2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷01【測試范圍：人教A版必修第二冊第六~九章】（全解全析）

高一數學下學期第三次月考卷01（人教A版）

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：150分）

注意事項：

1.答卷前.考牛務必將自己的姓名、準考訐號填寫在答題卡卜C

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版必修第二冊第六章?第九章。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1?復數z=R在更平面內對應的點位于（）

1。一/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1.【答案】B

【解析】因為z=島=黑==—2+1,

所以z在復平面對應的點為Z（-2,l）,位于第二象限，

故選：B.

2.某中學高三學生有1000人，按照男、女生人數比例用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本,

若抽到的女生有20人，則該校高三男生人數為（）

A.400B.500C.600D.800

2.【答案】C

【解析】容量為5（）的樣本，若抽到的女生有2（）人，則抽到的男生有30人，

則該校高三男生人數為1000=600.

OV

故選：C.

3.設向量五二(%,—1)1二(x+2,1),若自〃3,貝ijx=()

1/12

A.2B.1C.-1D.0

3.【答案】C

【解析】因為向量五=(7—1),石=(%+2,1),

由五〃3,可得％x1—(—1)(工+2)=0,解得x=-1.

故選：C.

4.下面是校籃球隊某隊員若干場比賽的得分數據.

每場比賽得分36710111330

頻數2122111

則下列說法不正確的是()

A.該隊員得分的平均數是10B.該隊員得分的極差是27

C.該隊員得分的第四十百分位數是7D.該隊員得分的方差是48.4

4.【答案】D

【解析】該隊員得分的平均數是3x2+6+7x2+；；2+n+13+3°=1o.故A正確:

極差是30—3=27,故B正確；

10x0.4=4,所以第40百分位數是與=7,故C正確；

方差是2X(3—10)2+(6-10)2+2x(7-10)2+2x(10—10)2+(11—10)2+(13—10)2+(30-10)2=54

故選：D.

5.樂樂同學在學校的3D打印社為全班50位同學每人打印了一個盤子，盤子的形狀為一個倒置的正六棱臺,

盤子的底面正六邊形邊長為2cm,盤口正六邊形邊長為6cm,側棱長為5cm.如果樂樂要在每個盤子的內

外表面涂一層防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，則共需要涂料約為()(不考慮盤子厚度，結果

保留整數，參考數據：V3?1.73,4.58)

A.241gB.602gC.702gD.718g

5.【答案】B

【解析】如圖，盤子側面等腰梯形的高為，5二^/=&I(cm),底面面積為6x,x2?=6百

(cm2),

2/12

側面六個等腰梯形的面積之和為6x|x(2+6)xV21=24⑶(cm2),

所以每個盤子需要刷涂料的面積(6國+24V21)x2=240.6(cm2),

所以給50個這樣的盤子涂防水涂料約需涂料240.6x0.05x50?602(g).

故選:B.

6.已知向量由石滿足(五一2石)?(五+石)=3,且同=2,|瓦=1,則五與石的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.【答案】C

【解析】由(五一2萬),(五+1)=3,可得原+d,I—2G?I—2,=也一五?石—zB)=3

又悶=2,\b\=1

所以22-Gi一2x尸=3解得：a-b=-l

所以cos《a,b'f=—I

又0°WHW1800所以〈23)=120°

所以,與防勺夾角為120。.

故選：C.

7.在△48C中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,MbcosC=1a+ccosF,b=2,則△ABC的面積

的最大值為()

A.5B.JC.'D.3

4JOJ

7.【答案】D

【解析】因為bcosC=+ccosB,

由余弦定理可得b-號2=4+c?包鏟，

222222zz

所以爐+a-c=a+a+c—d,所以2/=a+2ct

又b=2,所以Q2+2C2=8,

又COSB=之了=a"c2-*+2cZ)=a

2QC'Zac4c

所以sinB=Jl-隹丫=層.

所以S/8C=|acsin/?=|acJ%丁=(16c2-a2)a2=(64-9a2)a2

3/12

=1-9（"⑤+昔,

所以當層=尊即0=錚時，取得最大值，且008小的="竽=*

y3bJJ

故選：D.

8.如圖,在四面體力BCD中,ABiBD,BC1AC,BC=CD=y/5,BD=2,M為棱4）的中點，且CM_L/W,則

二面角力-BD-C的余弦值為（）

A.B.|

8.【答案】D

【解析】因為點M為4D的中點，且CM14D,所以4C=C0=遙,

又因為BCJ.4C,BC=巡，可得48=國,

取BD的中點N,連接MMCN,如圖所示，則MN〃4B,且CN18D,

因為力818。，所以MN180,49=g,所以“NM為二面角力一80—C的平面角，CM=挈

在△CMN中，CN=2,MN=挈CM=冬

由余弦定理得cos/CNM="黑嚴=手,

所以二面角4-BD-C的余弦值為手.

