2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷02【測試范圍：人教A版必修第二冊第6~9章】（全解全析）

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷02（全國通用）

全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡卜對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題R上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版必修第二冊第6章~第9章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若復(fù)數(shù)z=（l_i）（4_i）（〃eR）為純虛數(shù)，則〃=（）

A.-V2B.-1C.0D.1

【答案】D

【詳解】因為（1-。（。一。="一1一（1+，獷為純虛數(shù)，

月亍以a—1—0,且a+17t0,解彳導(dǎo).。-1.

2.己知向量￡花的夾角為冷，卜辦，則2a+5=（）

A.4GB.5GC.48D.75

【答案】A

【詳解】因為a_L（a-否），所以a,（a-B）=0,即屋—aj=0,則〃.B=4‘

所以2,卜8S]=4,解得忖=4,

所以悔+*,忻+河=^4（12+4a-b+b2=V4x22+4x4+42=4V5.

3.一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：1,2,3,4,6,10,x,20,22,23.若它們的70百分位數(shù)是中位數(shù)的

兩倍，則》的值為（）

A.10B.11C.12D.14

【答案】C

1/14

【詳解】數(shù)據(jù)1,2,3,4,6,10,x,20,22,23已是由小到大的排列，數(shù)據(jù)共10個,

中位數(shù)為第5個與第6個數(shù)據(jù)的平均值即中位數(shù)為寫=8,

由10x70%=7,

因此70百分位數(shù)為第7個勺第8個數(shù)據(jù)的平均值即已名

加上+20__.,

得-----=2x8=16,

2

解得x=12.

4.中國營養(yǎng)學(xué)會把走路稱為“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強心肺功能、

血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)每口步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論中正確的是

()

1000---------------------------------------------------------------------------

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

A.這一星期內(nèi)乙的每日步數(shù)的中位數(shù)為12970

B.甲的每日步數(shù)星期三比星期二增加了1倍以上

C.這一星期內(nèi)甲的每日步數(shù)的平均值大于乙

D.這一星期內(nèi)甲的每日步數(shù)的極差小于乙

【答案】C

【詳解】對于A,這一星期內(nèi)乙的每口步數(shù)從小到大為：5340,7030,10060,11600,12300,12970,

14200,中位數(shù)為11600,故A錯誤;

對于B,甲星期三走1270()步，星期二走7965步，沒有增加1倍以上，故B錯誤；

時干「，甲每n步數(shù)的平均值為：1(16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000,

2/14

乙每日步數(shù)的平均值為：1（14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060）=10500,

這一星期內(nèi)甲的每日步數(shù)的平均值大于乙，故C正確：

對于D,這一星期內(nèi)甲的每日步數(shù)的極差為：16800-2435=14365,

這一星期內(nèi)乙的每日步數(shù)的極差為：1420（）-5340=8860,

這一星期內(nèi)甲的每日步數(shù)的極差大于乙，故D錯誤.

5.如圖，用斜二測回法回水平放置的四邊形力8c其直觀圖為等腰梯形力'8'C'Q',若AB=6,

C0=4,則下列說法正確的是（）

B.AB=3

C.四邊形48。。的周長為10+后+0

D.四邊形44C。的面積為10及

【答案】D

【詳解】由題設(shè)4。'=gx"3；C"==,人錯；

由斜二測畫法知，AB=A'B'=6,CD=C'D'=4,4）=2HO'=2上，

易知原四邊形為直角梯形，ADA.AB,AB//CD,

所以8C=JIQ2+（48—CQ）2=>/^7Z=2石,

四邊形的周長為10+26+2加,面積為:X2JIX（4+6）=10JLB、C錯，D對.

6.己知/,〃?,〃為三條不同的直線，a,P為兩個不同的平面，則以下選項正確的是（）

A.若m、nua、m"P、nl邛,則a///?

B.若aC\/3=l,rn//a.m//J3,則加/〃

3/14

C.若mLa,aLp,則〃"http://

D.若a_L￡,aD、=/,/nJJ,則用la

【答案】B

【詳解】對于A，面面平行的判定定理要求〃?，〃相交，若m//n,則a,p可能相交，故A錯誤：

對于B,過機作平面7交a于斯則加//〃,過機作平面S交夕于力，則〃?故人〃吟

乂。不在平而￡內(nèi).乂bu平而￡,所以而an/=/oua,故a/〃.故/〃/〃.故R正確：

對于C,若mA.a,alflt貝ljmu夕或m”,極C錯誤；

對干D,若a工人acB=l,m工I,如果〃《/或〃?ua,則不能判斷小la,故D錯誤.

