高考數學一輪復習 第三章 第1節 導數的概念及運算-含解析

第三章一元函數的導數及其應用

第1節導數的概念及運算

9課標要求1.掌握導數的概念、掌握基本初等函數的導數2通過函數圖象，理解導數的幾何意義.3.能夠用

導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數.

一廠《???主干梳理基礎落實_:------------------c

知識梳理

1.導數的概念

對于函數月G）,設自變量x從X0變化到xo+Ax,相應地,函數值y就從/（XO）變化到/（XO+AY）.這時,x的變化

量為八,>'的變化量為△.閆Go+Ax）/（Xo）.

⑴如果當加-0時,平均變化率?無限趨近于一個確定的值，即?有極限,則稱）可⑺在廣檢處可導，并把

這個確定的值叫做問（X）在戶X0處的口（也稱為②一七），記作國或），1x=x0,即

Hm

，（3=△四。崇=Ax-0AX

⑵當戶xo時,/Go）是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時,就是x的函數,我們稱它為產/G）的導函

數（簡稱導數）.閆&）的導函數有時也記件y',即r（x）=yf=Um，（>竽-，（

△x-*0Ax2

2.導數的幾何意義

函數產/⑺在A-AV?處的導數的幾何意義就是曲線）=f（x）在點P（xo,/Uo））處的切線的因；，相應的切線方

程為國1.

3.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

/a）=c（c為常數）/(x)=E)

/(x)二尸(?￡R，且a#0)/(x)=EJax

/(X)=sinx/（A）=E

f(x)=cosX-Cr)=回-sin

/(x)=ax(?>O,且aW1)/(工)=回￡

/(x)=O]

/(x)=log<lA(?>0,且aW1)

/G)回

/Cv)=ln.v

4.導數的運算法則

若，a),gG)存在,則有

(y(x)±g(x)]'=?/，」；

[/(x)g(x)]'=底；

陶'=3藍片％⑺皿

[cf(x；y=^f(.r).

5.復合函數的定義及其導數

⑴一般地，對于兩個函數產/G)和〃=g(x),如果通過中間變量〃,y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為

函數問(〃)與“g(x)的復合函數,記作y二—.

⑵復合函數產/(晨外)的導數和函數y=/(〃)，u=g(x)的導數間的關系為產聞’,即y對x的導數等于y

對〃的導數與"對x的導數的乘積.

I常用結論與易錯提醒，

1.一個常用結論

奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數.周期函數的導數還是周期函數.

2.”在點A處的切線”與“過點A處的切線”的不同

(1)在點A處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.

(2)過點4處的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.

斷自測

1.思考辨析(正確的打“M”，錯誤的打"x”)

⑴/(A0)是函數產/G)在A-=X0附近的瞬時變化率.(7)

⑵函數/(x)=sin(-_￥)的導數/(x)=cos尤(*)

⑶求丁(松)時,可先求/Go),再求/(即).(*)

(4)曲線廠/G)在某點處的切線與曲線廠/G)過某點的切線意義是相同的.(*)

2.(多選)(人A選修二P81練習T1改編)下列求函數的導數正確的是(3C)

A.[ln(2x+l)r=*

B.⑵+log2X)'=24n2+焉

C.(xsinx)-sin.r+.rcosx

D/lnz\,_1-lnx

解析對于A,[In⑵+1)]'=二,所以A錯誤；對于B,⑵+logM),=2vln2+三,所以B正確；對于C,(xsin

2x+loxln2

x,.匕匕八1--rTA.-u?工'f\nx\,--x-Inxi-lnx%；_AU,<>'生__

x)=sinx+xcosx,所以C正確；對于D,(^―J=—=所以KD錯i天D.故選BC.

3.(人A選修二P81練習T2改編)設f(x)=ln(3-2x)+cos2x,則/(0)=->

?5

解析因為/(x)=^5|^-2sin2x,所以/(0)二—|.

4.(人A選修二P81T7改編)函數/(x)=e*號在戶1處的切線方程為c-Hv-2.

一「《???考點突破能力提升>????——：--------------

考點一導數的運算

[例1](1)(2026?陜西咸陽月考)已知/G)=x+H則岫巫戶”二(A)

A.l+eB.l-e

C.e-1D.-l-e

解析因為f(x)=x+e\所以7W=1+e、,所以/⑴=1+e,則阿/⑴-；。-八勺⑴=1+e,故選A.

