線性基礎代數23

2.1行列式的定義第2章行列式1.二階行列式的引入類似地，也可以得到：

我們首先回顧用Gauss消元法求解二元線性方程組的解法：兩式相減，得到：1.二階行列式的引入(續)當時，解的表達式的分母由方程組的四個未知數的系數確定.二元線性方程組記號數表

的解為我們引進新的符號來表示“四個數分成兩對相乘再相減”.表達式稱為由該數表所確定的二階行列式，即2.二階行列式的定義定義2.1由四個數排成二行二列(橫排稱為行、豎排稱為列)的數表表示代數式，稱這個數表為一個二階行列式，并記作其中，稱為行列式的元素，

i為行標，表明元素位于第i行；

j為列標，表明元素位于第j

列.3.二階行列式的計算對角線法則：例如：主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積.

二元線性方程組若令(方程組的系數行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為4.二階行列式的一個應用5.例1例1

求解二元一次線性方程組

解：因為所以6.三階行列式的定義設有9個數排成三行三列的數表稱為由以上3行3列數表所確定的一個三階行列式.6.三階行列式的定義(續)(1)沙路法

(2)對角線法則紅線上三元素的乘積冠以正號藍線上三元素的乘積冠以負號6.三階行列式的定義(續)注：(1)對角線法則只適用于二階與三階行列式．(2)三階行列式包括3!項，每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積，其中三項為正，三項為負.6.三階行列式的定義(續)7.例2

例2

計算三階行列式

解：

例3求解方程

解：方程左端為由此解得

8.例39.三階行列式的一個應用再設假設三元一次線性方程組的系數行列式9.三階行列式的一個應用(續)的解為則用消元方法可得三元線性方程組10.引例共有種放法，可以組成6個沒有重復數字的三位數．

引例：用1、2、3三個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法

解：11.全排列定義2.2把n個不同的元素排成一排，稱為一個n元排列(或簡稱排列).同理：問題：

n個不同的元素排成一排，共有幾種不同的排法？

n個不同的元素的所有排列的總數，通常用表示.由引例可知：所有6種不同的排法中，只有一種排法(123)中的數字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數排在小的數之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，32111.全排列規定：

各元素之間有一個標準順序，n個不同的自然數，規定由小到大為標準順序．12.逆序數按照這個規定，排列123······n稱為一個標準排列(或自然排列)．例如：排列32514中，32514逆序逆序逆序定義2.3當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序.3251412.逆序數(續)定義2.3(續)一個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數.通常用故此排列的逆序數為3+1+0+1+0=5.

例如：排列32514中，31

定義2.3(續)逆序數為奇數的排列稱為奇排列；逆序數為偶數的排列稱為偶排列.0

來表示排列的逆序數.0113.計算排列逆序數的方法方法：分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼的個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，這些元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數.14.例4

例4

求排列32514的逆序數.

解：在排列32514中：3排在首位，逆序數為0;2的前面比2大的數只有一個3，故逆序數為1;5的前面沒有比5大的數，其逆序數為0;1的前面比1大的數有3個，故逆序數為3;4的前面比4大的數有1個，故逆序數為1.32514于是排列32514的逆序數為

這個排列是奇排列.0103115.例5

例5

計算下列排列的的逆序數，并討論它們的奇偶性：(1)217986354

解：此排列是偶排列.15.例5(續)

解：當時，此排列是偶排列.當時，此排列是奇排列.(2)15.例5(續)

解：當為偶數時，此排列是偶排列.當為奇數時，此排列是奇排列.(3)n

階行列式問題1:由哪些項組成？問題2:總項數為多少？問題3:每項符號如何確定？16.n階行列式的引入16.n階行列式的引入(續)考察三階行列式總結：(1)三階行列式共有

項，即6項．(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．(3)每一項可以寫成（正負號除外），其中是1、2、3的某個排列.(4)當是偶排列時，對應的項取正號；當是奇排列時，對應的項取負號.

例如：的列標排列的逆序數：偶排列，符號：+的列標排列的逆序數：奇排列，符號：-所以有16.n階行列式的引入(續)17.n階行列式的定義

定義2.4由個數排成的n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數和記作也簡記為，數稱為行列式的元素.其中，為自然數的一個排列，為這個排列的逆序數.

也就是說，17.n階行列式的定義(續)注：

(1)n階行列式是

項的代數和.

(2)n階行列式的每一項都是位于不同行,不同列的n個元素的乘積.

(3)前面的符號為.

(4)行列式是一種特定的算式，它首先是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次線性方程組的需要而定義的，但其用途大大拓廣了.17.n階行列式的定義(續)18.例6例6寫出四階行列式中含有因子

的項.解：和

答：符號

可以有兩種理解：若理解成絕對值，則

；若理解成一階行列式，則

.思考：

成立嗎？注：當n=1時，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對值的記號相混淆.例如：一階行列式

.19.知識點對比行數不等于列數共有m×n個元素本質上就是一個數表行數等于列數共有n2個元素矩陣行列式20.方陣的行列式若則稱矩陣A為非奇異矩陣,否則稱為奇異矩陣.定義2.5由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.例如：21.例7

例7

計算上三角矩陣A=的行列式.

解：展開式中項的一般形式是因此，只需考慮所以，可能不為零的項只有.21.例7(續)于是有例如：上三角行列式同理可得下三角行列式特別地，對角行列式21.例7(續)22.例8例8

計算副對角行列式.

解：展開式中項的一般形式是若，則，從而這個項為零，所以只用考慮的項.同理可知，只用考慮的項.也就是說，行列式展開式中可能不為零只有.22.例8(續)于是有23.例9例9

證明

.

證明：若記，則有于是有例如：23.例9(續)24.四個結論(1)對角行列式(2)副對角行列式

(3)上三角行列式（主對角線下側元素都為0）(4)下三角行列式（主對角線上側元素都為0）24.四個結論(續)

(1)二階和三階行列式是由解二元和三元一次線性方程組引入的.

(2)二階與三階行列式的計算——對角線法則.(4)計算排列逆序數.(5)排列具有奇偶性.(3)n個不同的元素的所有排列總數為.(6)行列式是一種特定的代數式.(7)n階行列式共有項的代數和，每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積，其正負號由下標排列的逆序數決定.(8)四種特殊的行列式.25.本節小結26.思考題1已知，求中的系數.解：中含的項有兩項：故中的系數為.試判斷和是否都是六階行列式中的項.解：下標的逆序數為所以，是六階行列式中的項.而下標的逆序數如下計算所以，