7.圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美.某同

學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在教堂的正東方找到一座建筑物力B,高為36m,在它們之間的地面上的

點M。三點共線）處測得樓頂力、教堂塔尖C的仰角分別是45。和60。，在樓頂力處測得教堂塔

尖。的仰角為15°,則該同學(xué)“算索菲亞教堂的高度。。為（）

A.52mB.54mC.56tnD.58m

【答案】B

【詳解】在中，NABM=90°，/.AMB=45°,

AR

故BM=AB=36m,AM=-....=36V2,

sin45

在△4CM中，N4WC=1800—60'-450=75',ZC/1A/=150+45°=60°,

ZACM=180-75,-60°=45°,

由正弦定理得=名7,CM=AM?2吟=36&?卡=36,

sin60sin45sin45J2

所以CD=CM-sin60=36百x—=54m.

2

8.（新背景）水晶是一種石英結(jié)晶體礦物，因其硬度、色澤、光學(xué)性質(zhì)、稀缺性等，常被人僅制作成飾

品.如圖所示，現(xiàn)有棱K為2cm的正方體水晶塊，將其裁去八個相同的四面體，打磨成飾品，則該飾品

4/14

的表面積為（）

A.(16+3碎m?B.(16+45/3)cnr

C.(12+3>/3)cm2D.(12+4>/3)cm2

【答案】D

【詳解】原正方體棱長為2cm,裁去八個相同的四面體時，切割點應(yīng)該為正方體各棱的中點,

每個面切掉四個角后，剩余一個邊長為J5cm的小正方形，

則六個小正方形面的面積和為6x及，12cm2：

而切掉正方體的8個頂點后，每個切口新增一個邊長為缶m的正三角形，

則八個正三角形面的面積和為LxVIxVIx立x8=4Gcn/，

22

所以該飾品的表面積為（12+46,/.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某批產(chǎn)品檢驗后的評分，由統(tǒng)計結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法中正確的是（）

B.評分的眾數(shù)估值為70

C.評分的第25百分位數(shù)估值為67.5

D.評分的平均數(shù)估值為76

5/14

【答案】AC

【詳解】對于A,由頻率之和為1,得20〃+40〃+60。+50〃+30。=1=>。=0.005,故A正確：

對「B,評分的眾數(shù)約為=75.故B錯誤；

時干C,因為0.25=20。+30。，所以第25百分位數(shù)在［60,70)內(nèi)，第25百分位數(shù)約為60+fx10=67.5,

故C正確；

對于D,評分的平均數(shù)約為55x20a+65x40Q+75x60a+85x50a+95x30a=76.5,故D錯誤.

10.已知復(fù)數(shù)Z，z2,則下列說法正確的是()

A.若Z；=Z；,貝1」「1+22卜卜1I2)=0

B.若Z：=z；,則閔=上|

C.若馬=機+1-加()?￡R),z2=1+2i,則-Zz|的最小值為20

D.若45為實數(shù)，則中夕0)也為實數(shù)

【答案】ABD

【詳解】設(shè)4="+切幺2=c+di(〃,b,c,d€R),

若Z：=Z；,則(4+砌2=(c+di)2,則/+d2—〃-1+(2而—2cd)i=0,

貝ija2+d2-b2-c2=0,2ab—2cd=0,

22222

貝(jZ1-z2=(t7-/?i)~-(c-Ji)'=cr+d-b-c-(2ab-2cd)\=0>

22

故(Z］+Z2)?Z|—)=「+Z2)-(Z1-22)=Z1-Z2=0,故A正確;

：2222

|z,|-|z2|=(^+b)-(c+f/)=0,故B正確：

B-4表示點(〃?+1,-w),(1,2)兩點間的距離,

因為^(w+1-l)2+(-/?/-2)2=12戶/+4/〃+4,當(dāng)〃?=-1時有最小值&,

則歸一4的最小值為收，故C錯誤；

因為4?［為實數(shù)，所以幺=9為實數(shù)，故D正確.

