2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型歸納講義：等差數(shù)列及其前N項和（知識梳理+題型總結(jié)）學(xué)生版+解析

【第22講：等差數(shù)列及其前N項和】

【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】

1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義：明確等差數(shù)列是從第2項起，每一項與它的前一項的差都等廣

同一個常數(shù)的數(shù)列，掌握其通項公式為=%+（〃-l）d,并能運用通項公式解決相關(guān)問題，理解通項公式中

各參數(shù)的含義及作用。

2.掌握等差數(shù)列的前〃項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式的關(guān)系：熟練掌握等差數(shù)列前

〃項和公式S“一+〃-1）“一+4）,明白通項公式與前〃項和公式都與首項〃公差4有關(guān)，

22

可通過已知條件建立方程或方程組，求解相關(guān)量。

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題：能夠從實際問題或數(shù)學(xué)問題情境中，

識別出等差數(shù)列模型，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的相關(guān)問題，如求通項、求前〃項和等，進而利用等差數(shù)列

的知識進行求解，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。

4.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系：了解等差數(shù)列的通項公式4=6+（〃-1”=而+（4-4）是關(guān)

2

于〃的一次函數(shù)（時）或常數(shù)函數(shù)（d=0時），前〃項和公式S4二〃q+龍"——d=—n+（al~—）n

222

是美丁〃的二次函數(shù)（C/HO時），利用函數(shù)的性質(zhì)來分析等差數(shù)列的單調(diào)性、最值等問題。

【知識梳理】

一、知識梳理

1.核心概念

等差數(shù)列定義：從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)（記為公差d）,即氏

（〃￡【《*，d為常數(shù)）。

等差中項；若a,力，人成等差數(shù)列，則人=生必，且2A=4+人。

2

2.關(guān)鍵公式

公式類型表達式說明

%為首項，d為公差,可推廣為一機）d

通項公式an=4+(n-\)d

（〃wN*）

前〃項和“91前者需已知首項、末項和項數(shù)；后者需己知首項、公

公式刀(〃-1)差和項數(shù)

S'=叫---d

3.性質(zhì)關(guān)聯(lián)

函數(shù)屬性：

通項4=〃〃+（《一d）：當(dāng),/wO時，是關(guān)于〃的一次函數(shù)，圖像為直線上的孤立點，斜率為4：當(dāng)d=0

時，為常數(shù)列。

前〃項和S“=￡/+（q—4）〃：當(dāng)〃工。時，是關(guān)于〃的二次函數(shù)，圖像為拋物線（或其一部分）上

22

的孤立點，且無常數(shù)項；當(dāng)d=（）時，S“=〃q,為關(guān)于〃的一次函數(shù)。

項的對稱性：若（見〃,〃國￡［「），則勺+。”=%,+%；特別地，當(dāng)〃7+〃=2攵時，

%+。=2&。

二、常用結(jié)論

1.前〃項和的衍生結(jié)論：

若等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，貝iJS2i=（2〃—l）a”（利用S21=&〃1）（；+出,i）,結(jié)合

+a2n-l=2%推導(dǎo)）。

aS

前〃項和的比值：若｛4｝與也J均為等差數(shù)列,前一項和分別為s“與北,則片=鏟口。

2.項數(shù)與和的關(guān)系：

等差數(shù)列中，連續(xù)％項的和仍成等差數(shù)列，即工，S”-Sk，S3,-S2,,…成等差數(shù)列，公差為公

若等差數(shù)列共有2〃項，則qH用一“〃：若共有2〃一1項,則w《_〃，s

5奇一5偶一〃d=gnS布_5偶_。“S奇二〃

a

S偶n+\S偶n-1

（S奇、s偶分別為奇數(shù)項和、偶數(shù)項和）。

3.單調(diào)性與最值：

當(dāng)4>0時，數(shù)列單調(diào)遞增，S”有最小值（可通過%40且q用20求最小值對應(yīng)的項數(shù)〃）；當(dāng)4<0

時，數(shù)列單調(diào)遞減，5“有最大值（可通過見之0且。用工。求最大值對應(yīng)的項數(shù)〃）。

三、微點提醒

1.定義理解誤區(qū)：判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列時，需驗證”從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)”，不

