2026年新高一數學暑假銜接專題《函數的概念》

預備新高一預備新高一數學專題11函數的概念一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?珠海期末）函數的定義域是（）A．， B．，， C．，， D．，2．（2026春?德城區期中）函數中，自變量的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2025秋?襄州區期末）已知函數的定義域為，，則函數的定義域為（）A． B．， C．， D．，4．（2025秋?邵陽期中）若函數的定義域是，，則函數的定義域是（）A．， B． C． D．，5．（2026春?吉林期中）在下列函數中，與函數是同一函數的為（）A． B． C． D．6．（2025秋?瀘縣期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．7．（2025秋?淮安期末）下列各組函數是同一個函數的是（）A．， B．， C．， D．，8．（2025秋?郫都區期末）下列各圖中，不能表示函數圖象的是（）A． B． C． D．9．（2025秋?白銀期末）下列各組中的函數與是同一個函數的是（）A． B． C． D．，10．（2026春?江津區月考）函數的定義域為的充要條件是（）A． B．且 C． D．二．多選題（共4小題）（多選）11．（2024秋?銅陵期末）設，，，，下列選項能表示從集合到集合的函數關系的是（）A． B． C． D．（多選）12．（2025秋?海南期中）下列圖象能夠作為函數的圖象的有（）A． B． C． D．（多選）13．（2025秋?西藏期末）下列是函數圖象的是（）A． B． C． D．（多選）14．（2025秋?冀州區期末）下列各項不能表示同一個函數的是（）A． B． C．， D．三．填空題（共4小題）15．（2026春?望都縣期中）已知函數的定義域為，，則函數的定義域為．16．（2026?大興區模擬）函數的定義域是．17．（2025秋?徐匯區期末）函數的定義域為．18．（2025秋?新鄉月考）已知函數的定義域為，則的定義域為．四．解答題（共6小題）19．（2025?寧津縣開學）求下列函數的定義域：（1）；（2）．20．（2025秋?太和縣月考）求抽象函數的定義域．（1）已知函數，求函數的定義域；（2）已知函數的定義域為，，求的定義域．21．（2025秋?黃石港區月考）（1）求函數的定義域；（2）求函數的值域．22．（2025秋?龍川縣期中）（1）已知函數的定義域是，，求函數的定義域；（2）求函數的值域．23．（2025秋?景德鎮期中）函數的圖象如圖所示．（1）求，（2）；（2）求函數的定義域和值域．24．（2024秋?紅塔區月考）（1）求函數的定義域；（2）已知函數的定義域為，，求函數的定義域．

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDBCACBBDD二．多選題（共4小題）題號11121314答案ADACDABDABC一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】中，列出不等式組，求解即可．【解答】解：函數，，解得且，的定義域是，，．故選：．2．【答案】【分析】根據二次根式的被開方數大于或等于0，列式求解即可．【解答】解：函數中，令，得，所以自變量的取值范圍是．故選：．3．【答案】【分析】根據抽象函數定義域結合分式和根式的意義列式求解即可．【解答】解：函數的定義域為，，，令，解得，所以函數的定義域為，．故選：．4．【答案】【分析】應用抽象函數定義域規則計算求解．【解答】解：因為的定義域是，，對于，需要滿足，解得．故選：．5．【答案】【分析】根據函數三要素判斷即可．【解答】解：函數，，，解析式相同，定義域相同都是，所以是相同函數；：定義域為：，，，函數的定義域不同，不是相同函數：函數，解析式不同，所以不是相同函數；：定義域為：，，，函數的定義域不同，不是相同函數．故選：．6．【答案】【分析】結合函數成立的條件即可求解．【解答】解：由題意可得，，解得．故選：．7．【答案】【分析】判斷是否為同一函數，一般考查兩個方面：①定義域相同；②對應法則相同．只有兩個方面都分別相同，才能稱為同一函數．【解答】解：的定義域為，的定義域為，，兩函數定義域不同，故不是同一函數，故錯誤，的定義域為，的定義域為，根據對數運算法則得，故正確，對于函數，由，得，所以的定義域為，，對于函數，由得或，所以函數的定義域為，，，兩函數定義域不同，故不是同一函數，故錯誤，的定義域為，對于，由得，所以的定義域為，，，兩函數定義域不同，故不是同一函數，故錯誤．