同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式-高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專練（新高考地區(qū)專用）解析版

專題4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式.重難點(diǎn)題型精練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.(5分)(2021秋?包頭期末)若lana=3,則sin%-sinacosa=()

36

A.~B.-CD

55-~l-

【解題思路】直接利用同角三帶函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出三角函數(shù)的值.

【解答過程】解：由于tana=3,

2O

sina-sinacosatana-tana

所以sin2a-sinacosa=9-33

sin2ai-cos2al+tan2a=l+9=5,

故選：A.

2.（5分）（2022春?漢中期中）已知X6R,則下列等式恒成立的是（）

A.sin(-x)=-siiixB.sin(n+x)=sin.v

C.tan(-x)=taiu-D.cos(ir+x)=cosx

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式逐一判斷即可.

【解答過程】解：A.sin(-x)=-sirtr,故正確;

B.sin(TT+X)=-sinx,故錯(cuò)誤;

C.tan(-x)=-tan.r,故錯(cuò)誤;

D.cos(ir+x)=-cosx,故錯(cuò)誤.

故選：A.

3.（5分）（2022春?南陽期末）化簡，2-2$出20。一，1+（:。520。的結(jié)果是（）

A.V2cosl0°B.-V2cosl00C.V2sinl00D.-V2sinl0°

【解題思路】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式化簡即可求解.

［解答過程］解：V2-2sin200-yflTcos^=y/2(sin2100+cos2100-2sinl00cosl00)-

\/2cos210o=2(cosl0a-sinlO°)2-V2cos210°=V2(coslO°sinlO)-V2cos10°

-V2sinl0°.

故選：D.

（5分）（2022春?阜陽期末）已知cos"若8是第二象限角,則lan（TT+0）的值為（）

4.XD

512C.-金_12

A.—B.—D.

125

【解題思路】由題意求出sine,又tans+。）=tan?=溺,再將sinB,cos0的值代入即可得出答案.

【解答過程】解：???。是第二象限角，又cose=—1|,

XO

/.sinO=V1-cos23=A,

：,tan(n+0)=tan0=^=-^.

故選：C.

（5分）（2022春?榕城區(qū)校級(jí)月考）如果sina二/，那么sin（7T+a）-cosg-a）等于（）

、2、泛B.-|22^2

A.--C.一D.——

33

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式即可化簡求解.

【解答過程】解：因?yàn)閟ina=《,

?3

7T2

所以sin(7T+a)—cos(2—a)=—sina-sina=-2sina=一可.

故選：B.

2sin0-cos01cos6{l-2sin20')

6.（5分）（2022春?浙江月考）弋訴面=1則)

sinO+cosO

43

7B.——D.——

2525

【解題思路】由題意，利用同用三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得⑶］。的值，可得要求式子的值.

4

2sin0-cosG12tanO-ln0-

【解答過程】解:=3

sinG+2cos02tand+2ta

則cos6(l-2sin2，)_1Zsin'S_'2?tan26+i_

sinO-^-cosOtan0+ltanO+1tanO+1

l-taM。__________if3

；tan0+l)-(tan20+l)(^+l)(y+l)-25’

故選：C.

(5分)(2022春?沈陽期中)已知a=t即(一誓)，b=cos,c=sin(-^^),則a,b,。的大小

7.

關(guān)系是()

A.b>c>aB.a>h>cC.b>a>cD.a>c>h

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式即可求解.

【解答過程】解：a=tan(—=—tan(TT+Q=-tan—=—

,237r/o汗、71

b=cos—=cos(8n-=cos-=-

3332

71

,,33兀、.zo,7i..?

c=sin(—T—)=—sin(8n+-r)=-sin-=——，

'4'442

所以c<a<b.

故選：C.

8.（5分）（2022春?榆陽區(qū)校級(jí)期中）已知角0的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直

2sin（—+0）+5COS（57T-0）

線以+3尸0上，則叫一s皿/）)

A.3BTC.-3D.-4

A2sin（^-+0'）+5cos（57t-0'）

【解題思路】通過題目所給條件求出然后通過誘導(dǎo)公式對s靛.。）*5=.進(jìn)行化

荷，最后弦化切得到答案.

【解答過程】解：由已知可得，1an8=-g

2sin(-+0)+5cos(5TT-9)-2cos3-5cosG-7

又因?yàn)閟i九號(hào)一8)-sin(7T-e)=cosO-sinG

1-tand

故選：C.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2021秋?德州期末）已知百5譏5+6）=5）（空羅一。），8€（0,271）,則8可能等于（）

【解題思路】由題意，利用誘導(dǎo)公式，求得tanB,可得8的值.

【解答過程】解：...gs比5+e）=s?（生尹一6）,0G（0,2n）,

/.—V3sin0—cosG?即tan0二一'^，0-或0=-

30O

故選：BD.