4

故選：D.

4/12

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.我國載人航天技術飛速發展，神舟十四號于2022年6月4日發射成功.某學校舉行了一次航天知識競賽活

動，有100名學生參加學校決賽，把他們的成績（均為整數）分成六組得到如下頻率分布直方圖.則下面

結論正確的是（）

A.直方圖中m的值為0.010

B.在參加學校決賽的100名學生中，成績落在區間［60,80）內的有60人

C.如果規定90分以上學生為一等獎，估計有15%的學生獲得一等獎

D.根據此頻率分布直方圖可計算出這100名學生成績的上匹分位數為80分

9.【答案】ABD

【解析】對于A,由頻率分布直方圖可得（0.005+M+0.03+0.03+0.015+m）x10=1,

解得m=0.01,故A正確；

對于B,成績在［60,80）內的人數為2x0.3x100=60人，B正確：

對于C,90分以上的頻率為0.01x10=0.1,故估計有10%的學生獲一等獎，故C錯誤；

對于D,上四分位數即為第75百分位數，

而前3組的頻率之和為（0.005+0.01+0.03）xl0=0.45,

前4組的頻率之和為（0.005+0.01+0.03+0.3）x10=0.75,

故100名學生成績的上四分位數為80分，

故選：ABD.

10.已知向量五=（一2,1）,加二（11），則下列說法正確的是（）

A.若可萬，則￡的值為2

B.當￡=2時,求五與石夾角為90。

C.若B在五方向上的投影向量的模為Z，則t=7或t=-3

D.若G與B夾角為鈍角，則t的取值范圍是t<2

5/12

10.【答案】BC

【解析】對于A,向量,二（一2,1）,b=（l,t）.@.a//6,所以一21二1,貝=故A錯誤;

對于B,t=2時，b=（1,2）.則心加=-2+2=0,所以益與B的夾角為90。，故B正確；

對于C,由已知仿在G方向上的投影向量的模為|胃|=與詈=瓜

所以|一2+4=5,解得t=7或亡=-3,故C正確；

對于D,若五與B夾角為鈍角，則,i=—2+tV0且五與刃不共線，

所以tV2且《工一發故D錯誤.

故選：BC.

11.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=y/2,BA1BC,PA=PB=PC=2,。為AC的中點，點M是棱8c

上的中點，則（）

A.PC與平面所成的角為3

B.異面直線48與戶M所成角的正弦值為,

C.二面角PiB-C的余弦值為奪

D.點C到平面PA8的距離為罕

11.【答案】ACD

【解析】在三棱錐P-/BC中，^AB=BC=y/2,BAlBC,。為4C的中點，得AC=2。4=2,

由=PB=PC=2,得點P在平面4BC上的射影到△ABC三頂點的距離相等，

即點P在平面力BC上的射影為點。，因此P。1平面4BC,

對于A,"CA是PC與平面ABC所成的角，而△「相為正三角形，貝比PCA=*A正確；

對于B,由點M是8c的中點，得0M〃A8,則4PM。是異面直線與尸M所成的角，

而PM=[22—（當）2=渺0=百,POA.OM,則sin/PMO=^=冷B錯誤；

6/12

對于C,取AB中點N,連接OMPN,則ON〃BC,ON±AB,PN1AB,

4PN。是二面角P-AB-C的平面角,

對于D,由選項C,得4B1平面PON,而ABu平面24B,則平面PON1平面P4B,

在平面PON內過點。作OQ1PN于Q,而平面PONA平面P4B=PN,

則。Q1■平面PA&。(?=甯=尊=得=亨，

V2

因此點C到平面P48的距離為20Q=第，D正確.

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.樣本數據5,11,6,8,14,6,1(),5,9,8的40%分位數.

12.【答案】7

【解析】樣本數據由小到大排序為：5,5,6,6,8,8,9,10,11,14,共10個，

又10x40%=4,則樣本數據的40%分位數為等=7.

故答案為：7.

13.已知復數z滿足(1—i)2z=2-4i,其中i為虛數單位，則復數z的共扼復數萬的虛部為

13.【答案】-1

【解析】由(l-i)2z=2—4i,

得z-T-X-2z+ib

傳2一(一)2__2i--2i2-

故萬=2-i,

則復數，的虛部為一1,

故答案為：一L

7/12

14.如圖，在正四棱臺力8。0—4避1%。1中，力出1=2,AB=6,若該四棱臺的體積為吟金則該四棱臺

的外接球表面積為.