故選：．8．【答案】【分析】根據函數的定義進行判斷即可．【解答】解：根據題意，由函數的定義，函數的圖像與直線最多只有一個交點，分析選項：選項中，當時，一個的值有兩個的值與之對應，不符合函數的定義．而、、均符合函數的定義．故選：．9．【答案】【分析】根據兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，即可判斷是同一函數．【解答】解：對于，的定義域為，的定義域為，，兩函數的定義域不同，不是同一函數；對于，，，兩函數的對應關系不同，不是同一函數；對于，的定義域為，的定義域為，兩函數的定義域不同，不是同一函數；對于，的定義域為，的定義域為，兩函數的定義域相同，對應關系也相同，是同一函數．故選：．10．【答案】【分析】由題意可得恒成立，然后分類求解得答案．【解答】解：由函數的定義域為，可知恒成立，當時，有，不合題意；當時，需，解得，可得．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】從函數的定義出發，得到錯誤，正確．【解答】解：根據函數的定義知，對于數集中的任意一個元素，在數集中都有唯一確定的元素和它對應，則滿足從集合到集合的函數關系，由此判斷選項、滿足，選項中的自變量范圍為，，不是，，選項錯誤；選項中，因變量的取值范圍是，，不是，的子集，選項錯誤．故選：．12．【答案】【分析】利用函數的定義，結合圖象表示法逐項判斷即得．【解答】解：由函數的定義知，垂直于軸的直線與函數圖象最多一個公共點，選項中圖形可作為函數的圖象，對于，由圖可看出存在垂直于軸的直線與給定圖形有2個公共點，即存在一個對應2個，不能作為函數的圖象．故選：．13．【答案】【分析】根據題意，利用函數的定義對各選項中的圖象加以驗證，即可得到本題的答案．【解答】解：根據函數的定義可得：在一個函數中，對于自變量的任意一個值，都有唯一的函數值與之對應，由此可知、、三項均符合函數的定義；而項的圖象中，1個有2個與之對應，不符合函數的定義．故選：．14．【答案】【分析】根據兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，判斷它們是同一函數即可．【解答】解：對于，函數，，兩個函數的對應關系不同，所以不能表示同一個函數；對于，函數的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以不能表示同一個函數；對于，函數的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，所以不能表示同一個函數；對于，函數，與函數定義域相同，對應關系也相同，所以能表示同一個函數．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】．【分析】根據復合函數的定義域進行求解．【解答】解：因為函數的定義域為，，對于，有，即．所以函數的定義域為．故答案為：．16．【答案】且．【分析】根據題意，由函數的解析式可得，解可得答案．【解答】解：根據題意，，有，解可得且，即函數的定義域為且．故答案為：且．17．【答案】且．【分析】根據分母不為0求解即可．【解答】解：由題可得：，解得且．故答案為：且．18．【答案】，．【分析】由題意求出函數的定義域為，，再由求解，即得．【解答】解：因為函數的定義域為，所以．由解得，所以的定義域為，．故答案為：，．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1），，．（2），，，．【分析】（1）要使函數有意義，只需令，進而求解結論．（2）要使函數有意義，需滿足，進而求解結論．【解答】解：（1）要使函數有意義，只需令，解得：，所以函數的定義域為：，，．（2）要使函數有意義，需滿足，所以，所以的定義域為：，，，．20．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據函數解析式可知，可得出函數的定義域，再根據抽象函數的定義域求法，即可求出函數的定義域；（2）根據題意，可知，根據抽象函數的定義域求法，可求出函數的定義域，從而得出的定義域．【解答】解：（1）由，解得，所以函數的定義域為，；（2）由函數的定義域為，，即，得，再由，解得，所以的定義域為．21．【答案】（1），，；（2），．【分析】（1）由題意可得，解不等式組即可得解；（2）根據分離常數法得，進而可得函數值域．