2026年新高一數學暑假銜接專題《充要條件》

預備新高一預備新高一數學專題05充要條件一．選擇題（共10小題）1．（2026?鹽邊縣模擬）已知，，則“”是“，或”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2026?廣州模擬）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2026?營口模擬）使“”成立的一個充分不必要條件是（）A．或 B． C． D．4．（2026春?北辰區月考）若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2026?寶山區模擬）“”是“”的條件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要6．（2026?肥城市模擬）若，下列選項中，使成立的充分不必要條件為（）A． B． C． D．7．（2026?岳陽模擬）設，為非零實數，則“”是“”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2026春?重慶月考）設，則“”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2026春?寶山區期末）已知，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件10．（2026?招遠市模擬）“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二．多選題（共4小題）（多選）11．（2025秋?獨山子區期末）成立的一個充分不必要條件為（）A． B．或 C． D．（多選）12．（2026春?金鳳區期中）已知集合，或，則的必要不充分條件可能是A． B． C． D．（多選）13．（2025秋?廈門期末）若“”是“”的充分不必要條件，則的取值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4（多選）14．（2025秋?泉州期中）下列各式可以作為“”的一個充分不必要條件的有（）A． B． C． D．三．填空題（共4小題）15．（2025秋?寶山區期末）“”是“”的條件．16．（2025秋?普洱期末）若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是．17．（2025秋?蘭州期中）已知，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為．18．（2024秋?衡陽期末）設；．若是的充分不必要條件，取值范圍是．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?山西期末）已知集合，．（1）當時，求；（2）設，，若是的必要不充分條件，求的取值范圍．20．（2025秋?江陰市期末）已知集合，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）已知，，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．21．（2025秋?鄂爾多斯期末）已知全集，集合，．（1）若，求和；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍．22．（2025秋?義馬市期末）已知集合，或．（1）當時，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．23．（2025秋?杭州期末）已知集合，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．24．（2025秋?利通區月考）（1）已知或，，且是的必要而不充分條件，求的取值范圍；（2）求證：是一元二次方程的一個根的充要條件是．一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABBAACDAAA二．多選題（共4小題）題號11121314答案ABCABBCDBC一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】結合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：若，則或一定成立，充分性成立；若或時，不一定成立，必要性不成立．故選：．2．【答案】【分析】結合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：記“”為條件，“”為條件，因為，所以成立，必要性成立；當時，，但，此時不能推出，充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．3．【答案】【分析】解不等式，利用集合的包含關系判斷即可．【解答】解：由得，等價于，解得，結合選項可知，是的真子集，所以使“”成立的一個充分不必要條件是“”．故選：．4．【答案】【分析】結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：由“”是“”的必要不充分條件，得，則，解得，所以的范圍是．故選：．5．【答案】【分析】結合不等式的性質檢驗充分必要條件即可求解．【解答】解：若“”，則“”，所以“”“”，充分性成立，若“”，則或，即或；所以“”推不出“”，必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件．故選：．6．