統計學課件 第05章-抽樣與抽樣估計

第5章

抽樣與抽樣估計12345目錄Contents抽樣推斷概述抽樣誤差抽樣的組織方式抽樣估計方法樣本容量的確定第一節抽樣推斷概述抽樣推斷的概念和特點抽樣推斷的作用抽樣推斷中的幾個概念

抽樣推斷是統計研究中的一種重要方法，它是在抽樣調查的基礎上，進一步運用數理統計的原理，對研究對象的整體作出具有一定可靠程度的估計和判斷的統計方法。抽樣推斷的特點：

（一）抽樣推斷必須遵循抽樣調查的隨機原則

（二）抽樣推斷是以樣本指標數值去推斷總體指標數值

（三）抽樣推斷中產生的誤差可以事先計算并加以控制一、抽樣推斷的概念和特點抽樣推斷中采用的抽樣調查方法與其他調查方法相比，具有節省人力、物力、財力與時間等優點，使得這種方法在統計中的作用日益顯著。歸納起來這種作用表現在以下幾個方面：

（一）對不可能進行全面調查的總體數量特征的推斷

（二）對于某些不必要進行全面調查的總體數量特征的推斷

（三）對于全面調查的資料進行評價和修正二、抽樣推斷的作用

全及總體又叫母體，簡稱總體，它是指所要調查研究對象的全部單位構成的整體。

抽樣總體簡稱樣本，又稱小樣，它是指從全及總體中按隨機原則抽取的部分單位組成的總體。抽樣推斷就是通過對抽樣總體進行調查，用樣本的有關指標去推斷全及總體的有關指標，全及總體的單位數通常用N表示；抽樣總體的單位數通常用n表示，也稱為樣本容量。三、抽樣推斷中的幾個概念—1、全及總體與抽樣總體例我們從某商業企業的1000名職工中隨機抽取50名職工進行調查。一般來講，若n＜30,稱為小樣本；若n≥30,則稱為大樣本。

全及指標是根據全及總體各單位標志值計算的綜合指標，又稱總體參數。當總體確定以后，全及指標是一個客觀存在的常數，其指標數值是確定的、唯一的。常用的全及指標有平均數、成數、標準差、方差。

X——全及總體的平均數；

X

——全及總體平均數的標準差；

X2

——全及總體平均數的方差；P——全及總體的成數；

P

——全及總體成數的標準差；

P2

——全及總體成數的方差。三、抽樣推斷中的幾個概念—2、全及指標和抽樣指標

例5.1設總體單位總數N中，有N1個單位具有某種屬性，N0個單位不具有某種屬性，即N1+N0=N。可以把具有某種屬性即“是”的標志表示為“1”，而不具有某種屬性即“非”的標志表示為“0”。那么成數P就可視為(0,1)分布的平均數，并可求相應的方差和標準差。三、抽樣推斷中的幾個概念—2、全及指標和抽樣指標

抽樣指標是指根據抽樣總體各單位標志值計算的綜合指標，也稱統計量。由于抽樣指標的數值隨樣本總體的不同而變化，因此抽樣指標是一個隨機變量。與全及總體指標相對應，常用的抽樣指標有：

x

——抽樣總體平均數；S

x——抽樣總體平均數的標準差；S

x2——抽樣總體平均數的方差；P——抽樣總體的成數；Sp——抽樣總體成數的標準差；Sp2——抽樣總體成數的方差。三、抽樣推斷中的幾個概念—2、全及指標和抽樣指標

重復抽樣也稱有放回抽樣，是把已經抽出來的單位再放回到全及總體中，繼續參加下一次抽選，使全及總體單位數始終是相同的，每個單位可能不止一次被抽中。

不重復抽樣也稱無放回抽樣，是把已經抽出來的單位不再放回到全及總體中，每抽一次，總體單位數會相應減少，每個單位只能被抽中一次。三、抽樣推斷中的幾個概念—3、重復抽樣和不重復抽樣第二節抽樣誤差抽樣誤差的含義抽樣誤差的表現形式一、抽樣誤差的含義統計誤差登記性誤差代表性誤差系統性誤差（偏差）隨機性誤差遵守隨機原則，但樣本指標不可能完全代替總體指標，這種屬于抽樣推斷本身固有的一種誤差被稱隨機性誤差。（一）抽樣實際誤差抽樣實際誤差是指在一次抽樣中，由隨機因素引起的抽樣指標與全及指標之間的離差。例如，抽樣平均數與總體平均數之間的離差（

