2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等比數(shù)列（附答案）

§6.3等比數(shù)列

【課標(biāo)要求】1.通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.掌握等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，

理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式的關(guān)系3能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相

應(yīng)的問題.4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

?落實(shí)主干知識?

I.等比數(shù)列有關(guān)的概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于常數(shù)，

那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母式夕H0)表示.

(2)等比中項(xiàng)：如果在。與匕中間播入一個數(shù)G,使小G,力成數(shù)列，那么叫做。與人

的等比中項(xiàng)，此口寸，G2=.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

(1)若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為公比為小則其通項(xiàng)公式為.

(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：

(3)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時，，Sn=na\i當(dāng)時，S尸=.

3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)若〃?+n=p+q,則,其中m,n,p,特別地，若2卬=〃?+〃，則

其中m,〃，卬WN".

(2)以,ak.m，02m，…仍是等比數(shù)列,公比為伏，/￡N*).

(3)若數(shù)列｛〃”｝,｛乩｝是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列(仇/〃｝,｛〃。，“兒｝和｛毅｝也是等比數(shù)列S，p,

戶0).

1則等比數(shù)列｛而遞.

0,10'則等比數(shù)列｛小｝遞—

qVI

4.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的常用性質(zhì)

若等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和為S”，則S”,仍成等比數(shù)列(公比q=-\且〃

為偶數(shù)除外)，其公比為夕〃.

S自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写蚧?X”)

(1)等比數(shù)列的公比g是一個常數(shù)，它可以是任意實(shí)數(shù).()

（2）三個數(shù)ath，。成等比數(shù)列的充要條件是〃=ac（）

（3）數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，則S4,S&&,S12-S8成等比數(shù)列.（)

（4）對有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積.（）

2.（2025?臨汾模擬）在等比數(shù)列｛〃”｝中，。產(chǎn)1,34,則6等于（）

A.2B.-2C.±2D.2V2

3.（多選）設(shè)數(shù)列｛小｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則（）

A.43,力成等比數(shù)列B.（Q3是等比數(shù)列

C.｛1g%｝是等比數(shù)列D.｛2｝是等比數(shù)列

4.在等比數(shù)歹ij｛a”｝中，。i=3,a?+〃3+%=21,則ai+ag=.

國微點(diǎn)提醒

解題時關(guān)注三個關(guān)鍵點(diǎn)

⑴當(dāng)嚴(yán)0,且qW1時，S.=hk/（20）是｛斯｝是等比數(shù)列的充要條件,此時；魯.

l-q

⑵由刖二g斯,q芋0,并不能立即斷言｛為｝為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證mWO.

（3）在運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時，必須注意對q=\與qWl分類討論，防止因忽略q=\這一特殊情形

而導(dǎo)致解題失誤.

j----------------------------------------探究核心題型---------------------------1

題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

例1（1）（2023?全國甲卷）設(shè)等比數(shù)列｛冊｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S”，若。尸1,S5=5S3-4,則S4等

于（）

A.-B.-

88

C.15D.40

（2）我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載埴創(chuàng)立的十二平均律是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二

平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù),

如表所示，其中0,"2,…，S3表示這些半音的頻率，它們滿足log2（等廣=l（i=l，2,…，12）.若某

一半音與小的頻率之比為次，貝!該半音為（）

頻率a\〃26as。7。100203

半音CC*DEF尸GG"ABC（八度）

AFB.G

cdD.A

思維升華等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略

(1)等比數(shù)列中有五個量0,〃，夕，斯，S”，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求解.

(2)解方程組時常常利用“作商”消元法.

(3)運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時，一定要討論公比g=l的情形，否則會漏解或增解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，如-4,8,則小等于()

Ssf

A.16B.8C.6D.2

(2)(2024?嘉興模擬)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S，等比數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和為4,若仁=-1,乩=8岳,(1-

2")<=〃(〃+1)乙，則Cln=.

題型二等比數(shù)列的判定與證明

例2(1)(多選)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”下列說法正確的是()

A.若則a,b,c成等比數(shù)列

B.若｛/｝為等差數(shù)列,則｛2而｝為等比數(shù)列

C.若S〃=3〃-l,則數(shù)列｛④｝為等比數(shù)列

D.若ai=1,6/2=2,3a〃+尸a”+2a”+2(〃￡N"),則｛an+1-a”｝為等比數(shù)列

⑵(2024?福州模擬)己知數(shù)列｛小｝的首項(xiàng)。產(chǎn)|,且滿足出+尸//

5Zdfi'T1

①求證：數(shù)列長-2｝為等比數(shù)列；

②若_L+2_+工+…+工<2025,求滿足條件的最大正整數(shù)幾

C1a2a3an

思維升華等比數(shù)列的四種常用判定方法

(I)定義法：若馬_=夕(夕為非零常數(shù)，且心2,〃￡N"),則｛a“｝是等比數(shù)列.

an-l

(2)等比中項(xiàng)法：若在數(shù)列｛小｝中，0Ho且W+i=aM,+2(〃￡N"),則伍“｝是等比數(shù)列.

