2026年高考數學一輪復習（新高考）重難點專訓01 集合中的含參問題及新定義問題（學生版+解析）

重難點專訓01集合中的含參問題及新定義問題

解題方法及技巧提煉................................................................1

題型通法及變式提升................................................................2

題型一：根據元素與集合的關系求參數..............................................2

題型二：利用集合間的關系求參數.................................................2

題型三：交、并、補運算求參數...............................................................2

題型四：定義新幅..............................................................3

題型五：定義統算..............................................................4

題型六：定義曬質..............................................................5

重難專題分層過關練................................................................6

鞏固過關.........................................................................8

創新提升..............................................................................10

解題方法及技巧提煉＜＜＜、

?1

根據元素與集合關系求參數：

首先依據“元素屬于集合”的條件，結合集合元素的確定性，列出關于參數的方程或不等式，解出參數

的所有可能取值；

接著根據集合元素的互異性，檢驗這些取值是否會使集合口出現重復元素，若有則排除；過程中若參

數對應不同元素歸屬情況，需用分類討論思想逐一分析，確保不遺漏每種可能性，最終得到符合條件的參

數值。

利用集合間關系求參數：

若集合是連續數集，先將集合表示在數軸上，根據包含關系（如子集、真子集）確定區間端點的不等

關系，注意端點處是實點還是虛點，避免漏判：

若集合是不連續數集，依據包含關系的定義，列出元素對應等式，同時運用分類討論思想，考慮空集、

集合相等或部分包含等情況，排除矛盾解，最終得到符合條件的參數值。

交、并、補運算求參數：

通常借助數軸直觀呈現集合范圍，結合運算性質建立不等關系。

需特別注意空集情況，若涉及集合間包含、相交等關系，要考慮空集是否符合條件，避免遺漏。同時,

關注不等式等號的取值：在補集運算中，需判斷原集合端點的等號能否傳遞到補集，且始終史記補集是全

集的子集，確保運算結果在全集中，最后通過驗證確定參數的最終范圍。

集合新定義問題：

核心是緊扣新定義本質：先逐句分析新定義的規則、限制條件（如元素構成、運算方式、特殊規定），

明確其具體含義，避免因理解偏差出錯，這是解題的基礎。

若定義較抽象，可通過舉簡單例子（如用具體數字、集合代入定義），將抽象規則轉化為直觀應用，

幫助快速把握定義核心邏輯。

同時要善用集合基本性質（如元素的確定性、互異性、無序性，或集合間的包含、交并補關系），結

合新定義規則推導，確保解題過程既符合新定義要求，又不違背集合基本規律，最終驗證結具是否滿足所

有條件。

題型通法及變式提升<<<、

題型一：根據元素與集合的關系求參數

2

典例I」.設集合知二）2,3,/-3凡a+^+7,N=｛a—1,3｝,已知4iM且4任N,則。的取值集合為.

典例12設集合A=｛（x,），）|x-y21,/x+y>3,x-a），W2｝,則；）

A.對任意實數”，（2.1）wAB.對任意實數。，（2,1）任人

C.當且僅當〃>1時，（2,1）e4D.當且僅當時，（2,1）WA

變式1-1.若集合A=｛xGN"|a<k）g/<4｝的真子集個數為15,寫出一個滿足條件的。的取值

變式1-2.已知集合A=W+l]U，+3/+6],其中/>0.若存在正數4,使得對任意aeA,都有

則/的值是_.

題型二：利用集合間的關系求參數

典例2-1.已知4=｛小2+4%=0｝,8=｛#2+2（〃+1）.1+/-1=0｝,若BqA,則a的取值范圍為—.

典例2-2.若。=[-1,"?],A=｛），|.y=x2,xc。｝,5=｛），|），=X+1,XG。｝,且A=8,求機的值.

變式2-1.若xcA是xeA的必要不充分條件，集合4=卜,2-4.1>0｝,8=｛川勿-10<1<〃+1）,則實數〃

的取值范圍是.

變式2-2.若｛0,1｝為集合人二愴乂愴乂館卜+那的一個子集，則A中最大元素的最大值為（）

A.1B.IgHC.lg（5-2^6）D.lg（5+2x/6）

題型三：交、并、補運算求參數

典例3-1.設集合4={工,2-3工+240},3=卜,2+〃<0}.

(1)當a=-4時，求Ac4和A|J8,

⑵若他力c8=8.求實數”的取值范圍.

