2026年新高一數學暑假銜接專題《等式性質與不等式性質》

預備新高一預備新高一數學專題08等式性質與不等式性質一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?冀州區期末）若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．（2025秋?安寧區期末）下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則3．（2026?楊浦區模擬）已知，，，則下列結論不正確的是（）A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則4．（2026?揭陽模擬）已知，，，且，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．5．（2026?浦東新區模擬）已知、為非零實數，且，則下列命題一定成立的是（）A． B． C． D．6．（2026?上海）已知，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．7．（2026?遷西縣模擬）下列命題是真命題的為（）A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，則8．（2026?岳麓區模擬）已知，，，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．9．（2026?模擬）下列結論錯誤的是（）A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則10．（2025秋?昭通期末）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則二．多選題（共4小題）（多選）11．（2026春?常州期中）若，，，均為實數，且，，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．（多選）12．（2026春?吉林期中）下列不等關系正確的是（）A．若，則 B．若且，則 C．若且，則 D．若，則（多選）13．（2026?廣州模擬）已知實數，，，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．（多選）14．（2025秋?廈門期末）已知，，，則下列命題錯誤的是（）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則三．填空題（共4小題）15．（2025秋?清遠月考）若，則與的大小關系為．16．（2026春?香坊區月考）若，，則的取值范圍為．17．（2024秋?莆田期末）若，，則的取值范圍是．18．（2025秋?南昌縣月考）已知，，則的取值范圍為．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?海南州月考）用作差比較法判斷大?。海?）與的大?。唬?）與的大小．20．（2025秋?昌平區月考）若，，比較和的大小，并證明．21．（2025?寧津縣開學）已知，，，求證：．22．（2025秋?喀什地區月考）（1）比較與的大小；（2）已知，，，求證：．23．（2025秋?英吉沙縣期中）（1）比較和的大??；（2）已知，，求和的取值范圍．24．（2025秋?余干縣期中）實數、滿足，．（1）求實數、的取值范圍；（2）求的取值范圍．

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDADCCDCAB二．多選題（共4小題）題號11121314答案ACACABDABD一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】結合不等式的性質即可求解．【解答】解：當，時，顯然錯誤；若，則，正確．故選：．2．【答案】【分析】通過舉反例排除，兩項；利用作差法判斷項，結論錯誤；運用不等式的性質可推理得到項結論．【解答】解：對于，若，當時，則，故錯誤；對于，若，，滿足，但，故錯誤；對于，因，，由，可得，故錯誤；對于，由，得，因，則，故正確．故選：．3．【答案】【分析】根據不等式的性質和函數的單調性逐項判斷即可．【解答】解：對于，因為，由不等式的性質，不等式兩邊同時加上一個數，不等式方向不變，，故錯．對于，因為函數在上單調遞增，，所以，故正確．對于，已知那么，不等式兩邊同除以，不等式方向不變，所以，故正確．對于，已知，所以，，因為函數在，上單調遞增，所以，故正確．故選：．4．【答案】【分析】根據不等式的性質即可判斷每個選項的正誤．【解答】解：時，，錯誤；時，，錯誤；，時，，錯誤；是上的增函數，，所以，正確．故選：．5．【答案】【分析】結合作差法，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：令，，滿足，但，故錯誤；令，，滿足，但，故錯誤；、為非零實數，且，則，即，故正確；令，，滿足，則，故錯誤．