(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式可寫成a“二c//(c,q均為非零常數(shù)，,則｛a“｝是等比數(shù)列.

(4)前〃項(xiàng)和公式法：若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S尸心"火攵為常數(shù)，且AW0,q會0,1),則伍”｝是等比數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練2(2024?昆明模擬)已知數(shù)列｛a“｝滿足a”(a”.i+3a〃+i)=4C"+](〃22,〃WN.)，且。尸1,

4

（l）i正明：數(shù)列｛六一a｝是等比數(shù)列；

⑵求他〃｝的通項(xiàng)公式.

題型三等比數(shù)列的性質(zhì)

命題點(diǎn)1項(xiàng)的性質(zhì)

例3（2023?全國乙卷）己知｛〃”｝為等比數(shù)列，so必=。3。6,。必0=-8,則。7=.

■微拓展--------------------------------------------------------------------------------------

下標(biāo)和相等的等差（比）性質(zhì)的推廣

（1）若數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且/川+辦2+…+機(jī)行攵1+心+，一+々〃，則。叫。＜??….a7nn=a〃1a%以飛.

（2）若數(shù)列｛小｝為等差數(shù)列，且加1+恤+…+久等1+22+…+%〃，貝宿叫+。血2+…+0"%="％+o%+…+Q〃7T

命題點(diǎn)2和的性質(zhì)

例4⑴設(shè)S”是等比數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和，若S?=2,。3+如=6,則當(dāng)?shù)扔冢ǎ?/p>

A.2B.-C.3D.—

44

（2）已知等比數(shù)列｛小｝有2〃+1項(xiàng)，。產(chǎn)1,所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42,則“等于（）

A.2B.3C.4D.5

思維升華（1）在解決與等比數(shù)列有關(guān)的問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是“若〃葉片p+g,

則4浦產(chǎn)的劣“，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

（2）在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時注

意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）下列說法正確的是（）

A.若等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S”=2"/+/,則/=-1

B.若｛〃”｝為等比數(shù)列，且。2。7+。3。6=6,則…。8=81

C若數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，則S〃，s2n-snfS3”S”，…成等比數(shù)列

D.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列｛〃〃｝,a=2,S奇=登，S陰=2,則公比

32162

(2)(多選)設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為q，其前〃項(xiàng)和為S”，前〃項(xiàng)積為7；,且滿足條件

cil024a2025>1?(。2024-1)(。2025-1)<。，則卜列結(jié)論正確的是()

A.｛a〃｝為遞減數(shù)列

B.S?024+1<S?025

CT2O24是數(shù)歹iJ｛7；｝中的最大項(xiàng)

D.北(M9>1

答案精析

落實(shí)主干知識

1.(1)2同一個公比(2)等比Gab

ai-a^q

2.⑴M5

i-q

3.(1)%必產(chǎn)即羯al>tan=a^(2)0”

⑷增減

4.S2“-S”S31rs2n

自主診斷

1.⑴X(2)X⑶X(4)4

2.A3.ABD4.72

探究核心題型

例1(1)C[方法一若該數(shù)列的公比夕-1,代入SjHS3M中，

有5=5X3-4,不成立，所以夕W1.

,+，1-Q5_、/]—q3

由丁*=5X「」-4,

l-o1-q

化簡得/57+4=0,

所以『二1(舍)或qj,

因?yàn)榇藬?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，

所以片2,所以s尸耍=15.

1-q

方法二由題知l+g+/+/+g4

=5(l+q+/)-4,

即/+g4=4g+4g2,

即"+夕2-4伏4=0,

即年2)(夕+1)(4+2)=0.

由題知00,所以行2.

所以$4=1+2+4+8=151

⑵B[依題意可知小＞0(〃=1,2,…，13).

由于171,02，…，03滿足log2(^ti)=1(/=1,2,—,12),

則改廣=2,所以等小痣,

所以數(shù)列0,s，…，03為等比數(shù)歹U,公比4=1次，

O#對應(yīng)的頻率為出，所求半音與ZT的頻率之比為次=(|正＞，

所以所求半音對應(yīng)的頻率為or(]m)4=*,即對應(yīng)的半音為G.]

跟蹤訓(xùn)練1(I)D[設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為夕，

由泠=8,

S5-J2

即08+07+%=[3(劭+/4+〈3)=8

%+。4+。3。5+。4+。3'

可得爐=8,即q=2,

又34,所以〃尸詈=2.]