(2)已知函數八外的導函數為/(外，且滿足/(x)=V+/f(1)+2*1,則/⑵等于(C)

A.lB.-9

C.-6D.4

解析因為/(功=/+4(])+然-1,所以/6)=3/+均(1)+2,則/⑴=3X12+"(I)+2,解得/(1)=-5,所以

/Cr)=3f-1Ox+2，所以/⑵=6.故選C.

⑶函數/(x)=2cos(-2x+習,其導函數為/(x),貝11/信)=2.

解析因為于(x)=2cos(—2x+§)=2cos(2x—/),所以/(x)=-4sin^2x一，所以H=一4sin(2x塔一

*2

I思維升華〉

求導數的方法

(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導.

(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.

⑶復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

⑷對解析式形如/3=/'(即)屋外+力3(松為常數)的函數求值問題，解題思路：先求導數F(x),然后令

解關于了(松)的方程，即可得到/?)的值，進而得到f(x)JG)再進行求解.

【跟蹤訓練1](1)(多選)下列求函數的導數正確的是(AC)

A.(xV)'=3feX+xV

B(2sinx),_2xcosx-4sinx

C.(sin2x)-2cos2x

D.D=-sinx-e-cosx

解析對于A,(A3。')三(x?)'e'S,(eA)-3x2et+x3ev,A正確；對于B,

(釣=X"sin%；；?(%)/_2xcosx^4sinx^g錯誤；對于C,函數J=sin2x可視為函數產sinI,t=2x的復合

函數，函數產sin/關于變量/的導函數)，'=cost,函數r=2x關于變量x的導函數r'=2,所以(sin2v)=cos

2x-2=2cos2x,C正確；對于D,函數產?被、可視為函數產e',/=-cosx的復合函數，函數產e’關于變量，的導

函數y-e\函數r=-cosx關于變量工的導函數f'=sinx,所以(e<os-sinx,e<os*,D錯誤.故選AC.

(2)(多選)下列式子的求導運算正確的是(BCD)

x2-2lnx

=~彳-

B.(x3-2x+l),=3x2-2rln2

2

=-(X-l)2

D.卜in2Gx+,)1=2sin(4x+

12

解析對于A,(臂)'=三：=三詈,A錯誤;對于B,(7-2，+1”=3/21n2,B正確；對于C,—

磊)'=(S)'=-六，C正確;對于D,卜心(2冗+gr=2sin(2%+?cos(2%+》2=

2sin(4%+g),D正確.

考點二導數的幾何意義

角度1求切線方程

[例2](1)設函數/(x)=x++的圖象與x軸相交于點P,則該曲線在點P處的切線方程為(C)

A.j=-xB.y=-x-l

C.y=0D.y=r-1

解析令x+A:=0,即x(x+2)+1=0,即(x+1)2=0,解得X=-1,故P(-1,0)J⑺=1--^—，則/(-1)=1--^=0,

x+2」(x+2)2」(-1+2)2

則其切線方程為y-/(-l)=/(-l)(x+1)，即.v=0.故選C.

(2)曲線)=1中|過坐標原點的兩條切線的方程為y二1,y-，，(人?

解析由題意可知，函數的定義域為｛.小#0).易證函數)=ln|x|為偶函數，當x>0時,y=lnx,設切點坐標為

(孫Inxo),因為丁'二工,所以切線斜率依y'lx=xo=—,故切線方程為y-lnxo=—(x-xo),又知切線過原點(0,0),所

以-ln*o=-l,所以xo=e,故切線方程為)，-12(x-e),即尸4.由偶函數圖象的對稱性可知，另一條切線方程為產-

e?e

*故曲線產ln|x|過坐標原點的兩條切線方程為產，和產

角度2求切點的坐標或有關的參數(考教銜接)

【例3】(1)(2025?全國一卷)若直線)，=2x+5是曲線產e、+x+a的一條切線，貝U冊4.

解析解法一：對于尸e'+x+a,其導數為y'=e，+1,又直線）=2x+5是曲線的切線，直線的斜率為2,故令

），K、十I=2,即ev=1,解得入=0,將.『0代入切線方程產筋十5,可得）=2x（）+5=5，所以切點坐標為（（）,5）,因為切

點（0,5）在曲線y=cx+x+a上，所以5=e°+0+〃，即5=1+々,解得〃二4.

