力。上一點，AD=^DC,則40=（）

A.2GB.30

C.舊D.2石

【變式2】（25-26高一下?全國?課后作業）在銳角三角形44c口，。、b、c分別為內角/、5、C所對的

邊，若a+c=5,8=（且a>c,b=布,求荏?就的值.

3題型二正弦定理解三角形

善i金曜除

正弦定理解三角形的情況：

1、已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，推薦使用正弦定理

2、已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，推薦使用正弦定理

3、在解三角形題目中，遇到題目條件含有邊角的時候，若含有邊的齊次式或者s譏的齊次式，可以考慮用正

弦定理。

35

【典例1］（25-26高一下?全國?單元測試）在中，已知8sN=cos5=—,b=3,則。=

【典例2］（25-26高一下?全國?課堂例題）在中，若彳=60"，〃=3,則.，=（）

sinA+sinn+sinC

A.巫B,巫C.跡D.2百

333

【變式1】（多選）（25-26高一下?全國?單元測試）在UHC中，sinC+sin（4-8）=3sin2B.若。=不

6/14

則，等于（）

0

A.*B.1C.2D.3

【變式2】（2026高一下?全國?專題練習）在△力8c中，已知8=60。，最大邊與最小邊的比為正1,則三

2

角形的最大角為（）

A.60°B.75°C.90°D.115°

包題型三面積公式的應用

三角形面積公式的應用情況：

1、已知兩邊及夾角，直接用S"BC=，加?。=??csin/l=；acsinB

2、已知三邊，可先用余弦定理求出角，然后再用面積公式求面積

3、最值同題：利用面積公式轉化為函數，用均值不等式或三角函數求最值°

【典例1］（25-26高一上?浙江湖州,期末）在△月4c中，內角兒B,C的對邊分別為。，兒。，若4=24,

c=26=2,則△ABC的面積為（）

A.6B.1C.—D.v

22

【典例2】（2026高一下?全國?專題練習）已知。的內角為力，B,C滿足

sin（B+C-⑷+sin（4+C-4）+sin（4+8-C）=：,且MBC的面積為2,則LABC外接圓面積等于

【變式1】（2026高一?全國?專題練習）設△48。的內角力，B,。所對的邊分別為。，b,c,記其面積

4SV

為S、周長為L,——-=a2co3B+abcosA,b=3,則:的最大值為.

tan4L

【變式2】（2026高一?全國?專題練習）已知也力鳥。的外接圓半徑為R,角力，B,。所對的邊分別為

32

b,c,^asin5cosC+-csinC=—,則ZUBC面積的最大值是.

2R

秀題型四正余弦定理解三角形綜合

看商T面席

1、邊角互化：正弦定理將邊化為角的正弦，或將角的正弦化為邊，常用于齊次式、比例式。余弦定理將邊

與角余弦聯系，適合已知三邊或兩邊及夾角。

2、方程聯立：面積公式常與正余弦定理聯立，形成關于邊或角的方程組。

3、多解判斷：已知兩邊及對角時，用正弦定理先求角，注意可能對應一解、兩解或無解。

7/14

【典例1】（2026高一?全國?專題練習）在△力8c中，4。為4c上的中線，48=1,AD=5,乙4BC=45°,

則￡in/4OC=,AC=.

【典例2］（25-26高一上?黑龍江哈爾濱?期末）△48C所對的三邊為4,"C6+C2=4/,則駕宴的最

sin5sinC

小值.

