第十二章 定義 命題 證明（單元自測-提升卷）-蘇科版七年級數學下冊

2025-2026學年七年級下冊數學單元自測

第十二章定義命題證明?能力提升

建議用時：60分鐘，滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下面各個命題中，定義為（）

A.兩點之間，線段最短

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.在正數前加上符號“一”的數叫做負數

D.今天的天氣很好

2.下列語句是命題的是（）

A.作一個角等干已知角B.負數小干正數嗎？

C.連接力，8兩點D.-1是一個負數

3.下列命題中，是真命題的是（）

A.如果兩個角相等，那么它們是對頂角

B.在同一平面內，如果a16,b1c,那么ale

C.兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等

D.如果〃力，那么a〃c

4.要說明命題“若問＞人，貝此＞5''是假命題的反例可以是（）

A.a=4,6=2B.a=-2,b=\

C.a=-!,/?=-2D.a=2,b=0

5.定理“等腰直角三角形的兩個銳角都是45。”的逆定理是（）

A.兩個銳角都是45。的三角形是等腰直角三角形

B.等腰直角三角形的角都是45°

C.兩個角不是45。的三角形不是等腰直角三角形

D.有一個角是45。的三角形是等腰直角三角形

6.命題“如果|x|=[y],那么/=尸，的逆命題是（）

A.如果打彷明，那么/獷B.如果肉=%，那么/獷

C.如果/=/,那么忖=例D.如果/抄那么|中加

試卷第1頁，共4頁

7.命題“度數之和為90。的兩個角互為余角”的條件是（）

A.90°B.兩個角C.度數之和為90。D.度數之和為90。的

兩個角

8.下列說法中，錯誤的是（）

A.基本事實是真命題，但真命題不一定是基本事實

B.定義是命題，并且是真命題

C.“兩點之間，線段最短”是基本事實

D.“兩點之間，線段最短”是定理

9.下列可以作為定理的有（）

①一個能被2整除的數也必能被4整除；②相等的角是對頂角；@25與x的平均值是3；④

三角形內角和為180。.

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.用三個不等式肛＞0,x+y＞0中的一個不等式與作為條件，余下的其中

xy

一個不等式作為結論組成一個命題，其中能組成真命題的個數為（）

A.IB.2C.3D.4

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11.一個命題是由兩部分組成.

12.寫出一個你學過的數學學科的真命題：.

13.“如果一個三角形有一個角是鈍角，那么它的另外兩個角是銳角”的逆命題是命

題（選填“真”“假”）.

14.把命題“負數的絕對值是正數”寫成“如果……，那么……”的形式：.

15.命題”如果一個數能被3整除，那么它一定能被6整除”是命題.（填“真”“假”）

16.能說明命題“若〃＜方，則是假命題的一組實數。，6的值為a=,b=

an

17.用反證法證明命題“鈍角三角形中必有一個內角小于45。”時，首先應該假設這個三角形

中.

18.用三個不等式出）＞0,中的兩個不等式作為題設條件，余下的一個不等式

作為結論，組成一個命題，可以組成真命題的個數為個，請同學們寫出一個真命題

試卷第2頁，共4頁

三、解答題(共7小題，共66分)

19.下列各語句中，哪些是命題？其中，哪些是真命題？是真命題的，請先將它改寫為“如

果……那么……”的形式，再找出命題的條件和結論.

(1)已知點P到48兩點的距離PA,PB之和等于線段AB的長，則點P在線段AB上.

(2)已知點P到4夕兩點的距離尸4PB之和大于線段AB的長，則點P在直線AB上.

(3)當時，有/=/.

(4)當/=〃時，有。=6.

20.判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，請舉出一個反例.

(1)兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等.

(2)如果同=例,那么a=b.

(3)兩個鈍角的和一定大于180°.

(4)異號兩數相加和為零.

21.如圖，已知48〃。，射線力H交BC于點F,交CO于點。，從。點引一條射線。E,

又=/2(已知)，

."CFD=_(_),

BC//DE(_),

ZC+_=180°(_),

又(已知)，

???〃=_(_),

.?./8+NCQE=180。(_).

寫出本題所用到的互逆命題：

22.證明：等角的補角相等.

23.已知〃是正整數，求證：(〃+1)2-(耳-1)2能被4整除.

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24.(1)已知：如圖，直線CD、即被直線所所截，/8+N尸=180。,/2=/3.求證:

Z5+Zl=180°.