10.（5分）（2022春?贛州期末）己知sina+cosa=1，aE（0,TT）,則下列選項(xiàng)中正確的有（

4

-

A.s^-cosa=1B.tana3

3

-24

C.cosa=5D.sin2a=

25

【解題思路】由已知結(jié)合同角平方關(guān)系分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答過程】解：因?yàn)閟ina+sosa=卷，ae(0,TT),

兩邊平方得l+2sinacosa=與，

所以2sinacosa=一票<0,

乙KJ

所以sina>0,cosa<0>

所以sina-cosa=yj(sina+cosa)2—4sinacosa=J*+舞=(，A正確:

34

--

所以sina=F，cosa=53sin2a=2sinacosa=-百，8錯(cuò)誤，C1E確，。.正確.

故選：ACD.

（5分）（2。21秋?廣東期末）已知鬻鬻=3,小。4則（）

sina-cosa=-f

B.

.443

C.sina-cosa=耳

l-2sinacosa1

D.

sin2a-cos2a3

【解題思路】根據(jù)已知利用三弟函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐項(xiàng)化簡求值即可得解.

■,一“—,sina+cosatana+1

【解答過程」解：因?yàn)橘鳩=R=3

所以tana=2,故A正確,

因?yàn)閠ana=^=2>0,

所以sina>0,cosa>0,

sincx+cosa

由—：--------=3>0,可得sina-cosa>0,故B錯(cuò)誤,

sina-cosa

-n.447-22\-22\.22sm2a—cos2atan2a—A4—13

因?yàn)閟ina-cosa=(sura-cosa)(sina+cosa)=snra-cosa=^-5------丁—--------=-T-T7T=

sin6a+cos^atanza+l4+15

故C正確,

l-2sinacosa(sina-cosaYsina-cosatana-12-11

因?yàn)橐唬省Ｕ_.

sin2a-cos2a(sina-cosa')(sina+cosa')sina+cosatana+12+13

故選：ACD.

12.（5分）（2021秋?大同期末）下列計(jì)算或化簡結(jié)果正確的是（)

2tanacosa

A.：-----=2

sina

B.若sina-cosa=Altana+=2

12sina

C.右ta71a=5,則-------：—=1

乙cosa-sina

cosasina

D.若a為第一象限角，則Vl+cos2a+>Jl-cos2a

【解題思路】A,由sina=cosa*（ana,可得解;

22

B,先利用tana=^^進(jìn)行化簡，再由sina+cosa=1進(jìn)行求值，即可;

C,根據(jù)“同除余弦可化切”的思想，得解;

D,先利用二倍角公式對分母進(jìn)行化簡，再去根號(hào)后,即可得解.

2tanacosa2sina

【解答過程】解：選項(xiàng)人——:------=——=2即A正確:

sinasina

.cosasina,cosasinza+cos2a1

選項(xiàng)B,=2,即B正確;

ta"痂=界+sina-sinacosa-1

2

2sina2tana三I=2,即C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C,

cosa-sina1-tanaT-2

cosasinacosasina1cosasina、「”—

選項(xiàng)\fl+cos2a+Vl-cos2a72cos2a+\/2sin2a=-7=(----+-：-)=\[2>即。正確.

v2cosasina

故選：AUD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

n73

13.（5分）（2022?麗水開學(xué)）已知siziacosa=1,—<a<7r,則cosa-sina

3

【解題思路】由已知sinacosa=J>0,—<a<n,可知‘TCVa＜皆可得cosa-sinaV0,進(jìn)而利用平方

333

差公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

n

［解答過程］解：因?yàn)閟Eacosa=g>0,-<a<n,

3

可知g<a<^

所以cosa-sinaV0,

所以(cosa-sina)2=1-2sinacosa=1-2x5=5*

所以cosa-sina=--

3?

故答案為:~

o_stn(7r-a)-5sin(^-a)

，4-(5分)(2022春?東陽市校級(jí)月考)已知sin(a-3n)=2sin(-a+個(gè)，求示行eK

7

4--

【解題思路】由題意，利用同用三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果.

【解答過程】解:Lsin(a-3兀)=2sin(—a+岑),即?sina=-2cosa,tana=2,

sin(7r-a)-5sin(^-a)sina+5cosatana+57

2cos(2zr-a)-sin(-a)2cosa+sina2+tana4'

7

故答案為：-

4

15.(5分)(2022春?大名縣校級(jí)月考)已知sE(a-/?)cos6+cos(a-0)sE/?=Y，a為第三象限角,

sin(7t-a)+5cos(2n-a)23

則c.,3兀■~~

2sin(---a)-sm(-a)

【解題思路】利用正弦的和角公式化簡得出sina的值，由此即可得出cosa,lana的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式

以及弦化切化簡所求的關(guān)系式，最后代入lana的值，即可求解.