x-

X）、抽樣成數與總體成數之間的離差（p-P）。在抽樣中，由于全及指標數值是未知的，因此，抽樣實際誤差是無法計算的；同時，抽樣實際誤差只是所有可能出現誤差的一種，因此，不能用抽樣實際誤差來概括所有可能出現的誤差。（二）抽樣平均誤差抽樣平均誤差是指抽樣指標（抽樣平均數或抽樣成數）的標準差，它反映了所有抽樣結果所得的抽樣指標數值與全及指標數值的平均離差。二、抽樣誤差的表現形式1、抽樣平均誤差的理論公式抽樣平均誤差是根據抽樣平均數（或抽樣成數）與總體平均數（或總體成數）計算，其公式為：二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差抽樣平均誤差的理論公式主要從理論上說明抽樣平均誤差的意義，即是一個定義公式。在實際抽樣中，由于一方面全及指標數值是未知的，另一方面我們不可能也不必把總體中所有可能出現的樣本都抽取出來，故該公式實際上無法據以計算，僅有理論意義。2、抽樣平均誤差的實際公式—（1）抽樣平均數的抽樣平均誤差二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差2、抽樣平均誤差的實際公式—（2）抽樣成數的抽樣平均誤差二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差例5.2某企業生產一批燈泡共10000只，隨機抽取500只做耐用時間試驗。測算結果顯示，平均壽命為5000小時，樣本標準差為300小時，500只中合格品有490只，求平均數和成數的抽樣平均誤差。二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差3、影響抽樣平均誤差的因素二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差（1）總體單位之間標志值的變異程度（2）抽樣單位數目（3）抽樣方法（4）抽樣組織方式在抽樣中，由于只對總體中的部分單位進行調查，故總體方差是未知的，因此，在實際運用中，可用以下方法解決：第一，用樣本方差代替總體方差。這是實際使用的主要方法，由概率論可以證明，用樣本方差代替總體方差是有效的。第二，用歷史資料代替。可用過去全面的資料，也可用過去抽樣的資料。如有幾個不同方差資料，應選用數值較大者。第三，用小規模試驗性調查資料代替。第四，當成數沒有適當的資料時，可用0.5代替，因為此時成數的方差最大二、抽樣誤差的表現形式—（二）抽樣平均誤差第三節抽樣的組織方式簡單隨機抽樣分層抽樣等距抽樣整群抽樣簡單隨機抽樣是最基本的抽樣組織方式，其常用方法有抽簽法、隨機數表取數法和電子計算機取數法。一、簡單隨機抽樣分層抽樣又叫分類抽樣或類型抽樣。它是按與調查目的有關的某個主要標志將總體單位劃分為若干層（也稱類、組或子總體），然后從各層中按隨機原則分別抽取一定數目的單位構成樣本。

分層抽樣是統計分組法與抽樣原理的結合，可以提高樣本的代表性，而且還可以深化對現象的認識，滿足分層次管理的需要。

與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣能使樣本結構更接近總體結構，并且，分層抽樣不僅能利用樣本推斷總體指標，也能利用各子樣本推斷相應子總體的指標。二、分層抽樣二、分層抽樣二、分層抽樣等距抽樣也叫機械抽樣或系統抽樣。它是先將總體單位按某一標志排隊，計算出抽樣間隔，并在第一個抽樣間隔內確定一個抽樣起點，再按固定的順序和間隔來抽取樣本單位。等距抽樣最顯著的優越性是能提高樣本單位分布的均勻性，樣本代表性較強。等距抽樣在排隊之后，當抽樣起點一經確定，整個樣本也就確定了。所以等距抽樣的隨機性體現在排隊順序與抽樣起點的確定上。根據排隊標志的性質不同，等距抽樣分為無關標志排隊等距抽樣和有關標志排隊等距抽樣兩種類型。三、等距抽樣（一）無關標志排隊等距抽樣所謂無關標志排隊等距抽樣，就是指等距抽樣據以排隊的標志與調查內容沒有直接關系。無關標志排隊等距抽樣的抽樣誤差通常是按簡單隨機抽樣的抽樣誤差公式近似計算的。（二）有關標志排隊等距抽樣所謂有關標志排隊就是指排隊標志與調查內容有密切關系。1、半距起點等距抽樣（中心系統抽樣）半距起點等距抽樣也就是以第一個抽樣距離的一半為抽樣起點（r=K/2）并每間隔

個單位抽一個單位。但這種取樣方法大大限制了抽樣的隨機性。2、對稱等距抽樣對稱等距抽樣是指在第一個抽樣距離內隨機地確定抽樣起點

（1≤r≤K），然后以組界限[K、2K、…（n-1）K]為對稱點兩兩對稱地抽取樣本單位。其抽樣誤差一般按分層抽樣的誤差公式近似計算。三、等距抽樣—（一）無關標志排隊等距抽樣

整群抽樣也叫集團抽樣。它是將總體全部單位分為若干部分（每一部分稱為一個群體，簡稱群），然后按隨機原則從中抽取一部分群體，抽中群體的所有單位構成樣本。整群抽樣對抽中群體內的所有單位進行全面調查，而未抽中群體的單位一概不調查。整群抽樣對中選群內的單位實行全面調查，其樣本代表性取決于抽中群體對全部群體的代表性。顯然，群體之間差異愈大，樣本代表性愈差；反之，群體之間差異愈小，樣本代表性愈好。整群抽樣的抽樣平均誤差公式為：四、整群抽樣例5.4某商場有某種飲料500箱、每箱6瓶，現隨機抽取10箱檢查每瓶的含菌數，測得這10箱的平均每瓶含菌數分別為：90、80、65、85、75、70、50、70、60、65個。試計算抽樣平均誤差。四、整群抽樣第四節抽樣估計方法抽樣估計概述抽樣估計得基本方法總體均值的區間估計總體比率的區間估計