(2)你在(1)的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題？請把這兩個真命題寫出來.

25.小啟和小正在學習《一元一次不等式》這一章節的時候，面對這樣一個代數命題：”有

兩個數。和6.若a>b.則一定有片>〃,,，兩人提出了如下問題：

(1)小扇說：“這個命題一看就是假命題.”請你幫他們舉一個反例說明.

(2)小正說：“這個命題只要加一個條件就正確了，如：有兩個數。和機若a>6>0,則一

定有/>川.”小啟說：“這樣一改肯定是直命題.可是不太好訐明啊.”請你用所學的知識

幫助他們證明這個命題.

試卷第4頁，共4頁

1.c

【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，是性質不是定義，不符合題意；

B、在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，是性質不是定義，且原說法

錯誤，不符合題意；

C、在正數前加上符號“一”的數叫做負數，是定義，符合題意；

D、今天的天氣很好，不是定義，不符合題意.

2.D

【分析】根據命題的定義，判斷一件事情的語句叫做命題，只需判斷各選項語句是否對一件

事情作!I明確判斷即可得到結果。

【詳解】解：???命題的定義是：判斷一件事情的語句叫做命題。

A選項作一個角等于已知角是作圖指令，沒有對一件事情作出判斷，不是命題；

B選項負數小于正數嗎？是疑問句,沒有對一件事情作出判斷,不是命題：

C選項連接4,8兩點是作圖指令，沒有對一件事情作出判斷，不是命題；

D選項-1是一個負數對-1的屬性作出了明確判斷，符合命題的定義.

3.D

【分析】根據對頂角定義，同?平面內直線的位置關系，平行線的性質，平行公理的推論逐

一判斷選項.

【詳解】解：A選項：相等的角不一定是對頂角，例如兩直線平行形成的同位角相等里不

是對頂角，因此A是假命題；

B選項：?.?在同一平面內，blc,：.aHc,因此B是假命題；

C選項：只有兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角才相等，選項未說明兩條直線平行,

因此C是假命題；

D選項：根據平行公理的推論，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，

:工口c,因此D是真命題.

4.B

【分析】本題主要考查了假命題和反例，解題的關鍵是掌握反例的定義.

假命題的反例需滿足命題的題設Ia|>"但不滿足命題的結論據此分析選項即可.

【詳解】解：???當。=-2,b=l時,

.?.同=卜2|=2,2>1,即1。1>〃成立，

答案第1頁，共9頁

又-2V1,即a>b不成立，

，此例可作為原命題的反例，

故選：B.

5.A

【分析】本題考查了逆定理.原定理的條件是“等腰直角三角形”，結論是"兩個銳角都是

45。”，逆定理需將條件和結論互換.逆定理是原命題的條件與結論互換，需嚴格對應.

【詳解】解：???原定理：若三角形是等腰直角三角形，則兩個銳角都是45。.

逆定理：若兩個銳角都是45。，則三角形是等腰直角三角形.

故選：A.

6.C

【分析】交換題設和結論，即可得到答案.

【詳解】解：“如果|x|=M那么N=*，的逆命題是:如果N=*那么|x|=b，|,

故選：C.

【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是掌握求一個命題的逆命題，就是交換原命題的

題設與結論.

7.D

【分析】本題考查了命題的條件與結論，命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是己知事

頂，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式，題設寫在如果

的后面，把結論寫在那么的后面.

命題的題設與結論部分，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式，如果的后面是條件，那么

的后面是題設.

【詳解】解:命題“度數之和為9()。的兩個角互為余角”寫成:如果兩個角的度數之和等于9()。,

那么這兩個角互為余角，

???命題”度數之和為90c的兩個角互為氽角，，的條件是度數之和為9()c的兩個角.

故選：D.

8.C

【分析】本題考查基本事實、定理、命題與定義的概念辨析，關鍵是明確基本事實是無需證

明的公認真命題，定理是經過邏輯推理證明的真命題，定義是對概念的準確描述且屬于真命

題.

【詳解】解：選項A：基本事實是經過長期實踐公認的真命題，而真命題包含基本坐實、定

答案第2頁，共9頁

理等，該說法正確；

選項B：定義是對■概念的明確表述，是能夠判斷真假的陳述句，且表述內容正確，該說法正

確；

選項C：“兩點之間，線段最短”是初中幾何中的基本事實，該說法正確；

選項D：“兩點之間，線段最短”是無需證明的基本事實，并非經過推理證明的定理，該說法

錯誤.