【答案】【分析】結合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：解不等式，得，，記使不等式成立的充分不必要條件為集合，則集合為集合的真子集，所以．故選：．7．【答案】【分析】根據充分條件與必要條件定義舉特殊值判斷即可．【解答】解：由題意當，時，滿足，但，故充分性不滿足；當，時，滿足，但，故必要性不滿足．故選：．8．【答案】【分析】先解出兩個不等式，然后根據充分性和必要性的定義即可得解．【解答】解：由，得，所以，由，得，解得，因為集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．9．【答案】【分析】先求解不等式得到對應解集，再通過兩個取值范圍的包含關系判斷充分性和必要性是否成立．【解答】解：由可得，解得．充分性：若則成立，即成立．必要性驗證：若則，但不一定成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件．故選：．10．【答案】【分析】結合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：可得或，則“”是“”的充分不必要條件．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】解出不等式，再對照選項找到其真子集即可．【解答】解：，即，即，解得或，表示成區間即為，，，其充分不必要條件一定為其真子集．故選：．12．【答案】【分析】若，則分和兩種情況，討論得到的取值范圍為，，再結合必要不充分條件，逐一判斷即可．【解答】解：集合，或，若，則分和兩種情況，當時，，即，當時，，解得，綜上，時的取值范圍為，，則的必要不充分條件可能為，，故選：．13．【答案】【分析】根據集合之間的包含關系可得．【解答】解：由“”是“”的充分不必要條件，可知：是的真子集，結合選項可得：的取值可以是2，3，4．故選：．14．【答案】【分析】由的充分不必要條件對應集合一定是，的真子集，可判斷每個選項的正誤．【解答】解：，結合選項可得，是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，是的充要條件．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】必要不充分．【分析】根據一元二次不等式的解法，先解得的范圍，根據充分、必要條件的定義，即可得答案．【解答】解：由題意，解得或，因為或，所以“”是“”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．16．【答案】．【分析】結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：若“”是“”的充分不必要條件，則，，，所以，即．故答案為：．17．【分析】根據題意可得，解得，即可求出的范圍．【解答】解：由，可得，是的必要不充分條件，，解得，故實數的取值范圍為，．故答案為：，．18．【答案】．【分析】先求出所對應不等式的范圍，結合充分必要條件與集合的包含關系的轉化即可求解．【解答】解：由可得，若是的充分不必要條件，則，，，則，兩等號不能同時取得，解得．故答案為：．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）求解集合中不等式，再根據補集定義求解；（2）求解集合中不等式，再根據是的必要不充分條件，得集合是集合的真子集，最后建立不等式組求解．【解答】解：（1）當時，，所以，（2）易求，因為是的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，所以，且，解得，故的取值范圍為，．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先由集合的運算，得到兩個集合的關系，再分和兩種情況討論，最后取兩種情況的并集；（2）先由是的充分不必要條件，得到是的真子集，再根據集合的關系列不等式求解．【解答】解：（1）因為，所以，當時，則，解得；當，則，解得，綜上所述，實數的取值范圍是；（2）因為是的充分不必要條件，所以是的真子集，則，其中不同時取等號，解得，所以實數的取值范圍是．21．【答案】（1）；或；（2）．【分析】（1）當時，寫出集合，再根據集合運算計算即可；（2）由題意知，集合是集合的真子集，分和兩種情況討論，根據集合的包含關系可得出關于實數的不等式，求解即可．【解答】（1）當時，集合，因為，所以，或，或；（2）若“”是“”的必要不充分條件，則，當時，，不存在，當時，，解得；綜上所述，實數的取值范圍為．22．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）先求出集合，然后結合集合的交集運算即可求解；（2）結合充分必要條件與集合的包含關系即可求解．【解答】解：（1）當時，集合，或，或；（2）若“”是“”的充分不必要條件，則，，，，則，解得，故的取值范圍是．23．【答案】（1）；（2）．【分析】先分別求出集合和，（1）根據集合的基本運算求解即可；（2）利用子集定義能求出實數的取值范圍．【解答】解：集合，集合，（1）時，，可得；（2）“”是“”的充分不必要條件，可得，可得，解得，故實數的取值范圍為．24．【答案】（1）或；（2）充分性：，，代入方程，可得，即．故關于的方程有一個根為1．是方程的一個根必要性：是方程的一個根，將代入方程得．綜上可得，是一元二次方程的一個根的充要條件是．【分析】（1）根據必要不充分條件轉化為真包含關系即可得解；（2）結合一元二次方程根的概念，分別證明充分性與必要性即可得證．【解答】解：（1）是的必要而不充分條件，所以中變量的取值集合是中變量取值集合的真子集，所以或，即或，故的范圍為或；（2）證明：充分性：，，代入方程，可得，即．故關于的方程有一個根為1．是方程的一個根，充分性成立；必要性：是方程的一個根，將代入方程得，必要性成立，綜上可得，是一元二次方程的一個根的充要條件是．

