第十一講：北師大版七年級數學下期末沖刺復習三

各位同學，大家好！期末的腳步日益臨近，我們的復習也進入了關鍵階段。在前面的復習中，我們已經對本學期的主要知識模塊進行了梳理和鞏固。今天這一講，我們將聚焦于三角形、生活中的軸對稱以及數據的收集與整理這幾個核心內容，進行一次系統性的回顧與深化，希望能幫助大家在期末考中取得理想的成績。一、三角形專題深化與鞏固三角形是平面幾何的基石，其重要性不言而喻。我們不僅要掌握三角形的基本概念和性質，更要能靈活運用這些知識解決問題。1.1三角形的邊與角*三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。這是判斷三條線段能否組成三角形的重要依據，也是解決三角形邊長取值范圍問題的關鍵。同學們在遇到已知兩邊求第三邊取值范圍，或判斷線段能否構成三角形時，務必牢記這一點。*內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。這是計算三角形內角度數的基礎。由此還可以推導出：直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。這些推論在角度計算和證明中應用廣泛。*三角形的分類：按角分，可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分，可分為不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）。等腰三角形和等邊三角形具有特殊的性質，是考察的重點。1.2三角形的重要線段*中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段。三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心。重心將每條中線分成2:1的兩段。*高線：從三角形一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。銳角三角形的三條高都在三角形內部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部。*角平分線：三角形一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段。三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形三邊的距離相等。在解決與三角形面積相關的問題時，高線往往扮演著重要角色。而中線等分三角形面積的性質，也常常在題目中巧妙出現。1.3全等三角形*定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。*性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（對應邊上的中線、高線、對應角的角平分線也分別相等）*判定方法：*SSS(邊邊邊)：三邊對應相等的兩個三角形全等。*SAS(邊角邊)：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。注意：必須是“夾角”。*ASA(角邊角)：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。*AAS(角角邊)：兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。*HL(斜邊、直角邊)：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。全等三角形的證明是這部分的核心，也是難點。同學們在解題時，要仔細觀察圖形，尋找已知條件和隱含條件（如公共邊、公共角、對頂角等），選擇合適的判定方法。證明思路要清晰，書寫格式要規范，做到步步有據。1.4等腰三角形與等邊三角形的性質與判定*等腰三角形：*性質：兩腰相等；兩底角相等（“等邊對等角”）；頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（“三線合一”）。*判定：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩個角相等的三角形是等腰三角形（“等角對等邊”）。*等邊三角形：*性質：三邊都相等；三個角都相等，且都等于60°；具有等腰三角形的所有性質。*判定：三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。這些特殊三角形的性質在幾何證明和計算中應用非常廣泛，要熟練掌握。二、生活中的軸對稱軸對稱是一種重要的圖形變換，在生活中有著廣泛的應用，也為我們解決幾何問題提供了新的思路和方法。2.1軸對稱的基本概念*軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。*兩個圖形成軸對稱：如果把一個圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。2.2軸對稱的性質*對稱軸是一條直線。*成軸對稱的兩個圖形全等。*如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。*軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。2.3利用軸對稱解決問題*最短路徑問題：這是軸對稱性質應用的經典案例。例如，在直線上找一點，使它到直線同側兩點的距離之和最短，通常的作法是作其中一點關于直線的對稱點，連接對稱點與另一點，與直線的交點即為所求。*設計圖案：利用軸對稱可以設計出許多美麗的圖案。在解決與軸對稱相關的問題時，關鍵是要找出對稱軸，并利用對稱點的性質。三、數據的收集與整理回顧數據是我們認識世界、做出決策的重要依據。本學期我們學習了數據收集與整理的基本方法。3.1數據的收集*方式：普查和抽樣調查。*普查：對考察對象的全體進行調查，所得數據準確，但耗費人力、物力和時間較多。*抽樣調查：從考察對象中抽取一部分對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況。抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性。3.2數據的整理與描述*統計表：將收集到的數據進行分類整理，制成表格，使數據關系一目了然。*統計圖：*條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。*扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。（注意扇形圓心角的計算：圓心角=該部分百分比×360°）*折線統計圖：能清楚地反映事物的變化趨勢。在分析統計圖表時，要能從中準確提取信息，并進行簡單的計算和推斷。四、典型例題精析例1：三角形內角和與外角性質應用已知在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大30°，求∠B和∠C的度數。分析：根據三角形內角和定理，∠A+∠B+∠C=180°。設∠C=x，則∠B=x+30°，代入即可求解。解答：設∠C=x，則∠B=x+30°?！摺螦+∠B+∠C=180°，∠A=50°∴50°+(x+30°)+x=180°解得：x=50°∴∠C=50°，∠B=50°+30°=80°答：∠B為80°，∠C為50°。例2：全等三角形的判定與性質如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。求證：BC=DE。分析：要證BC=DE，可考慮證明△ABC≌△ADE。已知AB=AD，AC=AE，只需再證夾角∠BAC=∠DAE即可。由∠BAE=∠DAC，等式兩邊同時加上∠CAE（或減去公共角，視圖形而定），即可得到∠BAC=∠DAE。證明：∵∠BAE=∠DAC∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE（等式性質）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已證）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE(SAS)∴BC=DE（全等三角形對應邊相等）例3：等腰三角形性質應用等腰三角形的一個內角是70°，求它的另外兩個內角的度數。分析：等腰三角形的兩個底角相等。題目中只說一個內角是70°，這個角可能是頂角，也可能是底角，因此需要分情況討論。解答：情況一：70°的角是頂角。則底角=(180°-70°)÷2=55°另外兩個內角為55°，55°。情況二：70°的角是底角。則另一個底角也是70°，頂角=180°-70°-70°=40°另外兩個內角為70°，40°。綜上所述，另外兩個內角的度數為55°，55°或70°，40°。五、復習建議與易錯點提示1.回歸課本，夯實基礎：期末復習的首要任務是將課本上的定義、性質、定理、公式等牢記于心，并理解其推導過程和適用條件。2.勤于思考，總結方法：對于典型例題和習題，要多思考解題思路，總結解題方法和規律。例如，證明線段或角相等，?？紤]全等三角形；遇到等腰三角形，要想到“三線合一”等性質。3.重視錯題，查漏補缺：將平時作業和測驗中的錯題整理出來，分析錯誤原因，及時進行訂正和鞏固，避免在考試中再犯類似錯誤。4.規范書寫，減少失誤：幾何證明題要步驟清晰，因果明確；計算題要仔細認真，注意單位。5.易錯點提示：*運用三角形三邊關系時，容易忽略“任意”兩邊之和大于第三邊。*全等三角形判定中，SAS的“夾角”容易誤判為“任意角”。*等腰三角形“三線合一”性質的應用條件。*扇形統計圖中，部分占總體的百分比與圓心角的轉換。*考慮問題不全面，如等腰三角形中頂角與底角的分類討論，三角形高的位置等。六、總結與展望同學們，今天我們對三角形、軸對稱以及數據的收集