11.點。是△/出。所在平面內(nèi)的點,下列說法正確的有()

6/14

A.若方+歷+灰^二。，則點。為△力8c的重心

B.若方?幅=歷灰=加?場.則點。為的垂心

C.若方?礪=礪灰=友?方，則點。為△48C的外心

~AB~AC1—BABC'

D.在△48C中,向匐/=。啊?同5,則△48。為等邊三角形

【答案】ABD

【詳解】對于A,如圖

因為方+O豆+1元=6，所以赤十灰而，取4C中點。，

則有方=而+方=2而，所以點4。,。三點共線，則/。為三角形中線，

同理50所在直線也是中線，所以點。為△力8。的電心，故A正確.

對于B,因為萬.麗=礪灰=反刃，所以礪?（反-刀［礪左=0,

所以O(shè)8_L力C,同理CM18C,0C1AB,所以點。為△力8c的垂心，故B正確

對于C,由B可知，選項C錯誤.

ABAC

對于D,因為扁i表示方方向上的單位向量，同理應(yīng)i表示及1方向上的單位向量,

由平行四邊形法則,在N84。的角平分線上,

又因為1篇+南）^O,所以“胡。的角平分線垂直于EC,所以△⑷?C為等腰三角形,

又因為谷?篙BCcos侔灰）二g,

~BC\

所以cos（瓦i,肥）=:,所以48C=60,

所以ZU8。為等邊三角形，D正確.

7/14

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若一組數(shù)據(jù)的不，士，七，七的平均數(shù)為4,則3內(nèi)+1,3/+1,3七+1,3%+1的平均數(shù)為.

【答案】13

【詳解】設(shè)一組數(shù)據(jù)的各，￡，工3，Z的平均數(shù)為，則1=4.

則M+l,3X2+1,3XJ+1,35+1的平均數(shù)為￡+1=3X4+1=13.

13.（新考法）在校園科技節(jié)的化學(xué)展區(qū)，小明的團(tuán)隊制作了一個立方體晶胞框架（棱長2cm的正方體），

用來展示NaCl晶體中Na+的八面體配位環(huán)境：C「位于立方體的各面中心位置，它們構(gòu)成一個正八面體包圍

中心的則該正八面體C「配位多面體模型的體積是cm3.

41

【答案】

【詳解】根據(jù)圖示正八面體的結(jié)構(gòu)，底面為邊長為正的正方形，正四棱錐的高為正方體棱長的?半，即

A=I,

所以正八面體的體積為r=2xjIx2xl=p4

14.在△力8c中，角4民。的對邊分別為則下列命題中正確的序號為：

①若sin4>sin8,jj'iJa>b.

②若acos4=bcosB,則△48C一定為等腰三角形.

③產(chǎn)為△/8C所在平面內(nèi)的一點，且可.而=而?斤=卮.可，則。為△力8C的內(nèi)心.

【答案】①

【詳解】對于①，若sinQsinB,由正弦定理，可得高〉上，所以“>〃，所以①正確；

2A2A

對于②，若“C0S/1=8cos〃，由E弦定理得sin/cos/=sin8cos8,所以sin24=sin24,

8/14

因為48w(0,兀)，所以24=28或21+28=冗，可得4=8或/+8

所以△N8C為等腰三角形或直角三角形，所以②錯誤；

灼于③，由蘇?麗=麗反，可得蘇?麗-麗辰=麗?(⑸-定)=而4=0,

又由方?斤二正萬，可得-麗衣-運?以=運?(而-甫)=運.刀=0,

所以而_L&i,定1.劉，所以點尸為△/〃c的垂心，所以③錯誤.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知復(fù)數(shù)z=(〃/-8〃1+15)+(〃/—5〃I4)i.

(1)若發(fā)數(shù)z是實數(shù)，求實數(shù)〃，的值；

(2)若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z表示的點在第四象限，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【答案】(1)7或一2；(2)(-2,3)。(5,7).

【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)n是實數(shù)，

所以m2-5m-14=0>

解得加=7或〃？=一2；

所以實數(shù)〃?的值為7或-2：

(2)因為復(fù)數(shù)z表示的點在第四象限，

?,m~-8///+15>0

所以2<“n，

m-5m-14<0

J(〃L3)(〃L5)>0

即《、，

|(w-7)(w+2)<0

解得一2<〃7<3或5<〃？<7,

所以實數(shù)機的取值范圍為(-2,3)。(5,7).

16.(15分)“2026重慶馬拉松”成功舉行，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機抽取了100名候選

者的面試成績，并分成五組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組

［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相

同.

9/14

(2)若面試成績前34%的候選者為優(yōu)秀候選者，請估計優(yōu)秀候選者成績的最低分;

(3)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的面試成

績的平均數(shù)和方差分別為62和30,第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和40,據(jù)此估計這

次第二組和第四組這兩組的所有面試者的方差.

