第1節：數與式（含答案）

第01講：數與式

【考點梳理】

/考點一：乘法公式的應用

/考點二：根式的求值化簡

/考點三：指數與指數零的運算

/考點四：數的比較大小和估算

/考點五：數與式的應用問題

【知識梳理】

知識點一、乘法公式

【公式1】平方差公式：。2-6=3+6)3-b)

【公式2】完全平方公式：(4±32=]±2帥+/

【公式3】完全立方公式：(。土公)3=。3±3。2/?+3。從±力3

【公式4](a+b+c)2=a1+b~+c2+lab+2bc+lea(完全平方公式)

【公式5](a+h)(a2-ab+b2)=a3,+Z?3(立方和公式)

【公式6]{a-b)(a2+帥+/)="一方(立方差公式)

知識點二、指數式

(1)當時，an=aa…-a.當〃時，⑴零指數夕°=1(。工0),

⑵負指數=-L(t/^o).

an

⑶分數指數加="(4>(),,〃,〃為正整數).

n

mnnna'mn

事運算法則:(lya.a=。產〃，(2)(十V=(3)?必)”=ab(a,b>0,m,nGZ).⑷彳=a-

知識點三、根式：式子&(aNO)叫做二次根式，其性質如下：

⑴(G=。(心0)(2)證=\a\

(3)Jab=y[a?\[b(a>0,b>0)⑷(6>0,Z?>0)

如果有爐=a,那么x叫做〃的〃次方根，其中〃為大于1的整數.

當n為奇數時，值=a，當n為偶數時，=\a\=a,a>0

一〃,〃<()?

知識點四、分式：當分式4的分子、分母中至少有一個是分式時，A就叫做繁分式，繁分式的化簡常用以下兩種

BB

方法：

(1)利用除法法則；(2)利用分式的基本性質.

【題型歸納】

題型一：乘法公式的應用

1.(2025高一?全國?專題練習)式子可恒等變形為()

A.a3-byB.a2-2ab+b2

C.a'+ab2-a2b-^D./一加+/匕一//

【答案】C

【分析】根據多項式的乘法運算即可.

【詳解】(4-6)(/+〃)=/+加,

故選：C.

2.(2025高一?全國?專題練習)式子，^一4工+4+--2可恒等變形為()

A.2x-4B.4-2x

C.|x-2|+x-2D.|x+2|+x—2

【答案】C

【分析】根據二次根式的意義化簡即可.

【詳解】由完全平方公式知Jf-4文+4+工一2=+工一2=.一2|+二一2.

故選：C

3.(2舁26高一上?全國?課前預習)已知6是方程/+工_1=0的一個根，求代數式(〃?+1)2+(〃葉1)(〃7-1)的值.

【答案】2

【分析】由題意可得病+加=1,再結合完全平方公式、平方差公式計算即可.

【詳解】二/77是方程X?+*_1=0的一個根,,-./n2+m-l=0,即〃/+〃2=1,

(/rz+l)"+(m+\)(m-\)=m2+2m+1+nr-1=2nr+2m=2(〃J+〃?)=2.

4.(2舁26高一?上海?假期作業)已知/+1_]=0，求證：*+I)3_(X_[)3=8_6X.

【答案】證明見解析

【分析】證法1:先化簡(x+l)3—a—l)3=6f+2,再結合題設求證即可；

證法2：利用立方差公式及題設直接求證即可.

【詳解】證法1:。+1)3-。-1)3=丁+3/+3工+1-(1一3/+3]-1)

=父+3/+3x+l-/+3/-3x+l=6x2+2,

由已知得V=l—x，故6f+2=6("x)+2=8-6x,

因此(X+1)3_*_1)3=8_6X

證法2:(xII)。(x1)3=(x+1-x+l)[(x+1)~+(x+l)(x-1)+(x-1)~]=2(x~+2x+1+Y_]+工~_2R+1)_6/+2,

以下同方法一.

題型二：根式的求值化簡

5.(2&26高一上?湖北武漢?階段練習)在可+1("4)，一0北3=()

A.16—nB.冗C.一北D.一兀一8

【答案】C

【分析】由根式和指數的運算法則計算即可.

【詳解】玳-際+#(兀—4)4_0.5-=d=4+4-7t-8=-n.

故選：C.

6.(25-26高一上?寧夏銀川階段練習)若—=也—34，則實數。的取值范圍為.