抽樣估計是指利用抽樣調查取得的樣本實際資料，采用一定的估計方法，去估計和推斷相應總體未知的指標的一種統計分析方法。由于總體指標是表明總體數量特征的參數，因而抽樣估計又稱參數估計。一、抽樣估計概述

對于樣本的某一指標而言，它有許多可能的取值，前已述及它是一個隨機變量，而且它與其總體相應指標間總有著或大或小的誤差。因此，據以估計和推斷出來的總體指標，不可能是絕對準確的，實際中允許有一定的估計誤差，故抽樣估計只能在一定的可信程度下，期望其等于所代表的總體的真實情況。一、抽樣估計概述—（一）抽樣估計的數理標準無偏性一致性有效性抽樣推斷既然是用抽樣指標去估計和推斷總體的相應指標，因此可將抽取的樣本指標，作為相應總體的估計值。一、抽樣估計概述—（二）有關的基本概念估計值抽樣極限誤差極限誤差的置信度簡稱極限誤差或允許誤差，是指抽樣指標與全及指標之間的可能誤差范圍。是指全及指標落在某一區間內的概率保證程度，也稱為置信水平，一般用概率（1-

）表示，其中

通常稱為顯著性水平，也稱為風險值。→→一、抽樣估計概述一般是以抽樣平均誤差作為衡量的尺度，將抽樣極限誤差除以相應的抽樣平均誤差得出的相對數稱為概率度，它表示允許誤差范圍為抽樣平均誤差的若干倍。用公式表示為：Z為概率度

數理統計已經證明：概率度與概率之間存在著一定的函數關系，最常用的概率度

值及相應概率值見表5.2。概率度（Z）0.501.001.651.962.003.00允許誤差的置信度（1－

）0.38290.68270.90000.95000.95450.9973二、抽樣估計的基本方法

1、點估計

亦稱定值估計，是指用樣本指標直接作為總體相應指標的估計值的一種估計方法。一般就是用樣本平均數或成數作為總體平均數或成數的估計值。

例：假設從某企業的1000名職工中抽出100名職工進行收入情況的調查得出，月平均收入

x=2000，我們就推斷說該企業全部職工的月平均收入也為2000元。二、抽樣估計的基本方法

2、區間估計

就區間估計的第一套模式而言，是根據樣本指標以及在一定的概率保證程度下進一步計算得到的允許誤差范圍，共同確定一個總體相應指標的可能范圍的一種估計方法。其基本估計公式為前面所介紹的不等式關系：根據此公式估計出的總體平均數或成數是在一個區間范圍內，故稱區間估計。這個區間也叫置信區間。置信下限置信上限二、抽樣估計的基本方法理解這種方法應注意以下三個方面：（1）它是根據樣本指標和極限誤差計算的總體指標存在的一個可能范圍，而不是一個完全可靠的范圍。這就是說，總體指標是否在這個范圍內，并不完全肯定。它可能在，也可能不在。因為，按照隨機原則在總體中抽取樣本，會有很多種不同的結果，而在實際抽樣的估計中，我們一般只能抽取其中的一個，因此不可能肯定總體指標就一定會在該樣本的指標所確定的范圍之內。（2）區間估計方法的意義在于：它不僅能給出一個總體指標存在的范圍，而且還能給出總體指標在這個可能范圍之內的置信度或概率把握程度。因

或

，所以區間估計的一般公式可由基本公式表示為：

（3）擴大極限誤差的范圍可以提高估計的把握程度，但降低了估計的精確程度；縮小極限誤差的范圍則會降低估計的把握程度，但能提高估計的精確程度。三、總體均值的區間估計

1、總體方差已知時，正態總體均值的區間估計

根據樣本平均數的抽樣分布理論，當總體方差已知時，正態總體下樣本均值服從正態分布，若給定1-

，可由標準正態分布表查得概率度即臨界值Z

/2，總體均值的置信區間可按如下公式來確定：三、總體均值的區間估計

1、總體方差已知時，正態總體均值的區間估計例5.5某企業從長期實踐得知，其產品直徑X是一隨機變量，服從標準差為0.05的正態分布。從某日產品中隨機抽取6個，測得其直徑分別為14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（單位：厘米）。在0.95的置信度下，試求該產品直徑的均值的置信區間。三、總體均值的區間估計

1、總體方差已知時，正態總體均值的區間估計例5.6某企業生產某種產品的工人有1000人，某日采用不重復抽樣從中隨機抽取100人調查他們的當日產量，樣本人均產量為35件，產量的樣本標準差為4.5件，試以95.45％的置信度估計平均產量的抽樣極限誤差和置信區間。三、總體均值的區間估計

2、總體方差未知時，正態總體均值的區間估計（小樣本的估計方法）

根據根據抽樣分布理論，小樣本條件下，如果總體是正態分布的，總體標準差未知而需要用樣本標準差S來代替，則隨機變量

服從自由度為（n-1）的t分布，即t~