高一數學：復數的三角表示

第七章復數

7.3*復數的三角表示

課標要求1.了解復數的三角形式，了解復數的代數形式與三角形式之間的關系.

2.了解復數的三角形式的乘、除及乘方運算.3.會進行復數的代數形式的轉化，了

解輻角.

【引入】我們知道，復數可以用。+為（m的形式來表示，復數。+為與復

平面內的點Z（a,b）一一對應，與平面向量及=（小〃）也是一一對應的，你能用向

量旅的模廠和以x軸的非負半軸為始邊，以向量應所在射線（射線0Z）為終邊的

角〃來表示復數z嗎？

一、復數的三角表示式

探究1我們知道復數z=a+歷可以由向量場在兩坐標軸方向上的投影小匕來確

定，是否可以由其他元素來確定？

提示可以由復數Z的模和復平面內以X軸的非負半軸為始邊、向量旅所在射線

為終邊的角來確定.

【知識梳理】

1.復數的三角形式

一般地，任何一個復數z=a+/?i（a,R）都可以表示成r（cos0+isin。）的形式,

其中，/?是復數z的模；。是以工軸的非負半軸為始邊，向量旅所在射線（射線OZ）

為終邊的角,叫做復數z=a+歷的輻角,,?os夕+isin。）叫做復數z=a+歷的三

角表示式，簡稱1角彩式.為了與三角形式區分開來，。+歷叫做復數的代數表示

式，簡稱代數形式.

2.輻角的主值

規定在區生近范圍內的福角。的值為輻角的主值，通常記作argz,

即OWargz<2兀.

溫馨提示復數的三角形式需滿足:

⑴模「20.

(2)括號內需滿足：前余弦，后正弦，角相同.

(3)cos0與isin0之間用加號相連.

記憶口訣:“模非負、余正弦、+相連、角統一、i跟sin”.不符合條件的都不是

三角形式.

例1(鏈接教材P84例1、P85例2)把下列復數的三角形式化成代數形式，或代

數形式化為三角形式.

(兀?.兀)

(l)zi=3lcos4+isin^l；

(2)z2=6(cos.兀+isin方北)；

(3)Z3=5；(4)z4=g+當i.

71

缶刀zixQ兀_1_9..3/3啦.

解(l)zi=3cos^+3isin+2-L

⑵Z2=6

22

(3)r=5,對應的點(5,0)在x軸上,arg23=0,故Z3=5(cosO+isin0).

(4)對應的點/坐)在第一象限，r=1,由tan~=S，故argZ4=1,

則Z4=cos三+isin.

思維升華1.代數形式化為三角形式的步驟:

⑴先求復數的模廠=|z|,(2)確定Z(m。所在的象限,(3)根據象限求出輻角,

(4)寫出復數三角形式.

2.三角形式中的輻角，不一定是輻角主值，但為使表達式簡單，常取輻角主值.

3.三角形式化為代數形式，直接計算三角函數值即可.

訓練1(1)復數z=l+i的三角形式為z=.

(2)復數6(cos升isiC代數形式為.

答案⑴啦(co寸+isin；)(2)6i

]12

解析(I)/'—^2,cos^=^2=°,

又因為1+i在復平面內對應的點位于第一象限，

所以可取夕=今所以2=啦(8寸+isin"

(2)6(cos升isin,=6cos與+6isin^=6i.

二、復數三角形式的乘法法則與幾何意義

探究2根據復數乘法定義,兩復數zi=『(cos仇+isin4)和Z2=rz(cos在+isin偽)

相乘的結果是什么呢？

提示zi-Z2=n(cosOi+isinOi>r2(cos/+isinOi)

=nr2[(cos〃icosft-sin〃isina)+i(sin01cosft4-cosOisinGi)]

=r】rz[cos(a+02)+isinf^i+偽)].

【知識梳理】

1.兩復數三角形式的乘法

兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.

2.復數乘法的幾何意義

兩個復數Zl,Z2相乘時，先分別畫出與Zl,Z2對應的向量。Zl,0Z2,然后把向量

OZ\繞點。按逆時針方向旋轉一個角色(如果02V(),就要把右I繞點O按順時針

方向旋轉角|肉)，再把它的模變為原來的區倍，得到向量玄，它表示的復數就是

積ZZ(如圖).

溫馨提示復數三角形式的乘法法則成立的前提是兩個復數都是三角形式，如果

不是三角形式，要先化成三角形式再運算，輻角不要求一定是主值.

例2(鏈接教材P87例3)計算下列各式的值:

八71...n\(71...71^1

(1)21cosy^->isin-p1-31cos^-l-isin^l；

(2)g(cos150+isin15°)-4(cos1350—isin1350)；

⑶詆cos15°+isin15°)J8.

解(1)2(cos羞+isin制.3(cos；+isin；

={cos(^+，+isin倚+；)]

K...71

=6cosg-Hsing

=3+3E

(2)2(COS15°+isin15°)-4(cos135°—isin135°)

=1(cos15°+isin15°)-4[cos(-135°)+

isin(-135°)]

=2[cos(-120°)+isin(-120°)]

(3)fV2(cos15°+isin150)]8

=16(cos120°+isin1200)

=-8+851

思維升華兩個復數三角形式相乘，把模相乘作為積的模，把輻角相加作為積的

輻角.若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時，需將相混的復數統一成代數

形式或三角形式，然后進行相乘.

