常用邏輯用語（解析版）

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.2常用邏輯用語

【高考考向預測】

近三年高考常用邏輯用語考查頻次穩定，多以選擇題形式出現，核心聚焦充分必要條件判

斷，兼顧全稱與特稱命題的否定及真假判定，常結合函數、幾何、不等式等知識綜合設題；預測

2027年仍會保持常規考查力度，命題將進一步加強與主干知識的融合，側重依托各類知識點辨析

條件關系，注重邏輯推理嚴謹性，題型平穩無大幅難度提升，側重基礎邏輯思維的考查。

【雙基自測?明考向】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打或"X”)

(1)當〃是g的充分條件時，q是〃的必要條件.()

(2)“三角形的內角和為180。”是全稱量詞命題.()

(3)“函數/U)為奇函數”是“大0)=0”的充分不必要條件.()

(4)命題“玉￡R,sii?>cos?若”是真命題.()

【答案】(1)V(2)7(3)X(4)X

2.命題“VxWR,f-x+220”的否定為()

A.lrER,r-x+2<0

B.Vx^R>x-x-^-2W0

C.=x€R,AT-A+2^0

D.VxWR,JC-X+2<0

【答案】A

【解析】命題“Vx￡R,d-x+220”的否定為命題FX+2〈0”.

3.設x￡R,則“cosx=l”是“sinx=0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當cos.r=l時，x=2kji(kWZ),此時sin.r=0；

當sinx=0時，x=lai(k￡Z),

此時cosx=1或cos,r=-l,

所以"cosx=l”是“sin.r=0”的充分不必要條件.

4.設p：q：0WxW2.若〃是q的必要不充分條件，則實數〃［的取值范圍

是.

【答案】［0,1］

【解析】〃：〃Z-IWXWM+2,q：.若〃是q的必要不充分條件，則+

且兩等號不能同時取到，解得OWmWl.

國微點提醒

1.謹記兩個常用結論

(l)p是4的充分不必要條件，等價于下是的充分不必要條件.

(2)鉗題〃和「〃的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.

2.理清一個關系

“4的充分不必要條件是8”是由8能推出A,且A不能推出從而“4是8的充分不必要條件”則

是指4能推出8,而8不能推出A,要注意區別上述兩種說法的不同.

【核心梳理?明考點】

1.夯分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q，則〃是q的充分條件，9是〃的必要條件

〃是《的充分不必要條件且

p是q的必要不充分條件p#q且qnp

〃是〃的充要條件poq

〃是q的既不充分也不必要條件p#q且q#p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號"上”表示.

(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“3”表

示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對M中任意一個x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記p(x)3xeM,p(x)

否定PxQM,

【題型突破?明方向】

題型一充分、必要條件的判定

例」(1)(2024.北京)設〃，b是向量,則“(〃+6>(a?)=0”是“〃或〃=b"的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由(a+b>(0-b)=O,

22

得a-b=Ot

即仟二0,所以⑷=|回，

當好(1,I),斤(-1,1)時,

\a\=\b\f但〃且“W-力，

故充分性不成立；

當a=-b或a=b時,

(a+b)(a))=0,

故必要性成立.

所以a(a+b)(a-b)=0ff是"a=-b氟a=b”的必要不充分條件.

(2)12025?臨沂模擬)已知危)=tanx,則對任意實數1),〃仁(-1,1),“〃+歷>0”是

"4+僧)>0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為/UAtanx在(-1,1)上單調遞增，且是奇函數，

所以tana+lan/7>0<=>tan6/>-tanZ?<=>tana>【an(-/?)=a>-b=a+〃>0,

所以aa+bX)ff是“刎皿>0”的充要條件.

【思維升華】充分、必要條件的三種判定方法

（1）定義法：根據p=q,q0P是否成立進行判斷.

（2）集合法：根據p,q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷.

（3）等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否

成立為止.