【解答】解：（1）由題意可得，解得且，則函數的定義域為，，；（2），因為，所以，則，即的值域為，．22．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）根據題意令，運算求解即可得定義域；（2）化簡分式函數，利用基本不等式求值域．【解答】解：（1）已知函數的定義域是，，由，解得，可得函數的定義域是，；（2）由，得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以函數的值域為，．23．【答案】（1），（2）；（2），．【分析】（1）根據函數圖象可直接求解；（2）根據函數圖象可直接求解．【解答】解：（1）根據函數圖象可得，，（2）；（2）根據圖象可得函數的定義域為，，值域為，．24．【答案】（1），，，；（2）．【分析】（1）只需使被開方數是非負數且分式的分母不為0，求解不等式組即得；（2）求抽象函數的定義域，只需將看成整體，滿足，且分式的分母不為0，求解不等式組即得．【解答】解：（1）由題意可得，，解得或且．故函數的定義域為，，，．（2）因的定義域為，，則，解得故函數的定義域為．

預備新高一預備新高一數學專題11函數的概念1．理解函數的定義、三要素（定義域、對應關系、值域），熟練掌握區間的規范表示方法．2．熟練求解具體函數、抽象函數的定義域，掌握由定義域逆向求解參數的思路．3．掌握簡單函數、抽象函數的值域求解方法，能依據值域條件求解參數范圍．4．掌握同一函數的判定依據，能準確區分不同函數，規范使用區間表示數集．一、函數的概念設非空實數集、，如果按照某個確定的對應關系，使對于集合中的任意一個實數，在集合中都有唯一確定的實數與之對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數．1．函數記法：2．函數三要素（1）定義域：自變量的取值集合；（2）對應關系：法則，是自變量對應的核心規則；（3）值域：所有函數值構成的集合，且值域是集合的子集．3．核心準則：任意性、唯一性．一對一、多對一可構成函數，一對多不構成函數．二、區間的概念與規范表示區間是表示連續實數集的規范形式，分為有限區間與無限區間，包含端點用方括號，不包含端點用圓括號，無窮量統一用圓括號．1．有限區間閉區間：[a,b]（）；開區間：（a<x<b）；半開半閉區間：（,（a）．2．無限區間、、、、3．易錯規范：不存在、寫法，無窮大數無法取到，必須用開區間．三、具體函數定義域四大限制條件1．分式型：分母不為0，即；2．偶次根式型：被開方數非負，即；3．零次冪型：底數不為0，即；4．實際應用型：自變量需符合實際意義（長度、數量等大于0）．四、同一函數的判定標準兩個函數為同一函數，必須同時滿足兩個條件，缺一不可：1．定義域完全相同；2．對應關系完全相同（化簡后運算規則一致）．值域由定義域和對應關系唯一確定，無需單獨驗證．定義域不同、或對應關系不同，均為不同函數．五、抽象函數核心規則1．同一對應法則下，括號內整體代數式的取值范圍保持不變，與字母無關；2．、、為同一個函數，僅自變量符號不同，三要素完全一致。題型01函數的概念及其構成要素1．概念核心判定：嚴格依據“任意一個x對應唯一y”判定對應關系是否為函數。定義域內任意自變量必須有對應值，一對多對應關系絕對不是函數。2．三要素辨析技巧：定義域是函數存在的前提，對應關系是函數的核心，值域是派生結果。判斷函數異同、求解范圍，優先看定義域與對應關系。3．解題作用：解決函數概念辨析、對應關系判斷、三要素識別基礎題型，是本章所有考點的鋪墊。學以致用學以致用【例1】（2026春?望都縣校級期中）下列圖形可作為函數圖象的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據函數的定義即可判斷．【解答】解：對于、、均存在使得一個對應兩個及兩個以上的值，不符合函數的定義，所以不能作為函數的圖象，對于，滿足函數的定義，所以可以作為函數的圖象．故選：．【例2】（2026?東營一模）在平面直角坐標系中，直線，與函數的圖象的交點個數為（）A．0 B．1 C．0或1 D．無法確定【答案】【分析】由函數的概念，結合函數定義域的范圍即可判斷．【解答】解：由函數的定義可知，對定義域內的任意一個，只有唯一的與之對應，若不在函數定義域內，則直線，與函數的圖象的交點個數為0，若在函數定義域內，則直線，與函數的圖象的交點個數為1，所以交點個數為0或1．故選：．【例3】（2025秋?鞍山期末）下列各圖中，一定不是函數圖象的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據函數的概念逐項判斷即可．