14.【答案】等

【解析】已知41%=2,48=6,則上底面積S〔=4,下底面積S=36,體積竽h,

由棱臺體積公式得^=1/i(4+364-V4x36)=>5273=52萬=h=V3,

設外接球球心P到下底面中心0的距離為，則P到上底面中心01的距離為舊土x,

由正四棱臺的上下底面都是正方形可得。A=3vL。遇i二原,

設外接球半徑為R，則產=x2+(3V2)2=(V3±x)2+(V2)\

展開并化簡：x2+18=%2±273%+5=13=±2>/3x=^x=蔡(負值舍去)，

則辟=(磊)2+18=等

最終外接球表面積：4TTR2=4TT?筆=等，

JL4O

故答案為：警.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知發數z=(62+m-2)+(4—m2)i,meR,i是虛數單位.

(1)若復數z是純虛數，求m的值；

(2)當m=-1時，復數z是關于x的方程/+p%+q=0的一個根，求實數p,q的值.

15.(13分)

【解析】(1)由題可得，惻2+7九—2—0,且4一7M40,

8/12

由m2+m—2=0得m=1或m=—2,由4—m2。。，得m;±2,

故m=1.

(2)當爪=-1時，z=-2+3i,

代入關于%的方程%2+px+q=0,得(-2+3y+p(-2+3i)+q=0,

整理得，(-5-2p+q)+(3p-12)i=0,

因為為實數，所以｛弋[除寫口，

解得p=4,q=13,故實數p,q的值分別為4,13.

16.(15分)

已知向量蒼=(1,2),b=(2,-1),c=(m,2),meR.

⑴當伍+丹上(病一助時，求實數2的值;

(2)當M/Q+。時，求向量五與2的夾角的余弦值.

16.(15分)

【解析】(1)由題意可得方+b=(3,1),府-b=(A,2A)-(2,-1)=(A-2,22+1),

因為G+B)JL(歸一B),

所以3(a-2)+(2A+1)=0=>A=1.

(2)a+c=(1+m,4),

因為石〃(五+O,所以8+m+1=Onm=-9,

所以2=(-9,2),

所以cos^Q=湍=而森=一粵

即向量G與而勺夾角的余弦值為一晉.

17.(15分)

某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100

份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六組：[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

9/12

頻率/組距

(1)求頻率分布直方圖中a的值與樣本成績的平均數；

(2)在樣本答卷成績為［70,80),［80,90),［90,100］的三組市民中，用分層抽樣的方法抽取13人，則樣本

的答卷成績在［70,80)中的市民應抽取多少人？

(3)若落在［50,60)的平均成績是57,方差是2,落在［60,70)的平均成績為69,方差是5,求這兩組成績

的總平均數萬和總方差s2.

17.(15分)

【解析】(1)由頻率之和為1結合頻率分布直方圖，

可得10x(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得a=0.03,

樣本成績的平均數約為土=45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.

(2)由頻率分布直方圖知，樣本答卷成績在［70,80),［80,90),［90,100］的三組市民有100x10x

(0.03+0.025+0.01)=65(人)，

其中樣本答卷成績在［70,80)的市民人數為100x10x0.03=30,

用分層抽樣的方法應從答卷成績在［70,80)的市民中抽取13=6(人).

(3)由頻率分布直方圖知，成績在［50,60)的市民人數為100x0.1=10,

成績在［60,70)的市民人數為100X0.2=20,

所以總平均數)=若篝竺=65,

總方差52=描溫十(57-65)2］+藕［5+(69-65)2］=36.

18.(17分)

在△48。中，角4,8,。所對的邊分別為a,b,c,已知同acosC+\/3csinA=b+c.

⑴求角力的大小.

(2)若b=3,△力8c的面積為3VW,求△力8c的周長.

(3)若△48。為銳角三角形，求2cos8+cos。的取值范圍.

10/12

18.(17分)

【解析】(1)由題設及正弦邊角關系,知sia4cosc+VJsinCsinA=sinB+sinC,

又sinB=sin(n—A—C)=sin(4+C)=sin/lcosC+cos4sinC,

所以百sinCsinA=cos/sinC+sinC,乂sinC>0,

則V5sinA—coszl=2sin(A—^)=1,即sin(4—^)=

因為OvAVir,所以4一代(一9序)，所以人一合也即從=最

(2)由題設Sgsc=^bcsinA==3^3,則c=4,

所以Q=y/b2+c2—2bccosA=V9+16—12=>/13?

所以三角形周長為a+b+c=7+g；

(3)由(I)知8+C=§，則0=胃一8,而，得￡<Bv

所以2cosB+cosC=2cosB+cos(g-8)=|cos5+當sinB=V3sin(F+%

而］v8+X手故sin(B+9€&1),

則2cos8+cosC的范圍為砥，⑨.

19.(17分)

如圖1,在矩形中，AB=6,AD=3,將△BCD沿BD翻折至△8C］。，且4