人教版七年級上冊數學 講義 第03講 有理數的四則運算講義+練習（教師版）

第3講第3講講有理數的四則運算概述概述適用學科初中數學適用年級初一適用區域人教版區域課時時長（分鐘）120知識點有理數的四則運算教學目標掌握有理數的加、減、乘、除運算，理解有理數的運算律，并能運用運算律簡化運算，能運用有理數的運算解決簡單應用問題理解乘方的意義，會進行乘方的運算及簡單的混合運算（以三步為主）數學的基本思想——分類思想與數形結合思想的滲透教學重點初步掌握有理數運算法則，并能利用運算律簡化運算通過有理數的四則運算，培養學生的運算能力激發學生學習數學的興趣教學難點對有理數運算法則的理解，特別是對有理數乘法法則的理解【教學建議】有理數五種運算法則的本質是:一確定符號，二計算絕對值.口訣：先看運算再看數，定好順序不跳步，明確法則符號先，字跡工整要記住有理數加減法運算技巧：同號結合，湊0結合，湊整結合，拆數變形，帶分數拆分整數，分數小數統一形式，同分母或便于通分的結合在理解的基礎上，把有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算用于新的情境。綜合使用已掌握的有理數的運算，選擇或創造適當的方法解決問題。【知識導圖】教學過程教學過程一、導入一、導入回顧用正負數表示數量的實際例子在足球比賽中，如果把進球數記為正數，失球數記為負數，它們的和叫做凈勝球數．若紅隊進4個球，失2個球，則紅隊的勝球數，可以怎樣表示？藍隊的勝球數呢？師：如何進行類似的有理數的加法運算呢？這就是我們這節課一起與大家探討的問題．二、知識講解二、知識講解考點1有理數的加法考點1有理數的加法1.有理數的加法法則(1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.(2)絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數的兩數相加得0.(3)一個數與0相加，仍得這個數.2.加法運算律(1)交換律兩數相加，交換加數的位置，和不變.a+b=b+a(2)結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.(a+b)+c=a+(b+c)3.有理數加法運算步驟如下：(1)先確定和的符號;(2)再確定和的絕對值.【教學建議】運用有理數加法的運算律，可以任意交換加數的位置.把交換律和結合律靈活運用，就可以把其中的幾個數結合起來先運算，使整個計算過程簡便而又不易出錯.考點2有理數的減法考點2有理數的減法1.有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數.2.有理數減法的運算步驟：①把減號變為加號（改變運算符號）②把減數變為它的相反數（改變性質符號）③把減法轉化為加法，按照加法運算的步驟進行運算.3.有理數加減混合運算的步驟：①把算式中的減法轉化為加法；②省略加號與括號；③利用運算律及技巧簡便計算，求出結果.【教學建議】根據有理數減法法則，減去一個數等于加上它的相反數，因此加減混合運算可以依據上述法則轉變為只有加法的運算，即為求幾個正數，負數和0的和，這個和稱為代數和.為了書寫簡便，可以把加號與每個加數外的括號均省略，寫成省略加號和的形式.考點3有理數的乘、除法考點3有理數的乘、除法1、有理數乘法法則：（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數同0相乘都得0；（3）多個有理數相乘：注意：a：只要有一個因數為0，則積為0。b：幾個不為零的數相乘，積的符號由負數的個數決定，當負數的個數為奇數，則積為負，當負數的個數為偶數，則積為正。2、乘法運算律：（1）乘法交換律：（2）乘法結合律：（3）乘法分配律：3、有理數除法法則：（1）法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數（2）符號確定：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個非零數，等于0；0不能作除數！考點4有理數的乘方考點4有理數的乘方1、有理數的乘方法則：求n個相同因數的積得運算叫做乘方，乘方的結果叫作冪，其中a叫底數，n叫指數。2、乘方運算法則：正數的任何次冪還是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何非0次冪都是0；0的0次冪無意義。3、有理數的混合運算順序：先算乘方、再算乘除、最后算加減；有括號要先算括號里的；同級運算從左至右依次進行。4、注意：三、例題三、例題精析類型一有理數的加法例題1例題1【題干】計算：【答案】解：=[（=-10+2=-8【解析】此小題逐個相加當然可以，但較麻煩.可以利用加法的交換律和結合律，正、負數分別結合，再相加.例題2例題2【題干】計算：【答案】解：【解析】分數與小數均有時，應先化為統一形式.若有同分母的分數或易通分的分數，應先結合在一起.【總結與反思】有理數運算需要學生仔細觀察，充分運用有理數加法的運算技巧，簡化運算。類型二有理數的減法例題1例題1【題干】計算：-3-（+5）【答案】-8．【解析】【總結與反思】根據有理數減法法則，減去一個數等于加上它的相反數，再按加法法則進行；例題2例題2【題干】計算：【答案】0【解析】【總結與反思】根據有理數減法法則，減去一個數等于加上它的相反數，因此加減混合運算可以依據上述法則轉變為只有加法的運算，分數與小數均有時，應先化為統一形式，注意互為相反數的數要結合；例題3例題3【題干】對于任何有理數a，下列各式中一定為負數的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．-（-3+a）=3-a，a≤3時，原式不是負數，故A錯誤；