可僅驗證前幾項；若僅說“％N-4=""，需補充〃cN"否則定義域不完整。

2.公式使用細節(jié)：

運用通項公式。〃=4+（〃-〃?）"時，注意相和〃的取值范圍（均為正整數(shù)），避免因下標(biāo)錯誤導(dǎo)致計

算失誤。

前〃項和公式今二"4；耳）中,4是第〃項，不可與“項數(shù)〃”混淆；當(dāng)d=0時，數(shù)列是常數(shù)列，

S”=〃q,此時不可用二次函數(shù)性質(zhì)分析最值（無最值，除常數(shù)本身）。

3.性質(zhì)適用條件：“若〃z+〃=〃+4,則《〃+/=%,+4”的逆命題不成立，即若品+4”=%,+4,

不一定有機+〃=〃+鄉(xiāng)（如常數(shù)列中，任意兩項和相等，但下標(biāo)和可不同）。

4.與函數(shù)結(jié)合的注意點：

通項公式對應(yīng)的一次函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集（而非全體實數(shù)），因此圖像是孤立點，而非連續(xù)直線。

前〃項和對應(yīng)的二次函數(shù)，若無常數(shù)項，但其最值對應(yīng)的〃需為正整數(shù)，若計算出的〃為非整數(shù)，需

取其附近的正整數(shù)代入計算實際最值（如〃=3.5,則需比較〃=3和〃=4時的S“）。

【課前自測】

一、單選題

1.（24-25高二下?云南曲靖?期末）等差數(shù)列｛q｝滿足/+%=20,4=4,若S”為前〃項和，則5.最大時，〃

的值為（）

A.9或1（）B.8C.9D.10或II

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.,滿足2%=4+5,則工=（）

A.35B.40C.45D.50

3.（24-25高二下?陜西榆林?期末）記S.為等差數(shù)列｛/｝的前〃項和.若4+4=11,則鼠=（）

A.43B.44C.87D.88

4.（24-25高二下?廣東韶關(guān)?期末）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，53=2S6=6,則S9=（）

A.-9B.-6C.-3D.9

二、多選題

5.（24-25高二下?河南駐馬店?期天）設(shè)S”是等差數(shù)列加,｝的前〃項和，若幾<0，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.d<0B.⑷<同

C.〃=7時，S.最大D.使S.>0的〃的最大值為13

三、填空題

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）把數(shù)列｛3〃+2｝與｛4〃｝（〃€河）的所有公共項去掉，剩余的項從小到大排序得

到數(shù)列｛牝｝,則數(shù)列M的前202項和為.

7.（25-26高三上?湖北?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛叫，｛2｝的前/，項和分別為S“，Tn,且亍=黃"，則

4--------------

四、解答題

f9

8.（2025高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)工為數(shù)列｛q｝的前〃項和.已知生=4,S4=20,且請（為等差數(shù)列.求

證：數(shù)列｛qj為等差數(shù)列.

地里分類身常著題型I

【考點一：等差數(shù)列基本量的運算】

【例題】1.（25-26高三上?廣東深圳?開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前八項和為S”，若4+生+%=%+%，

S4=34,則%=（）

A.8B.9C.10D.II

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知各項均不為零的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為5”，滿足q=6,5於1,

則｛q｝的公差d的取值范圍為（）

D.

【針對訓(xùn)練】3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝,也｝的各項均不為°，記｛%｝的公差為

d,前〃項和為S“，且2。也=3S”.

3

⑴若瓦二Q,求心

⑵記也｝的前〃項和為小若7；廠品>0,且24<27,求d的取值范圍.

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.，若生+火=2（〃4-1）,5=10+生，則

（）

A.an=2n-1B.S5=a2a5

2

C.Sn=2n-nD.%=15

5.（24-25高二下?廣東江門?期末）記S“為等差數(shù)列｛4,｝的前〃頂和，已知S4=。，6=5,則（）

2r12-2/1

A.Sn=2n-8/?B.Sn~~C.a”=3〃-10D.a“=2〃-5

【解題策略】

一、核心解題步驟

1.梳理條件與目標(biāo)：明確題干給出的已知信息（如特定項的值、前〃項和、項數(shù)關(guān)系等），確定需求解的

量（如某一項知、前〃項和S”、項數(shù)〃、公差［等）。

2.選擇關(guān)聯(lián)公式：優(yōu)先選用與可、〃直接關(guān)聯(lián)的核心公式，避免復(fù)雜推導(dǎo)：

通項公式：a〃=q+5-l）d（連接“項”與基本量）；

前〃項和公式：5“二〃4+缺」〃（連接“和”與基本量）。

3.建立方程（組）：根據(jù)獨立條件的數(shù)量列方程：

1個獨立條件：列1個關(guān)于q和d的一元方程（需結(jié)合其他隱含條件，如項數(shù)

