中考數學-旋轉綜合問題（9種題型12重難點突破）學生版

旋轉綜合問題(9種題型12重難點突破)

無刻度直尺作圖-網格作圖

無刻度直尺作圖-非網格作圖

至難點一點在等邊三角形內

遇60狗造等邊三角形

更難點二點在等邊三角形外

更難點一點在等腰三角形內

遇90?構造等腰直角三角形重難點二點在等腰三角形外

旋里難點三點在等腰三角形邊上

?___________________________

轉

綜調a?構造手拉手模型

合

費馬點模型

問

題重難點一旋轉30,

重難點二旋轉45,

重難點三旋轉60,

坐標系中的旋轉問題里睢點四旋轉90,

重難點五旋轉120?

里難點六旋轉135?

里難點七旋轉150°

旋轉與多解問題

旋轉與最值問題

■?■?????????■?????????■?■?■?????■?■?■?■??????■???■?????■???????■???■???■?????■?■?■?■

題型1無刻度直尺作圖一網格作圖

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)如圖是由邊長為1的小正方形構成的網格，每個小正方形的頂點叫做

格點，切BCD的頂點都在格點上.僅用無刻度的直尺在給定網格中作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結果

用實線表示，按步驟完成下列作圖：

(1)在左圖中：將線段繞點力逆時針旋轉90°,作出對應線段4項過點￡作一條直線把切6CD分成面枳

相等的兩部分；

(2)在右圖中：作格點只使得BPJ.CD,垂足為極過點"作線段MN,使得MN〃BC,nMN=BC.

第1頁共22頁

2.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖是由小正方形組成的8x6網格，每個小正方形的頂點叫做格點.正方

形4BCD四個頂點都是格點，E是Ml：的格點，將線段力E繞點力順時針旋轉90°后得到線段AF.

FBC

（1）連接￡尸，請判斷A/IEF的形狀，并說明理由；

（2）請在線段8c上作一點G,并連接AG,使得4/G=45°（要求：僅用無刻度的直尺作圖，不寫作

法）.

3.（23-24九年級上?湖北武漢?期中）如圖，在11x6長方形的網格中，每個小正方形邊長都為1個單

位長度，我們把每個小止方形的頂點稱為格點，兒。均為格點.請你用一把無刻度直尺完成作圖，保

留作圖痕跡.

（1）以C為旋轉中心，將線段AC逆時針旋轉90°至線段CD,連接AD；

（2）作CE1/1D于E；

（3）將48s繞。點順時針旋轉至△BCA,旋轉角度等于NB47.

4.（2025?湖北武漢-模擬預測）如圖是由小正方形組成的7x4網格，每個小正方形的頂點叫做格

點.平行四邊形力BCD四個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務

的畫線不得超過三條.

（1）在圖（1）中，點E是邊上一點，在線段￡7）上畫一點F,使得。尸=4%

⑵在（1）的基礎上，將BE平移到CG,畫出線段CG.

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(3)在圖(2)中，平行四邊形對角線的交點為。，在40上畫一點H,使得HB=HD,連接84；

(4)在(3)的基礎上，將BH繞著。點順時針旋轉4H8的度數得到線段MN,點M與點B對應，點N與點H

對應，畫出線段MN.

題型2無刻度直尺作圖一非網格作圖

MM■???一?■?■?■■?■?■?????■???■?????■?■?■?■■?■■?■?■?■■?■■?■?■■?■■?■?■?■?■■?■■?■■?■?■?????■???■?■?■?■■?■?■?■?■■?一?■?■?■■?■?■?■???一???■??■?■????■?■■?■■?■■?■?■?■?■?■???一???■?，

5.（2025?陜西咸陽?三模）如圖，在正六邊形48C0EF中，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖

（保留作圖痕跡）.

圖1

(1)如圖1,連接AD,將AD繞點A逆時針旋轉60°,得到4G.

(2)如圖2,P是EF的中點,將4P繞點A順時針旋轉60°,得到4".

6.(23-24九年級上?江西撫州?階段練習)在正方形48C0中，E為AB的中點.用無刻度直尺作圖，保

留作圖痕跡；

(1)在圖1中將△力8。繞點。逆時針旋轉90,；

(2)在圖2中在正方形力內作以E為頂點的正方形.