故選：C.

9.A

【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的

命題稱為假命題，舉一個反例即可說明；經過推理論證的真命題稱為定理.首先利用定理的

定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經過推理論證；經過判斷可以得到①、②、

③是假命題,④是直命題.是經過推理論訐的.據此可以解決問題.

【詳解】解：能被2整除的數未必能被4整除，所以①是假命題，不能作為定理；

相等的角是對頂角是假命題，所以②不能作為定理；

25與x的平均值是三，所以③是假命題，不能作為定理；

三角形的內角和為180。，經過證明是正確的，所以④可以作為定理..

故選：A.

10.B

【分析】本題考查命題的判定和不等式的性質，在等式的兩邊同時加上或者減去同一個數,

不等號的方向不變.根據題意得出6個命題，由不等式的性質和舉反例判斷真假即可.

【詳解】解：根據題意，一共有6種命題組合，

①若不，>0,則x+y>0,取x=-l,y=-2,滿足xy>0,10

x+^=-3<0,故該命題是假命題；

②若x>九號>(),則xy>(),即故該命

Ayxyxyyxxy

題是真命題；

③若則x+7>o,取x=-i,y=-2,滿足x>y,fix+；；=-3<o,

xyxy

故該命題是假命題；

111|11v—X

④若則劉>0,:.----<0,即^—<0,：x>y

xyxyxyxyy

答案第3頁，共9頁

???孫>0,故該命題是真命題：

⑤若X>y,x+y>0,則孫>0,取x=2,y=-\,滿足x>y,”+丁>0,但中=_2<0,

故該命題是假命題；

⑥若x+y>。，則取x=2,y=-h滿足x>?,x+y〉o,但故該

xyxy

命題是假命題，

故其命題一共有2個，

故選：B.

11.題設（或條件）和結論

【分析】此題考查了命題的組成.命題有兩部分組成，即題設（或條件）和結論.據此【可答

即可.

【詳解】解：一個命題由題設（或條件）和結論兩部分組成.

故答案為：題發（或條件）和結論

12.對頂角相等（答案不唯一）

【分析】本題考查了真命題：正確的命題即為真命題，舉例一個例子即可作答.

【詳解】解：依題意，寫出一個你=學過的數學學科的真命題：對頂角相等，

故答案為：對頂角相等（答案不唯一）.

13.假

【分析】首先得出命題的逆命題，進而得出是否是真命題.

【詳解】逆命題是：如果一個三角形有兩個角是銳角，那么三角形另一個角是鈍角，是假命

題.

故答案為：假.

【點睛】此題主要考查了逆命題與定理，正確把握相關定義是解題關鍵.

14.如果一個數是負數，那么這個數的絕對值是正數

【詳解】解：把命題“負數的絕對值是正數''寫成"如果……，那么……”的形式為：如果一個

數是負數，那么這個數的絕對值是正數.

15.假

【分析】根據命題真假的判定方法，若存在滿足命題題設，不滿足命題結論的例子，即可判

定命題為假命題，只需找出反例即可判斷.

【詳解】解：舉反例，例如9,

答案第4頁，共9頁

9能被3整除，即9+3=3,

9不能被6整除，即9+6=1.5,

該數滿足命題的題設，不滿足命題的結論，因此原命題是假命題.

16.-1（答案不唯一）1（答案不唯一）

【分析】只需找到滿足。〈人但不滿足的一組實數即可.

ab

【詳解】解：當。=-1,6=1時，滿足條件〃</）,此時』=-1,1=1,且故不滿

abab

足故可以說明該命題是假命題.

ab

17.每一個內角都大于或等于45。

【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立.

【詳解】解:用反證法證明"鈍角三角形中必有一個內角小于45。”時，

應先假設這個三角形中每一個內角都不小干45。,即每一個內角都大干或等干45。

故答案為：每一個內角都大于或等于45。.

【點睛】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟，在假設結論不成立時

要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多

種情況，則必須一一否定.

18.3如果ah>0那么■或如果">〃，—<7,那么。力>0或如果

fabab

—,ab>0,那么a>b

ab

【分析】本題主要考查了判斷命題真假，不等式的性質，寫出命題的題設和結論當選取

a>b,必〉0作為條件，為結論時，根據不等式兩邊同時除以一個正數不等號不改變

ah

方向即可證明；當選取。>〃，作為條件，/>0為結論時，根據不等式兩邊同時乘以

ab

一個正數，不等號不改變方向即可證明；當選取必>0作為條件。>6為結論時，

ab

據不等式兩邊同時乘以一個正數，不等號不改變方向即可證明.