2個獨立條件：列二元一次方程組（因2個基本量需2個方程確定，可直接解出4和4）。

4.求解與驗證：解出片和“后，代入目標(biāo)公式計算結(jié)果；必要時驗證結(jié)果是否符合隱含條件（如項數(shù)為正

整數(shù)、公差符號與數(shù)列單調(diào)性一致等）。

【考點二：等差數(shù)列的判定與證明】

n-l

【例題】L（2025高三?全國?專題練習(xí)）H知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“+2（〃61<）,令〃=2%”,

2>

求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛可｝的通項公式.

2.：2025高三?全國?專題練習(xí)）已知數(shù)列乩｝的前〃項和為S.,^,+3Sn-S?+1=0,4=；.證明：數(shù)列J,

3IA

為等差數(shù)列：

【針對訓(xùn)練】3.（24.25高二上?甘肅甘南?期末）己知數(shù)列也｝中，4=4,a“=c*+2"T+3（〃”〃wN）

（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)以喙,求4的前〃項和S”.

4.（23-24高二上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）若數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和為S。，且滿足a“+2S“S〃T=0（〃之2）嗎二發(fā)

⑴求證：［白］是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛〃“｝的通項公式.

【解題策略】

等差數(shù)列的判定與證明的解題策略

等差數(shù)列的判定與證明核心是緊扣定義或等價條件，通過代數(shù)掛導(dǎo)驗證數(shù)列是否滿足“從第二項起，每一

項與前一項的差為常數(shù)”，避免僅通過有限項規(guī)律（如前3項差相等）直接判定。

一、核心判定依據(jù)（4類關(guān)鍵方法）

判定或證明數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，需從以下方法中選擇，優(yōu)先用定義法或等差中項法，具體如下:

判定方法核心等價條件適用場景

1.定義法對任意〃之2且〃￡I「，有。〃一an-\~d已知數(shù)列的通項遞推關(guān)系（如+C）,

（最根本）（“為常數(shù)）或可通過變形得到相鄰項差

2.等差中對任意〃22且〃wN"，有已知數(shù)列中三項的關(guān)系，或需證明某三項成等

項法2an=%+%差，或可通過前〃項和推導(dǎo)

3.通項公數(shù)列的通項公式可表示為=pn+q已知數(shù)列的通項公式，或可求出通項公式后驗

式法（P、。為常數(shù)，且〃=d,q=a「d）證形式

數(shù)列的前〃項和可表示為S”=An2+Bn

4.前〃項已知數(shù)列的前〃項和公式，或可求出S“后驗

和公式法（A、B為常數(shù)，且4=—,8=4—）證形式（注意：需排除常數(shù)項，即S“無常數(shù)項）

22

二、通用解題步驟

1.明確已知條件：梳理題干給出的信息（如遞推式、通項、前〃項和、特定項關(guān)系等），確定可調(diào)用的判

定方法。

2.選擇判定方法：

若給遞推關(guān)系（如4的表達式），優(yōu)先用定義法：

若給三項關(guān)系或需證明“成等差”，優(yōu)先用等差中項法：

若已知或可求通項公式，驗證是否為“〃〃+"”形式（通項公式法）；

若已知或可求前〃項和，驗證是否為“形式（前〃項和公式法）。

3.代數(shù)推導(dǎo)驗證：

定義法：計算證明其結(jié)果為與〃無關(guān)的常數(shù)；

等差中項法：推導(dǎo)2C“—（/T+/+J,證明其結(jié)果為0；

公式法：將通項或前〃項和整理，驗證是否符合“一次函數(shù)”或“不含常數(shù)項的二次函數(shù)”形式。

4.補充首項/初始條件：若推導(dǎo)僅從〃22開始，需驗證七一“是否等于前述常數(shù)（定義法），或確認首項

滿足通項/前〃項和公式，確保數(shù)列整體為等差。

三、常見易錯點與規(guī)避策略

1.忽略“任意〃”：僅驗證前3項（如出一4二%一生）即判定為等差，需強調(diào)“對所有“22成立"，必

要時用數(shù)學(xué)歸納法輔助證明（針對遞推復(fù)雜的數(shù)列）。

2.前〃項和公式誤用：若S”=A/+B〃+C（CWO）,則｛《,｝從第二項起為等差，而非整個數(shù)列，需排

除常數(shù)項。的干擾。

3.遞推式變形錯誤：對含%與S”的遞推關(guān)系（如S,=2%—1）,需先通過/=S“一S”T（〃"2）消去S“，

再用定義法判定，避免直接套用公式。

【考點三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用】

【角度L等差數(shù)列的性質(zhì)】

【例題】1.（2025?陜西漢中?三模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，若4+%=12,則品=（）