解法二：對于產e'+x+a,其導數為），三e*+1,設y=2r+5與y=ex+x+a的切點為（松,Jo），則卜o=2x。+5,解得

Iyo=ex°+%o+Q,

a=4.

⑵（2022?新高考［卷）若曲線）=（x+a）e'有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍是，--」4，.

解析因為）=（x+a）e',所以），'=金+。+1）上設切點為A&）,（工（）+加眇。），。為坐標原點，依題意得，切線斜率

%=y'lx=xo=（xo+a+l）e*。="°+"）e°,化簡,得詔+函-〃=0.因為曲線）=（x+a）e'有兩條過坐標原點的切線，所

以關于川）的方程詔+aro-a=O有兩個不同的根，所以/=。2+4。>0,解得a<-4或a>0,所以。的取值范圍是（-oo,-

4）U（0,+oo）.

【教材原題】（人A選修二P82T11）設曲線產e2-在點（0,1）處的切線與直線2.v-y+l=0垂直,求a的值.

【點評】教材題和高考題都是已知曲線的切線情況求參數問題.教材題考查的是基礎，重點考查對導數幾

何意義以及直線垂直斜率關系的基本應用.相比教材題，高考題在考查角度上有所拓展.2022新高考I卷題目

涉及根據切線的數量確定參數的取值范圍，需要學生具備一定的數形結合思想;2025全國一卷題目則直接利

用切線方程與曲線的關系求解參數，對學生分析已知切線方程并提取關鍵信息（斜率、切點滿足的關系等）

的能力有更高要求.

|思維升華〉

（1）求切線方程時，注意區分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線.曲線y=/G）在點P（M/（XO））處的切線

方程是）4（松）=「（XO）（XJO）；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據已知點在切線上求解.

（2）處理與切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的關系列出有關參數的方程并解出參數:①切

點處的導數是切線的斜率;②切點在切線上;③切點在曲線上.

【跟蹤訓練2】（1）（2025?廣東洪江二模）已知函數/（x）=e、+2r,則曲線）可（x）在點（0J（0））處的切線方程

為（B）

A.）=2x+1B.y=3x+1

C..y=1xD._v=3x

解析由/（x）=e、+2*得f（x）=e+2,則/（0）=1/（0）=3,所以曲線月。）在點（0J（0））處的切線方程為

）=3x+l.故選B.

⑵（2026?遼寧省部分重點中學協作體考試）過原點且與曲線產rsinx相切的直線有（C）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

解析設切點為（xo.xosinxo）,因為曲線v=xsinx,所以v,=sinX+ACOSX,所以也把包=sinxo+xocos&,所以xo=O

xo

或cosxo=0,當XQ=O時，切線斜率上0,所以切線方程為y-0=0（x-0）,即產0；當cosx（）=0時,尸少EM￡Z,當

''2

xo=弓時，切線斜率上1,所以切線方程為y-0=1(x-0),即y=x；當xo=；時，切線斜率七-1,所以切發方程為v~0=-

I(A-0),即.尸-x,所以切線有3條.故選C.

考點三曲線的公切線問題

[例4](2024?新課標I卷)若曲線尸e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=\n(x+})+a的切線，則a=.

解析解法一：由曲線產e'+x,可得y-cr+1,

在點(0,1)處的切線的斜率為e°+l=2,

切線方程為y-\=2x,即y=2x+\.

曲線y=e^+x在點(0,1)處的切線也是曲線產1n(x+1)+a的切線，

設曲線尸h】(x+l)+。的切點的橫坐標為向,可得切線的斜率為;=2,可得沏二=，

,XO+12

將松=§代入產2什1,可得切點坐標為(一/0),

又切點在曲線y=ln(x+l)+a上，所以0=ln(-卷+1)+〃,解得a=\n2.

解法二(切線重合)：由曲線)，=e'+x,可得y'=ev+1,

在點(0,1)處切線的斜率為e°+l=2,

切線方程為y-l=2t,即y=2x+\.

設切線與曲線＞=ln(x+1)+a相切的切點為Uo,ln(Ao+l)+fl),

由兩由線有公切線得y,.二2,解得Xo=-則切點為(一號,ln：+a),

切線方程為產2(x4-+In|+t?=2j+1+67-1n2,

根據丙切線重合，得a-ln2=0,解得a=In2.

I思維升華，

公切線問題的求解方法

(1)求兩條曲線的公切線，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線

與直線相切，列出關系式求解.