7.(22-23九年級上?湖北武漢?期中)已知正方形力BCD,點/是C8的中點，請僅用無刻度直尺按下列

要求作圖(保留作圖痕跡)，

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，畫出正方形/BCD的中心。將線段力打繞正方形48co中心旋轉180°；

(2)在圖②中，將直線4c繞著正方形4BCD的中心順時針旋轉45°；

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(3)在圖③中，點尸為正方形/BCD邊BC上任意一點，作少關于"的對稱點"

題型3遇60。構造等邊三角形

模型。旋轉60°構造雙等邊~

條件。已知等邊△ABCQ

解題策略P旋轉一邊得到等邊三角形，構造“手拉手模型”證明全等，結合勾股定理，得到結選」

圖形―AE,

絲

,\與8

BC-DC。

結論~△ADE為等邊三角形，△ABDSAACE/

—?■?,?一???一???■?■???■?■?■?一?■?■?■■????一?■?■■?一??■??

重難點一點在等邊三角形內

8.(24-25九年級上?內蒙古赤峰?期中)如圖,

圖1圖2

(1)如圖1,等邊AABC內有一點只若點戶到頂點兒B,C的距離分別為3,4,5,則4PB=

(2)請你利用笫(1)題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖2,△ABC中，ZCAB=90°,AB=

AC,E、/為回上的點且NEAF=45°,求證：EF2=BE2+FC2.

9.(黑龍江省牡丹江市2024~2025學年上學期九年級期中考試數學試卷)如圖1,在等邊AABC內有?點

P,且P/l=8,PB=15,PC=17,求4P8的度數.小偉是這樣思考的：如圖2,利用旋轉和全等的知

識構造△<P'C,連接PP',得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決；參考小偉同學思考問題的方法,

解決下列問題.

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⑴求出Z4PB的度數：

⑵如圖1,在等邊△A8C內有一點R若24=6,PB=6&,PC=6,則4P8=

（3）如圖3,在正方形48。。內有一點凡且戶力=2或，PB=2,PD=275,則4P8=_____.

重難點二點在等邊三角形外

10.（24-25九年級上?廣東揭任?階段練習）【問題呈現】（1）如圖①，在凸四邊形4BCD中，/Z4=

DB,480=60°,連接力C,ZDCB=30°,某數學小組在進行探究時發現CD?、和C/P之間存在

一定的數量關系；

小明同學給出了如下解決思路：

以CO為邊作等邊△CDE,連接8E,則易證△{0C@△BOE,且/EC8=90°,此時8E=HC,CE=

CD,進而推導出CO?、和C力2之間的數量關系.根據小明同學思路推出其數量關系并證明；

【類比探究】（2）如圖②，在凸四邊形48CD中，AD=BD,AD1BD,ZBCD=45",連接4C,（1）

中的結論是否改變？若不改變，請說明理由；若改變，請寫出新的數量關系并證明；

【實際應用】（3）工程師王師傅在電腦上設計了一個凸四邊形4BCD零件（CD>/D）,如圖③所示.其

中<8=4厘米，力。=5厘米，DELAB,垂足是E,且E是的中點，且4DE=Z0CB,連接

BD,AC.在嘗試畫圖的過程中，王師傅發現。屏，C”和。爐之間存在一定的數量關系，請你幫王師傅直

接寫出和C屋之間的數量關系.（不寫證明過程）

E■

圖①圖②圖③

11.（23-24七年級下?廣東佛山-期中）閱讀下面材料，并解決問題：

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（1）如圖①，等邊△ABC內有一點R若點尸到頂點/、B、。的距離分別為1,V2,V3,求44P8的度

為了解決本題，我們可以以AP為一邊在4P右側做等邊三角形力尸P',連接CP',此時可證△力CP'￡△

ABP,這樣就可以將三條線段尸小PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出4PB=；

（2）基本運用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題.

已知，如圖②，點"為等邊△4RC外一點,ZAPC=30°,RP=A，AP=3,求人;長.

（3）能力提升

如圖③，在Rt△力BC中，ZACB=90°,BC=2,NBAC=30°,點〃是AC上一點，線段BD繞點〃順

時針旋轉60°,點6的對應點為點區當△A8E為直角三角形時，求△A8E面積.