典例32已知集合A={x|—3cx<0},8={Mm-l<x<\+m].

⑴若(QA)B=0,求實數〃?的取值范圍；

(2)若集合AcA中僅有一個整數元素，求AJ8.

變式3-1.已知集合人=。8={X,一仕+3)X+32V0}.

⑴求集合A,并寫出當xeZ時集合A的真子集的個數；

(2)若"C瓜A)=A,求實數k的取值范圍.

變式3?2.已知集合A={(x,y)|ar+y=lx,ycR},A={(x,y)|x+ay=lx,yeR},

C={(x,y)ld+y2=1X,),￡R}.

(1)若(4U8)C為含兩元素的集合，則實數。=.

(2)(Aj8)n。為含三個元素的集合，則實數。=.

題型四：定義新概念

典例4-1.(多選)非空數集AqR,同時滿足如下兩個性質：(1)若48cA,則而eA；(2)若aeA,

則1wA.稱A為一個“封閉集”，以下說法正確的是()

a

A.若A為一個“封閉集”，則leA

B.若A為一個“封閉集”，且〃力￡八，則:三4

b

C.若AB都是“封閉集”，則AcB是“封閉集”的充要條件是或BqA

D.若48都是“封閉集”，則8是“封閉集”的充要條件是Aq8或BqA

典例4?2.若非空數集A滿足都有x+)建A,則稱集合A為無和集.

⑴判斷集合4={1,3,5,7},8={5,67,8,940}是否為無和集，直接寫出結論；

⑵給定正整數，亞5,集合A4滿足AJ8={12,〃},且4。8=0,求證：集合A3不可能都是無和集;

(3)給定正整數〃上3,集合八U{1,2,,〃},且A為無和集，求集合A中元素個數的最大值(用含〃的表達

式表示).

變式41.已知集合S己0,1,2,…，5"}5wN"),集合4±S,記7的元素個數為|為?若集合丁中存在

三個元素。，b,c(a<b<c),使得c+2a>3)，則稱丁為“理想集

(1)若〃=1,分別判斷集合T={0,2,3,5),7；={0,1,2,5}是否為“理想集”，并說明理由；

⑵若〃=1,寫出所有的“理想集”7的個數并列舉；

(3)若|7、|=4〃+2,證明：集合T必為“理想集”.

變式4-2.已知集合”={4必,…,可}(〃“)，其中。"4」=12…若存在M的非空子集A,滿足

2<card(A)<n-2(card(A)表示有限集合力中元素的個數)，且A中所有元素之積與aA中所有元素之

和相等，則稱M為“積和集合”.

⑴若M={-123,7},判斷M是否為“積和集合”；(結論無需證明)

⑵若M={1,2,4⑷是“積和集合”，寫出a的所有可能取值：

(3)若知={—2,1,3,5,7911,13,15,17,19},判斷M是否為“積和集合”，并說明理由.

題型五：定義新運算

典例5-1.(多選)群論，是代數學的分支學科，群的定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個

代數運算，如果該運算滿足以下條件：①對任意的“bwG,有abeG；②對任意的有

(ab)c=a(hc)；③存在ecG,使得對任意的aeG,有ea=ae=a,。稱為單位元；④對任意的

aeG,存在〃eG,使ab=ba=e,稱。與匕互為逆元.則稱G關于“?”新構成一個群.則下列說法正確

的有()

A.G={-lJ-i,i}(i為虛數單位)關于數的乘法構成群

B.有理數集Q關于數的加法構成群

C.G=,+&〃|"〃€Z}關于數的除法構成群

D.正實數集R+關于數的乘法構成群

典例5-2.設集合A是一個點集，對A定義一個新運算③，若集合A中元素〃，與〃滿足〃?=(?6),

〃=(c,d),則加合〃=(ax(c+d)力+d).

⑴求(2,1)額3,2)；

⑵已知awA,若“0=(X,)，)”是“對于任意九/⑥。=尸都成立”的充要條件，求

變式5-1.集合M,N,S都是非空集合，現規定如下運算：MCNGS=

{x|xe(McN)5NcS)u(ScA/)且cNcS}.假設集合A={x|avxv/?},5={x|cvx、d},

C={x\e<x<f],其中實數a,b,c,d,e,/滿足：.計算

AOBOC=.

變式5-2.對于集合A,B,定義運算"V"：=兩式恰有一式成立},|A|表示集合A

中元素的個數.

