人教版九年級數學上冊：二次函數的概念（能力提升）

26.1二次函數的概念

能力提升題

知識點一根據二次函數的定義求參數

1.（25-26八年級下?浙江寧波?期口）若函數y=（，〃-2）--2+x是關于x的二次函數，則〃?為（）

A.2B.±2C.-2D.0

【答案】C

【分析】根據二次函數的定義求解，二次函數要求x的最高次數為2,且二次項系數不為0,據此列出關

系式即可求出加的值.

【詳解】解：?,?函數y=（〃?—2）/'+x是關于x的二次函數，

且〃/一2=2,

解方程＞_2=2,即＞=4,

解得〃?=2或m=-2,

乂,?利-2工0,

/.“H2,

/.m=-2.

2.（25-26九年級，?安徽池州?期天）。=時，＞=（。-1）產"-《十1是關于"的二次函數.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次函數的定義，注意二次項系數不能為0是解題的關鍵.根據二次函數的定義，可

得力+1=2,并且注意二次項系數不能為0,即。-1工0,即可解答.

【詳解】解：由題意磯42―+|=，

a=±\

解得

a^\

故答案為：-1.

3.（25-26九年級上?廣東江門?期口）若函數），=（〃?-3）上汽+2公1是關于K的二次函數，則〃，的值為

【答案】

-3

【分析】本題考查二次函數的定義，根據二次函數的定義，需滿足x的最高次數為2,且二次項系數不為

0,據此進行求解即可.

【詳解】解：???'=("?3)戶t+2x7是關于x的二次函數，

.,.同-1=2,且〃2-30()，

ni=—3.

4.(25-26九年級上?山東煙臺?期天)若、=(〃?+2)/七+2犬+3是關于x的二次函數，則，〃的值為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了根據二次函數的定義求參數，解題的關鍵是掌握二次函數的定義.

根據二次函數的定義，最高次項為二次，且二次項系數不為零，因此需滿足指數條件，/-2=2且系數條

件加+2W0.

【洋解】解：因為函數是關于x的二次函數，所以x的最高次項為二次，即“一2=2,

解方程得〃?2=%

所以〃?=2或m=-2,

又因為二次項系數"?+2H0,當〃2=-2時，"7+2=。，不符合條件，故舍去，

因此，“=2.當機=2時，函數為y=4d+2x+3,滿足二次函數定義.

故答案為：2.

知識點二參數分類討論判定函數類別

1.(25-26九年級上?河南信陽?月考)已知函數)，=(〃"〃7)W+松+(〃?+])，機是常數.

(1)若這個函數是一次函數，求機的值；

(2)若這個函數是二次函數，求機的值.

【答案】(1)〃2=1；

(2)!?l=0且〃2H1

【分析】本題考查了一次函數以及二次函數的定義，當〉—機=0且〃2Ho時，這個函數是一次函數；當

〃—用工0時，這個函數是二次函數，據此即可求解；

【詳解】(1)解：當加2-"2=0且〃2工0時，這個函數是一次函數，

此時："7=1;

（2）當加一〃?工0時，這個函數是二次函數，

此時：m。0且〃?。1

2.（25-26九年級上?安徽安慶?期天）已知函數y=（a+l）x“％+（〃—3）x+a,其中〃為常數.

（1）當“取什么值時，它為二次函數？

（2）當。取什么值時，它為一次函數？

［答案］（1）々=1;

（2）a=-l或a=0.

【分析】本題考查了二次函數的定義，一次函數的定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

（I）根據二次項系數不等于零是二次函數，可得答案；

（2）根據二次項系數等于零且一次項系數不等于零是一次函數，可得答案.

4+1/0

【詳解】（1）解:根據題意，得，?十

a~+1=2

解得。=1；

（2）解：當。+1=0,即。=-1時，原函數為），是一次函數；

當卜？二1"八即。=0時，原函數為y=-2x,也是一次函數，

綜上所述，當。=-1或4=0時，y=（〃+l）/"+（。一3）4+〃是一次函數.

3.（25-26九年級上?廣西崇左?期末）已知函數y=（〃?+2）『'-2（機為常數），求當用為何值時：

（1）），是x的一次函數？

（2）），是x的二次函數？并求出此時縱出標為64的點的橫坐標.

【答案】（1）切=±5/5

⑵加=2,縱坐標為64的點的橫坐標±4

【分析】本題考查一次函數和二次函數的定義，熟練掌握系數和次數的值是關鍵.

（1）由一次函數定義得出/-2=1,且〃7+2工0,求出，〃的值；（2）由二次函數定義得出4-2=2,且

〃?+2工（），求出/〃的值.

【詳解】（1）解：（1）由題意，得

/zr-2=1>且m+2工0,

解得m=士百，

當"I-土&時，y是k的一次函數；

(2)由題意，得

m2-2=2且〃7+2。0,

解得小=2,

當"?=2時，y是k的二次函數，

當y=64時，4/=64,

解得x=±4,

縱坐標為64的點的橫坐標±4.

4.(25-26九年級上?湖北咸寧?月考)已知函數)，=(小+1)廣汩+(〃—卜+〃?-2.