A.3（）B.40C.60D.120

2.（2025.江西?二模）已知｛q｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，若S”=11,則下列各式的值不能砸足的是（〉

A.“6B./+々3+43C.5）+S2ID.-y-+-^-

【針對訓(xùn)練】3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列乩｝的前〃項和為S“，當(dāng)S”為定值時，

2%+%+&也是定值，貝1」左=.

4.（2025?安徽?三模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,4+%+4=3,若4+4T+4_2=27,&=150,

則仁.

【角度2：等差數(shù)列的前N項和的性質(zhì)】

【例題】1.（24-25高二下?陜西榆林?階段練習(xí)）在等差數(shù)列｛q｝中，S“為其前〃項和，若S$=5,品）=15,

則"的值為.

Sq〃a

2.（24-25高二下?云南昆明?階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛&｝,也｝的前〃項和分別是S“,7；,若廣司太，則去二

)

D

A.巳-2

【針對訓(xùn)練】3.（24-25高二下?四川成都?期中）兩個等差數(shù)列｛q｝和他｝,其前〃項和分別為S”，Tnf

S3n+2

日—n=-----則（）

Tnn+3

35n25

A.\BD.—D.—

14c謂24

4.（2025高二?全國?專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S”，且其二-12,§9=45,則$6二

【角度3：等差數(shù)列的前N項的最值】

【例題】1.（22-23高二下?廣東佛山?期中）已知等差數(shù)列｛4｝前〃項和為S“，4+4+%=3,Sn=-\\,

則使3取得最大值時〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

多選題2.（23-24高二上?福建漳州?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛〃,,｝的前〃項和為2=11〃-則下列說法正確的

是（）

A.也｝是遞增數(shù)列B.%=6

C.當(dāng)〃=6時S.取最大值D.滿足S.>0的最大的正整數(shù)〃為10

【針對訓(xùn)練】多選題3.（23-24高二上.江蘇徐州.階段練習(xí)）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，已知

Si。=O,S]s=25,則（）

A.?5=0B.｛4｝的前〃項和中邑最小

C.使S”<0時〃的最大值為9D.2的最大值為0

n

（多選題]4.（22-23高二下?江蘇揚州?開學(xué)考試）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S,>§5,$5=56,S6Vs,,

則下列說法中正確的有（）.

A.4=。B.d<0

C.當(dāng)〃=5或6H寸，S.取最小值D.510<0

5.（24-25高二下?湖北?期中）若數(shù)列｛〃“｝滿足a”+%+2=24,x（〃eN）?.=10,%=-2,設(shè)數(shù)列｛對｝的前

〃項和為S“，則當(dāng)S”取最大值時，〃=.

【解題策略】

等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用的解題策略

等差數(shù)列的性質(zhì)是基于定義和公式推導(dǎo)的“簡化工具”，核心是利用性質(zhì)減少運算量，避免反復(fù)套用基本公

式（〃”=4+（〃-l）d、S“二〃（"；%））,尤其適用于求特定項、前〃項和或判斷項的關(guān)系。

一、核心性質(zhì)分類與應(yīng)用場景

1.項的下標(biāo)規(guī)律性質(zhì)（高頻考點）

此類性質(zhì)圍繞“下標(biāo)和相等”展開，是解決“項的和””對稱項關(guān)系”的核心，需牢記：

性質(zhì)生若m+n=p+q（m,〃,p,qwN）,則6”+%=與+4。

特殊情況：當(dāng)〃=“=%時，m+〃=2左，即品+勺=24（勺為與與勺的等差中項）。

應(yīng)用場景：已知某幾項的值，求另外幾項的和（如已知氏+%=1°，求生+%或。5）。

性質(zhì)2：數(shù)列｛/｝是等差，則下標(biāo)成等差數(shù)列的子數(shù)列仍為等差（如4，%，氏，…，公差為2d）。

應(yīng)用場景：求周期性間隔項的關(guān)系（如己知生=3,求小，利用子數(shù)列公差4"）。

2.前〃項和的特殊性質(zhì)