(2)2〃

解析設(shè)等比數(shù)列｛》｝的公比為4,

由Z＞5=8/?2,貝U/=8,解得q=2,

又瓦二-1,所以瓦尸-2"」，

所以T?=(~1W~2n)=\-2n,

1—2

代入(1-2")￡=〃5+1)心，

解得S,』5+l),

當(dāng)n=\時,aj=Si=2,

當(dāng)“22,〃￡N"時,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2/i,

。尸2滿足上式,所以。“=2〃,〃￡N".

例2⑴BCD[對于A,當(dāng)〃二加。:0時，廬:雙，此時a",c不成等比數(shù)列，故A錯誤；

對于B,若｛知｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,則此時有答二2。』-。"二2">0,所以數(shù)列｛2。“｝為等比數(shù)列，

故B正確；

對于C,若S〃=3〃C,則。產(chǎn)$=2,

斯=5”-工-產(chǎn)3〃-1-(3"-1)=3"-39=23川(〃22),

。尸2顯然滿足小=2?3〃/，所以數(shù)列〔為｝為等比數(shù)列，故C正確；

對于D,因?yàn)?an^i=an+2an+2,

所以2(。〃+2s+1)-(即19)=0,

而。尸1,6=2,

因此數(shù)列｛斯+i?%｝是首項(xiàng)為1,公比為之的等比數(shù)列，故D正確.]

(2)①證明由即+尸：7^片，

2an+l

得上=1+3」，

Qn+i2an

則:2磯十一2),

Qn+i2\anJ

又ai],：2二步。，

5al2

所以數(shù)列｛a-2｝是以T為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

②解由①可得3=(丁，

所以")”+2.

則工二十…」

a2an

"G+H抖…+*)+2〃

用字+2〃=1-導(dǎo)2〃,

由工+2」+…+^~<2025,

aia2a3an

得1二+2〃<2025,

271

即2〃費(fèi)<2024,

又函數(shù)產(chǎn)2〃3為增函數(shù)，

￡?

所以滿足2〃-奈2024的最大正整數(shù)為1012.

跟蹤訓(xùn)練2（1）證明???a”Mi+3a”+i）=4〃”.g+i（〃22,

?13_4

??------1----------,

即+ian

Qn+ian臉-土；）>

又工-2=4-1=3/0,

azJ

???數(shù)列1二一一2］是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

Sn+ian）

⑵解由（1）得二一」=3乂3"」=3〃，

即+1an

???當(dāng)〃22時，（工一工）+（^----^卜…+（工一工）

=3小1+34+…+3匚3（1-3吁1）

1-3

=-3-"-3,即a——n1-——1=--3-”-3,

2'加2

.13n-313n-3,

a”2al2

_3n-l

又0=1也滿足上式，，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4尸啟.

3“一1

例3-2

解析方法一｛斯｝為等比數(shù)列，

?4?5=?3?6,?'?el,

又〃2。<妝10=。7。7。7,

3

???1X(-8)=(a7),

/.m=-2.

方法二設(shè)｛小｝的公比為q(qWO),

則42aM5=。3。6=。2夕的9,顯然斯W0,

則OK/,即。爐引，貝|］。q=1,

V?9?IO=-8,則aq%“=-8,

則才5=(，)3=8=(?2)3,

則爐=-2,則ai=a\qcf=(f=-2.

微拓展

典例33

解析S產(chǎn)幽誓=16,

，。|+。8=4,

yV69+?1+?8=3?6,?6=3,

故$1=1106=33.

例4(1)D［由題意得S2=2,S4-SI=6,S4=S2+6=8,且等比數(shù)列｛分｝的公比q#-l,

貝|JS2,S4-S2,S6-S4成等上匕數(shù)列，

2

故(Sd-S2)=57(56-S4),

2

即6=2(S6-8),

解得$6=26,故回篝］

(2)B［因?yàn)榈缺葦?shù)列｛詼｝有2〃+1項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有〃+1項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有〃項(xiàng),設(shè)公比為q,

得到奇數(shù)項(xiàng)的和為1+/+/+???+/〃=］+虱q+爐+寸+?..+『〃-1)=85,

偶數(shù)項(xiàng)的和為q+ql夕"+…+夕2，內(nèi)=42,整體代入得q=2,

所以前2〃+1項(xiàng)的和為號?=85+42=127,解得〃=3.］

1—2

跟蹤訓(xùn)練3(l)BD［對于A,因?yàn)镾*2〃/+/=/+；X2”，由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S產(chǎn)要出=魯-魯/,

21-q1-q1-q

知W，所以A錯誤；

對于B,由Gs+a3a6=6,得到。2。7=。3。6=3,所以wo2a3…>8=(。2a7)4=81,故B正確;

對于C,當(dāng)行-1,〃為偶數(shù)時，S/0,顯然Sn,SwSn,S3”5〃，…不成等比數(shù)列，所