(2)公切線條數的判斷問題可轉化為方程根個數的求解問題.

【跟蹤訓練3](1)已知直線y=kx+b既是曲線產Inx的切線，也是曲線尸-In(-x)的切線,則iA)

A..k=-b=0B.^=l,b=0

ef

C.k=-,b=-1D.^=1,b=-\

e

解析設直線與曲線尸Inx的切點為(笛,hixi)且即＞0,

與曲線y=-\n(-x)的切點為(12,-In(%))且工2＜0,

又(Inx)—,[-ln(-x)]

XX

故曲線y=\nx在點(xi,hixi)處的胡線方程為y-lnx\=—(x-xi),即y=—+lnx\-l,曲線y=-\n(-x)在點(M-In(-X2))

xixi

處的切線方程為y+\n(-%2)=--(x-X2),即廣，■+1-In(及)，

JX2,必

1

則卜1一X，

llnx1-1=1—lll(—X2)>

解噬二

故k=—=b=\nX]-1=O,故選A.

.qe

⑵曲線f(x)=2y與g(x)=2+lnx的公切線方程為0.

解析設曲線/(x)=2\[x上的切點為A(xi,2后■)(xi>0)，曲線g(A)=2+lnx上的切點為B(x2,2+1nx2)(.r2>0).

因為f(x)二,g，(x)所以公切線的斜率上三=工,所以X2二后.

7XXyjX\"2

公切線的方程為y-(2+lnX2)=—CV-A2),即5=—+In力+1,

*,x2

將(M,2d)代入公切線方程得2a7=—+I11X2+I,

x2

由工2二7^7,得inV^i—i=o.

令h(.V)=lnx-x+1,x>0,貝ijh'(x)=--l,

x

當0<x<l時,l(x)>0；

當x>l時,〃'(x)<0,故函數〃(x)在S.1)上單調遞增.在(1.+00)上單調遞減.

故A(X)max=/l(l)=0,

所以伍二1,工尸1,故公切線方程為y=x+1,即x-y+1=0.

課時作業

［基礎鞏固］

一、單項選擇題

1.⑵)25?安徽宣城模擬)已知函數/G)的導函數是JG),且滿足/W=2VTd)+lnp則/(1)=(D)

A.-cBeC.-2D.2

解析由題意得,.「(X)="⑴40="⑴+x?(一妥)="(1廿,所以/⑴=？⑴-1,解得/⑴=1.所以

X

/(4)="+皿1,則/(1)=2+1111=2.故選D.

2.若曲線產Hnx+/(a>0)的切線的傾斜角的取值范圍是［甥),則。=(B)

A.；B.JC.-D.|

24842

解析由題知,)，'=?+2》22屬(當且僅當三=2%時，等號成立)，因為曲線的切線的傾斜角的取值范圍是

*所以斜率k?后則百=2而，解得故選B.

L3Z/8

3.(2026?山東聊城月考)曲線產Hnx在E處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為(D)

A.4B.3C.lD.1

解析對函數y=x\nx求導得y-lnx+l,故所求切線斜率為^=ln1+1=1,切點坐標為（1,0）,所以曲線y=x\nx

在x=I處的切線方程為.y=x-l，該切線交x軸于點（1,0）,交y軸于點（0,-1）,因此，曲線.y=xlnx在x=l處的切

線與丙坐標軸所圍成的三角形的面積為"=點故選D.

4.（2025?廣西南寧三模）過點4（1,1）的直線）與曲線月n（.1）+2相切于點B,則|AB|=（B）

A.lB.V2

C.2D.2V2

解析依題意，設3（xi,V）,由尸In31）+2得則yi=ln（xi-l）+2,

x-l

則;=吆金半二,化簡得In（不-1）=0,解得樂=2,故3（2,2）,

Xfl%1-1

故/B|=J（2—1）2+（2—I）=VI故選B.

5.（2025?北京市第二中學二模）已知過點A（m0）作曲線產（l-x）e'的切線有且僅有1條,則所（C）

A.-3B.3

C.-3或1D.3或1

解析設切點為（xo,（1-xo）e&）,由三知得＞'=-xe',則切線斜率k=-x（）ex°，切線方程為y-（1-xo）e'J=-Xoex°（x-

xo）,直線過點A（a,0）,則-（1-枇）講。=一%汜%。?（4-X0）,化簡得珞（〃+l）x（）+l=0,因為切線有且僅有1條，所以

A=（a+1）2-4=0,化簡得々2+2a-3=0,即（a+3）（a-1）=0,解得a=-3或1,故選C.