【變式1】（25-26高一下?全國?課堂例題）在銳角ZUBC中，b2-a2=ae,則」■;一一二的取值范圍是

tanAtanB

（）

A.（L+8）BJi,割c."）D.（a,明

【變式2】（2026?河南南陽?模擬預測）已知△ZBC的內角48,C的對邊分別為。,4憶若

」—+—!—=,s\nA+s\nC=—,則（）

sin"tanZ?2ac

A.75B.2C.3D.4

3題型五正余弦定理判定三角形形狀

譽僮|茂T福

將已知的邊角關系轉化為統一的邊或角的關系，再判斷形狀。

1、觀察條件是邊的關系、角的關系還是混合。條件為邊的等式，嘗試余弦定理化角。條件含正弦/余弦函數，

嘗試正弦定理化邊，或直接三角變形。化為最簡的邊等式或角等式。

T根據化簡結果判斷：

（1）出現邊相等的時候，可判斷等腰或者等邊。

（2）若小+塊二/,則90°（勾股定理逆定理）。

（3）若。2+爐＞。2,則ZCV90。（銳角）。

（4）若。2+爐＜。2,則乙。＞90。（鈍角）。

（典例1］（25-26高一上,全國?課后作業）若△相。的三個內角1,8,C滿足cos2J-8s28=2si/C,則LABC

是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.銳角三角形

【典例2】（多選）（25?26高一下?陜西西安?月考）己知△48C的內角4民。的對邊分別為。也c,則能判

定△彳8c一定是等腰三角形的為（）

,A

A.i/cosZ?=/＞cosJB.cosBcosC=sin2—

2

C.a—b=c（cosB-cosJ）D.sin2A+sin2B=2sin/Isin^sinC

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【變式1】（多選）（25-26高一下?全國?月考）在△ABC中，若（。一ccos〃）sin4=（8-ccos4）siM,則△ABC

的形狀為（）（多選題）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

【變式2］（25?26高一下?全國?課堂例題）在△/8C中,已知

（sin2J+sin25）（acosB-Z>cosJ）=（sin2/I-sin2^）（acosB+Z>cosJ）,plijLABC的形狀為.

3題型六正弦定理判斷三角形解的個數

答「題T祈福

在&ABC中，已知a,b和4時，求B角的時，解的情況如下：

若耳為銳角時：根據a與加出4、b之間關系判斷解的個數。

若4為鈍角或直角時：根據。與匕之間關系判斷解的個數。

【典例1】（多選）（25-26高一下?全國?單元測試）根據下列情況，判斷三角形解的情況，其中錯誤的是

（）

A.。=8,6=16,4=30。，有兩解B.b=18,c=2O,4=60。，有一解

C.a=5,c=2,4=90。，無解D.a=3O,人=25,4=150。，有一解

【典例2】（25-26高一上?上海寶山?期末）在△力3C中，角力、B、C所對的邊分別為。、b、。，已知

a=g,△=要使該三角形有唯一解，則力的取值范圍為________.

O

【變式1】（2025高一下?江蘇南京?專題練習）在△48。中，已知8c=2,B=g若該三角形有兩個解,

則,4。的取值范圍是—.

【變式2】（25-26高一下?全國?課堂例題）己知一三角形中a=2石，b=6,4=30。，判斷三角形是否有

解，若有解，解該三角形.

3題型七正余弦定理的邊角互化

善商i謂i福

正余弦定理實現三角形的邊角互化，可以用來化簡題目中的條件。

（1）利用正弦定理進行邊角互化，需要對等式中的每項進行統i變換。

（2）利用余弦定理，化角為邊。

【典例1］（2026,湖南永州?二模）在△力8C中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足

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b-2a+4asiif且上=0,則（）

2

A.角C為銳角B.2a2+2b2-c2=0

C.2tanJ+tanC=0D.tanB的最大值為立

3

【典例2】（多選）（25?26高三上?湖北?期中）△"（:中，角力，8，。所對的邊分別為。，b,。且皿=四二

cosBb

下列說法正確的是（）

A.B=-B.若6=2且△N2C有唯一解，則0＜。42

4

C.若sinC=&sin4，則/）=。D.若6=2,則△力8C面積最大值為1+&

【變式1］（多選）（2026?江西?一模）在△/出C中，三個內角4氏。所對的邊分別為。力,c,若

sin2J+sin25=l+cos2C?cosBcosC=-,△ABC的面積為1,則（）

A.be=2B.C.cosC=cos（A-B）D.bcosC+ccosB=正

【變式2】（多選）（2026?遼寧撫順?一模）在△月8C中，角4瓦。的對邊分別為dAce/BC外接圓的半徑

為2,且acos8+/）cos%=c（4cos4-l）,則下列結論正確的是（）

A.A=^

6

B.a=25/3

C.△月6c面積的最大值為37g

D.若b-c=2,角力的平分線交8c于點。，則力。=生巨

3

3題型八正余弦定理的應用

善詢i癡后..............................................

