高中數學必修一知識清單

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【集合與常用邏輯用語】

1、一般地，我們把研究對象統稱為元素，把i些元素組成的總為叫做集合。

2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。

3、如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作如果。不是集合A中的元素，就說。不屬于

集合A,記作。紀4。

4、數學中一些常用的數集及其記法

數學中一些常用的數集及其記法

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集（或自然數集），記作N：

全體正整數組成的集合稱為正整數集，記作N*或N+；

全體整數組成的集合稱為整數集，記作Z；

全體有理數組成的集合稱為有理數集，記作Q;

全體實數組成的集合稱為實數集，記為R。

5、把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法。

6、一般地，設A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征尸（x）的元素x所組成的集合表示為

{xw川尸（x）},這種表示集合的方法稱為描述法。

7、一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B

的子集，記作4q8（或讀作“A包含于B”（或“B包含A”）。

8、一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元

素，那么集合A與集合B相等，記作A=B。也就是說，若且b=4,則A=IK

9、一般地，我們把不含任何元索的集合叫做空集，記為0,并規定：空集是任何集合的子集，

10、如果集合4口8,但存在元素XW5,且x史力,就稱集合A是集合B的真子集，記作A5B（或B崔A）。

集合子集的個數

若一個集合的元素有〃個，①它的子集個數有2"個：②它的真子集個數有2〃-1個；③它的非空子

集個數有2"-1個；④它的非空真子集有2”-2個。

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11、一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作力U4(讀

作“A并B”)，即

4U8={x|x￡4MrG8}。

12、一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作力C1B(讀

作“A交B”)，即

13、一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。

對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱

為集合A的補集，記作，即CuA,即

CuA={x\xA}。

14、集合之間的基本關系

(1)任何一個集合是它本身的子集，即4［力：

(2)對于集合A,B,C,如果力qB,且那么力qC。

(3)A\}A—A；/U0=4;

(4)AC\A=A；^A0=0o

15、一般地，“若p,則夕”為真命題，是指由〃通過推理可以得出夕。這時，我們就說，由p可以推出夕，

記住夕=>夕，并且說，夕是夕的充分條件，夕是夕的必要條件.

16、將命題“若p,則夕”中的條件p和結論q互換，就得到一個新的命題“若g,則夕”，稱這個命題為原

命題的逆命題。

17、如果“若p,則q”和它的逆命題“若小則〃”均是真命題，印既有夕=外又有4=>.，就記作4<=>.，

此時〃既是q的充分條件，也是</的必要條件，我們說〃是的充分必要條件，簡稱為充要條件。顯然，

如果夕是4的充要條件，那么夕也是〃的充要條件。

18、短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示。含有全稱量詞的命題，叫做

全稱量詞命題。通常，將含有變量x的語句p(x),q(x),r(x),…表示，變量x的取值范雇用M表示，

那么全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立"可用符號簡記為Vx￡",pa)。

19、短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號F”表示。含有存在量詞的命題,

叫做存在量詞命題。存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立"可用符號簡記為女￡”,p3。

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20、一般來說，對含有一個量詞的全稱量詞命題進行否定，我們只需把“所有的”“任意一個”等全稱量詞，變

成“并非所有的”“并非任意一個“等短語即可。也就是說，假定全稱量詞命題為“Vx￡”,p(x)”，則它的否

定為“并非Vx也就是“小eM,p(x)不成立L通常,用表示“p(x)不成立”。

21、對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結論：

全稱量詞命題：VxcM,p(x),它的否定：3XG

也就是說，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題。

22、一般來說，對含有一個量詞的存在量詞命題進行否定，我們只需要把“存在一個”“至少有一個““有些“

等存在量詞，變成“不存在一個”“沒有一個”等短語即可。也就是說，假定存在量詞命題為

則它的否定為“不存在xw/W,使p(x)成立"，也就是“Vx￡A/,p(x)不成立”。

23、對含有一個量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結論：

存在量詞命題：入￡〃,〃(]),它的否定：Vx6Mr?*)