訓練2⑴設復數2-i和3-i的輻角的主值分別為a和小則a+p等于()

A.135。B.3150

C.675°D.5850

(2)設向量及對應復數z=一坐一*,把花繞原點。逆時針旋轉120。得到應，則

歷對應的復數為(用代數形式表示).

答案(1)C(2)坐一/

解析(1)根據題意有2—i=，^(cosa+isina),

3—i=d~ib(cos夕+isin少)，

則小(cosa+isina)-^/10(cos夕+isin夕)

5&[cos(a+￡)+isin(a+3].

又(2—i)(3—i)=5—5i,

所以cos(a+0=乎，sin(a+夕)=一乎,

W270°<a<360°,270°</?<360°,

所以a+￡=675。.

(2)根據復數乘法的幾何意義，所求的復數是z=一坐一半乘一個復數zo的積，zo

的模是1,輻角的主值是120。，故所求復數是

卜坐一品(cos

120°+isin1200)

(一乎一必V+割邛斗.

二、復數二角形式的除法法則與幾何意義

探究3根據復數除法定義,兩復數zi=n(cosOi+isin仇)和Z2=rz(cos仇+isin

例)(ziW0)相除的結果是什么呢？

ziri(cosOi+isin。)

提示

Z2n(cos偽+isin例)

門(cos仇+isina)(ccs仇一isin82)

~n(cos^2+isin01}(cos<9?—isin&i)

=~[(cos"cos^2+sinOisin0i)—

i(cosOisin仇一sinOicosft)]

r\

=~[cos(^i—02)+isin(6i—仇)].

【知識梳理】

1.兩復數三角形式的除法

兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被

除數的輻角減去除數的輻角所得的差.

2.復數除法的幾何意義

兩個復數ZI,Z2相除時.，先分別畫出與ZI,Z2對應的向量應I,OZ1,然后把向量

5Z1繞點。按順時針方向旋轉角必如果仇<0,就要把血繞點。按逆時針方向

旋轉角|卸，再把它的模變為原來的占得到向量及，應表示的復數就是梟如圖).

42

溫馨提示(1)夏數三角形式的除法法則成立的前提是兩個或數都是三角形式，如

果不是三角形式，要先化成三角形式，再運算.

(2)兩個復數三角形式除法的法則可簡記為“模數兩除，輻角相減”.

例3(鏈接教材P88例5)計算下列各式的值：

(cos午+isi用

3(cos270°+isin2700)

4…。)+

解(1)

7兀_2兀'

T-T+isin(]

+isin-jy

3(cos270°+isin2700)

(2)1

3(cos(-90°)+isin(-90°)1

=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]

=9(cos360°+isin360°)=9.

思維升華兩個三角形式的復數相除(除數不為())，則商還是一個復數，它的模等

于被除數的模除以除數的模所得的商，它的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻

角所得的差.出現復數的代數形式先轉化為復數的三角形式再計算.

訓練3計算：(1啟+爭)[3(cos120。一1011300。)]=；

1

2

⑵I4,兀)---------

2(cosq十isinqj

答案(片一坐i曙+率

解析⑴9+坐i}[3(cos1200-isin300°)]

=(cos600+isin60°)-[3(cos1200+isin1200)J

=|[cos(60°-120°)+isin(60°-120°)]

=|[cos(-60°)+isin(-60°)]

1品

=6~6L

。、出/立.2.2

(2)因為一]+-^-1=83鏟+151町兀,

1

■I

所以兀

21cosg+isii”

2...2

COS鏟+1S1ITJ兀

~JTI...公

21cos^-risingI

2

=\3

=2

U71...71

一COS/^"Iisin?

11祗

中4L

【課堂達標】

1.復數z=sin150+icos15。的三角形式是（

A.cos1950+isin1950

B.sin75°4-icos75°

C.cos15。+isin15°

D.cos75。+isin75°

答案D

解析z=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故選D.

Tl兀、

(cos^+isin3I—()

A.l+V3iB.1-^31

C.—1+小iD.-l—布i

答案C

解析4(cos兀+isin兀尸2(cos^+isin

cos|jl—T4-isin(7i—

=2fcosy+isin

3.班卜0§￡+isin守(cos^+isin?=

7K.7*

答案1rHsm司

解析原式

71兀

|4+f3l+ising+f

=g(cos|+isin^.

4.8i^[2(cos45°+isin45。)]=

答案26+2也i

解析8i^[2(cos45°+isin45°)]

=8(cos90°+isin900)-?[2(cos450+isin45°)]

=4[cos(90°-45°)+isin(90°一45°)]

=4(cos45°+isin45°)

=2陋+2/

------------------------課時精練?