⑴設A={1,2,3,5,6},8={1,2,4},在圖1的韋恩圖中填入集合A,B,并求擊仍；

(29A={Xx=2Z?eN1〈xKl(X)},8=可工=3太丘N,1WxKlOO},求|的卻：

（3）對于有限集合A,B,C,證明|A▽卻+|NqN|AX7C|,并求當集合A,C是確定集合時，使該式取等

號的集合B的數量（用含A,C的式子表示）.

題型六：定義新性質

典例6-1.己知集合4={4，6,外,其中〃eN且〃之3,。<“<生<a3V<外,若對任意的

A（"），），都有|_￥-）怛，《￡?4,女>0,則稱集合A具有性質監.

ft

⑴若集合4={1，2,力具有性質%,求a的最小值；

⑵已知集合A具有性質求證：

①對任意的/七{2,3,??,〃}都有'---

4.1《1>

②H15，

（3）已知集合A具有性質求集合A中元素個數的最大值，并說明理由.

典例6-2.已知集合人={4，%,,叫(。44V。2V</，〃￡2，?23))具有性質尸：對任意

i,川<i<j<n),ai+aj與。「處至少一個屬于A.

⑴分別判斷集合C=[0,2.4}與D={1,2.3}是否具有件質P,并說明理由：

⑵八二m,%%}具有性質P，當。2=4時，求集合A；

⑶記小，+%+：；++力求/⑵儂)

變式6-1.已知數集4={4，%，。3，。"}(1=4<%</<<。”,〃？2)具有性質?：對任意的儀2<上工〃),

比使得ak=q+勺成立.

⑴分別判斷數集{1,2,3,5}與{1,2,5,7}是否具有性質P,并說明理由;

(2)求證：a”-%-an-2----%42?

變式62已知集合k={4，外,1外}仕之2),其中q為整數(i=L2,由A中元素可構成兩個點集產

和0：P={(x,y)|xcA,)，cA,X+)，€A},Q={(x,)，)p:eAyeAx-yeA},其中〃中有“？個元素，Q中有〃

個元素.新定義1個性質G：若對任意的xcA,必有-x任A,則稱集合A具有性質G.

⑴已知集合S={0,2,4}與集合7={-1,2,3},判斷它們是否具有性質G,若有，則直接寫出其對應的集合

P，。;若無，請說明理由；

(2)集合A具有性質G,若&=1(X),求：集合。最多有幾個元素？

(3)試判斷：集合A具有性質G是加=〃的什么條件，并證明.

重難專題分層過關練＜?、

鞏固過關

I.已知集合A=?），）三|二加14=[d)，)(a?—I卜+(〃—1))，=3}.若An/3=0,則〃的所有取值

是（）

八44

A.0,1B.0,1,-2C.—?—2D.0,1,—2,—

33

2.（多選）在整數集Z中，被5除所得余數為攵的所有整數組成一個“類"，記為伙],即

[2]={5〃+H〃wZ,4=0,1,2,3,4},給出如下四個結論,正確的是（）

A.2026G[1]

B.-3G[3]

C.Z=[0]＜J[1]U[2]O[3]＜J[4]

D.“整數力屬于同一，類，”的充要條件是“￡網”

3.函數/（x）=/—2x+c（cwR）,若2?{乂/（幻＜0},請寫出滿足條件的一個c值若{x|f（x）＜0}cZ

有且只有3個元素，則實數。的取值范圍是

4.（202425高三上?浙江溫州?果末）（多選）已知整數集A={q,%,M”},8={Mx=a+人或

x=a-b,a^b.aeA,beA]f若存在〃?使得〃?=以，ceZ??，則稱集合A具有性質〃（攵），則

（）

A.若4={1,2},則A具有性質”（2）B.若4二{1,2,3},則A具有性質"（3）

C.若〃=4,則A一定具有性質M（5）D.若八二7,則A一定具有性質用（1。）

5..設A={x|-2Wa},3={），|y=2x+3,且xwA},C={z|z=x2,Mxe4},若C=B,則實數”的取值

范圍為_.

上人、0,x任A0,AB

6.設A,8是R的兩個子集，對于xwR,定義："?=?…n=\

\,xeA[l,xe5

①若A=則對任意xeR,〃2(l-"?)=_；

②若時任意xeR，/〃+〃=l,則A,8的關系為一.