也就是說，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題。

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【一元二次函數、方程和不等式】

1、一般地，Pa,beR,有力+722",當且僅當。二b時，等號成立。

特別地，如果。>0,b>0,我們用〃、、份分別代替上式中的a,b,可得

疝q,

2

當且僅當。=力時，等號成立。我們把它稱為基本不等式。

其中空2叫做正數。，b的算術平均數，叫做正數。，方的幾何平均數。

2

2、基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

3、基本不等式的適用要求是公式中的4〉0,方>0,而且它們的和或者積為定值，最后是存在使得等號成

立的數值，我們把這三個特征簡稱為“一正二定三相等

4、基本不等式的推廣

如果。>(),/)>(),c〉()，a+b+cN3^,當且僅當時等號成立。

如果。>0,b>0,c>0,d>0,a+b+c+d>abed,當且僅當a=Z)=c=d時等號成立。

5、不等式有如下性質：

定理內容

性質1如果〃>力,那么力<〃：如果/?<〃，那么〃>/?<,即。

性質2如果。>b,b>c,那么〃>c。即。>人，b>cna>c。

性質3如果a>b,那么〃+c>b+c。

性質4如果。>b,c>0,那么。c>/?c；如果。>力，c<0,那么4c<bc。

性質5如果。>/>,c>d,那么a+c>/>+d。

性質6如果。>力>(),c>d>0,那么Qc>/>d。

性質7如果。>6>0,那么a">b"(nwN,nN2)<

6、一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，一元

二次不等式的一般形式是

爾+Ar+c〉()或ax2+/xr+c<0,

其中a,h,。均為常數，

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7、二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

A>0△=0A<0

LV

Jv=ax2+bx+c

（6t>0）的圖像

「

1LO\x^x2x

"01X

OX2++c=0有兩個不相等的實數根有兩個相等的實數根x，%

沒有實數根

X1,x(X]<x)，bx

（4Z>0）的根22(…=2/

ax2+bx+c>0（h,

{x\x<xe或￥>X?}{…②/R

">0）的解集

ax2+bx+c<0

{x|X1<x<x2}00

'：a>0）的解集

8、求解一元二次不等式，通常是先畫出^=62+/次+。的圖像，然后如果是求解》>0,實質上是求解圖

像在x軸上方部分的橫坐標的集合；如果求解y<0,實質上是求解圖像在x軸下方部分的橫坐標的集合。

通常我們可以用口訣來記憶，“大于找上方，小于找下方”。

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【函數的概念與性質】

1、一般地，設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數X,按照某種確定的對應關系/,

在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱/：/—3為從集合A到集合B的一個函數，記作

y=/（x）,x￡/.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做

函數值，函數值的集合｛/（x）|xw4｝叫做函數的值域。顯然，道域是集合B的子集。

2、設。，6是兩個實數，而且〃我們規定：

（1）滿足不等式力的實數x的集合叫做閉區間，表示為［〃，/＞］：

（2）滿足不等式4cx＜力的實數x的集合叫做開區間，表示為（。，by,

（3）滿足不等式。工工＜方或。的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為［。，切、（。，/7］：

這里的實數與都叫做相應區間的端點。

不等式數軸表示集合表示區間表示

-k——

a<x<b{x|t7<X<Z))[a,b]

abx

a<x<b------4?{x\a<x<b}（〃，b）

abx

a<x<b-1------>{x\a<x<b}[a，b]

abx

a<x<bu___{x\a<x<b}(a,b]

abx

3、實數集R可以用區間表示為（-8,+oo）,“8”讀作“無窮大”，在它前面加上符號，

“-8”讀作“負無窮大”，“+OO”讀作“正無窮大”。

我們可以把滿足工之。的實數x的集合，用區間分別表示為［〃,+8）表示，類似地，x＜h,x＜b

可以分別用（。，+8）,（YO,h］,（-00,b）來表示。

4、由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。因為值域是由定義域和對應關

系決定的，所以，如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也

相同，那么這兩個函數是同?個函數。常見的同?函數有：

①y—V?和y=x：②y—V?和y=|x|。

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5、一般地，設函數/(x)的定義域為/,區間Dq/：

如果V$,^ED,當西＜小時，都有/(X)＜/(々)，那么就稱函數/(x)在區間D上單調遞增。特

別地，當函數/(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數。

如果V%,X2GD,當苞＜當時，都有/(苞)〉/(馬)，那么就稱函數/a)在區間D上單調遞減。特

別地，當函數/(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數。

6、一般地，設函數/*)的定義域為/,如果存在實數M滿足：

(1)VXG/,都有/(x)WM；(2)Hx0e/,使得/UM。

那么，我們稱M是函數y=/(x)的最大值。

7、一般地，設函數/(X)的定義域為/,如果都有一X￡/,且/(-X)=/'(X),那么函數/'(X)就

叫做偶函數。

8、一般地，設函數/(x)的定義域為/,如果Vxe/,都有-XE/,Hf(-x)=-f\x),那么函數/(x)就

叫做奇函數。

奇函數偶函數

1(a.f(a))