此類性質(zhì)聚焦前〃項和的“局部與整體”關(guān)系，簡化求和計算：

性質(zhì)1：等差數(shù)列前〃項和S一則5〃,52“一5〃,53“—52匹..仍為等差數(shù)列（公差為

應(yīng)用場景:已知§5=10,品）=30,求九（利用S5，$o—S5，S|5-，o成等差,即10,20,九一30,

得兒=60）。

性質(zhì)2：若項數(shù)為2Z（偶數(shù)），則§2人=%（4+6+P，旦s奇一S,%="（S偶為偶數(shù)項和，S奇為奇數(shù)

項和）；若項數(shù)為22一1（奇數(shù)），則$21=（2火—I）4,且_（%為中間項）。

3奇7偶一4

應(yīng)用場景：已知項數(shù)為5（奇數(shù)），s奇一s%=4,直接得中間項為=4,進而求S5=5%=20。

性質(zhì)3：前〃項和公式的“比值轉(zhuǎn)化”:若兩等差數(shù)列｛〃"｝、｛〃』的前〃項和分別為S.1,則魯二：;

47

S13a,%S[3

應(yīng)用場景：已知肅=￡,求U（直接得皆=竦=￡）。

T-,5b4b4T75

3.通項與前〃項和的關(guān)聯(lián)性質(zhì)

性質(zhì)1：通項公式與前〃項和的關(guān)系：4”=S“-S〃T（〃之2）,且％=工；若S,=A"2+8〃，則

atl=2An+（B-A）（直接由二次函數(shù)推導(dǎo)一次通項）。

應(yīng)用場景：已知S”求《，或驗證S”與凡的一致性。

性質(zhì)2：前〃項和的“一次函數(shù)特征"：顯=&〃+（《_4）,即數(shù)列｛2｝是公差為&的等差數(shù)列。

/?22n2

應(yīng)用場景：已知冬?=2,邑=4,求之（利用｛&｝成等差，得當(dāng)■=6）。

357〃7

二、通用解題步驟

1.識別問題類型：判斷題目是求“特定項”“項的和”“前〃項和”還是“兩數(shù)列比值“，匹配對應(yīng)的性質(zhì)

（如下標(biāo)和問題用性質(zhì)1,前〃項和的局部關(guān)系用性質(zhì)2）。

2.優(yōu)先調(diào)用性質(zhì)：避免直接設(shè)為、d列方程（雖通用但運算量大），先觀察下標(biāo)是否有“和相等”“成等差”

等特征，或前〃項和是否有“局部間隔”（如S〃,S2“一S〃）。

3.補充基本量運算：若性質(zhì)無法直接求解（如缺少關(guān)鍵項或和），再設(shè)％、d（或為、d,利用中間項簡

化），結(jié)合性質(zhì)列方程，減少未知數(shù)個數(shù)。

4.驗證結(jié)果合理性：利用性質(zhì)反向驗證（如用+4驗證求得的項是否滿足和的關(guān)系），避免下

標(biāo)對應(yīng)錯誤。

三、常見易錯點與規(guī)避策略

1.下標(biāo)對應(yīng)錯誤：應(yīng)用"m+n=p+qnam+>=冊+%”時,混淆下標(biāo)和（如誤將5+%等同于%+4，

需確保2+5=3+4而非3+3）,規(guī)避：先計算兩邊下標(biāo)和，確認相等后再用性質(zhì)。

2.前〃項和的局部性質(zhì)誤用：忽略”S”,S20—S”,S3〃—S?”成等差”的前提是“等差數(shù)列”，且公差為1d

2

）,規(guī)避：記憶公差推導(dǎo)過程（S2n-Sn-Sn=nd）,避免記混系數(shù)。

3.項數(shù)奇偶性混淆：應(yīng)用“項數(shù)為奇/偶時的q《關(guān)系”時，誤將“項數(shù)為22-1”的中間項記為

（實際為血）,規(guī)避：明確“項數(shù)為，〃時，中間項下標(biāo)為失匚（奇數(shù)項）”。

遐后跪蒯綻

一、單選題

1.（24-25高二下?江西上饒?階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，若邑=12,S6-S,=24,則

L-$9=（）

A.36B.48C.60D.120

2.（2025?湖北黃岡?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，若工=TS,向=0,S,m=4,則/〃=（）

