2026初中數學58種模型：31、勾股定理知識點與常見題型總結

勾股定理復習

一．知識歸納

１．勾股定理

內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較

短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾

三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發現并證明了直角三角形的三邊關系為：兩直角邊的

平方和等于斜邊的平方

２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是

①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理

常見方法如下：

122

方法一：4SS正方形S正方形ABCD，4ab(ba)c，化簡可證．

EFGH2

方法二：

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

1

四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2

2

大正方形面積為S(ab)2a22abb2

所以a2b2c2

1112

方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SS2abc，化簡得證

2ADEABE22

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍

角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形

４.勾股定理的應用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關系

③可運用勾股定理解決一些實際問題

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定

三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相

等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是鈍

角三角形；若a2b2c2，時，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c

滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角

形是直角三角形

６.勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a2b2c2中，a，b，c為正整數時，

稱a，b，c為一組勾股數

②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代數式表示n組勾股數：

n21,2n,n21（n2,n為正整數）；

2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數）

m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數）

７．勾股定理的應用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題．在使

用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用

勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求

解．

８.．勾股定理逆定理的應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體

推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊

的平方比較而得到錯誤的結論．

９.勾股定理及其逆定理的應用

勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆

定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．

常見圖形：

題型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長

⑵已知AB17，AC15，求BC的長

分析：直接應用勾股定理a2b2c2

解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

題型二：應用勾股定理建立方程

例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個三角形的面積為

⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個三角形的面積為

分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時可根據

勾股定理列方程求解

解：

ACBC

⑴ACAB2BC24，CD2.4

AB

⑵設兩直角邊的長分別為3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1

⑶設兩直角邊分別為a，b，則ab17，a2b2289，可得ab60Sab30cm2

2

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來

解：作DEAB于E，

12，C90

DECD1.5

在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAED

ACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

答案：6

題型三：實際問題中應用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵

數的樹梢，至少飛了m

分析：根據題意建立數學模型，如圖AB8m，CD2m，BC8m，過點D作DEAB，垂足為E，

則AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三邊長為a，b，c，判定ABC是否為Rt

52

①a1.5，b2，c2.5②a，b1，c

43

解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

1325

②b2c2，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形

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例7.三邊長為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264

a2b2c2所以此三角形是直角三角形

題