(~a,f(_a))^_1_L^a'f⑸)

,廠一

圖像

a

“。'-ao|ax

(-a,f(-a))|

對稱性關于原點對稱關于y軸對稱

若定義域有0,則/(0)-0；若定義域有o,則/(0)是極大值或極小值：

性質

/(x)+/(r)=0f(x)=f(-x)

如果在(一8,0)單調遞增，則在(一8,+8)

在定義域內不可能是單調函數

增減性上遞增：同理，在(-00,0)單調遞減，則在(F,

+oc)上遞減。

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9、在定義域允許的情況下,

當/(X)，g(x)都是偶函數,則/(x)g(x)是偶函數;

當/(X)，g(x)都是奇函數,則/(x)g(x)是偶函數：

當/(X)是奇函數，g(x)是偶函數，則/(x)g(x)是奇函數。

10,一般地，函數y=叫做常函數，共中X是自變量，a是常數V對于存函數，我們只研究a=1,2,

3,1,一1時的圖像與性質。

2

2

y=x2y=x3-1

y=x2y=x

kI

Jk

圖像V

十(0?I5

定義域RRR[0,4-CO)(,0)U<0,+00)

值域R[0,4-co)R[0,+co)(Y,0)u(0,4-00)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-oo,0)減(-co,0)減

單調性增增增

(0,+00)增(0,+8)減

11、幕函數的相關結論：

(1)函數y=x,y=x2,y=x\y=/和>=工-1的圖形都經過點(],i)；

(2)函數y=x,y=y=%7是奇函數，函數y=Y是偶函數；

(3)在區間(0,+8)上，函數y=x,j；=x2,y=y=x5單調遞增，函數>二工7單調遞減;

(4)在第一象限內，函數y='T的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近。

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【指數函數與對數函數】

1、一般地，如果x"=q,那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃￡N”。

2、負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是0,記作而=00

3、式子板叫做根式，這里〃叫做根指數，。叫做被開方數，根據〃次方根的意義，可得（a）"二々。

4、當〃為奇數時，叱=a；當〃為偶數時，^=\a\=\o

-a,a<0

5、我們規定，正數的正分數指數累的意義是（。>0,〃?，〃￡N*,/?>1）.正數的負分數指

m1_1

數鼎的意義是。：二a>0,m〃wN"，/?>1)o

6、0的正分數指數塞等于0,0的負分數指數嘉沒有意義。

7、對于任意實數尸、S,均有下面的運算性質:

(1)das=a's(rz>0,r,scR)

(2)(〃')'="'(4〉0,尸，s￡R)

(3)(abY=arbr(a>0,b>0,reR)

8、一般地，函數y（。>0,且。wl）叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R。

9、指數函數的圖象和性質

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10、一般地，如果a'=N(。>0,且。工1),那么數X叫做以。為底N的對數，記作x=log：,N,其中。

叫做對數的底數，N叫做真數。

11、通常，我們將以10為底的對數叫做常用對數，并把logioN記為IgN。以無理數c=2.71828…為底的

對數稱為自然對數，并把log,,N記為InN。

12、根據對數的定義，可以得到對數和指數間的關系：

當。>0,且。=1時，a'=Nox=log“No

13、負數和0沒有對數；log"=0,log/=l。

14、對數運算性質：如果。>0,且awl,M>0,N>0,那么

(1)\oga(MN)=logaM+logflN；

M

⑵l°g“=l°gaM-l°g。N

n

(3)log(,M=//log(/M(77G/?)