B．-a，當a≤0時，原式不是負數，故B錯誤；

C．∵-|a+1|≤0，∴當a≠-1時，原式才符合負數的要求，故C錯誤；【總結與反思】負數一定小于0，可將各項化簡，然后再進行判斷．類型三有理數的乘、除法例題1例題1【題干】已知|x|=3，|y|=2，且x?y＜0，則x+y的值等于（）A．5或-5B．1或-1C．5或1D．-5或-1【答案】B【解析】∵|x|=3，|y|=2，x?y＜0，

x=-3時，y=2，則x+y=-3+2=-1．故選B．【總結與反思】此題主要考查了絕對值的性質和有理數乘法法則，能夠根據已知條件正確的判斷出x．y的值是解答此題的關鍵例題2例題2【題干】下列運算有錯誤的是（）A．B．C．8-（-2）=8+2D．2-7=（+2）+（-7）【答案】A【解析】根據有理數的運算法則判斷各選項的計算過程．減去一個數等于加上這個數的相反數；除以一個數等于乘以這個數的倒數．【總結與反思】主要考查了有理數的減法與除法法則．注意，乘法是除法的逆運算，加法是減法的逆運算．類型四有理數的乘方例題1例題1【題干】計算：（-【答案】-36【解析】原式=-8-36+8=-36【總結與反思】有理數的乘方要注意：例題2例題2【題干】觀察下面三行數：．．．．．……①．．．．．……②．．．．．……③（1）第①行按什么規律排列？（2）第②③行與第①行分別有什么關系？【解析】（1）第①行數是．．．……（2）對比①②兩行數第②行數是第①行數加2，對比①③兩行數第③行數是第一行數的0.5倍。四、課堂運用四、課堂運用基礎基礎計算：-2-（-3）+（-8）+42=；計算：（×（-42）=.下列計算正確的是（）A．B．C．D．答案與解析1.【答案】92.【答案】3.【答案】D【解析】按照有理數混合運算的順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，就先算括號里面的．計算過程中注意正負符號的變化．鞏固鞏固式子-2-（-1）+3-（+2）省略括號后的形式是（）A．2+1-3+2B．-2+1+3-2C．2-1+3-2D．2-1-3-2計算之值為何（）A．-1.1B．-1.8C．-3.2D．-3.9下列判斷：①若ab=0，則a=0或b=0；②若，則a=b；③若，則；④若，則是正數．其中正確的有（）A．①④B．①②③C．①D．②③答案與解析1.【答案】選B．【解析】①括號前面有“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項的符號不改變；

②括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項的符號都要改變為相反符號．2.【答案】選C．【解析】遇到乘除加減混合運算，應先算乘除再算加減．所以這道題應先把-1.6和2.5變成分數，然后把除法變成乘法計算后，再算減法，算減法時根據減法法則減去一個數等于加上這個數的相反數把其變成加法，最后利用同號兩數相加的加法法則計算即可得出值．3.【答案】A．【解析】①兩數之積為0，說明至少有一個數為0；

②兩數的平方相等，說明兩數相等，或為相反數；

③若c=0，則a，b可為任意數；

④若|a|＞|b|，（a+b）與（a-b）同號．拔高拔高若a．b．c在數軸上位置如圖所示，則必有（）A．abc＞0B．ab-ac＞0C．（a+b）c＞0D．（a-c）b＞0有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，則在a+b，a-b，ab，，s這五個數中，正數的個數是（）A．2B．3C．4D．5定義a※b=，則（1※2）※3=________________.答案與解析1.【答案】B．【解析】根據圖示得知，a＜-1＜0＜b＜1＜c，然后根據有理數的混合運算法則進行計算．2.【答案】A．【解析】首先由數軸得出ab的正負：-1＜a＜0，b＞1＞0，再根據有理數的運算法則進行計算即可得出選項．3.【答案】根據題意可知，（1※2）※3=（1-2）※3=-1※3=1-3=-2．【解析】按照定義的規則計算．五、課堂小結五、課堂小結本節講了5個重要內容：有理數加減法法則是什么？如何運用？有理數乘除法法則是什么？如何運用？有理數乘方運算是什么？如何運用？如何根據有理數的運算法則簡化運算？有哪些運算技巧？如何進行有理數四則混合運算？運算順序是什么？六、課后作業六、課后作業基礎基礎較小的數減去較大的數所得的差一定是()A.正數 B.負數 C.0 D.不能確定計算：；計算：答案與解析1.B.2.解：=0；3.解：原式.鞏固鞏固下列結論中，正確的是()A.在有理數的加減法中，和不一定比加數大，被減數不一定比減數大B.減去一個數等于加上一個相反數C.0減去一個數，仍得這個數D.互為相反數的兩個數相減得0若a<0，b>0，且|a|>|b|，則a+b__________0.若a、b互為相反數，x、y互為倒數，則(a+b)×-xy=；2a+2b-2xy=.答案與解析1.A2.<3.【答案】-1-2【解析】∵a、b互為相反數，∴a+b=0.∵x、y互為倒數，∴x·y=1，∴2a+2b-2xy=2(a+b)-2xy=2×0-2×1=-2.拔高拔高若a<0，則|a-(-a)|等于(