預備新高一預備新高一數學專題05充要條件1．理解充要條件的定義與雙向推導的邏輯關系．2．掌握充要條件的判定方法與核心特征．3．能區分充要條件與充分、必要條件的差異．4．會利用充要條件的性質辨析命題、求解參數問題．一、充要條件的定義1．定義：如果既有，又有，就記作，此時稱是的充分必要條件，簡稱充要條件．2．核心含義：與等價，成立則一定成立，成立則也一定成立．3．通俗總結：充要條件滿足“有它就行，沒它不行”，條件與結論完全等價．二、四種條件關系完整總結1．充分不必要條件：，2．必要不充分條件：，3．充要條件：，雙向互相推出4．既不充分也不必要條件：，三、充要條件與集合關系若條件對應集合，條件對應集合：1．當時，，是的充要條件．2．含義：兩個條件對應的取值范圍完全一致，無偏差、無遺漏，互為等價條件．四、充要條件的核心性質1．對稱性：若是的充要條件，則也是的充要條件。2．等價性：充要條件的兩個命題可以互相替換，解題中可等價轉化條件題型01判斷命題是否為充要條件1．充要條件雙向判定標準（1）充分性成立（如：可以推出，滿足條件可推出結論）充分性成立負責驗證條件足夠支撐結論成立．（2）必要性成立（如：限定時，可以推出，結論成立可反推條件成立）必要性成立負責驗證條件是結論成立的必備前提．2．充要條件成立的兩個條件（1）正向推導成立：．（2）反向推導成立：．雙向同時成立，才可判定為充要條件，缺一不可．學以致用學以致用【例1】（2025秋?徐州校級期中）設，，則的充要條件是（）A． B． C．且 D．或【答案】【分析】由等價于求解即可．【解答】解：等價于且．故選：．【例2】（2025秋?奉賢區期末）已知，，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】【分析】結合絕對值的意義檢驗充分必要性即可求解．【解答】解：，故“”是“”的充要條件．故選：．【例3】（2024秋?信陽期末）已知實數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷即得．【解答】解：根據題意，實數，則，若時，，則，則“”是“”的充分條件．反之，當時，而，則，“”是“”的充要條件必綜合可得：“”是“”的充要條件．故選：．題型02區分充要條件與單向條件1．三類條件的核心區分依據（1）單向充分（如：推成立，反向不成立，僅為充分不必要，不是充要條件）單向推導只能判定充分或必要，無法滿足等價關系，不屬于充要條件．（2）單向必要（如：推不成立，反向成立，僅為必要不充分，不是充要條件）單向必要說明條件范圍不等價，無法互為前提，不滿足充要關系．（3）雙向等價（如：與，雙向互相推出，范圍完全一致，為充要條件）雙向等價是充要條件獨有的核心特征，區別于所有單向條件．2．解題核心作用精準區分四類條件，避免將單向充分、必要誤判為充要條件．學以致用學以致用【例4】（2025秋?廣東期末）已知，，，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】根據題意，分別驗證充分性以及必要性，即可得到結果．【解答】解：由推不出，如，，滿足，但不成立，則充分性不成立；當時，由于，則，所以，則必要性成立．故選：．【例5】（2026?浦東新區校級開學）已知為實數，則“是有理數”是“是有理數”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】【分析】結合充分必要條件的定義即可求解．【解答】解：若是有理數，則是有理數，必要性成立；若是有理數，也可能為無理數，充分性不成立．故選：．【例6】（2025秋?廣西期末）“”是“不等式對恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】先利用二次不等式恒成立求得等價條件，再利用集合與充要條件的關系即可得解．【解答】解：不等式對恒成立，有△，解得，由，可得“”是“”的充分不必要條件．故選：．題型03依托集合相等判定充要條件1．集合與充要條件的對應規則（1）集合相等等價充要條件（如：條件，條件，兩者對應集合完全相同，互為充要條件）兩個條件對應集合完全相等，是充要條件的直觀判定依據．（2）集合不等非充要條件（如：與集合為包含關系、不相等，一定不是充要條件）只要集合存在范圍大小差異，雙向推導必有一不成立，無充要關系．2．快速判定方法化簡兩個條件對應的集合，集合相等則為充要條件，集合不等則排除充要關系．學以致用學以致用【例7】（2024秋?清江浦區校級期中）設，，則“”的充要條件為（）A．，至少有一個為1 B．，都為1 C．，都不為1 D．【答案】【分析】將化為求解，結合充分、必要性定義即可得答案．【解答】解：則或，至少有一個為1，結合選項可知，“”的一個充要條件為，至少有一個為1，符合．故選：．【例8】（2024秋?浦東新區校級月考）是成立的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】【分析】根據題意，由等式的恒等變形分析充分性，將變形可得，代入中分析必要性，綜合可得答案．【解答】解：根據題意，若，則有，即，變形可得，又由，則必有，即，反之，若，即，故，綜合可得：是成立的充要條件．故選：．【例9】（2024秋?山西期中）已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】【分析】若，則是的充分條件；若，則是的必要條件，【解答】解：當時，兩邊同時平方可得，，即，充分性成立；當時，，即，必要性成立．故選：．題型04充要條件的命題改寫1．