【解答】解：由函數的概念可知，每一個自變量的值都有唯一的值與它對應，四個選項中，只有選項存在一個對應兩個，不符合函數概念，所以的圖象一定不是函數圖象，其他選項符號函數的概念．故選：．題型02簡單函數的定義域1．單一約束求解：針對分式、偶次根式、零次冪，根據對應限制條件列不等式，直接求解自變量范圍．2．多重約束求解：函數同時包含分式、根式、零次冪等結構時，聯立所有限制不等式，取解集交集，保證所有式子同時有意義．3．標準解題流程：列限制不等式→求解不等式組→整理為區間或集合形式．4．易錯提醒：整式函數無特殊約束時，定義域為．學以致用學以致用【例4】（2026?廣州模擬）函數的定義域為，，．【答案】，，．【分析】由題意可得關于的不等式組，求解得答案．【解答】解：要使原函數有意義，則，解得：且，所以函數的定義域為，，．故答案為：，，．【例5】（2025秋?陽泉期末）函數的定義域為（）A． B．，， C． D．【答案】【分析】根據二次根式的性質以及分母不為0，得到關于的不等式組，解出即可．【解答】解：由題意得：，解得：且，故函數的定義域是，，．故選：．【例6】（2026?原陽縣模擬）使得式子有意義的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】【分析】考查二次根式有意義的條件，要使二次根式有意義，即，然后求解這個不等式即可得到的取值范圍．【解答】解：由，得，解得．則使得式子有意義的的取值范圍是，．故選：．題型03抽象函數的定義域1．核心本質：抓“法則不變，整體范圍不變”，不看自變量字母，只看作用的整體取值區間．2．兩類核心考法（1）已知定義域，求定義域：令內層函數的取值范圍與原自變量范圍一致，解出即可；（2）已知定義域，求定義域：先根據范圍求出整體值域，該范圍即為的定義域．3．高頻易錯：不可直接替換自變量，嚴禁混淆“整體范圍”與“單個字母范圍”．學以致用學以致用【例7】（2025秋?烏魯木齊期末）已知函數的定義域為，，則函數的定義域為（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】結合抽象函數定義域的解法，即可求解．【解答】解：函數的定義域為，，對于函數，令，解得，故的定義域為，．故選：．【例8】（2026春?開福區校級期中）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．【答案】【分析】由抽象函數定義域結合二次函數不等式即可求解．【解答】解：函數的定義域為，則，所以函數的定義域為；若函數有意義，則，解得．故選：．【例9】（2026春?天津校級期中）已知函數的定義域是，，則函數的定義域是（）A． B． C．， D．，【答案】【分析】由已知求得函數的定義域，進一步求解得答案．【解答】解：因為函數的定義域為，，即，所以，即函數的定義域為，，要使有意義，則，解得．則函數的定義域是，．故選：．題型04由定義域求解函數或參數1．逆向解題邏輯：已知函數固定定義域，反向推導式子滿足的恒成立條件，進而求解參數取值．2．常見模型：定義域為，說明分母恒不為0、根式被開方數恒非負，轉化為不等式恒成立問題；定義域為有限區間，說明限制不等式的解集與已知區間一致．3．解題技巧：根據定義域邊界，鎖定方程零點、不等式解集，聯立條件求解參數，必要時分類討論參數取值．學以致用學以致用【例10】（2026?杭錦后旗校級模擬）若函數的定義域為，則實數的取值范圍是（）A．， B． C．， D．，，【答案】【分析】問題轉化為對任意恒成立，再對分類求解得答案．【解答】解：若函數的定義域為，則對任意恒成立，當時，顯然成立；當時，有，解得．綜上所述，實數的取值范圍是，．故選：．【例11】（2025春?牡丹江校級期末）若函數的定義域為，則實數取值范圍是，．【答案】，．【分析】根據題意知恒成立，再求解即可．【解答】解：函數的定義域為，則恒成立，當時，的圖象開口向下，不滿足題意；當時，恒成立，滿足題意；當時，△，解得．綜上所述，實數取值范圍是，．故答案為：，．【例12】（2025秋?江西期中）若函數的定義域為，則的取值范圍是．【答案】．【分析】由分母大于0，列式求解即可．【解答】解：的定義域為，則恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以．故的取值范圍是．故答案為：．題型05簡單函數的值域1．整式函數值域：一次、二次函數結合定義域區間，利用單調性、頂點最值、區間端點值，確定函數最值，寫出值域區間．2．