題型4遇90°構造等腰直角三角形

0。的嫉

模型旋轉90°構造雙等腰直角三角形

條件已知等腰Rt2kABC中，AB=AC,ZBAC=90°

解題策略-旋轉一邊得到等腰直角三角形，構造“手拉手模型”證明全等，結合勾股定理，得到結迄-

圖形AE\

!V

、\4B

DC

結論△ADE為等腰直角三角形，&ABD四^ACE

重難點一點在等腰三角形內

12.（24-25九年級上?吉林?期中）（1）如圖①，在△48C中，AB=AC,過A5上一點。作DEII8C交

4C于點￡,則。8EC.（填“V”或“=”)

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(2)發現：圖②中的△ADE繞點,4順時針旋轉a(0°Va<90°)到圖②位置，則(1)中的結論還成立

嗎？若成立，清給予證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展應用：如圖③，P是等腰直角△/WC內一點，ZACB=90",且PB=1,PC=2,PA=3.直

接寫出NBPC的度數.

圖①圖③

13.(24-25九年級上?遼寧盤錦?階段練習)【操作發現】

(1)加圖1,在i力長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△/1BC的三個頂點均在格點匕

①請按要求畫圖：將ABC繞點力按順時針方向旋轉90°,點B的對應點為B,點C的對應點為C'；

②連接B8,此時=°；

【問題解決】

在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：

(2)如圖2,在等邊a/lBC中，點P在內部，且P4=3,PC=4,ZAPC=150",求PB的長.

經過同學們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將A/IPC繞點力按順時針方向旋轉

60",得到△力8P’,連接PP',尋找P力、PB、PC三邊之間的數量關系.…請參考他們的想法，完成該

問題的解答過程；

【學以致用】

(3)如圖3,在等腰直角△43。中，ZACB=90",P為△ABC內一點、,且R4=5,PC=2近,NBPC=

135”,求P8；

【思維拓展】

(4)如圖4,若點P是正方形4BCD外一點，PA=3,PB=瓜PC=715,求4PB的度數.

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重難點二點在等腰三角形外

14.（2024九年級上?全國?專題練習）如圖，〃是△/8C內一點，/BDC=90°,BD=CD.AB=20,

AC=21,AD=芋，求8C的長.

15.（24-25九年級上?福建廈匚?階段練習）在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。為平面內一

點.

（1）當D在線段BC上時，將線段4D繞點A順時針旋轉90°至AE,連接8E,請你在圖1中完成作圖，試判斷

BE與8C的位置關系并證明；

（2）在（1）的條件下，連接ED交4B于G,過點C作4C的垂線交ED延長線于點F,試判斷線段尸G與4D的數

量關系并證明；

（3）如圖2,點。位于△4BC上方，且4。。=45°,△8。。的面積為9,直接寫出。。的長度.

16.（22-23九年級上?浙江臺州?期末）問題背景：如圖1,在四邊形48。。中，若BC=CD,/BAD=

/BCD=90°,則/C平分/B4D.小明為了證明這個結論，將△力BC繞點。順時針旋轉90°,得到△

EDC.

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A

B

圖1圖2圖3

(D請幫助小叨完成他的證明過程；

證明：將^ABC繞點、6?順時針旋轉90°得到△EDC,

AC=,ZBAC=/,/ABC=NEDC.

???/BAD=NBCD=90°,

:.ZABC+ZADC=180°,

:./CDE+ZADC=180°,即A,D,E三點共線.

-AC=CE,

^CAE=N,

:.Z=4L4E,即4c平分/BAD.

(2)應用：在圖1中，若4B=2,AD=4,則AC=；

(3)遷移：如圖2,ZBAD=ZBCD=90°,BC=CD,若=3,AD=5,求力C的長：

(4)拓展：如圖3,以等腰△ABC的一邊＜8作等腰內△A8Z),且/48D=90°,連接CD,已知力8=8C=

"C，則穿的值為__________.(請直接寫出答案)

6Ao

重難點三點在等腰三角形邊上

17.(24-25九年級上?重慶巴南?階段練習)如圖所示，△力3C為等腰三角形，AB=AC,點。是BC上

一點，連接40.

JJ

A

BD1BDCB

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若/84C=90。，BD=2DC=2,把力。繞A順時針旋轉90。到力E，連接3E,求AE的長；

(2)如圖2,若NB4C=90°,以力。為底邊在40的左側作等腰直角△/IPD,連接BP,求證：BP=DP；

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⑶如圖3,若/B/C=120°,點G為平面內一點，若N4GB=90°,ZBGC=150°,請直接寫出要的

值.

18.（第二十三章旋轉突破15構旋轉（五）夾半角模型）如圖.在△ABC中，ZBAC=90°,AB=ACfD

為BC邊上一動點，以力D為斜邊在右側構造等腰Rt△400,連接CO.求證：BD2^rCD2=4CO2.