15、對數換底公式：log'=3殳2(。>0,且owl：/>>0；c>0,且cwl)

log,"

16、一般地，函數y=k)g,x(。>0,且4W1)叫做對數函數，其中指數X是自變量，定義域是(0,+8)。

17、對數函數的圖象和性質

18、一般地,awl)互為反函數,

它們的定義域和值域互換。

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19、對于一般函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。這樣，函數y=f(x)

的零點就是方程/(x)=0的實數解，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標。所以，

方程/(x)=。有實數解

Q函數y=/(x)有零點

o函數的圖像與x軸有公共點

20、函數零點存在定理一般地，如果函數y=/(x)在區間［〃，6］上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有

<0,那么，函數y=/(外在區間(。)內至少有一個零點，即存在cw(。，6),使得J\c)=0,

這個c也就是方程/(X)=0的解。

21、對于在區間［4,切上圖象連續不斷且/(。)/3)<0的函數y=/(x),通過不斷地把它的零點所在區

間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，講而得到零點近似值的方法叫做二分法。

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【三角函數】

1、我們規定，?條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負

角，如果一條射線沒有做任何旋轉，就稱它形成了一個零角。這樣我們就把角的概念推廣到了任意角。

2、一般地，我們有：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合

S={郵=a+A360。，AEZ}

即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和。

3、我們規定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度。

根據這個規定，在半徑為廠的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角為Qrad,那么

r

4、一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0。

5、扇形的公式：

(1)l=aR；(2)S=-aR\(3)S=-IK.

22

其中R是圓的半徑，a為圓心角，/是扇形的弧長，S是扇形的面積。

6、一般地，任意給定一個角aER,它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y,

都是唯一確定的。所以，點P的橫坐標X、縱坐標y都是角a的函數。

7、設a是一個任意角，awR,它的終邊0P與單位圓相交于點P(x,y),

我們把點P的縱坐標y叫做a的正弦函數，記作sina,即)，=sina；

把點P的橫坐標x叫做a的余弦函數，記作cosa,即1=(：051：

把點P的縱坐標與橫坐標的比值』叫做a的正切，記作tana,即上=tana(xH0)；

xx

可以看出，當a=%+女］￡Z)時，a的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0,所以、=tana無

2x

意義。除此之外，對于確定的角a,2的值也是唯一確定的。所以2=tana(xwO)也是以角為自變量，

xx

以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數值的函數，稱為正切函數。

8、由三角函數的定義，終邊相同的角的同一三角函數的值相等，

9、同一個角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切。

即sin2x+cos2x=1?

sinx/兀i、

=tan。。

cosx

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10、誘導公式一?六

公式一公式二公式三

sin(a+h2〃)=sinasin(^+a)=-sinasin(-a)=-sir.a

cos(a+k?2^)=cosacos(〃+a)=-cosacos(-a)=cosa

tan(a+k?2〃)=tanatan(^+cr)=tanatana=-tana

公式四

公式五公式六

sin(〃-a)二sina

sin(y-a)=cosasin(y+cr)=cosa

cos(萬一a)=-cosa

,JI、.7t、,

cos(y-a)=sinacosz(y+a)=-sina

tan(^-a)=-tana

11-三角函數的圖象與性質

函數y=s\nxy-cosxy=tanx

[12

y

1

1

圖象<?號2：、萬2,丁

Z..9..少i

R.L.^kiZ工-1

定義域RR{x\x^—+k/r,kGZ}

值域[-U][-U]R

單zJ7t.7T..r

增區間\lk7l-—,2k^^—],kGZ[2k兀一）7,2k兀],keZ\K7T——,K71+-GZ

22

調

減區間[2^+^,2to+y]^eZ[2〃萬,2〃江+乃],左eZ無

性

奇偶性奇函數偶函數奇函數

對對稱軸X-=k/u+^keZx=k兀,keZ無

稱

對稱中7Tkrr

(k/r,O),kGZ(k兀+5,o)X$z(0),AeZ

性心乙

最小正周期2萬27171

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12、和（差）角公式

cos(a+/?)=cosacos-sinasinpcos(a-P)=cosacos/?+sinasinp

sin(a+0)=sinacos/?+cosasin0sin(a-/?)=sinacos/?-cosasinp

/c、tana+tan?tan?-tan/?

tan(a+ft)=---------------tan(a—尸)=

1-tanatanft1+tancrtanp

13、倍角公式

sin2a=2sinacosacos2?=cos2?-sin2a=2cos2a-\=1-2sin2a

r2tana

tan2a=-------；-

l-tan-a

14、簡單的三角恒等變換

用C