分式、根式函數值域：先求解內層代數式的取值范圍，再結合函數單調性、變換規則，整體推導函數取值上下界．3．邊界判定規則：能取到最值用閉區間端點，無法取到最值、無窮范圍統一用開區間端點．學以致用學以致用【例13】（2025秋?綏棱縣校級期中）函數的值域是（）A． B．， C．， D．，【答案】【分析】根據函數的單調性求解．【解答】解：函數在，上為單調遞增函數，所以，即函數的值域為，．故選：．【例14】（2025秋?石家莊校級期中）函數，，的值域為（）A． B． C．， D．，【答案】【分析】換元后得到，結合函數單調性得到值域．【解答】解：，，設，則，，則，所以函數變為，在，上單調遞減，其中，，所以函數的值域為，．故選：．【例15】（2025秋?海淀區校級期中）下列函數中，值域為的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合基本初等函數的性質即可求解．【解答】解：，當時，，顯然錯誤；根據二次函數的性質可知，，錯誤；因為，所以，，錯誤；，正確．故選：．題型06抽象函數的值域1．值域傳遞原理：復合抽象函數的值域，由內層函數的取值范圍，結合外層法則共同確定．2．核心結論：僅替換自變量字母，函數值域不變，與值域完全相同．3．解題流程：求內層整體取值區間→代入外層對應法則→判定最值與邊界→寫出最終值域．學以致用學以致用【例16】（2025秋?宜春校級期中）若函數的定義域和值域都是，，則函數的定義域和值域分別為（）A．和， B．和， C．，和 D．，和，【答案】【分析】結合函數平移及抽象函數的定義域和值域求解即可．【解答】解：由于函數的定義域和值域都是，，函數的圖象可以由函數的圖象向左平移2個單位得到，所以函數的定義域為，，值域為，．故選：．【例17】（2025春?長沙校級期末）若函數的值域為，則函數的值域為（）A．， B． C．， D．【答案】【分析】令，通過換元法將表示為，然后根據二次函數的性質求解出的值域．【解答】解：根據題意可知，令，得，，則，（2），對稱軸，開口向上且，，函數的值域為，．故選：．【例18】（2025秋?徐匯區校級期中）若函數的值域是，，則函數的值域為，．【答案】，．【分析】由函數值域的定義可知，的左右平移不影響函數的值域，由此分析求解即可．【解答】解：因為函數的值域是，，所以函數的值域為，，則的值域為，，所以函數的值域為，．故答案為：，．題型07由值域求解函數或參數1．核心邏輯：值域是函數所有輸出值的集合，給定值域等價限定函數的最大值、最小值，可逆向約束參數．2．常見考法：已知函數存在最值、值域不含某數值、值域為全體實數等條件，結合函數單調性、判別式、最值公式，建立參數等式或不等式．3．解題關鍵：區分值域范圍與最值邊界，精準鎖定參數取值區間，避免范圍擴大或縮小．學以致用學以致用【例19】（2025秋?南開區期中）若函數的值域為，，則的取值范圍是，．【答案】，．【分析】根據值域為，，分析可得，函數的最小值要小于等于0，列出方程，即可得結果．【解答】解：因為函數的值域為，，所以函數的最小值要小于等于0，當時，，不符合題意；所以，解得．故答案為：，．【例20】（2025秋?松江區校級期末）若函數，的定義域是，，值域是，，則1或．【答案】1或．【分析】由已知結合一次函數的單調性即可求解，，進而可求．【解答】解：由題意得，當，在，上單調遞增，由題意得（1），（2），解得，，則當時，在，上單調遞減，由題意得（1），（2），解得，，則．故答案為：1或．【例21】（2024秋?西城區校級月考）若函數的值域為，，則實數1．【答案】1【分析】由函數的值域，可得時，取到最大值，進而求出的值．【解答】解：函數的定義域為，，因為函數的值域為，，則當時，，可得．故答案為：1．題型08判斷兩個函數是否為同一函數1．兩步判定法：第一步分別求解兩個函數的定義域，對比是否完全一致；第二步化簡對應關系，判斷運算規則是否完全相同．2．核心禁忌：僅化簡解析式一致、但定義域不同的函數，不是同一函數；定義域相同、對應規則不同，也不是同一函數．3．快速判斷技巧：優先看定義域，定義域不同可直接判定為不同函數，無需化簡解析式．學以致用學以致用【例22】（2026?浦口區校級二模）下列函數和為同一函數的是（）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】【分析】根據同一函數的定義判斷各選項即可．【解答】解：兩個函數若為同一函數，需要定義域和解析式相同，對于，函數的定義域為，函數的定義域為，而，所以函數和不為同一函數；對于，函數的定義域為，，，函數的定義域為，，，而，，即兩個函數的定義域和解析式相同，所以函數