A.8B.7C.6D.5

3.（2025廣西柳州.模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若S,-*-9嗎+4-5,則依｝的公差為

（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2025?四川成都?一模）在等差數(shù)列｛4｝中，%=3,4+4=2,則%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2025?江蘇泰州?模擬預(yù)測）設(shè)S”是等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，7；是數(shù)列｛小卜勺前〃項和.若邑=12,\=40,

則兀等于（）

A.49B.50C.51D.52

6.（2025?河北唐山?三模）己知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“,%+仆+a=T2。，5s,-71=70,若&=S,+1,

則上=（）

A.27B.28C.54D.55

7.（2025?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）已知｛%｝是等差數(shù)列.公差4工0,且％,生，研成等比數(shù)列，

則區(qū)等于（）

46

5門25「15n16

A.—B.—C.—D?—

16171617

8.（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）公差不為（）的等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若q=2,%,%,%成等比數(shù)

列，則滿足S”＞。的〃的最大值為（）

A.8B.9C.13D.14

9.（2025.黑龍江大慶?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為若55=2S3，q+%=10,則公差”為

（）

A.-7B.!C.-D.1

423

10.（2025?海南海口?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列&｝的前〃項和為S.,S5=25,￡=27,貝1監(jiān)。=（）

A.25B.26C.27D.28

11.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝中，4+4=2%-2,%+4I=26,則數(shù)列｛《?COSM｝的前

2026項的和為（）

A.1013B.1014C.2026D.2028

二、填空題

12.（2024.上海.三模）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S”.若牝=6,S5=20,則％=.

13.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）等差數(shù)列僅“｝,也｝的前八項和分別為S”，，，已知則+的

Tn2"4

值為.

14.（2025?湖北荊州?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,4=2,且｛〃5；｝為等差數(shù)列，若

56+4+/+4=1，則，=_____,

三、解答題

15.（2024.全國.模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，已知Sa=-15.

（1）若4=-7,求｛%｝的通項公式：

⑵若對于任意〃eNZ都有S.NS,，求公差4的取值范圍

【第22講：等差數(shù)列及其前N項和】

【新高考課程標(biāo)準(zhǔn)要求】

1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義：明確等差數(shù)列是從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于

同一個常數(shù)的數(shù)列，掌握其通項公式%=6+（〃-1）",并能運用通項公式解決相關(guān)問題，理解通項公式中

各參數(shù)的含義及作用。

2.掌握等差數(shù)列的前〃項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前〃項和公式的關(guān)系：熟練掌握等差數(shù)列前

〃項和公式5“二9+〃（〃一1）d=〃（4+4），明白通項公式與前〃項和公式都與首項《、公差d有關(guān)，

22

可通過已知條件建立方程或方程組，求解相關(guān)量。

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題：能夠從實際問題或數(shù)學(xué)問題情境中，

識別出等差數(shù)列模型，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的相關(guān)問題，如求通項、求前〃項和等，進而利用等差數(shù)列

的知識進行求解，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。

4.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系：了解等差數(shù)列的通項公式+（〃-1）3二加+（%-"）是關(guān)

2

于n的一次函數(shù)（d/（）時）或常數(shù)函數(shù)（d=0時），前〃項和公式S〃=na.+%二=-n+

222

是關(guān)于〃的二次函數(shù)（d￥（）時），利用函數(shù)的性質(zhì)來分析等差數(shù)列的單調(diào)性、最值等問題。

【知識梳理】

一、知識梳理

1.核心概念

等差數(shù)列定義：從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)（記為公差4）,即。向-

（〃EN*，△為常數(shù)）。

等差中項：若。，A,〃成等差數(shù)列，則從二土心，且2A=。+6。

2

2.關(guān)鍵公式

公式類型表達式說明

q為首項，〃為公差，可推廣為。〃二〃”；+（〃-"z）d

通項公式CI"=%+（〃-1）4

（in,neN*）

_〃（一+%）

前〃項和1前者需已知首項、末項和項數(shù)：后者需已知首項、公

公式〃（〃一1）差和項數(shù)

S"=-1-3—d

3.性質(zhì)關(guān)聯(lián)