19.（四川省涼山州寧南縣初級中學校2024-2025學年九年級上學期12月月考數學試題）如圖所示，△

ABC為等腰三角形，AB=AC,點。是BC上一點，連接40.

（1）如圖1,若=BD=2DC=2,把力。繞月順時針旋轉90°至lj,AE,連接5E,求力￡的長;

⑵如圖2,若/B/C=90",以力。為底邊花4。的左側作等腰直角△力PD,連接BPBP,求證：BP=

DP；

題型5遇a°構造手拉手模型

20.（23-24九年級上?河南周口?期中）在“綜合與實踐”課上，同學們以“圖形的旋轉”為主題開展

數學活動.

圖3

如圖1,在等邊△48C內部有一點P,連接AP,BP,CP,將線段4P繞點力逆時針旋轉60°,得到線段4D,

連接PD,CD,^AP2+CP2=BP2,則4PC的度數是.

（2）類比延伸

如圖2,在A/IBC中，AB=AC,ZBAC=90".在△力8c內部有一點P,連接力P,BP,CP,若Z4PC=

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135°,試判斷力P,BP,CP之間的數量關系，并說明理由.

(3)遷移應用

如圖3,在△48C中，AB=AC,ZBAC=120".在直線AC的上方有一點P,連接4P,BP,CP,若N

APC=60°,則存在實數;I使得/Up2+CP2=BP?成立，請直接寫出;I的值.

21.(23-24九年級上?四川德區?期末)已知，在a/lBC中，/B=45°,點川為BC邊上一點,連接

AM,將線段4M繞點力按順時針方向旋轉。得到力N,連接MN.

(1)如圖1,當/B/C=a=90°時，求證：MN2=CM2+8M2；

(2)如圖2,當Z4C8=30°,a=120°時，若CN=AN,求萼的值.

22.(23-24九年級上-重慶江津?階段練習)已知△力BC是等腰三角形，AB=AC,ZBAC=120°,

點，。為BC邊上一點，連接力D.

(1)如圖1,BD=4,DC=2,將△/WC繞著點4順時針方向旋轉與/B4C相同的度數得到連接

DP,若N，DPB=90°,求DP的長度.

(2)如圖2,將線段DC繞點〃逆時針旋轉60°到連接BE,點。為線段BE的中點，連接/W,證明：

AO=-AD

2

(3)點0為平面內一點，若4QB=90°,ZBQC=150°,請直接寫出整的值.

AQ

23.(23-24八年級上?山東濟寧-期末)在448c中，ZB=ZC=a(00<a<45°),AM1BC

于點收〃是線段MC上的動點(不與點機。重合)，將線段DM繞點〃順時針旋轉2a得到線段￡>￡

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zrv

圖I圖2圖3

(1)如圖1,當點在線段4c上，求證：〃是MC的中點；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接ME并延長至點G,使得GE=ME,連接AG,GC,

①求證4G=AM；

②求出N/1EM的度數.

(3)如圖3,若在線段BM上存在點尸(不與點8必重合)滿足=0C,連接4凡EF,寫出/4EF的大

小，并證明.

題型6費馬點模型

|8@點

問題求解圖形-作法1

求PA-PB-PC最小D△CAP繞點、C順0彳針旋轉60°得ACDE」

值3BD長度即為所求在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC=+CD-=75Td

B囪C

求PA'PB-gPCMlACAP繞點CII廊寸針旅轉90°得ZkCDE

最小值J此時4PCE為等服直角三角形，即PE=，2PC~

因此原it=PA-PB+OPC=ED-PB-PE,則當B、P、E、D四

點共名劃寸取得最小值，BD長度即為所求，在RtZkBFD

B6608C

3、才工..八/3中有勾股定理可得BD=V6F:+FD-=舊」

%

24.(24-25九年級上?云南臨滄?期末)己知等腰△C48,CA==CD,點。為三角形內一點，連/M,

PB,PC.

圖1圖2

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（1）如圖1,若△4BC為等邊三角形，且P4=2,PB=收,PC=5,求ZBPA的度數以及4B邊長;

（2）如圖2,若&4=CB=13,AB=10,求PA+PB+PC的最小值.