一、基礎鞏固

1.復數z=sin50。一icos50°的輻角的主值是（）

A.50°B.220°

C.310°D.320°

答案D

解析因為z=sin50°-icos50°=cos(90°-50°)-isin(90°-50°)=cos40°-isin40°

=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos320°+isin320°,所以復數z的輻角的主

值為320°.

2.若復數z=(〃+i)2的輻角的主值是37r于，則實數。的值為()

A.IB.-1

C.一也D.一小

答案B

37ra2—1=0,

解析z=m+i)2=〃2—i+2〃i,arg2=y,所以，C八所以4=_1.

l2a<0,

3.（多選）下列表示復數1+i的三角形式中，正確的是（）

.啦[cos(—§-isin(一￡)]

A

D.q2（cos彳十isin-^-,

答案BD

解析對于A,讓[co]—；）—isin（—但是不滿足復數的三角形式，故

A不正確；

對于B,也（cos：+isin；j=l+i,故B正確；

對于C,讓卜i4+ico§|=l+i,但是不滿足復數的三角形式，故C不正確；

對于D,也（cos竽+isi號）=l+i,故D正確.

,、,L-5兀mwCOS20+isin2夕~仁心A,一在立

4.設兀＜*w，則復數---c?.八的輻角的主值為（）

4cosism0

A.2TI-30B.36—2兀

C.39D.36一兀

答案B

cos28+isin26______cos26+isin29

cosisin0cos(——9)+isin(——8)

=cos3〃+isin30.

*.*3n<3夕<^,

7n

/.71V3。—2兀<z~.

5.設A,B,5是△ABC的內角,z=(cosA+isinA)-r(cosB+isinB)-(cosC+isinC)

是一個實數，則△加?。是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.形狀不能確定

答案C

解析由題意知argz=A—8+。=兀-28=0,則

6復數的三角形式為(要求輻角為輻角主值).

答案

[_____~1-V3i

解析-l+V3i-4―—彳―4

7.已知復數z滿足等式三1=*且argz=1

則z=

答案1+奉

解析設z=(cos,+isi談

=^^r+4n(r>0),

即3/24、/5"I4=0,

“泉,；=1+弟

8.如圖，向量應對應的復數為一l+i,把改繞點。按逆時針方向旋轉150。，得到

OZi,則向量或?對應的復數為.（用代數形式表示）.

A/3—1^/3+1

答案2-21

解析向量應1對應的復數為(一l+i)?(cos1500+isin150°)=(-l+i)

事一]1

221?

9.(1)3^cos-^-4-isin^-j3(cos|+isin|j.

(2n.271

101cos-+isin-

⑵.

51cos^-bisin^I

(V3+i)5

⑶

解⑴3(cos兀,+isi吟)[cosV+isin聿

3

=9[cos停兀+§71+ising+川

36

=9(cos卷+isi用=9i.

(cos申+isin,)

10|

(2)-

51cos,+isi吟

+isin停兀4

=2cos

J兀i??兀

=21cosg十ism§

ij—1+小i.

,5

2(cos|Hsi制

(#+i)5

(3)-T+42(cos全+isin|兀

(5一.5'

321cos^7t+isin^7r

=J2...2

21cos鏟-Hsin針J

=16(cos^+isii*)

=16*9

=83+8、

10.設復數z=（l—/iH求z的模和輻角的主值.

=32(cos弩+isin弩］

=32（cosg+isin

?,?復數z的模為32,輻角的主值為看

二、綜合運用

11.（多選）已知在正方形QA3C中，O是坐標原點，且點B在x軸的上方，向量以

對應的復數為2+i,則（）

A.點8對應的復數為l+3i

B.向量沆對應的復數為一1+2i

C.向量反7寸應的復數為l+2i

D.|At]=E

答案ABD

解析把為繞點。按逆時針方向旋轉45。，再把模變為原來的啦倍即得力，

故向量場對應的復數為(2+i)?啦(cos45°+isin45。)=(2+。(1+i)=1+3i,

即點B對應的復數為l+3i,選項A正確；

把向量為繞點。按逆時針方向旋轉90。即得向量無，

故詼對應的復數為(2+i)(cos90c十isin9(r)=(2十i)i=-l十2i,選項B正確；

就對應的復數為反對應的復數減去場對應的復數，即(一l+2i)—(l+3i)=—2

—i,

選項C不正確；

|A石=|勵|=①,選項D正確.

12.棣莫弗定理:若兩個復數ZI=B(COSOi+kina),Z2=f2(cos定+isin㈤,則zig

=/r2[cos(0i+e)+isin(0i+e)]，己知°=坐+1,h=a2°23,則a+b的值為

答案0

解析由已知條件可得z?=rr(cos26\+isin2夕)，z?=ZTZI=H[cos(2^i4-9i)+

isin(2ft+)]=r?(cos3仇+isin34),…，

依此類推可知，對任意的〃￡N+,

z?=r￥(cos+isinn0\).

因為廣曰+3i=cos^+isi年,

202371Hsin^

所以b=a2023=cos'

66

337兀+*J+isin(337兀+571

=cos6.

兀..兀S1.

=—cos&一呼一2一亍，

所以a-\-