【解答過程】解：因?yàn)閟in(a-/?)cos0+cos(a-=-亮,

3

-

所以sin[(a-P)+B]=sina=s又因?yàn)閍為第三象限角,

3

4所以

所以cosa=-=

taila4*

則si?i(7r-a)+5cos(27r-a)sina+Scosa

2sin(^-a)-sin(-a)-2cosa+sina

4

tQ?ia+5_、+5_23

-2+tana~-2+1~5

故答案為:

7T

si7i(7r-2a)+si?i(a+5)_i3cos2a-l

16.(5分)(2022春?昌江區(qū)校級(jí)期中)已知sina

l-cos2a-cos(20^17r+a)2'2sin2a+l

2

【解題思路】由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式化簡即可求解.

sin(n-2a)+sin(a+^)isin2a+cosa

【解答過程】解：因?yàn)閟inaH-。

1-cas2a-cos(-22--17r+a)2l-cos2a-(-si.na)—

2sinacosa+cosacosa(2sina+l)1

2sin2a+sinasinafJZsina+l')tana,

所以tana=2,

,,3cos2a-l3cos2a-sin2a-cos2a2-tan2a2-222

則---------=----------------------=----------=--------=--.

2sin2a+l2sin2a+sin2a+cos2a3tan2a+l3x22+l13

故答案為：-言

JLO

四.解答題(共6小題，滿分70分)

7

17.(10分)(2021秋?仁懷市校級(jí)月考)已知失(0,n),且sinO+cosg務(wù)求下列各式的值:

(I)sin0cos0；

(II)sin9-cos0；

(III)tanO.

【解題思路】利用正余弦以及切的同角關(guān)系化簡即可求解.

【解答過程】解：（I）因?yàn)?（0,n）,且sin8+cosB=^

c4Q40

所以(sin9+cosG)2=即l+2sin6cos8=

則sinOcosO=%1=-

(II)由(I)可知sinOcosOVO,所以66(一,n),

2

則sin0>0.cos。V0,所以sin。-cos0>O.

則sin0-cos6=yJ(sinO-cosO)2=V1-2sin0cosO=Jl—2x(―^^)=,,

17

,sin0-cos07^17tan6-li?

()由一^------=普=—=---,解得tan。二一冷

sinO+cosO—7tanO+15

13

q7T

18.（12分）（2022春?昌平區(qū)校級(jí)期中）已知sina=B，且c￡（―,n）.

(1)求tana的值;

?cos2a一

（2）求石而幣的值.

【解題思路】（1）由sina的值及a的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosa的值，即可確定出

（ana的值；

（2）原式分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，分母利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，約分后將各

自的值代入計(jì)算即可求出值.

qTI

【解答過程】解：（1）Vsina=且aW（-,IT）,

12

/.cosa=-V1-sinza=

sizia5

則tana=

cosa-12;

12

(2)Vsina=cosa=

13,

［中t、_cos2a-sin2a_(cos』+sina)(cosa—sina)125_17

=cosa-sina==

=觀島ma+%osa)=cosa+si*13-13~13,

19.（12分）（2022春?上杭縣校級(jí)月考）已知cosa=q，且-?VaV0,求下列各式的值.

sina+2cosa

(2)亡。71(一7r卜sin(27i+a)

cos(-a)tana

【解題思路】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

（2）利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

【解答過程】解:(1)因?yàn)閏osa=電，且一*VaVO,

所以sina=-----則tana=-2,

D

,sina+2cosatana+2

所以「--------=--------=0；

3sina+cosa3tana+l

（2）原式=嘿器鬻=一團(tuán)。=2.

Vl—2cos70°cos20°

20.(12分)(2022春?武進(jìn)區(qū)校級(jí)月考)(1)化簡：,“。/.2嬴:

sml600-Vl:-sm220o

-2T-?t2sinx-cosx

(2)向量a=(si〃x,亍)，b=(cosx,-1),當(dāng)allb時(shí)，求一：---------的值.

/4si?ix+3cosx

【解題思路】（1）結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，化簡即可;

（2）由3II4同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，推出再根據(jù)"同除余弦可化切”的思想，運(yùn)算得

解.

.,—、?…Vl-2cos70°cos20°Vl-2sin200cos20°

【解口過程】解：(I)5勿160°-〃3九220。=siTi200-cos20。

2

_J(sin200-cos200)_|si?i20°-cos20°|_一(si7i2()o-cos20。)__

sin20o—cos20°sin200—cos200—sin200—cos200

(2)因?yàn)閍||匕，所以-sinr—￡osx=0,即tanx=^^=—,

4C(z4

3

”,2sinx-cosx2tanx-l2x(-z)-14

所以------------=---------=------1-------=-

4sinx+3cosx4tanx+34x(--)+33

21.(12分)(2021秋?青山區(qū)期末)已知a、肥(0,-)且sin0=cos(a+p)*sina.

2

⑴求證歸號(hào)？

（2）求lanp的最大值.

【解題思路】（1）由條件利用兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，證得要證的等式成立.

（2）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡ta邪的解析式，再利用基本不等式求得ta邛的

最大值.

【解答過程】解：（1）由于a、pe（0,-）且sin0=cos（a+p）*sina,

2

sinp=cosacospsina-sinasin3sina,即(anp=sinacosa-sir~atanp,

sinacosa即找呻=建先成立?

解得tan|3=■~-

l+sina2+2