【詳解】解：當選取。>6,<力>0作為條件，為垢論時，

ab

vab>0,a>h,

ab11

???—>—，即an工>一，

anahba

此時命題是真命題；

答案第5頁，共9頁

當選取a>b,作為條件，必>0為結論時，

ab

11

.??當時>0時，則-ab<^ab,^a>b,符合題意；

an

當時<0時，則--ab>\-ab1即〃>〃，不符合題意；

ab

此時命題是真命題：

當選取。6>0作為條件為結論時，

ab

ab>0,—<―,

ab

.'.—■ab<—ah,即a>力，

ab

??.此時命題是真命題；

綜上所述，可以組成真命題的個數為3個，命題為：如果。>3ab>0,那么如果

ab

a>b,—<y,那么4方>0；如果，<?，ab>0,那么a>b.

abab

故答案為：3：如果a>b,M>0,那.么Leg或如果。>〃，那么/>0或如果

abab

—<-J-,ab>0,那么a>b.

ab

19.⑴是命題，是真命題；改寫：如果點P到小“兩點的距離P4尸8之和等于線段48的

長，那么點P在線段48上；條件：PA+PB=AB；結論：點P在線段力8上；

（2）是命題，假命題

（3）是命題，真命題，改寫：如果。=〃，那么/=/；條件：a=b；結論：a2=b2

（4）是命題，假命題

【分析】本題主要考查命題及真假命題的判斷，熟練掌握命題及真假命題的定義是解題的關

鍵；

（1）根據命題及真假命題的定義可進行求解；

（2）根據命題及真假命題的定義可進行求解；

（3）根據命題及真假命題的定義可進行求解：

（4）根據命題及真假命題的定義可進行求解.

【詳解】（1）解：是命題，且是真命題，

改寫成“如果…那么….”的形式為加果點P至I」/、B兩點的距離04PB之和等于線段月8的

答案第6頁，共9頁

長，那么點P在線段48上：

條件是21+08=48；結論是點尸在線段48上：

(2)解：是命題；

當點。在直線初外時，也可以滿足點。到44兩點的距離04P8之和大于線段44的長,

所以原命題是假命題；

(3)解：是命題，且是真命題；

改寫成“如果…那么…的形式為如果。=力，那么/=/；

條件：a=b；結論：a2=b2;

(4)解：是命題，

因為當/=/時，則有。=±6,所以原命題是假命題.

20.(1)是假命題，反例見解析(答案不唯一)

(2)是假命題,反例見解析(答案不唯一)

(3)是真命題

(4)是假命題，反例見解析(答案不唯一)

【分析】本題考查r平行線的性質，絕對值的意義，鈍角的定義以及有理數的加法法則，分

析題目是否為真命題，需要分別分析各題是否能推出結論，從而作出判斷.

(1)缺少“兩直線平行”的前提條件；

(2)絕對值表示一個數到原點的距離，當兩個數絕對值相等時，它們可能相等，也可能互

為相反數；

(3)通過“鈍角是大于90,小于180"的角”即可判斷為真命題；

(4)舉出絕對值不等的異號兩數相加的例子即可判斷.

【詳解】(1)是假命題，兩條相交直線被第三條直線所截，形成的內錯角不一定相等.

(2)是假命題，如卜3卜|3|,但3/-3.

(3)是真命題.每一個鈍角都大于90。，故兩個鈍角的和一定大于180工

(4)是假命題，如一3和2異號，但-3+2=-1。0.

21.見詳解

【分析】利用平行線的性質和等量代換可得出結論.

【詳解】證明：???/1+/。尸。=180°,Z2+ZFDF=180\

又?.?N1=N2(已知)，

答案第7頁，共9頁

:"CFD=/FDE（等角的補角相等）,

：.BC//DE（內錯角相等，兩直線平行），

??.NC+NCQ￡=180。（兩直線平行，同旁內角互補），

又?:AB"CD（已知），

A=ZC（兩直線平行，內錯角相等），

.?.N8+NCOS=180。（等量代換）.

寫出本題所用到的互逆命題：內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等.

22.見解析

【分析】本題考查了補角性質的證明;由等式的性質得/3=180。-/2