25.（2024八年級下?全國?專題練習）閱讀下面材料，并解決問題：

圖①圖②圖③

（1）如圖①等邊AABC內有一點尸，若點尸到頂點從B、C的距離分別為3,4,5,求NZPB的度數.為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點/!旋轉到aACP'處，此時AACP'=LABP,這樣就可以利用旋轉變

換,將三條線段24,PB,PC轉化到一個三角形中，從而求出N%PB=_；

（2）基本運用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖②，中，ZCAB=90",AB=AC,￡,尸為5c上的點且NE;4F=45°,求證：EF2=

BE2+FC2：

（3）能力提升

如圖③，在Rt△ABC中，NC=90°,AC=1,/48C=30°,點。為Rt△ABC內一點，連接A。，BO,

CO,且〃0C=NCOB=ZBOA=120°,求071+08+OC的值.

26.（24-25九年級上?廣東惠州?期末）【問題情景】1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何

問題：給定不在同一條直線上的三個點兒B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大

利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也

被稱為“將軍巡營”問題.

【理解運用】

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：

當ZM8C的三個內角均小于120°時，如圖1,將AAPC繞點C順時針旋轉60°得到^小P'C,連接PP',

由PC=P'C,NPCP'=60°,可知APCP'為（選"直角”或“等邊”）三角形，故PP'=

PC,又P'4=PA,故P4+PB+PC=PA+PB+PP>AB,由_______（選”兩點之間線段最

短”或“三角形兩邊之和大于第三邊”）可知，當S,P,P',4’在同條直線上時，PA+PB+PC取最

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小值，如圖2,最小值為A’8,此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有/4PC=ZBPC=

4PB=（填寫角度數）；已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形

的某個頂點.如圖3,若B4CN120°,則該三角形的“費馬點”為_______（選“力”或"B"或）

點；

【深入探究】

（2）如圖4,在△ABG卜，三個內角均小于120°,且AC=3,BC=4,^ACB=30",已知點。為4

力8C的“費馬點”，求R4+PB+PC的值.

27.（23-24九年級上?廣西南寧?階段練習）【閱讀材料】平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學

家、被譽為業余數學家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.請托里拆利解答：如圖①，

給定不在一條直線上的三個點4、8、C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置.吒里拆利成

功地解決了費馬的問題.后來人們為了紀念他們，就把平面上到一個三角形的三個頂點力、B、。距離之和

最小的點稱為△48c的費馬一托里拆利點.

【問題解決】證明：如圖②，把44/5。繞點4逆時針旋轉60°得到442。’，連接PP

???ZPAP'=60°,AP=AP\PC=PC

.SAPP'為等邊三角形,

AP=PP,

PA+PB+PC=PP+P8+PC

點。'可看成是線段AC繞A點逆時外旋轉60°而得的定點，BC為定長.

.?.蘭B、P、P'、C'四點在同一直線上時，P4+PB+PC最小.

（1）觀察圖②中4P8、4PC和/CPA,試猜想這三個角的大小關系.

（2）【類比探究】如圖③，在直角三角形A8C內部有一動點P,4cB=90°,ZBAC=30°,連接

PA,PB,PC,若BC=2.求H4+PB+PC的最小值；

（3）【拓展應用】已知正方形力BCD內一動點P到2、B、C三點的距離之和的最小值為魚+石，求出此正

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方形的邊長.

A

圖①圖②圖③圖④

28.(2021九年級?全國?專題練習)如圖，在A/IBC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,在△4BC內部

有一點R連接P/1、PB、PC.(加權費馬點)求：

A

(2)PA+P8+或PC的最小值

(3)/M+P8+遍PC的最小值；

(4)2P4+P8+8PC的最小值

(5)：P4+PB+亨PC的最小值；

(6)2P4+4P8+2V5PC的最小值

(7)4PA+2PB+2A/5PC的最小值；

(8)3尸力+4P8+5PC的最，卜值

題型7坐標系中的旋轉問題

；常見的兩種方法：1)構造手拉手旋轉型全等2)構造一線三等角型全等

I

重難點一旋轉30°

29.(24-25九年級上?陜西西安-期中)線段。力在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知04=2,線

段0A與％軸的夾角為60°,現將線段04繞點。旋轉30°,得到線段04',則點小的坐標為

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y

X

重難點二旋轉45°

30.（2024八年級下?全國?專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=：%-2的圖象分別交

x,y軸于點昆C,將直線8c繞點8按逆時針方向旋轉45°,交x軸于點力，則直線48的函數表達

式.

31.（22-23九年級下?江蘇鹽城?階段練習）如圖，在平面直角坐標系％Oy中，點尸的坐標為（1,3）,

將點尸繞著原點。順時針旋轉45’后的坐標為—.