故選：．6．【答案】【分析】舉例說明錯誤，由不等式的性質判定．【解答】解：取，，滿足，此時，故錯誤；取，，此時，，，故錯誤；當時，，故正確；取，，此時，，，故錯誤．故選：．7．【答案】【分析】由已知結合不等式的性質檢驗各選項即可判斷．【解答】解：當，時，顯然錯誤；當，，，時，顯然錯誤；當時，顯然錯誤；若，，則，正確．故選：．8．【答案】【分析】利用特值法，和排除法，即可得到答案【解答】解：對于選項，當，時，不成立，對于選項，當，時，不成立，對于選項，當時，不成立，故選：．9．【答案】【分析】利用不等式的性質逐個分析各個選項即可．【解答】解：對于，，，則，故錯誤；對于，若，根據冪函數的性質，可得，故正確；對于，若，，則，故正確；對于，，，即，故正確．故選：．10．【答案】【分析】對于，作差即可判斷；對于，由不等式的可加性即可判斷；對于，易知時，即可判斷；對于，易知若，則．【解答】解：若，則，所以，錯誤；根據不等式的性質可知，若，則，正確；當時，，錯誤；因為，所以，，由可知，錯誤．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】根據不等式的性質判斷，可舉反例說明錯誤的結論．【解答】解：因為，，由不等式的性質知正確，當，，，時，滿足，，但，，錯誤．故選：．12．【答案】【分析】由不等式的基本性質逐個判斷選項，利用特殊值判斷選項．【解答】解：對于，若，則，所以，故正確；對于，若則；若，則，此時；若，則，，則，故，故不正確；對于，若，，則，所以，故正確；對于，若，當，，，，則，故不正確．故選：．13．【答案】【分析】對選項由不等式的乘法、乘方性質可得，對選項由不等式的加法性質可得．【解答】解：已知實數，，，且，對選項，因為，，由不等式的乘法性質得，得，即，故正確；對選項，因為，由不等式的可加性得，故正確；對選項，因為，所以，由不等式的乘方性質得，即，故錯誤；對選項，因為，，由不等式的乘法性質得，故正確．故選：．14．【答案】【分析】根據加以判斷，可得項的正誤；取、加以判斷，可知項的正誤；運用不等式的性質加以判斷，可得項的正誤；取、、，可判斷項的正誤．【解答】解：若，，則，不成立，故錯誤；若，則，可知錯誤；若，則可知，兩邊同時乘以，可得，故正確；當，，時，滿足，此時，故錯誤．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】．【分析】利用作差法可得出結論．【解答】解，．故答案為：．16．【答案】．【分析】由不等式性質計算即可．【解答】解：若，，所以，，根據同向不等式可加性得，的取值范圍為．故答案為：．17．【分析】先求出的范圍，然后由求得，從而可得，求出所求．【解答】解：若，，則，，，故答案為．18．【分析】先得到，根據不等式性質得到取值范圍．【解答】解：因為，又，，所以，，，所以．故答案為：，．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1）（2）若，則；若，則；若，則．【分析】（1）利用作差法比較大小即可；（2）利用作差法比較大小即可．【解答】解：（1）因為，所以．（2），因為（且只有時取等號），所以若，則；若，則；若，則．20．【答案】，證明如下：，，，，，即．【分析】利用作差法，結合條件判斷差的符號，即可證明結論．【解答】解：，證明如下：，，，，，即．21．【答案】，，，則，所以，所以．【分析】結合不等式的性質即可證明．【解答】證明：，，，則，所以，所以．22．【答案】（1）；（2）因為，，可得，，則，又，可得．【分析】（1）利用比較法，作差即可判斷大小；（2）結合不等式性質即可證明．【解答】解：（1），；（2）證明：因為，，可得，，則，又，可得．23．【答案】（1）；（2）和的取值范圍分別為；，．【分析】（1）作差法比較大小即可；（2）應用不等式性質判斷大小關系．【解答】解：（1）因為，所以；（2）由，，則，故；又，故．即和的取值范圍分別為；，．24．【答案】（1），，；（2），．【分析】（1）由不等式的性質求解，即可得出答案；（2）利用待定系數法用與將表示出來，然后利用不等式的性質求解即可．【解答】解：（1）由，，則，所以，所以，即，即的取值范圍為，．因為，由，所以，所以，所以，則，即的取值范圍為．（2）設，則，解得，，，，．，，，即的取值范圍為，．