函數(shù)屬性：

通項為=d〃+（q-d）：當(dāng)〃工0時，是關(guān)于〃的一次函數(shù)，圖像為直線上的孤立點，斜率為d；當(dāng)d=0

時，為常數(shù)列。

前〃項和S“=￡/+（q—4）〃：當(dāng)〃工。時，是關(guān)于〃的二次函數(shù)，圖像為拋物線（或其一部分）上

22

的孤立點，且無常數(shù)項；當(dāng)d=（）時，S“=〃q,為關(guān)于〃的一次函數(shù)。

項的對稱性：若（見〃,〃國￡［「），則勺+。”=%,+%；特別地，當(dāng)〃7+〃=2攵時，

%+。=2&。

二、常用結(jié)論

1.前〃項和的衍生結(jié)論：

若等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，貝iJS2i=（2〃—l）a”（利用S21=&〃1）（；+出,i）,結(jié)合

+a2n-l=2%推導(dǎo)）。

aS

前〃項和的比值：若｛4｝與也J均為等差數(shù)列,前一項和分別為s“與北,則片=鏟口。

2.項數(shù)與和的關(guān)系：

等差數(shù)列中，連續(xù)％項的和仍成等差數(shù)列，即工，S”-Sk，S3,-S2,,…成等差數(shù)列，公差為公

若等差數(shù)列共有2〃項，則qH用一“〃：若共有2〃一1項,則w《_〃，s

5奇一5偶一〃d=gnS布_5偶_。“S奇二〃

a

S偶n+\S偶n-1

（S奇、s偶分別為奇數(shù)項和、偶數(shù)項和）。

3.單調(diào)性與最值：

當(dāng)4>0時，數(shù)列單調(diào)遞增，S”有最小值（可通過%40且q用20求最小值對應(yīng)的項數(shù)〃）；當(dāng)4<0

時，數(shù)列單調(diào)遞減，5“有最大值（可通過見之0且。用工。求最大值對應(yīng)的項數(shù)〃）。

三、微點提醒

1.定義理解誤區(qū)：判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列時，需驗證”從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)”，不

可僅驗證前幾項；若僅說“％N-4=""，需補充〃cN"否則定義域不完整。

2.公式使用細節(jié)：

運用通項公式。〃=4+（〃-〃?）"時，注意相和〃的取值范圍（均為正整數(shù)），避免因下標(biāo)錯誤導(dǎo)致計

算失誤。

前〃項和公式今二"4；耳）中,4是第〃項，不可與“項數(shù)〃”混淆；當(dāng)d=0時，數(shù)列是常數(shù)列，

S”=〃q,此時不可用二次函數(shù)性質(zhì)分析最值（無最值，除常數(shù)本身）。

3.性質(zhì)適用條件：“若〃z+〃=〃+4,則《〃+/=%,+4”的逆命題不成立，即若品+4”=%,+4,

不一定有機+〃=〃+鄉(xiāng)（如常數(shù)列中，任意兩項和相等，但下標(biāo)和可不同）。

4.與函數(shù)結(jié)合的注意點：

通項公式對應(yīng)的一次函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集（而非全體實數(shù)），因此圖像是孤立點，而非連續(xù)直線。

前〃項和對應(yīng)的二次函數(shù)，若無常數(shù)項，但其最值對應(yīng)的〃需為正整數(shù)，若計算出的〃為非整數(shù)，需

取其附近的正整數(shù)代入計算實際最值（如〃=3.5,則需比較〃=3和〃=4時的S“）。

【課前自測】

一、單選題

1.(24-25高二下?云南曲靖?期末)等差數(shù)列加,｝滿足/+%=20,4=4,若S”為前〃項和，則5.最大時，〃

的值為()

A.9或1()B.8C.9D.10或II

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件求出4,d，把S”表示為關(guān)于〃的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

%+%=2%=20%=10

【詳解】?=>仆_2"=i=18,

%=%+3d=4

Sn=18〃+x(-2)=-/r+19”,

關(guān)于〃的二次函數(shù)“〃)=-1+19〃，其對稱軸為曄三，

???當(dāng)〃=9或〃=10時，S”最大.

故選：A.

2.(2025高三.全國?專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為3,滿足2%=%+5,則S,)=()

A.35B.40C.45D.50

【答案】C

［分析］根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)=%+%求出%=5,再利用等差數(shù)列前〃項和公式和4+%=2%求解即

可.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得6+%=2%=%+5,則為=5,所以Sg=%l*=9%=9x5=45.

故選:C.

3.(24-25高二下?陜西榆林?期末)記S.為等差數(shù)列｛/｝的前〃項和.若4+4=11,則1=()

A.43B.44C.87D.88

【答案】B

【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出4+4=4+4;再根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式可求解.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：q+%=%+4

則由等差數(shù)列前〃項和公式得：4歲小氣與8:44,

故選:B.