重難點三旋轉60°

32.（24-25九年級上?湖北荊匚-階段練習）如圖，已知直線4B與y軸交于點4（0,2）,與x軸的負半軸

交于點B,且480=30°,點C為x軸的正半軸上一點，將線段繞點「按順時針方向旋轉60°得線

段CD，連接8D,若BD=癡,則OC=.

33.（2024?江蘇鎮江?二模）百線y二—空工+逐與x軸、y釉分別交干點力、8點8繞點力旋轉60°

后對應點的縱坐標是.

34.（2023?江蘇泰州?三模）已知直線，過點4（0,-2）且平行于x軸，點〃的坐標為（0,2）,將直線/繞點

笈逆時鐘旋轉60°,則旋轉后的直線對應的函數表達式為.

重難點四旋轉90°

35.（23-24九年級上?湖南長沙?階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點做0,2）,5（1,0）,以點

4為中心，把線段順時針旋轉90°得到線段8C,則點。的坐標為.

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36.（22-23八年級下?四川達舛?期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點4（1,3）,籽。4繞坐標

原點。逆時針旋轉90°至。8,則點8的坐標是.

重難點五旋轉120°

37.（24-25九年級上?山東淄博?階段練習）在平面直角坐標系中，口△力。8的兩條直角邊04OB分

別在％軸和y軸上，OA=3,。8=4.把AAOB繞點力順時針旋轉120°,得到△/WC.邊08上的一點M旋

轉后的對應點為M',當+DM取得最小值時，點M的坐標為；

38.（24-25九年級上?寧夏吳忠?期中）如圖，點8在x軸上，48。=90°,4=30°,。4=2,將

△0A8繞點。按順時針方向旋轉120。，則點〃的對■應點所在位置的坐標是.

重難點六旋轉135°

39.（2024九年級?全國?競賽）將點/1（8企，0）繞坐標原點按逆時針方向旋轉135°后得到點8,點8的

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坐標是.

40.（2024九年級上?全國?專題練習）在平面直角坐標系中，點4（0,2）,8（3,0）,將線段4B繞點8順時

針旋轉135°,則點力的對應點C的橫坐標是.

重難點七旋轉150°

41.（22-23九年級上?湖北孝感?階段練習）如圖，4。與★軸正向的夾角為30°,已知點/的坐標為

（75,1）,將線段A。繞原點。旋轉150。得點4',則此時點A'的坐標為_____?

九

OX

42.（24-25九年級上?湖北武漢-階段練習）如圖，在平面直角坐標系中,力點坐標為（2,5）,。點坐標

為（0，1），現將點月繞，逆時針旋轉150。得到點B,則點8的縱坐標為—

題型8旋轉與多解問題

43.（2025?江西萍鄉?二模）綜合與實踐

如圖，△ABC和△AOE是有公共頂點的等腰直角三角形，ZACB=ZDAE=90°,且點。與A8的中點M重

合，AC=4,

ECnCrC

AZXAf）BAMBAMB

圖1圖2圖3

觀察發現

（1）①DE的長為___________；

②如圖1,設AC與DE的交點為F,則4F的長為___________.

類比遷移

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（2）如圖2,將△4DE繞點4逆時針旋轉，連接BD.

①當旋轉角為60°時，求8。的長；

②當DEII力B時，請直接寫出以BD為邊的正方形的面積.

拓展應用

（3）如圖3,取的中點P,連接PM,在△力DE繞點4逆時針旋轉的過程中，當PM最大時，求以80為邊

的正方形的面積.

44.（24-25九年級上-江西新余-階段練習）綜合與實踐

如圖，在△ABC中，。為8c邊的中點，連接4。，將A/IOC繞點。順時針旋轉得到（點/是點C的對應

點），連接4E，CF.

圖1圖2圖3

⑴觀察發現：

如圖1,當/84。=90°且48=4。時，AE與CF滿足的數量關系是.

⑵類比探究：

如圖2,當N§4C=90°且力時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不

成立，請說明理由.

（3）拓展應用：

如圖3,在（1）的基礎上，以48為對角線作正方形4。80,且正方形力。80的邊長為2,將△/10C繞點。順

時針旋轉，得到AE。尸，連接。E,當點F恰好落在直線DE上時，求線段OE的長.

45.（24-25九年級上?黑龍江齊齊哈爾-期末）綜合與實踐

問題情境：如圖1，四邊形48CD是菱形，過點力作4E1BC于點過點C作CF1AD于點￡

圖1圖2

解決問題:

第