7.設有序集合對(A8)滿足：4uB={123,4.567.8},A「8=0,記CardA,CardB分別表示集合A4中

的元素個數，則符合條件Car<U/4CardB史8的有序集合對有一對.

8.已知集合義={123},%={1,2,3,,〃},(〃wN)設整除/域〃整除OMCX/C%},令/(〃)

表示集合S”所含元素的個數，則f(2024)=—.

9.已知集合A=*|a-3<4<。+3},4={川/-64—720}.

(1)若Aq8,求實數。的取值范圍；

(2)若集合Ar>B中恰有3個整數，求實數〃的取值范圍.

10.已知全集"={劃-6KxW5},M={x|-3<x<2},7V={x|0<x<2}.

⑴求M也求）；

⑵若C=2々-1）旦C工，求a的取值范圍.

11.已知集合A={小2-31+6=0},B=1A|(X-2)(X2+3A:-4)=O|.

(1)當〃=2時，求A|J8,金4；

⑵若〃=4時，存在集合M,使AMB,求出所有的集合M；

⑶集合能否滿足(Q8"A=0?若能，求出實數〃的取值范圍；若不能，請說明理由.

12.對于一個所有元素均為整數的非空集合4,和一個給定的正整數億定義集合4=,卜二|〃-女|，，￡4}.

（1）若A={1,2,3,4,5},直接寫出集合A和4；

（2）若4={1,3,5,7,9,??2〃-1},其中〃eN\〃之5,直接寫出使得集合4中元素個數最少的一個女（用〃表

示）；

（3）若（）“<〃，〃和攵都是正整數，集合4={刎〃wN},求出使得N+=（A」A）成立的所有〃和女的值，

并說明理由.

創新提升

I.集合展拓在信息學中具有重要應用，定義IW為集合T中的元素個數，對于〃元集合M,其展拓集合記

為N,滿足MqN,2〃4|N|W〃2,其中〃之2.已知集合八={2/,8={3,5,/},若A.8的展拓集合C滿足

|C|=7,則/+『的最大值為.

2.設集合4={4，生，生嗎}，其中元素均為有理數，集合國片）/2，）'[￡4，>26力={-24,-2,-彳,-[,1,3},

LLo

求q+%+%+%=—.

3.若關于x的不等式[卜]+2卜+1}（2h+5欠+1）>。的解集是A,且41Z只有1個元素，則實數k的取值范

圍是

4.已知集合A={xy=V-x2+6x-81,B={x\|x-w|<2}.

⑴若/n=1,求AJ3；

⑵若4c（Q5）=0,求實數用的雙值范圍.

5.已知集合5={$傳，*，f}(d2),其中ytZ(i=l,2,。由S中的元素構成兩個相應的集合：

M={(a,ZO|aeS”eS,a+Z?eS},N={(a,b)\aES,bES,a-bES},其中(。,力)是有序實數對，集合M和

N中的元素個數分別為機和〃.若對于任意的aeS,總有-則稱集合S具有性質P.

⑴檢驗集合{T023}與{-2,1,3}是否具有性質尸并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合M和N：

(2)對任意具有性質P的集合5,證明：也二D;

2

(3)判斷，〃和〃的大小關系，并證明你的結論.

6.(2025?湖北武漢?模擬預測)已知集合A={%%,…其中qwN"(lW〃)，集合

B=定義運算A*8={x|xe(AnB)),記|A|為集合A中元素的個數.

⑴若4={1,2,3,4},求IA*例的值；

⑵若集合A中的元素4(叱區〃)構成等差數列，且公差4>0.

(i)當〃=3時，求|A*8|的最小值；

(ii)當〃=2025時，求IA*見的最小值.

重難點專訓01集合中的含參問題及新定義問題

解題方法及技巧提煉................................................................1

題型通法及變式提升................................................................2

題型一：根據元素與集合的關系求參數.........................................................2

題型二：利用集合間的關系求參數.................................................2

題型三：交、并、補運算求參數...............................................................2

題型四：..............................................................3

題型五：定義癱算..............................................................4

SS型六：定義雌質.........................................................................5

重難專題分層過關練................................................................6

鞏固過關.........................................................................8

創新提升..............................................................................10

解題方法及技巧提煉<<:

根據元素與集合關系求參數：

首先依據“元素屬于集合”的條件，結合集合元素的確定性，列出關于參數的方程或不等式，解出參數

的所有可能取值；

接著根據集合元素的互異性，檢驗這些取值是否會使集合口出現重復元素，若有則排除：過程中若參

數對應不同元素歸屬情況，需用分類討論思想逐一分析，確保不遺漏每種可能性，最終得到符合條件的參

數值。

利用集合間關系求參數：

若集合是連續數集，先將集合表示在數軸上，根據包含關系（如子集、真子集）確定區間端點的不等

關系，注意端點處是實點還是虛點，避免漏判；

若集合是不連續數集，依據包含關系的定義，列出元素對應等式，同時運用分類討論思想，考慮空集、

集合相等或部分包含等情況，排除矛盾解，最終得到符合條件的參數值。

交、并、補運算求參數：

通常借助數軸直觀呈現集合范圍，結合運算性質建立不等關系。

需特別注意空集情況，若涉及集合間包含、相交等關系，要考慮空集是否符合條件，避免遺漏。同時,

關注不等式等號的取值：在補集運算中，需判斷原集合端點的等號能否傳遞到補集，且始終牢記補集是全

集的子集，確保運算結果在全集中，最后通過驗證確定參數的最終范圍。

集合新定義問題：

核心是緊扣新定義本質：先逐句分析新定義的規則、限制條件（如元素構成、運算方式、特殊規定），

明確其具體含義，避免因理解偏差出錯，這是解題的基礎。

若定義較抽象，可通過舉簡單例子（如用具體數字、集合代入定義），將抽象規則轉化為直觀應用，

幫助快速把握定義核心邏輯。

同時要善用集合基本性質（如元素的確定性、互異性、無序性，或集合間的包含、交并補關系），結

合新定義規則推導，確保解題過程既符合新定義要求，乂不違背集合基本規律，最終驗證結吳是否滿足所

有條件。

>>題型通法及變式提升

題型一：根據元素與集合的關系求參數

典例1」.設集合/=卜,3,/-3a,4+^+7},N={a-1.3},已知4i用Fl42N.則。的取俏集合為.

【答案】{-2}

【詳解】因為M={2,3,/-3a,a+，+7},N={a-1,3},41知且4任"，

若/一3a=4,解得。=4或。=一1,

223

當〃=4時，此時。+—+7=工，

a2

此時"={3,3},不滿足集合元素的互異性，舍去；

22

當白=一1時，此時。+—+7=—1+—+7=4,

a-1

此時M={2,3,4,4},不滿足集合元素的互異性，舍去；

2

若4+—+7=4,,解得。=一1或。=一2,

a

前面已經分析。=-1不滿足要求,

當a=-2時，此時a2-3a=(一2尸一3x(-2)=10,

此時集合例=(2,3,10,4},N={-3,3},滿足集合元素的性質，

綜上，。=一2,所以。的取值集合為{-2}.

故答案為：{-2}.

典例1-2.設集合A={伍小-”1,。2%+。>3,X一毆42卜則：)

A.對仟意實數&(2A)EAB.對仟意實數a.(2,1)任A

C.當且僅當時，(2J)eAD.當且僅當〃<0時，(2,1)2A

【答案】C

【詳解】對A,若〃二一2,則A={(x,y)|x-y之l,4x+y>3,x+2yK2},

將(21)代入不全部滿足，此時可知(2,1)/A,故A錯誤；

對B,當〃=2時，貝ljA={(x,y)k-yNL4x+y>3,x-2)，42},

將(21)代入全部滿足,此時可知(2,1)E人.故B錯誤：

2-a<2

對C,若(21)wA,.2/+1>3,解之可得〃>1,所以C正確；

2-1>1

對D,當〃=；,則A=[(x,y)W-)，Nl,；+)，>3,x—^K2],將(2.1)代入不全滿足，

所以(2,1)任人，故D錯誤.

故選:C

變式1-1.若集合A={xeN[avk)g2XV4}的真子集個數為15,寫出一個滿足條件的〃的取值

【答案】log?”(答案不唯一)

【詳解】設集合A中元素個數為由集合A的真子集個數為15可得，

a4-

2，-1=15,解得丁=4,由"log2X〈4,xwN?可得,log22<log2x<log22,xeN?

即2"<x<24=16,xwN",所以1102"V12，&Plog2ll<a<log212,

故可取a=log211(答案不唯一，滿足log21IWa<log212均可).

故答案為：log?1】(答案不唯0

變式12已知集合4二山+1]U1+3"+6],其中，>0.若存在正數九，使得對任意aeA,都有

則/的值是_.