改寫核心邏輯（1）等價替換（如：“是的充要條件”，可等價改寫為“”）充要條件的兩個命題可以自由等價替換，命題含義不變．（2）雙向語句轉換（如：由“的充要條件是”可轉換為，雙向等價）充要語句可雙向互換主體，無需改變命題真假性．2．解題作用規范命題表述，轉化符號語言，簡化復雜條件語句．學以致用學以致用【例10】（2024秋?河西區校級月考）“”是“方程有一個正根和一個負根”的_____條件，并證明．【答案】必要不充分．【分析】結合二次方程根的存在條件即可求解．【解答】解：“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，證明如下：若方程有一個正根和一個負根，則，解得，故是的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．【例11】（2023春?同步）設，，，求關于的方程有一個根為的一個充要條件．【答案】詳見解題過程．【分析】根據充分必要條件的定義求出答案即可．【解答】解：若是方程的一個根，則，整理得：，所以方程有一個根為的必要條件是：；若，則，方程可化為，即，是方程的一個根，所以方程有一個根為的充分條件是．綜上可知：方程有一個根為的充要條件是．【例12】試寫出關于的方程有兩個小于1的正實數根的一個充要條件，并給予說明．【答案】，且，【分析】直接利用一元二次方程和不等式的應用求出該題的充要條件．【解答】解：要使方程有兩個小于1的正實數根，設正實數根為和，則：，整理得，且，．即方程有兩個小于1的正實數根的充要條件．題型05充要條件的基礎證明1．證明雙向性的核心要求（1）證明充分性（如：證明與充要，先證由推出）充分性證明正向推導，驗證條件足夠推出結論．（2）證明必要性（如：再證由推出）必要性證明反向推導，驗證結論必須依托該條件．2．證明標準步驟（1）第一步：證明充分性（）．（2）第二步：證明必要性（）．雙向全部證畢，才可證得互為充要條件．學以致用學以致用【例13】（2025秋?江蘇校級月考）（1）已知，都是正實數，且，試比較與的大小，并證明；（2）已知，求證：的充要條件是．【答案】（1），證明如下：，都是正實數，且，由，即；（2）證明：如果，所以，如果，那么由于，則所以，即綜上知，的充要條件是．【分析】（1）利用作差法比較大小即可比較與的大小；（2）分別證明充分性與必要性即可．【解答】解：（1），證明如下：，都是正實數，且，由，即；（2）證明：如果，所以，如果，那么由于，則所以，即，綜上知，的充要條件是．【例14】（2024秋?同步）求證：一元二次方程，，是常數且有一正實根和一負實根的充要條件是．【答案】見證明過程．【分析】根據根與系數關系可證明此題．【解答】證明：必要性：關于的一元二次方程，根據根與系數關系可知，兩根之積為，若，則一元二次方程，，是常數且有一正實根和一負實根；充分性：若一元二次方程，，是常數且有一正實根和一負實根，根據根與系數關系可知兩根之積為負，又因為兩根之積為，則．【例15】（2021秋?新興縣校級月考）求證：一次函數的圖象經過坐標原點的充要條件是．【答案】證明見詳解．【分析】充分性證明：將代入一次函數方程即可求證一次函數的圖象經過坐標原點；必要性證明：將代入一次函數解析式中，求解可得，進而得證．【解答】證明：充分性：如果，那么，當時，，所以一次函數的圖象經過坐標原點；必要性：因為一次函數的圖象經過坐標原點，所以當時，，即，所以，綜上，一次函數的圖象經過坐標原點的充要條件是．題型06已知充要條件求參數值1．參數求解核心依據（1）充要等價集合相等（如：兩個條件互為充要條件，說明兩者對應集合完全一致，元素、范圍完全相同）充要條件可直接轉化為集合相等關系，是求參數的核心依據．（2）等式等價約束參數（如：方程、不等式條件等價，對應系數、范圍必須完全一致，據此列方程求參數）等價關系可約束參數取值，保證雙向推導全部成立．2．標準解題步驟（1）根據充要條件轉化為集合相等或式子等價．（2）列方程求解參數候選值．（3）回代檢驗雙向推導是否均成立，舍去不合理解．學以致用學以致用【例16】（2025秋?泉州期中）已知命題，，若是的充要條件，則．【答案】．【分析】設，，由是的充要條件，得求解即可．【解答】解：由題意得，，得，設，，由是的充要條件，得，即，得．故答案為：．【例17】（2024秋?黃埔區校級月考）已知命題，命題．若是的充要條件，則的值是（）A．0 B． C．1 D．2【答案】【分析】先求出，的范圍，然后結合充要條件與集合包含關系的轉化即可求解．【解答】解：由，得，所以，因為，若是的充要條件，則的解集為，即．故選：．【例18】（2024秋?同步）不等式成立的充要條件為，求的值．【答案】．【分析】解不等式，根據充分必要條件的定義得到關于的方程，解出即可．【解答】解：由，得，若不等式成立的充要條件為，則，解得：．題型07充要條件與單向條件綜合辨析1．綜合辨析核心邏輯（1）先判單向推導（如：先判斷推、推各自是否成立）單向推導結果是判定最終條件關系的基礎．（2）后定最終類型（如：雙向成立為充要，僅單向成立為充分或必要，雙向不成立為雙不立）通過雙向結果，精準歸類四種條件關系，無遺漏、無錯判．2．解題作用整合所有條件關系，適配選擇、填空高頻辨析題型，規避易錯點．學以致用學以致用【例19】（2026春?瀘縣期中）設為實數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】由，可得或，進而求解結論．【解答】解：由，可得或，“”能推出“或”，而“或”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要條件．故選：．【例20】（2026春?寧波期末）已知，，則“”是“且”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【分析】應用不