【答案1

【分析】根據根式的性質即可判斷.

【詳解1因為J(3a-1)2=而-3"，即|初一1|二1一3。，所以

解得"g.

故答案為：

7.(25-26高一上?全國?課后作業)計算出1+應)3+&1一應果的值為

【答案】2&

【分析】根據根式的性質化簡求值.

【詳解】'(1+回+’(1一可=1+及+卜一碼=1+忘+&一1=2及.

故答案為：2后

8.(25-26高一上?全國?課前預習)化簡下列各式：

T；

(2)4兀_4)?+y(兀_4丫；

(3)批3"3)4心1)；

(4)Vi?+^(1-<7)4.

【答案】(1)-2

⑵。

(3)3-3^

(4)答案見解析

【分析】利用根式的運算性質求解即可.

【詳解1(1)4為=-2;

(2)((I)?+而一盯

=|九一4|十九一4

=4-7C+7C-4=0;

(3)((3〃-3)4(E)

=|3?—3|

=3(l-a)=3-3a；

（4）。+《（l—aj

=a+\\-a\,

當.21時，a+\l-c^=a+a-l=2a-\,

當avl時，4+|1—々|=4+1—4=1,

所以當“21時，療+而工7=2。-1,

當”】時，值+而-力=1.

題型三：指數與指數幕的運算

9.（2異26高一上?全國）設。>0，下列運算中，正確的是（）

A.a2-a3=a6B.（-/）=（-叫~

C'D./

【答案】C

【詳解1■中,a2a3=a5；8中,（-河=―/式）丫.0正確；°中，/

10.（25-26高一上?江西贛州開學考試）下列運算正確的是（）

A.a2-cc=a6B.（-2a~）'=-6a”

C.（3?+l）（3fl-l）=9fl2-lD.（2。3一/）+2。=2。-1

【答案】C

【分析】根據題意，由指數幕的運算，代入計算，逐一判斷，即可得到結果.

【詳解1對于A,4./=/，故A錯誤；

對于B,（-2a2>=_8"，故B錯誤;

對于C,（3。+1）（3。-1）=9/-1，故C正確；

對于D.（2〃/2）+2〃=I2"一"）"2」，故D錯誤；

2a2

故選：C

11.（25-26高一上?河北張家口?階段練習）回答下面兩個題：

54/3」！、

⑴化簡:6。34+--a3b3；

(2)若x+.—=9，求下列各式的值：

①:②￡人I人4

【答案1(1)-10^

⑵①79;(2)41

【分析】(1)根據分數指數零的運算公式，即可求解；

(2)利用平方關系，根據分數指數器的運算公式，即可求解.

【詳解】(1)6岳打二廬;=70/〃

(5)V3/

(2)(i)(x+x=x2+.r-2+2=81,所以x2+x~2=79；

(i.iV,,

②x2+x2=x+x~l+2=\\,且白+￡5>0，

所以％+

12.(25-26高一?上海?課堂例題)(1)已知1+■=6,求x-x-的值；

(2)已知)，《，求手幸-半邛的值.

23yjx-yjy

【答案】(1)±6；(2)4卡

【分析】(1)對已知式子兩邊平方求出x+.N的值，再利用配方法可得答案；

(2)對所求的式子通分化簡可得答案.

(\_」丫

【詳解】(1)因為/+/=工+/+2=5,

/2-1V1)

所以x+x--2=l,即=1,解得.一fi=±i，

X/

可得/—42)05+X2)=1_/=±石.

(9、G+6.1&心-(*6丫

4x-y[yyfx+Jy(6-⑻(五+⑹

二巫

"一丫1_1

23

題型四：數的比較大小和估算

13.（25-26高一上?全國?課前預習）比較2,石，厲的大小，正確的是（）

A.近<2<逐B.2<厲<石

C.2<逐<5D.y/5<^/l<2

【答案】A

【分析】將2進行適當的變形即可比較大小.

【詳解】???2=〃<石,.\2<>/5；

.近<冊=2，:即<2、：即<2<舊.

故選：A.

14.（25-26高一上?全國?課前預習）7丙，2x/506,45三個數的大小關系是（）

A.7>/44<2^/506<45B.2^/506<45<7744

C.7x/44<45<27506D.45<2x/506<7x/44

【答案】B

【分析】由根式的運算比較可得.