預備新高一預備新高一數學專題08等式性質與不等式性質1．掌握等式的基本性質，理解等式變形的邏輯依據．2．掌握不等式的基本性質，明確不等式變形的規則與禁忌．3．能熟練利用性質比較實數與代數式的大小關系．4．掌握不等式性質的綜合應用，能解決大小比較、范圍判斷、正誤辨析問題．一、等式的基本性質1．對稱性：若，則．2．傳遞性：若且，則．3．可加性：若，則．4．可乘性：若，則．5．可除性：若且，則．二、實數大小比較依據（作差法核心）對任意實數a,b，有以下等價關系：1．2．3．核心作用：將代數式大小比較轉化為差值正負判斷，是本章最基礎、最通用的方法．三、不等式的八大基本性質1．對稱性：若，則．2．傳遞性：若且，則．3．可加性：若，則．4．同向可加性：若，則．5．可乘性：若，則；若，則ac（乘負變號）．6．同向正值可乘性：若，則．7．正值可乘方性：若，則．8．正值可開方性：若，則題型01利用作差法比較代數式大小1．作差法通用步驟（1）作差：構造兩個代數式的差值；（2）變形：通過因式分解、配方、通分整理差值；（3）判號：判斷差值正負或是否為0；（4）下結論：根據正負判定大?。?．實例邏輯（如：比較與2x，作差配方得，可直接判定大?。┳鞑罘ㄟm配所有整式、分式大小比較，不受正負、范圍限制，適用性最廣．3．解題作用解決基礎數值、代數式大小比較問題，是本節最核心的基礎方法．學以致用學以致用【例1】（2026春?溫江區校級期中）已知，，則與的大小關系為（）A． B． C． D．與有關【答案】【分析】利用作差法即可比較，的大小．【解答】解：因為，，所以，所以．故選：．【例2】（2025秋?內蒙古校級期末）若，，則（）A． B． C． D．，的大小關系無法確定【答案】【分析】結合作差法，即可求解．【解答】解：，，則，故．故選：．【例3】（2025秋?冀州區校級期中）已知，，則與大小關系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】應用作差法比較大小即可．【解答】解：因為，，，所以．故選：．題型02不等式對稱性與傳遞性的應用1．性質應用邏輯（1）對稱性（如：已知，可等價轉化為n<m，實現不等式方向互換）對稱性用于統一不等式書寫方向，適配鏈式大小排序題型．（2）傳遞性（如：已知，可遞推得到，間接推導大小關系）傳遞性用于多組不等式鏈式推導，實現間接大小判定．2．易錯提醒傳遞性必須保證中間量完全銜接，斷裂條件無法遞推大小．3．解題作用解決多實數、多代數式鏈式排序、間接大小推導題型．學以致用學以致用【例4】（2026春?烏魯木齊校級月考）下列命題為假命題的是（）A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】【分析】利用不等式的性質逐項判斷作答．【解答】解：對于，若，，則，是真命題；對于，若，，則，是真命題；對于，若，，則，是真命題；對于，取，，，，滿足，，而，是假命題．故選：．【例5】（2025秋?龍崗區校級期中）若，，為非零實數，且，，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用不等式的性質或舉反例逐一判斷各選項即可．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于，因，，，的大小不確定，故錯誤；對于，若取，，，滿足，，但，故錯誤；對于，由，，則，即，故正確；對于，若取，，，滿足，，但，故錯誤．故選：．【例6】（2025秋?順義區校級期中）設，，為實數，且，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合不等式性質檢驗各選項即可求解．【解答】解：因為，所以，錯誤；，正確；，錯誤；當，，時，顯然錯誤．故選：．題型03不等式可加性與同向可加性辨析1．兩類加法性質區分（1）單項可加性（如：，則，兩邊同加任意數，方向不變）單側加常數、加代數式，不改變不等式方向，屬于恒成立變形．（2）同向可加性（如：，相加得，同向疊加放大范圍）僅同向不等式可相加，異向相加無固定規律，屬于高頻易錯點．2．核心禁忌嚴禁將同向可加性逆用，不等式不可相減．3．解題作用用于不等式范圍放大、多條件整合，適配取值范圍判斷題型．學以致用學以致用【例7】（2026?荷塘區校級學業考試）若實數，滿足，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合不等式的性質檢驗各選項即可求解．【解答】解：因為，則，故正確，錯誤；因為，故，即，故，錯誤．故選：．【例8】（2025秋?泉州校級期中）若，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】舉特殊值可判斷、和，由不等式的性質可判斷．【解答】解：對于，當時，故錯誤；對于，因為，所以，故正確；對于，當，，時，滿足，但，，，故錯誤；對于，當，，時，滿足，但此時，故錯誤．故選：．【例9】（2026?西城區校級模擬）已知實數，，，滿足：，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據不等式的性質即可判斷的正誤；舉反例即可判斷的正誤．【解答】解：因為，，所以，正確；取，，，，得出，錯誤；取，，，，則，，錯誤．故選：．題型04不等式可乘性的正負辨析應用1．正負分類邏輯（1）乘正數不變號（如：，同乘，得，方向保持一致）正數不改變不等式大小關系，是安全變形條件．（2）乘負數必變號（如：，同乘，得，方向反轉）負數是不等式變形最大陷阱，未知正負必須分類討論．2．解題核心規則遇乘法先判正負，正同、負反、零單獨討論．3．解題作用規避不等式乘除變形的高頻錯誤，是不等式變形的核心依據．學以致用學以致用【例10】（2026?溫州學業考試）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知結合不等式的性質檢驗各選項即可求解．