(1)若這個函數是一次函數，求〃?的值.

(2)若這個函數是二次函數，求〃?的值.

【答案】(1)〃?的值為T

(2＞的值為1

【分析】本題考查了一次函數以及二次函數的定義，掌握二次函數和一次函數的定義是解決本題的關鍵.

(1)根據一次函數的定義即可求解；

(2)根據二次函數的定義即可求解.

【詳解】(1)解：???)，=(〃?+1)廣汩+。〃-l)x+〃?一2是一次函數，

，當加+1-1時,則nr-0，

解得，叫=嗎=。，

:.y=(〃2+l)x"”+(〃?一1卜+〃?一2

=(0+l)x^+(0-l)x+0-2

=A-X-2

=-2,不是一次函數，

當〃?+1=0時，則〃?=一1,

.?.)，=(〃？+1)不小討+(〃？—1卜+〃？―2

=(-l+l)xH)2+,+(-l-l)x+(-l)-2

=0+(-2)x-3

=-2x-3>

綜上所述，機的值為-1:

(2)解：???)，=(〃2+1)/+1+(〃一1■+〃?—2是二次函數,

:，171~+1=2

=1

/?=±1,

當〃?=一1時，y=(〃?+l)x""+("?-l)x+〃?-2

=(-14-1)X(-,)2+,+(-1-1)X+(-1)-2

=-2.r-3,是一次函數，不符合題意，

當相=1時，y={///+l)y,r+1+(m-\)x+m-2

=(l+l)/+,+(l-l)x+l-2

=2X2-H

綜上所述，/〃的值為1.

1.（25-26九年級上?江西宜春?月考）【定義】對于函數，若存在自變量％=，時，函數值%=2/,則稱該函

數為“倍動點函數''，點&21）為該函數的一個倍動點.

探究I（一次函數）

（1）判斷下列結論正誤，正確的是_____（填序號）；

①y=3x+2是“倍動點函數”，倍動點為（-1,-2）；

②y=2》是“倍動點函數”，且有無數個倍動點；

③y=T+6是“倍動點函數”，倍動點為（2,4）.

探究2（二次函數）

（2）若二次函數）=/-4%+。有一個倍動點為（3,6）,求c的值；并判斷該函數是否有其他倍動點，若

有，求出這個點.

【答案】（1）②③，（2）c=9,沒有其他倍動點

【分析】本題考查/倍動點函數的定義.

(1)根據倍動點的定義，檢查每個一次函數是否存在自變量，使得函數值等于27,從而判斷結論正誤；

(2)將給定的倍動點(3,6)代入二次函數求出&再解方程x2-4x+c=2x判斷是否有其他倍動點即可.

【詳解】解：(1)對于①：設存在/使得3-2=2/,解得/=—2,此時丁=3x(-2)+2=-4,2f=-4,

???倍動點為(-2,7),但結論中給出的倍動點為(-1,-2),故①錯誤；

對于②：y=2x,對于任意3當工=，時，y=2t,

有無數個倍動點，故②正確；

對干③：當x=2時，y=-2+6=4,2x2=4?

??.(2,4)是倍動點，故③正確，

故答案為：②③.

(2)將(3,6)代入y=x,-4x+c,得6=3?-4x3+c，解得c=9,

將c=9代入y=f-4x+c,得y=V—4x+9,

令y=2x,則尤2_4X+9=2X，

即d-Gx+guO,解得x=3,

二該函數沒有其他倍動點.

2.(25-26九年級上?全國?課后作業)如下圖，已知等腰直角三角形4BC的直角邊長與正方形MNPQ的邊

長均為20cm,4C1與MN在同一直線上，開始時點人與點N重合，讓V4R2以2cm/s的速度沿運動，

最終點A與點M重合.

⑴求重疊部分面積y(單位：cm?)關于時間/(單位：s)的解析式，并寫出，的取值范圍.

(2)當7=5時，求)，的值.

(3)當y=128時,求，的值.

【答案】(1)y=2/2-40r+2(X)(0<r<IO)

⑵y=50

(3)f=2

【分析】本題考查了根據實際問題抽象二次函數解析式的知識，根據題意，找到所求量的等量關系是解決

問題的關鍵，需注意AM的值的求法.

(1)根據AABC是等腰直角三角形，則重疊部分也是等腰直角三角形，根據三角形的面積公式即可求

解；

(2)，=5代入函數解析式求值；

(3))*128代入函數解析式計算求解.

【詳解】(1)解：是等腰直角三角形，

???重疊部分也是等腰直角三角形

由題意,得AM=(20-21)cm,

則重疊部分面積丁=gAM?=g(20-2t)2=2t2-40/+200(0<r<IO)；

(2)解：當，=5時，y=2x52-40x5+2(X)=50.

(3)解：當)，=128時，1(20-2;)2=128,

解得A=24=18(舍去)，

:.t=2.

3.(25-26九年級上?廣西崇左?月考)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,2),在X軸上任取一

點連接AM,作線段AM的星直平分線4,過點M作x軸的垂線*記4，4的交點為P.