正余弦定理的應用在測量高度、距離、角度問題上，構造三角形，應用解三角形的思想來求解。

......................................................................................-............!

【典例1】（25-26高一下?上海浦東新?月考）10世紀阿拉伯天文學家阿爾?庫希設計出一種力案，通過兩個

觀察者異地同時觀測同一顆流星來測定流星的高度.如圖，設有兩個觀察者在地球上力、8兩地同時觀察到

一顆流星S,仰角分別是a和/（M4,A/8表示當地的地平線）.設a=30'，P=45,益=500km，地球

的半徑R=6371km,則流星的高度約為km（精確到1km）.

10/14

s

【典例2】（2026高一?全國?專題練習）如圖，兩座相距60m的建筑物48、的高度分別為20m、50m,

BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角ZCAD的大小為.

【變式1】（25?26高一卜,全國理兀測試）如圖，某城市有一條公路從止西方40通過市中心。后轉向北偏

東角方向的.位于該市的某大學〃與市中心。的距離OM=305km,且乙40M=0.現要修

筑一條鐵路在。力上設一站力，在08上設一站5,鐵路在48部分為直線段，且經過大學其中

tana=2,cos/?=—^=,AO=15km.

⑴求大學M與站力的距離4%;

⑵求鐵路川？段的長度.

【變式2】（25?26高一下?全國?課后作'業）如圖所示，一輛汽車從力市出發沿海岸一條直公路以100km/h

的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300kin的海上B處有

一快艇與汽車同時出發，要把一件材料交送給這輛汽車的司機.

（1）快艇至少以多大的速度行駛才能把材料送到司機手中？

11/14

（2）求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與48所成的角；

（3）若快艇每小時最快行駛75km,快艇應如何行駛才能盡快把材料交到司機手中，最快需要多長時間？

.過?分層驗收.

期中基礎通關練（測試時間：10分鐘）

A4-z*

1.（25?26高一下?全國?課后作業j若1+cosW:一則三角形的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

2.（25-26高一下?全國?課后作業j設△力8c的內角力，B,C的對邊分別為。，b,c,若。=2,

c=2G,cos力=—，則力=（）

2

A.2或4B.3C.5D.2a

3.（25-26高一下?全國?課堂例題）已知△力4c的三邊滿足a:6:c=5:U:13,則ZUBC（）

A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

4.（25-26高一上?北京東城?期末）在△力8。中，若力=120°,AB=5,BC=7,則4C等于（）

A.8B.6C.4D.3

5.（多選）（25-26高一下?全國?單元測試）已知△力8c的面積為6且6=2,c=2,則4等于（）

A.30。B.150°C.60°D.120°

期中重難突破練（測試時間：10分鐘）

1.（2026高一?全國?專題練習）已知△力8c的面積S=〃sin4,角4的平分線4。交3C于。，AD

a=6,則b=

2.（2026?河南?模擬預測）在△力BC中，AB=4,BC=5,4C=JIT，。為邊力C上一點，且平分

NXBC,則8。=（）

&20GR后「914

A.-------B.-1J.一

9323

3.（25-26高二上?安徽滁州?期末）已知的三個內角48,C所對的邊分別為=△/出C的面

12/14

積為6，角4的平分線交邊4c于點。，且BD=2DC,則。為（）

A.72B.V10C.7l4D.4

4.（2026高一下?全國?專題練習）在非直角△/BC中，設角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

asin/l+bsin8-csinC=4bsin8cosC,C。是角C的內角平分線，且CD=b,則cos。等于（）

13八21

A.-B.-C.-D.—

8436

5.（2026高一下?福建莆田?專題練習）在△XBC中，AB=AC,。為ZC中點，BD=6,則△