【詳解】7H=12156,45=j2025,2x/^=J2O24,

J2024vJ2025v,2156,

>/2024<45<7x/44,

故選：B.

15.（25-26高一上?重慶?開學考試）怙計x6的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間

C.10和11之間D.1和12之間

【答案】B

【分析】算式化簡后得2+2后,由后的范圍，確定算式值的范圍.

【詳解】［《+2石x75=2+2715,

由弓<15<16，有Jv厲<4,則7<2/<8,得9<2+2后<1。，

所以((|+2行)'6的值應在9和10之間.

故選：B

16.(25-26高一上?重慶?開學考試)怙計G(疵+佝的值在()

A.9和10之間B.10和11之間

C.11和12之間D.12和13之間

【答案】B

【分析】根據二次根式的運算方法，以及估算無理數的大小的方法解答即可得.

【詳解】>/3(x/i2+V6)=x/36+718=6+372,

-.16<18<25,.\4<3>/2<5,

.二4+6<3及+6V5+6，即10<3立+6<11,

+的值在10和11之間.

故選：B.

題型五：數與式的應用問題

17.(25-26高一上?四川成都)計算：

(1)x/32-2Vl2+x/27->/8

(2)2巫乂#4■亞

⑶便+2&)(療-2夜)

(4)X/3X(>/6-V2)-(2V2-1)2

【答案】；

⑵卡；

⑶-5；

(4)7>/2->/6-9.

【分析】(1)先化簡,再加減即可；

(2)先化簡然后根據二次根式的乘法、除法法則運算；

(3)利用平方差公式計算：

(4)利用乘法公式展開，然后化簡合并即可.

【詳解】(1)原式=4夜-46+36-2及=20-6

(2)JM^=4>/3X—-r>/2=4V3x—X—=］夜

4422

(3)原式=(6)2-(2&)2=3-8=—5

(4)N/3X(V6-V2)-(2>/2-1)2=718->/6-8+4>/2-1

=3&-后-9+4加

=7x/2-^-9

18.(25-26高一上?貴州遵義階段練習)(1)已知x>l,X2+4=H,求x-』的值；

XX

(2)已知。2十〃2十=14,a+h+c=6,求aA+bc+ac的值.

(3)已知a-b=應+l,b-c=&-T,求1+Z?2+c2—ab—ac—be

【答案】(1)3;(2)11;(3)7

【分析】(1)借助完全平方公式計算即可；

(2)將〃+0+c=6兩邊同時平方即可求；

(3)由題意求出a-c=2&,將三式分別平方相加即可求.

【詳解】(1)因為f+!=ll,

x

所以=X2-2+^=\\-2=9,

\X)x-

又x>l,所以0」<1,所以工-’>0,

XX

所以」=3.

X

(2)將。+"。=6兩邊同時平方得，+Z>2+c2+2ab+2ab+2^c=36,

因為/+Z?2+/=14,所以2ab+2ab+2bc=22,所以必+〃c+ac=11;

(3)因為4一力=JI+1,力一c=,

所以(4叫+他―。=4"=&+1+(&-1)=2及，

所以(〃一人)2=。2—2aZ?+b2=3+2夜，①

(b-c)1=b2-2bc+c2=3-2y/2,②

(a-c)2=a2-2?c+c2=8,③

①+②+③得2/+2b2+2c2-2,心一2加?一2ac=3—2及+8+3+2拉=14,

所以/+/+c2-ab-ac-bc=l.

19.(25-26高一上?福建泉州?開學考試)配方法是數學中重要的思想方法之一，它是指將一個式子的某一部分通過

恒等變形化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的

意義來解決一些問題.我們定義：一個整數能表示成/+〃(&匕是正整數)的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，

5是“完美數”，理由：因為5=2?+產，所以5是“完美數”.

解決問題

(1)已知29是“完美數”，請將它寫成b是正整數)的形式；

(2)若Y-6%+13可配方成"一〃?)2+/(/77、0為正整數)，貝1］切〃=;

探究問題

(3)已知S=f+4y2+4x-12)，+k(Ky是整數，4是常數)，要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個4值，并

說明理由.

【答案】(1)29=22+52;(2)6;(3)13,理由見解析.

【分析】(1)根據完美數的定義即可求解；

(2)根據配方法的相關知識即可求解；

(3)根據配方法以及完美數的定義即可求解.