(1)線段24與有什么數量關系？

①當點股坐標(2,0)時，點P的坐標是「

②當點M坐標(4⑼時，點P的坐標是

(2)在x軸上改變點M的位置，可得到不同的點P,試著把得到的點尸用平滑的曲線連接起來.觀察畫出的

曲線L，猜想它是我們學過的哪種曲線.

⑶驗證（2）的猜想：對于曲線L上任意一點P,設點。的坐標是（X），），請根據E4與的關系求出-

y滿足的關系式.你得出的結論與先前你的猜想一樣嗎？

【答案】（1）Q4=PM；①（2,2）②（4,5）

（2）見解析，拋物線

（3）%,y滿足的關系式為：），=!.，，我得出的結論與先前我的猜想一樣，理由見解析

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，線段垂直平分線的性質，勾股定理，二次函數的定義等等，靈活運

用所學知識是解題的關鍵.

（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等即可得到答案；

①艱據題意畫出對應的圖形即可得到答案；

②艱據題意畫出對應的圖形即可得到答案；

（2）根據題意畫出對應的曲線L即可得到答案；

（3）先求出點M的坐標，再利用勾股定理得到（4-0）2+（），-2）2=），2進而推出，由此可得結論.

【詳解】（1）解：由題意得，點戶在線段AM的垂直平分線上，

:.P\=PM,

故答案為：PA=PM；

①如圖1所示，當點M坐標（2,Oi時，點尸的坐標是（2,2）；

故答案為:（2,2）；

②如圖2所示，當點"坐標（4,0）時，設點戶的坐標是（4,p）,

二42+（p-2）=p2>

P=5,

即點P的坐標是(4,5),

12*

圖2

故答案為：(4,5)；

(2)解：觀察畫出的曲線乙可知曲線上足拋物線，如圖3,

P北

X

圖3

故答案為：拋物線;

(3)解：我得出的結論與先前我的猜想一樣，理由如下:

■:點。的坐標是(蒼.V),PM_Lx軸，

vA(0,2),PA=PM,(x-O)2+(y-2)~=y2,

:.x2+y2-4y+4=y2,

???得出的結論與猜想一致.

4.（25-26九年級上?陜西西安?月考）【問題提出】（1）如圖1,正方形A8C。的邊長為6,點E、尸分別在

邊AB、4。上（點七不與人、3重合，點尸與A、。重合），巨A尸=3AE,點G為BC邊的中點，分別連

接E尸、EG,AE=r（O<r<2）,五邊形CQ刀EG的面積為S,求S與f之間的函數解析式;

【問題解決】（2）如圖2,在菱形4BC。中，AB=40,ZABC=60。，點P是菱形ABCD內一點，連接

PA.PB、PD,PB=PD,同E、尸分別在邊3C、CO上，連逢PE、PF、/EPF=0）。,設AP的長為

x,四邊形尸的面積為兒

①求y與X之間的函數解析式；

②當最小時，求四邊形PECF的面積.

AFDAD

圖1圖2

【答案】（1）S=—=J+當+27；（2）@y=—X2-2073X+400X/3；②1（X）6

【分析】（1）根據四邊形A4CQ為正方形，邊長為6,得出AB=8C=CD=4）=6,結合

AE=t（0<t<21AF=3AEf表示出A/=3/,BE=AI3-AE=6-t,根據點G為BC邊的中點，得出

BG=CG=9BC=3,根據五邊形CDFEG的面積S=S正方形,刀-S皿-SfiEG求解即可.

（2）①如圖，過點、P作PM人BC,PN人CD,在菱形ABC。中，AB=BC=CD=AD=40t

ZABC=60°,ZBCD=120°,N8C4=NACD=60。，證明VA8C是等邊三角形，得出AC=8C=40,證

=

明..PME^APNF（ASA）,得出SRYES吶尸,則S四邊形尸《?尸=SPEM+S四邊形小心

,40-x

=SPNF+S四邊形戶力仆=,四邊形PMCN=2sPMC，根據AP=x>得出PC—AC—AP=40—x?CM=-?

PM=g（40r）,求出即可求解.

②艱據依=0>PB+PD=2PB，得出當心_LAC時，PR最小,此時，點RP,。共線，結合四邊形

ABC。是菱形，得出AP=CP,求出工二20,代入①中解析式求解即可.

【詳解】解：（1）???四邊形ABCD為正方形，邊長為6,

AB=BC=CD=AD=6，

AE=/(0<r<2),AF=3AE,

:.AF=3t,BE=AB-AE=6—t,

???點G為BC邊的中點，

/.BG=CG=-BC=3,

2

/S正方形ABCQ=6x6=36,

113,

S^=-AEAF=-t-3t=-t2,

113

即

S,****0^=—■BE-BG=-x3(6-t)=、—(6-t),

五邊形CDFEG的面積S=S正方形ABCD-SAEF-SBEG

33

=36--r--(6-r)

22

Q7

=--t2+-t+21.

22

即S=Ja『+a.+27.

22

(2)①如圖，過點P作PMLBC