4.(24-25高二下?廣東韶關(guān)?期末)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S"，$3=2$6=6,貝I」Sg=()

A.-9B.-6C.-3D.9

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可知S3、§6-8、Sg-S6成等差數(shù)列可求得Sg的值.

【詳解】由題意可得§3=6,5=3,

因為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為，,

由等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)可知§3、“-S3、S9-S6成等差數(shù)列，

所以2（S6-S3）=S3+S「S6,所以§9=356-38=3x3—3x6=-9.

故選：A.

二、多選題

5.（24-25高二下?河南駐馬店?期天）設(shè)S”是等差數(shù)列｛&｝的前〃項和，若幾＜0,生＜-1,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.d＜0B.|%|＜同

C.〃=7時，S.最大D.使S”＞0的〃的最大值為13

【答案】AC

【分析】對于AB,由題兒＜0可得%＜0,由生＜-1可得%＞0,%+/＞0,據(jù)此可判斷AB；對于C,

分析可得〃07時，。”＞0,時.，進而判斷即可；市于D,由題可得幾＞0,九＜0,據(jù)此可判

斷選項正誤.

【詳解】對于AB,由題意＞="（"+%）=]5的＜0,即/＜0，

又以〈Tv。，所以外＞（）,且生+%＞0,則同＞同，

故｛q｝為遞減數(shù)列，即d＜0,故A正確，B錯誤；

由于〃V7時，。“＞。，〃28時，。”＜0,

則〃=7時，S.最大，故C正確；

由‘4='（a：，'=7（%+%）＞°，S5＜。，

所以使邑＞0的〃的最大值為14,故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）把數(shù)列｛3〃+2｝與｛4〃｝（〃eN）的所有公共項去掉，剩余的項從小到大排序得

到數(shù)列也｝,則數(shù)列｛an｝的前202項和為.

【答案】49609

【分析】｛3〃+2｝與｛4〃｝的公共項為12〃-4,兩數(shù)列去掉公共項后，剩余的項從小到大排序可發(fā)現(xiàn)每兩個被

去掉的相鄰的公共項之間有5項，其和構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前〃項和公式即可求解.

【詳解】｛3〃+2｝與｛4〃｝的第一個公共項為8,｛3〃+2）是公差為3的等差數(shù)列，｛4〃｝是公差為4的等差數(shù)列，

則兩數(shù)列的公共項構(gòu)成首項為8,公差為12的等差數(shù)列，即數(shù)列｛12〃-4｝,

兩數(shù)列去掉公共項后，剩余的項從小到大排序為4,5,11,12,14,1617,23,24,26,28,29,35,,且每兩個被去掉

的相鄰的公共項之間有5項，

分別求和得11+12+14+16+17=70,23+24+26+28+29=130,35+36+38+40+41=190,,

可以看到每相鄰5項的和依次構(gòu)成首項為70,公差為60的等差數(shù)列.

因為（202—2）+5=40,所以｛q｝的前202項和為4+5+40x70+如學(xué)60=49609.

故答案為：49609.

S+2

7.（25-26高三上?湖北?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛%｝，｛"｝的前/，項和分別為2,工、,且亍=黃"，則

4----------

4715

【答案】布與

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合性質(zhì)即可求解.

【詳解】由3=3〃+2九3x15+247

可得

〃+17^~15+1-I6

15x4十”

九二2二15%二%

154bj

015xV^

故答案為：—?

16

四、解答題

8.(2025高三?全國?專題練習(xí))設(shè)S”為數(shù)列依｝的前〃項和.已知生=4a=20,且為等差數(shù)列.求

證：數(shù)列｛?,｝為等差數(shù)列.

【答案】證明見解析

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列公式和題設(shè)條件得到關(guān)于S"的方程求出，,"，進而

、n

求出S.,接著由q=s“-sk求出數(shù)列｛q｝的通項公式即可由等差數(shù)列定義求解.

【詳解】證明：設(shè)等差數(shù)列［叫的公差為d,則&=￥+(〃-1”.

nJnI

因為S,=20,所以3=叢+3"可得S+3d=5①，

4I

又因為生=4,則S2=q+/=$+4,結(jié)合與吾+4可得3+24=4②，

聯(lián)立①②解得5=2/=I,

C