【詳解1(1)29=4+25=2?+5?,

故答案為：29=2?+5?；

(2)A2-6x+13

=/-6X+9+4

=(X-3)2+4,

tn=3,〃=2,

.?.〃?”=3x2=6;

故答案為：6:

(3)5=x2+4/+4x-l2y+A

=x2+4x+4+4y2-\2y+9+k-\3

=(x+2)2+(2y-3)2+k-\3

?.S是“完美數”，x+2,2)，-3也是整數,

.乂可以取13.

20.(25-26高一上?江西南昌?開學考試)閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式

以外，還可以應用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：xy+y3=(x+y)(x2-xy^y2)；

立方差公式：丁一V=(不一y)(*2+個+y2)

根據材料和已學知識解決下列問題

(1)因式分解：，-8；

(/+九+419

⑵先化簡，再求值：，其中x=3.

〈X-LXX-oyX—4

(3)利用材料因式分解：F+3V-4

【答案】⑴(a-2乂標+2々+4)

(2)x+2,5

⑶(X-1)(X+2)2

【分析】(1)利用題干中的立方差公式求解即可；

(2)對式子化簡求解即可；

(3)利用題干中的立方差公式因式分解即可.

【詳解】(1)原式2乂/+2。+4).

3xx2+2x+4(X+2)(I)

(2)原式=

x(x-2)(x-2)(x2+2J+4)2

(A____1]-2)=2(x+2)(x-2)=上

<x-2x-2)2x-22

當x=3時,原式=5.

(3)(x3-l)+3(x2-1)=(JT-1)(X24-A+1)+3(X2-1)=(X-1)(.V+2)2.

【專題突破】

一、單選題

1.（25-26高一上?全國?課前預習）下列結論正確的是（）

A.-J(-6)~=—6B.(-6)2=9

C.J(二16)￡=±16

【答案】A

【分析】根據二次根式的運算規則逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A選項：一而分=-屈=-6，故A正確；

對于B選項：（-石『=（百丫=3，故B錯誤；

對于C選項：7（-16）2=7256=16，故C錯誤；

對于D選項：+居事=嗤，故D錯誤.

故選:A.

2.（25-26高一上?全國?課前預習）一個自然數的算術平方根為a,則和這個自然數相鄰的下一個自然數是（

A.a+1B.+1C.J。2+1D.1a+1

【答案】B

【分析】先根據已知自然數的算術平方根求出自然數，再求與它相鄰的下一個自然數.

【詳解】因為一個自然數的算術平方艱為〃，所以這個自然數是/.

所以和這個自然數相鄰的下一個自然數為〃+1.

故選：B.

3.（25-26高一上?全國?課前預習）下列運算：其中結果正確的個數為（）

①a*2*-o1=a6②卜/)=。6

（3）（ab）'=a'b'④/+/=a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據指數幕的運算法則逐項判斷可得答案.

【詳解1①/才=。5,①錯誤；

②=/x2=。6,②正確；

③（而）'=。方’，③正確；

④a5+a，="§=a"=1wa,④錯誤.

故選：B.

4.（25-26高一上全國課前預習）如圖所示，數軸上表示2,行的對應點分別為C,8,點C是49的中點，則

點/表示的數是（）

ACB

■o~~

A.-75B.2-石C.4-&D.>/5-2

【答案】C

【分析】首先可以求出線段BC的長度，然后利用中點的性質即可解答.

【詳解】由題意知AC=8C=石一2,

因為數軸上右邊的數總比左邊的數大，

所以點力表示的數是2-（x/5-2）=4-石.

故選：C.

5.（25-26高一上?全國?課前預習）若如+1的值在兩個整數3與。+1之間，貝1］。=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由根式的運算結合題意可得.

【詳解17i6<7i9<x/25，故4<如<5，所以5<何+1<6,

所以4=5

故選:B.

6.（25-26高一?上海?假期作業）若尸+）,2+z2=4,x+），+z=2&，貝ij不，+忘+廣=（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據整式乘除的運算律，對代數式進行平方，整體代入求代數式的值.

【詳解】由題意得（x+y+z『=（2五『，化簡得f+y2+z2+2w+2yz+2xz=8,

因為.d+V+z?=4，代入得4+2司y+2*+2xz=8，解得肛+xz+y:=2.

故選：B.

7?（2。25高一全國專題練習）計算上+木+短+L的值為（）

491471294

?200'100'200?200

【答案】A

【分析】根據題意利用裂項相消法運算求解即可.