【解答】解：已知，，則，，，故，正確；，則，，，故正確；取，，，，滿足，，此時，，即，故不恒成立，故錯誤；，則，，則，故，故正確．故選：．【例11】（2026春?天津校級期中）已知，，，且，，，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】舉出反例檢驗選項，結合不等式性質檢驗選項．【解答】解：對于，當，，時，錯誤；對于，當，，時，，錯誤．對于，當，，時，，錯誤；對于，因為，，所以，正確．故選：．【例12】（2026?海淀區校級模擬）已知，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據舉反例的方法判斷，，根據不等式的性質判斷，．【解答】解：當，，，時，，錯誤；當，，，時，，錯誤；因為，所以，又，則，即，正確，錯誤．故選：．題型05同向正值不等式可乘性應用1．適用前提條件（1）必須同向、必須全正（如：，可相乘得）缺少正值約束、方向不同，均不可直接相乘，極易誤判．（2）不可逆用（乘積大無法推出原式大，存在正負干擾）正值相乘僅能正向推導，反向推導不成立．2．解題關鍵先判定所有式子是否為正數，再判定方向是否同向，缺一不可．3．解題作用解決正數不等式疊加、乘積大小比較的綜合問題．學以致用學以致用【例13】（2025秋?孝感期末）下列命題是假命題的為（）A．若，則 B．若，，則 C．若且，則 D．若，則【答案】【分析】由已知結合不等式的性質檢驗各選項即可判斷．【解答】解：當時，顯然為假命題；若，，則，為真命題；若且，則，，為真命題；若，則，所以，為真命題．故選：．【例14】（2026?浦東新區校級模擬）已知、是非零實數，若，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】對于：舉反例說明即可；對于：利用作差法分析判斷即可．【解答】解：對于選項：當，時，顯然錯誤；對于選項：當，，滿足，但，故錯誤；對于選項：因為，且，、是非零實數，則，，可得，即，故正確．故選：．【例15】（2026春?威遠縣校級期中）如果，，，，則正確的是（）A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】【分析】舉例說明是錯誤的，用作差法證明是正確的．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于，取，，則，故錯誤；對于，取，則，故錯誤；對于，由于，所以，則，故正確；對于，取，，，，則，，，故錯誤．故選：．題型06不等式乘方與開方性質應用1．性質適用前提（1）正值可乘方（如：，則，正數乘方保持大小方向）正數范圍內，乘方、開方均保持單調遞增，大小關系不變．（2）負值不可直接套用（如：，平方后，方向反轉）負數不滿足乘方單調性，直接套用性質必然出錯．2．核心判定規則先判正負，全正可直接乘方開方，含負必須單獨分析．3．解題作用解決根式、平方數、高次冪的大小比較難題．學以致用學以致用【例16】（2025秋?百色期末）已知，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合不等式的性質，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：當時，，，故錯誤；令，，滿足，但，故錯誤；，則，又，則，故正確．故選：．【例17】（2026春?閔行區校級期末）若，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據已知條件，結合特殊值法和函數單調性，即可求解．【解答】解：對于，令，，滿足，但，故錯誤，對于，在上單調遞增，又，（a）（b），即，故正確，對于，令，，滿足，但不成立，故錯誤，對于，當時，，故錯誤．故選：．【例18】（2026?楊浦區二模）若，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據，取，，則可排除錯誤選項．【解答】解：由，取，，則可排除．故選：．題型07不等式命題正誤辨析判斷題1．正誤辨析通用邏輯（1）正面驗證：符合不等式基礎性質、滿足正負前提、方向規則，即為真命題．（2）舉反例否定：只要找到一組正負數值不滿足結論，即可判定命題為假．2．高頻陷阱匯總未知正負直接乘除、異向不等式相加、負數直接乘方、不等式隨意相減，均為常見錯誤命題．3．解題步驟先看前提、再看運算、最后判方向，無前提默認錯誤．4．解題作用適配本章選擇、填空高頻辨析題型，快速秒殺真假命題判斷．學以致用學以致用【例19】（2026春?朝陽區校級期中）已知，，，則下列結論中正確的是（）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】【分析】結合特殊值反例與作差配方的方法，逐一判斷每個選項的不等式是否恒成立，排除錯誤選項后確定正確結論．【解答】解：選項取，，，此時，，滿足，但，與結論矛盾，因此錯誤．選項作差得，其中，當且僅當時取等號