。=0.0051030

【答案】(1)“0.025⑵73。)于

10〃+108=0.3…。=0.005

10x(0.045+0.020+a)=0,7,解得j

【詳解】(1)由題意可知，力=0.025；

(2)由(1)及圖知，(0-020+0.005)X10<0-34<((H)45+0-020+0-005)X|0,

所以面試成績前34%候選者(分?jǐn)?shù)從高到低)的最低分位于區(qū)間［65,75),設(shè)為x,

所以0.25+(75-x)x0.045=0.34,可得x=73.

(3)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為方差分別為s；，4,

且各組頻率之比為:

(0.005x10):(0.025x10):(0.045x10):(0.02x10):(0.005x10)=1:5:9:4:1,

5

所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者x20=5人,

U5+9+4+1

4

第四組面試者布再幣'2。=4人,

5x62+4x80

則第二組和第四組面試者的面試成績的平均數(shù)x-----7-----=7(),

9

第二組、第四組面試者的面試成績的方差

2:222

(x,-x)-l+-r^+(A2-x)-l=-x[30+(62-70)]+-x[40+(80-70)]=-^

」9L」999

10/14

故估計第二組、第四組面試者的面試成績的方差是增

17.（15分）如圖,在正方體"8-4瓦40中，點G,E,F,P分別為棱45,Dg，B￡,用的中點,

點M是棱42上的一點，且RM=34歷.

（1）求證：平面。8用；

（2）已知點N是棱4片上的一點，且用N=34/V,求證：平面PMN//平面￡）夕戶￡\

【答案】（1）證明見詳解（2）證明見洋解

【詳解】（1）連接。C、GC分別交。氏。月于點〃、O,連接“0,

在正方體ABCD-48clA中，D.EHDC且。?=；OC,

所以“IED「"IDC,嚅嚕T

但GOBG1,D.HGO

同理可得===-，所rri以v1=--所以HO//D￡,

COCD2CHCO

又“Ou平面DBFE,平面。8匹f,所以平面。8斤￡.

（2）連接?！?因為點瓦尸分別為棱AC，8c的中點，則以7/R4,

11/14

AN_J,A/_1

因為。1財=34〃B、N=3A、N,則}

4B]AR4

可得MV//Z)￡,plljMNHEF,

且〃N<Z平面。8/芍，EFu平面DBFE,則MN//平面08戶石,

取4。的中點。，連接力。,。尸,

因為尸,M分別為例,從。的中點，則PMHAQ,

又因為。,尸分別為4A用G的中點,則。尸〃44，。尸=4%

且N8//44，/8=44，則QF=AB,

可知48月。為平行四邊形，貝IJ/0//8尸，可得PM//BF,

且平面。叼E,BFu平面DB尸E,則尸“〃平面。8正，

又因為A/NnPM='W,."MPMu平面PAW,所以平面PMN//平面。8/五.

18.(17分)已知在△月8c中，角48,C的對邊分別為a力,c,且“cosC+GasinC-6-c=0.

(1)求4的值;

(2)若△NBC的周長為6,內(nèi)切圓半徑為半，求助+c-a的值.

【答案】(1)"=](2)4

【詳解】(1)在。中，rhacosC十JJasinC—b—c-O及正弦定理得；

sinAcosC+5/3sinJsinC-sinB-sinC=0?

則sin/IcosC+VJsinJsinC-sin(.4+C)-sinC=0,

整理得:sinAcosC+VJsinsinC-sinAcosC-cosJsinC-sinC=0，

即石sinJsinC-cosJsinC-sinC=O.

由OVCVJI,得sinC>(),則Jisin月=cos月+1,

12/14

兩邊平方得(1+cosA)2=3sin2J=3(1-cos2A),

BP2cos2A+cosJ-l=0

由0<力<兀，得一1<cosA<\,

解得cos4=!，故4=g；

23

（2）由△力8C的周長為6,內(nèi)切圓半徑為坐,

得S4BC=—^csin—=—x6x—,

““2323

解得兒=4,

由余弦定理得/+。2-2bccos5,即a2=(6-a)2-2bc-2bccos—,

33

整理得。2=36?12。+/-12,

解得。=2,b+c=4,又be=4,解得b=c=2,

因此2人+<?—4=4.

19.(17分)在梯形488中，AB=2CD=\2,ZDAB=