If11、

5血一就

8.（2025高一?全國?專題練習）式子\+—j可恒等變形為（）

A12c12C21c1I

A.――xB.-+AC.x--D.—7-1

x*廠x~x

【答案】A

【分析】根據平方差公式變形即可.

【詳解］&+；］七-*）=±_*2,

故選：A.

9.（25-26高一上?安徽蕪湖?自主招生）設同表示不超過石的最大整數，如［可=3,L-1.2J=-2，則

I1l+.8+4國=().

VI6-6V7JL」

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】通過將原式進行化簡，然后根據題意求出每個部分的最大整數，最后求和即是答案.

]_113+V7

【詳解1因[16.6幣#一⑺*3-V72,2<77<3,

所以全亨<3‘于是J]:3+42

）16-6⑸L2_

又"8+46=，（而+夜）,="+&，2.4<76<2.5,1.4<>/2<1.5,

所以3.8<指+&<4,于是應+4間=[#+&]=3,

因此原式=2+3=5.

故選：A.

二、多選題

9.（23>24高一上?湖南岳陽?開學考試）在數軸上和有理數。，b,。對應的點的位置如圖示，下列四個結論正確的

是（）

--a?-?---1_?h?c?-->

-101x

A.a2-2?-3>0B.\a-b\+\b-（]=\a-c]

C.（a+〃）S+c）（4+c）>0D.cr>|Z?c-l|

【答案】ABCD

【分析】根據各有理數在數軸上的位置，判斷出各數的范圍，結合各選項一一判斷，即可得答案.

【詳解1由數軸可得,0<b<c<\,

,\?+1<0,。一3<0,

.?.片一2"3=（。-3）（。+1）>0，故A正確；

\a-b<0,b-c<0,a-c<0,

b-(\=b-a-\-c-b=c-a,

；\a-t\^\b-(\=\a-(\,故B正確:

：.a+b<0,b+c>0,c+t7<0,

.?.(a+3伍+c)(c+a)>0,故C正確;

?.0<從<1,

/.-I<Z%?-1<0,

加」i],故D正確；

故選:ABCD.

11、（23-24高一上河南浮河階段練習）已知十”6=3,下列名式中正確的是（）

A."6+6尸6=7B./6+〃-3*=]8

C4-坐公D/中+—^==2石

u?2+a2=V5u,0-2/

【答案】ABCD

【分析】利用完全平方，立方和展開式，指數運算計算得出結果.

【詳解】A：/6+826=(46+,心）2-2，百+赤=9-2=7，故A正確；

B:/?+,不赤=(a-+a")(a-2百一1房。+//）=3乂（7_|）=]8，故B正確；

追_在/立_立丫r

忑+/+2.當=>/3+2=>/5，故C正確；

C：a2+a2=Ia2+a2=Na~

D-a"4a"+——一］1—

D?a"

-2百—I

=a.…5

a2'5-a2

3百3赤

=a^~+a~

=42+。22

=75x(3-1)=275，故D正確；

故選:ABCD.

12.（22-23高一上?江蘇宿遷開學考試）下列運算中，正確的有（

A.0.2TxB.24+24=25

C.-(-3)2=9xl02022=-10

【答案】BD

【分析】根據實數的混合運算、同底數幕的乘法、幕的乘方與積的乘方、負整數指數累，

先對各選項進行計算，再進行判斷即可.

對于B,24+24=16+16=32=25,故B正確；

對于C,一(一3)2=-9，故C錯誤；

(1A2021/1A202,

對于D,原式=--xl02O2,xl0=xIOxl0=_lxl0=_|0,故D正確.

IiojI10J

故選：BD.

13.(23-24高一上?湖北孝感開學考試)下列選項正確的有()

A.已知f-2x+l=0,貝ij代數式+工(工一4)+(工一2)(工+2)=0.

B.已知3x+l=0,貝JIJ+4—3=15.

C.若a=（x+20,b=^x+19,c=^x+2\,貝1]42+6+。2一々〃一6。一4=3.

D.已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程2Y-8x+7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是

9.

【答案】BC

【分析】求出x值并代入計算判斷A;求出.r+，，變形計算判斷B;求出。S-GC-",變形代入計算判斷C;

x

利用韋達定理計算判斷作答.