【答案】；

【詳解】因為。任A,則只需考慮下列三種情況:

g+如上臼+6],則達卜島外

因為f>0,

又因為八0,則9含,*u卷

——>1——>t+3

因為則,r+1

ZeA,7+6A

2且

—<t+\—</+6

t+3

z(r+6)<2</(r+6)

可得

(z+l)(/+3)<2<(/+l)(r+3)

所以，2=r(r+6)=(r+l)(r+3),解得

3

故答案為：

【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用集合與元素的關系求解參數的取值問題，關鍵在于能夠通過f的取值

范圍，得到“與巴所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關于/I的等量關系，從而構造出關于/的

a

方程求解.

題型二：利用集合間的關系求參數

典例2-1.已知4=卜,2+41=。},8=卜,2+2(4+]b+/-1=0},若8口，則。的取值范圍為

【答案】㈤或4=1}

【詳解】集合3中含有參數，所以先考慮8是否為空集.

因為A={x|f+4x=0}={-4,0},

所以，若8為空集，則△=4(。+1『一4(1-1)=8。+8＜0,解得〃＜一1；

若8為單元素集合，則△=4g+l)2-4(a2-])=84+8=0,解得。=-1,

將。=一1代入方程/+2(。+1戶+"-1=。，得f=o,解得％=0,

所以8={0},符合要求；

若8為雙元素集合，則△=8〃+8＞0,即。＞-1,

此時嶺={＜。},即憶工2一坨解得

綜上所述，〃的取值范圍為{司。4-1或4=1}.

故答案為：或4=1}.

典例2-2.若。=[-1,何，A=[y]y=x2,xeQ）j,8={y|y=x+l,xeQ},且4=B,求〃?的值.

[答案]〃?=0或機="".

2

【詳解】由于。=[一1,〃?],所以8={），|），=x+l,xtQ}二[0/+，T，

當加￡0時，A={y|y=x2,xeQ}=[〃/，i],

若A=R,則°,解得〃?=0,

〃?+1=1

當OvmKl時，^={y|>'=x2,x€g}=[0,l],

若A=B,則，〃+1=1,此時加不存在,

當加>1時，A={），|y=,/x￡Q}二,

若A=B?則nr=m+1?解得m=

2

綜上可得/〃=0或m="..

2

變式2-1.若xeA是xeB的必要不充分條件，集合4=卜,2-4x>o｝,B=｛x|%-10<x<〃+l],則實數a

的取值范圍是.

【答案】（f-1]U[7,位）.

【詳解】不等式x2-4x>0的解集為「"<。或x>4｝,所以4=｛中<0或x>4｝,

因為xeA是xw8的必要不充分條件，所以3是A的一個直了集,

2。-10<。+12。-10<。+1

所以a+1工2a-10或，或1

?+1<012?-10>4

所以。211或。4一1或7工4<11,所以〃工一1或。27,

所以實數，的取值范圍是（田,-1][7,38）.

故答案為：（-8,—1]J[7,+8）.

變式22若｛0,1｝為集合4=（他孤心，，3卜舊）｝的一個子集，則A中最大元素的最大值為（）

A.1B.IgHC.lg（5-2x/6）D.除（5+26）

【答案】B

【詳解】因為｛0,1｝為集合囚=色芍館乂怛卜+?）的一個子集，

所以怛尤愴居也1+；中有-一個等于0,有?個等于1,

1g.v=0,1gy=1,則x=l,y=】o,此時lg[+?J=lgl1>1,

若]gx=l,lgy=0,則x=IO,y=l,此時Ig[+?)=lg10+^j<lgll,

若lgx=0,lg[x+；J=l,則x=1,y=9,此時Igy=lg9<lgl1,

Z\

若lgy=0,1gx+上=1,則1y=l,x+,=10,得x<l1,所以Igxvlgll,

IX

/\

則y=10,x+W=l,由x+"=l得f7+]o=o,方程無解，所以此種情況不存

若lgy=l,lgx+-=0,

\x，XX

在，

/\

若lgx=l,lgx+上=0,則x=mo+a=],得)，=-90<0不合題意，

X

綜上，A中最大元素的最大值為Igll.

故選：B

題型三：交、并、補運算求參數

典例3-1.設集合4=卜,2-3%+2<0},3=卜,2+〃<0}.