6.直線/與曲線產e'+l和廣*均相切,則/的斜率為（B）

A.：B.lC.2D.e

2

解析由產e'+l,可得產爐；由產e'1可得上/，設兩個切點的坐標分別為（不，鏟】+1）和（應鏟2+1）,直線/

的斜率k=eXl=eX2+1,故X\=X2+1,即xi所以k=―—―,1=—=1,即直線/的斜率為I.

x2-xlT

二、多項選擇題

7.下列求導運算正確的是（AC）

A.若產（x+1）Inx,則y-ln.r+^+1

B（8S'=-sin?

仁仁-2'）'=冊2加2

D.（g）號

解析對于A,若｝=（x+l）lnx,則y-lnx+—=Inx+Ll,故A正確；

XX

對于B,（cos款=0,故B錯誤；

對于C,島-2）=島），-2如2=號2%2,故C正確；

對于D,（ln2x）考一故D錯誤?

8.若函數產/G）的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱）可（外具有廠性質.下

列函數中具有了性質的是（AD）

Aj=cosxB.y=lnx

C.y-exD.y-x2

解析由題意，若月G)具有了性質，則存在禮及，使得l.對于A,因為/(x)=?sinx,所以存在

Xi=^,3=三使得/(XI)/(x2)=-1,故A正確；對于B,因為,「(X)=->0,所以不存在Xl,X2,使得/(XI)/(x2)=-1,故

v

B錯誤；對于C,因為f(x)=e>0,所以不存在為,如使得r(Xi)/(A2)=1,故C錯誤；對于D,因為/(x)=2v,所

以存在為=1,x2=-\，使得/譯)/(X2)=4即X2=1,故D正確.故選AD.

三、填空題

9.(2026?北京西城質檢)在平面直角坐標系xOy中，點八在曲線產Inr匕且該曲線在點八處的切線經過點

(-e,-1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標為(e,l).

解析設A(〃?,〃)，則曲線)=lnx在點A處的切線方程為y-n=-(x-m).又切線過點(e?1),則〃+1=-加+e).又

n=lnm,解得〃尸e,〃=l.故點A的坐冰為(e,I).

10.若直線，既和曲線G相切，又和曲線C?相切,則稱/為曲線C和C2的公切線.己知曲線G：/U)=ev-l和曲

線C2:^(x)=l+inx,請寫出曲線G和C2的一條公切線方程:「V洛案不「，戊八

解析設公切線與Ci：/(x)=ev-1相切的切點為(xi,eX1-l),與C2：g(x)=l+lnx相切的切點為｛xi,I+Inx2).

由f(x)=eT,得/(xi)=eX1，則公切線方程為y=eX1(x-xi)+eX1-l,

即y=eX1x+(1-xi)eX1-1；

由gG)得g'3)則公切線方程為(x-X2)+lnX2+1,

XX2%2

萬〔_1

即y=—,x+\n工2,所以,小'

Q[(1—/龍5-1=\nx2,

故曲線G和C2的公切線方程為y=x或y=ex-1.

四、解答題

11.已知函數/(x)=-/+x+1,g(x)=e'2K+1.

(1)求曲線y=f(x)過點(1,1)的切線方程；

(2)若曲線何G)在點(1,1)處的切線與曲線產g(x)在尸R)處的切線平行,求i的直

解(1)由導致公式得/(x)=-3/+1,

設切點坐標為(必,州)，切線方程為y-\=k(x-\),

po-1=々(%0-1),

由題意可得(yo=-就+&+L

(k=-3x1+1,

&二1,

解得先=L或

k=-2

從而切線方程為2r+y-3=0或x-4y+3=0.

⑵由(1)可得曲線廣/&)在點(1,1)處的切線方程為>=-2v+3,

由g'(x)=-2e/l可得曲線產g(功在戶4￡R)欠的切線斜率為/⑺=-2e3+1

由題意可得-2e2+J-2,解得《，

此時切點坐標為6,1),故曲線產g(x)在x=：處的切線方程為)，-1=-2卜一3，

即y=-2x+2，符合題意，所以t=-.

12.已知函數/(x)=x-l+S(a￡R,e為自然對數的底數).

⑴若曲線9G)在點(1J(1))處