【詳解】對于A,由f_2x+l=0,得x=l,則(x-l)-+x(x-4)+(x-2)(x+2)=-6,A錯誤；

對于B,由f-3x+l=0,得工+,=3,則V+[-3=(x+，)‘一3(x+1)-3=3'-3x3-3=15,B正確；

xXXX

對于C,依題意,a-b=Kb-c=-2,c-a=\,貝ij十〃十/一一尻,一白。

=^[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=^(\+22+\)=3,C正確；

rn+7/=4

對于D,令直角三角形的二直角邊長分別為利〃，依題意，7,

mn=—

2

所以該直角三角形斜邊長為加2+〃2=+〃)2一2加?=7^7=3,D錯誤.

故選：BC

14.(23-24高一上?江蘇泰州?開學考試)在實數范圍內定義一種運算'*"，其運算法則為=/一力根據這個法則，

下列結論中正確的是().

A.&*3=2-3夜

B.St/2+2ab+b2=0,貝

C.方程(x+2)*(x+l)=0的根是芭=-2,x2=0

D.若m,/?是實數，則"*〃+〃*m=(m-n)2

【答案】ABD

【分析】根據新定義運算一一分析即可.

【詳解1對A,8小3=(&)=3五=2-3無，故A正確；

對B,a'+2ab+b=(a+b)2=0,貝=,

貝i[a*b=-ab=(-A)?—ba=匕’-ba=b*a,故B正確;

對C,(x+2)*(x+l)=0,gp(x+2)2-(x+2)(x+l)=0,

即x+2=0,解得x=—2，故C錯誤；

對D,〃?*〃+n*m=nr-mn+n2-mn=(m-n)~,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

15.(25-26高一上?全國?課前預習)計算后+(密+白

155/5-15>/3

【答案】

2

【分析】根據二次根式的混合運算，先對括號內的式子進行通分,再將除法轉化為乘法進行計算.

【詳解1拒心+奸歷?然^

9焉

而（石-石）

（而礎/叫

15（弁一⑹

=-5^3-

_1575-1573

=.

2

故答案為：'述s

2

16.（25-26高一上全國課前預習）滿足夜―<石的整數x是.

【答案】2

【分析】由題意直接運算可得.

【詳解】42<x<6且x是整數，

所以x=〃=2.

故答案為：2.

17.（25-26高一上?全國?課前預習）計算：小卜點(同一(后

.(3&+3)+

(V3-V2)0

【答案】4

【分析】根據根式的運算、零指數幕的概念以及平方差公式進行化簡計算.

(5)4一(企尸

(x/3-x/2)°

=臂、3(&+1)+5

=(l-x/2)x(V2+l)+5

=1-2+5

=4

故答案為：4.

18.(2025高一?全國?專題練習)化簡：懺歸L

【答案】

【分析】分母有理化，分子、分母同乘，?運算即可.

G_J〃一1(y/nn-2dn(n-\)+n-\r—-------

【詳解】由題意可得：7：￥)「\L)-f=^=-丫、——=2n-2^n(n-\)-\.

V/i+Vw-1(4n+y/n-lj[4n-4n-\)〃一(〃一1)丫

故答案為：2fl-23小-1)-1.

19.(2025高一?全國?專題練習)已知。+〃+。=4,/+從+/=8，則M+A+g的值為.

【答案】4

【分析】根據的多項式的除法結合整體思想計算即可.

【詳解】易知(。+力+。)~=/+〃+c2+2(aZ?+ac+bc)=16,

所以ab+bc+ca=——-=4.

2

故答案為：4

20.(25-26高一?上海?假期作業)觀察下列各式的規律：

(a-b)(a+b)=a2-b2

(a-b)^a2+ab+b2>j=a3-1/

(a-與(/+a2b+ab2+by^=ci4-b4

可得到①一與+協~+〃")=.(其中〃為正整數).

【答案】an+i-//+,

【分析】通過觀察給出的三個等式，總結規律求解即可.

【詳解】通過觀察給出的三個等式，發現等式左邊是m-與乘以一人由〃的降幕和。的升幕排列組成的多項式，

等式右邊是〃的更高次累減去b的更高次幕，且次數比等式左邊最高次多1,

則(a-b)[a"+an-'b++cibn-x+b")=an+}-b,,+i,

故答案為：le.

四、解答題

21.(25-26高一上?全國?課前預習)(1)已知"一"一6從=0(々，0力工0),求2+/的值

ab

(2)已知"+9/-勿+60+2=0,求2。一3〃的值.