(1)當a=-4時，求AcB和AU8,

⑵若(\A)cB=8.求實數〃的取值范闈.

【答案】(1)AC8={X|1WXV2},AD8={M_2VXW2}

(2)?>-1

【詳解】(I)A={x\x2-3.r+2<0}={x\\<x<2},

當a=-4時，fi={x|-2<x<2},

所以4c3={x|lSXV2},AD4=，X|-2<XK2}；

⑵玲4={小>2或丫<1},

因為(&A)c8=8,所以

當時，B=0Q\Af

當〃<0時，B=卜-4-a<x<

則口41或-々22,

解得或無解，

綜上所述，a>-\.

典例3-2.已知集合A={M-3Vx<（）},3={d<x<l+/zz）.

⑴若（QA）8=0,求實數小的取值范圍；

（2）若集合Ac8中僅有一個整數元素，求4J".

【答案】（l）-2W〃7?T

⑵答案見解析

【詳解】（1）由題意4二{乂一3cxvO},8={R〃Llvxvl+〃?},

知%A={x|xW—3或X20},B手0、

因為hA卜八0,故二，解得—2K〃?WT；

\K7[w+l<0

（2）A={x|-3<x<0}中的整數元素為-2,-1,

而集合Ac6中僅有一個整數元素，

當該整數元素為-2時，

此時一3v〃?4一2,則Au3={x|zn-l<x<0}；

當該整數元素為-1時，

此時一1W〃?vO,則AUB={AJ-3<X<1+/M}.

變式3-1.已知集合A=<x8={1,2-仕+3）工+3%<。}.

（1）求集合A,并寫出當xeZ時集合A的真子集的個數；

（2）若"C瓜A）=A,求僅:數k的取值范圍.

【答案】⑴人=卜13CW2},真子集有63個

⑵[2收）

【詳解】（1）1=2-3<2T<22=4,解得一3KXK2,所以4={川一33<2}.

當HCZ時，A={-3,—21,0,1,2},共6個元素，真子集有26-1=63個.

（2）由（1）^A={x\-3<x<2]f所以々A={x|x<-3或x>2}.

JC-僅+3）x+3&=（工-3）（工-女）<0,

當上=3時，8=0,滿足8c（QA）=5.

當上v3時，8={x|攵vxv3},

要使8c（QA）=8,則需Q2,所以24攵<3.

當上>3時，B={x[3<x<上},滿足8c（QA）=8.

綜上所述，攵的取值范圍是[2,”）.

變式3-2.己知集合A={Q,y）|ax+）=lA,>'<=R},6={（人,y）|八十紗=1A,j1?=R},

C={Uy）lx2+y2=lx,yeR}.

（1）若（AJB）C為含兩元素的集合，則實數。=.

（2）（人jB）nc為含三個元索的集合，則實數。=.

【答案】。或1一1土丘

【詳解】解：（1）中，由（人J8）nc中含有兩個元素的集合，

①如圖（1）所示，當直線如+丁=1和1+夕=1與圓f+）,2=i各有一個交點，

且不重合時，則滿足條件，此時7^=1,解得。=0；

VI+?2

②如圖（2）所示，直線ax，+），=l和x+ay=l重合，且與圓/+），2=1有兩個交點時,

則滿足條件，此時。=1,此時x+y=l與圓/+丁=］有兩個交點，滿足題意，

圖⑴圖⑵

（2）由（AB）C中含有三個元素，顯然。/0且awl,

此時直線?+y=1和x+什=1與圓Y+丁=1必須交于三個點，

即兩直線有一個交點在圓/+V=i上，且兩直線與圓還各有一個交點,

因為直線ar+y=1和x+ay=1關于直線丁二"對稱，

所以三個交點分別為（0/）,（1,0）,（省,*）或（0,1）,（1,0）,（-*,-*）,

2222

如圖（3）（4）所示，此時。=-1土上.

圖⑶圖(4)

題型四：定義新概念

典例4-1.（多選）非空數集AqR,同時滿足如下兩個性質：（1）若48cA,則而eA；（2）若aeA,

則1wA.稱A為一個“封閉集”，以下說法正確的是（）

a

A.若A為一個“封閉集”，則leA

B.若A為一個“封閉集”，且〃力￡八，則:三4

b

C.若AB都是“封閉集”，則AcB是“封閉集”的充要條件是或BqA

D.若48都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是Aq8或8qA

【答案】ABD

【詳解】對于A,因為A為一個“封閉集”，所以由定義可知若aeA,則那么A正確.

aa

對于B,因為4為?個“封閉集”，a,beA,所以1所以feA,B正確.

nh

對于C,不妨取“封閉集一斗,；2：,4。8,.1,8，1。3,19。,27,4，

4?OJy4/

則Ac8={l}也是“封閉集”，顯然AqB或"qA不成立，C錯誤.

對FD,充分性：人8都是“封閉集”，

若或8qA,則A8=8或AL8=A,則A|J8是“封閉集”.

必要性：若48是“封閉集"，令AB=C,

假設A或AJ：A不成立，則存在aeA,"任6,“e粒〃比八，同時aeC,〃eC,

因為人3=。是“封閉集"，所以"eC±wC,

ab

分兩類情況討論，

若abwA,又當awA時，-e4,所以出A,這與假設矛盾，

aa

若他仝A,又當。時，所以a〃x，=ae8,這與假設矛盾，

bb

故假設不成立，原結論AJ8是“封閉集”，則或8qA成立，即必要性成立.D正確.

故選：ABD.

典例42若非空數集A滿足都有x+y金A,則稱集合A為無和集.

⑴判斷集合4={1,3,5,7},8={5,678,9,10}是否為無和集，直接寫出結論；

⑵給定正整數，亞5,集合AB滿足AJB={1,2,,〃},且A08=0,求證：集合A區不可能都是無和集;

（3）給定正整數〃之3,集合A={1,2,,〃},且A為無和集，求集合A中元素個數的最大值（用含〃的表達

式表示）.

【答案】(1)A是，5不是

⑵證明見解析

(3)當〃是偶數時，A中元素個數的最大值為與；

當"是奇數時，A中元素個數的最大值為^

【詳解】(1)集合A是無和集，

集合〃不是無和集.

(2)假設AB都是無和集，且A18={1,2,,n},AQB=0.

因為1+1=2,所以1和2不能屬于同一集合，

不妨設lcA2e8,又因為2+2=4,所以4/3,

則4wA,l+4=5,所以5史A,則5eB,

此時如果3c4,則1+3=4,則A不是無和集，

如果3e8,則2+3=5,

則8不是無和集，與假設矛盾，

所以集合AB不可能都是無和集.

(3)當集合A是由{1,2,3,,〃}中所有偶數組成的集合時，不符合無和集的定義，

則可設集合4是由{1,2,3,?,〃}中所有奇數組成的集合，

易知集合4是無和集.

下面說明4是集合A元素個數最多的情況.

假設加任意一個偶數切到集合A中，由于，〃=1+(〃L1),

因此I和〃L1中有一個不屬于集合A,即集合A中的奇數至少減去一個，

則元素個數不會比4中元素個數多.

故當〃是偶數時，A中元素個數的最大值為微；當〃是奇數時，A中元素個數的最大值為等.

變式4-1.已知集合5={0,1,2,…，5"}(〃€V)，集合TqS,記丁的元素個數為|丁|.若要合丁中存在

三個元素，，三c(a<b<c)t使得c+2a>3b,則稱,為“理想集”.

⑴若〃=1,分別判斷集合(={0,2,3,51,7；=(0,I,2,5}是否為“理想集”，并說明理由；

⑵若〃=1,寫出所有的“理想集”r的個數并列舉；

(3)^|T|=4n+2,證明:集合7必為“理想集”.

【答案】(I)。不是“理想集”，乃是“理想集”，理由見解析

⑵答案見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1)*不足“理想集”，心是“理想集

由題意，令〃=0,6=2,。=3,貝I]3+2x0<3x2；

令〃=0,b=2,c=5,則5+2x0<3x2；

令a=0,。=3,c=5,則5+2x0<3x3：

令〃=2,b=3,c=5,則5+2x2=3x3；所以工不是“理想集”.

令〃=1,b=2,c=5,MO5+2x1>3x2,所以心是“理想集”.

(2)共16個“理想集”.

若〃=],有S=[0,1,2,3,4,5).

當|T|=3時，若〃=0,則/?21,由c+2z7>3Z?可知c>3/?23,

故0，c)=(l,4)或(1,5)；

若4=1,則匕22,由c+勿可知c+2>3826,則4vc45,故S,。)=(2,5).

故含有三個元素的“理想集"丁={(),1,%(0,1,5}或{I,2,5),共3個.

當|了|=4時，T=