【答案】(1)答案見解析;(2)3

【分析】(1)利用因式分解法用人表示〃，再代入計算得解.

(2)利用配方法，結合恒等式求出凡方即可.

【詳解】(1)由/一時—6〃2=(),得5一3勿(〃+%)=0,解得4=36或〃=—3,

、i,bah3b1*_1

當〃=%時,—4--=—+—=—+3=3—

,ab3bb33

bab-2bI__1

當.=時，i=i=2=2

ab-2bb22,

(2)由/+9Z??—2〃+6/?+2=0，得-2。+1)+(9〃+6〃+1)=(),

即(4—l)2+(3b+l)2=0,解得4=1,b=-1,

所以2a-3/?=2xl-3(-g)=2+l=3.

22.(25-26高一上?全國?課前預習)計算：

(1)(V2-1)2+2>/2(X/3-^)(>/3+>/2);

."TAT后卜-2病.

【答案】(1)3

(2)8

【分析】根據根式的運算法則進行化簡計算即可.

【詳解I(1)原式=2-2夜+I+2無(3-2)=3-2四+2夜=3.

(2)原式=-2(標)2+gx2^p7+qx2V^7=—12+2+18=8.

23.(25-26高一?上海?假期作業)已知a+0+c=0,〃0+〃c+E=-g,求下列各式的值：

(1)a2+b2+c2；

【答案】(1)1

【分析】(1)(2)分析題設條件與所求式子之間的聯系，結合完全平方公式求解即可.

【詳解】(1)由(〃+人+。)2=+2aZ>+2〃c、+2c”=0,

則/+6+02一1=0,即/+〃+。2=1.

(2)由4力+6c+ca=-g，得a2b2+b2c2+c2a2+2abe(a+/?+c)=(.

因為a+Z?+c=0，所以///+〃，=」，

4

由(1)知，。2+〃+。2=1,

貝11/+/+/+2。％2+2從62+2/。2=1,即/+/+c4+g=i,

因此I/I1=；

24.(25-26高一?上海?假期作業)已知a,〃,c為非零實數，(片+尸+c2X/+)3+z2)=3+Z>y+cz『，求證：

—x=—y=—z

abc

【答案】證明見解析

【分析】根據題設條件，利用完全平方公式化解求證即可.

22222

［詳解］由已知得+/),2+/Z2+/?2彳2+/),2+852+CX+C/+CZ

=a2x2+b2y2+c2z2+labxy+2acxz+Ibeyz,

則a2y2+a2z2+b2x2+b2z2+c2x2+c2z2=2abxy+2acxz+2bcyz,

HP(bx-ay)2+(cy-bz)2+(az-cx)2=0.

因為(力比一ay)2>0,(cy-bz)2>0,(az-c.r)'>0,

bx=ay

i°Cx>z

所以\cy=bz,即一=/=—.

abc

az=ex

25.(25-26高一上?四川成都?開學考試)何老師安排喜歡探究問題的小明解決某個問題前，先讓小明看了一個有解

答過程的例題.

例：若〃P+2〃"?+2/-6〃+9=0,求/77和"的值.

解：..用2+2〃?〃+2〃2-6"+9=0,

二.+linn+n2+n2-6/1+9=0.

.?.(/〃+〃)2+(〃-3>=0

...〃？+〃=0,〃-3=0,所以〃i=-3,〃=3.

為什么要對21進行了拆項呢？

聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個問題相信你也能很好的解決下面的這兩個問題，請

寫出你的解題過程..

解決問題：

(1)若/一4孫+5丁+2y+l=0,求/的值；

(2)已知a、b、C是VA8C的三邊長，滿足"+〃=10a+l2b-61,C是VA8C中最短邊的邊長，且c為整數，那么

c可能是哪幾個數？

【答案I⑴-；

(2)2,3,4

【分析】(1)已知等式變形后，利用完全平方公式變形，利用非負數的性質求出x與y的值，即可求出片的值；

(2)由/+從=]0。+]?-61,得3,白的值.進一步根據三角形一邊邊長大于另兩邊之差，小于它們之和，貝ij

b-a<c<a+b,即可得到答案.

【詳解】(1)因為一一4冷，+5)，2+2y-l=。，貝1]/一4冷，+4y2+y2+2y+l=0,

可得(