【跟蹤訓練】1（多選）下列敘述中正確的是（）

A.是“二1”的充分不必要條件

a

B.若a,b,c￡R,則"a"守護”的充要條件是"a>c"

C.是“方程/+/斫0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件

D.若a,DcWR且a>0,則“VxWR,“+月+°20恒成立”的充要條件是“戶4at?W0”

【答案】ACD

【解析】對于A,6/>1^-<1,當〃<0時，所以1<1次/>1,

aaa

所以“a>l”是“工<1”的充分不必要條件，故A正確；

a

對于B,當6=0時，若"a>c"成立，而ab?=0=cb2,充分性不成立，故B錯誤；

對于C,令y（x）=f+x+a,方程9+X+。=0有一個正根和一個負根，則1A0）<0,

則有。<0,所以“。<1”是“方程f+x+a=0有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，故C正確；

對于D,當a>0時，由VxER,—+/?x+c20恒成立可以推出/二序-4acW0,

而由［心4加<0也可以推出af+Z^+c2。恒成立，故D正確.

題型二充分、必要條件的應用

例2（1）（2025?哈爾濱模擬）下列四個選項中，使心”成立的一個充分不必要條件是（）

Aj（2>y2B.x|x|>v|_y|

C.lnx>\nyD.ev>ev

【答案】C

【解析】當x=-2,）=-1時，滿足但x<y；當x=-l,尸-2時，滿足x>y,但『〈廣

故『>），2是Qy的既不充分也不必要條件，A錯誤；

令Kx）fW，則貝x）的定義域為R,

yJt-x）=-x\-xi=-x\x\=-fix）,

?\/U）是奇函數，

當x>0時，，/U）三也;U）在（0,+8）上單調遞增，故貝工）在R上為增函數.

由小心I可得x>y,由心”可得x\x\>y\y\,

故是第*y的充要條件，B錯誤;

??j=lnx在（0,+8）上為增函數，Inx>\ny9/.A>y>0；

當0>x>y時，Inx,In)，無意義，InQiny不成立，

故InQiny是A>V的充分不必要條件,C正確；

???盧e，在R上為增函數，

/.由e'>ev得x>y,由可得er>e',

故9>e',是入>)，的充要條件，D錯誤.

(2)12026?白銀模擬)已知p：“丁-(2〃?+3)/〃72+3心0”是/“f-x-GWO”的必要不充分條件，則實

數，〃的取值范圍為()

A.(-8,-5|U[3,+8)

B.(-°°,-5)U(3,+8)

C.(-5,3)

D.[-5,3]

【答案】B

【解析】因為〃：(x-〃?)g〃-3)>0,

貝!J或x>m+3,q：f-r6WO,即-2WxW3,

又？是的必要不充分條件，則m>3或m+3<-2,即心3或HI<-5.

故實數機的取值范圍為(-8,-5)U(3,+8).

【思維升華】求參數問題的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數

的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區間端點值的檢臉.

【跟蹤訓練】2(1)已知〃：-1<XV0,q：〃z-l<rv-3〃?.若〃是〃的充分不必要條件，則實數〃?的取

值范圍是.

【答案】(4,0)

【解析】因為p是夕的充分不必要條件，

所以3-1《<0｝是<x<-3m｝的真子集，

則產(不同時取等號)，解得〃Y),

所以實數〃2的取值范圍是(-8,0).

(2)已知p：xWl,q：若〃是夕的必要不充分條件，則實數。的取值范圍是:若〃是

g的必要條件，則實數〃的取值范圍是.

【答案】(。，1)(-OO,|]

【解析】因為p：xWl,q：

若p是4的必要不充分條件，

則(-8,a](-8,]],因此q<i,

即實數。的取值范圍是(-8,1).

若p是9的必要條件，則(-8,°]￡(-8,1],

因比aWl,即實數。的取值范圍是(-8,1].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞的命題的否定

例3(多選)下列說法正確的是()

A.“菱形是正方形”是全稱量詞命題

B."Vx,>ER,『+)，220"的否定是'Tx,yGR,

C.命題“有一個奇數不能被3整除”的否定是“有一個奇數能被3整除”

D.是“sinA=sin8”的必要不充分條件

【答案】AB

【解析】對于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱量詞命題，故A正確；

對于B,由全稱量詞命題的否定知其否定是“標，f+y2vo”，故B正確；

對于C,命題“有一個奇數不能被3整除”的否定是“所有的奇數都能被3整除“，故C錯誤；

對于D,因為A=8時，sinA=sin8成立，而sinA=sin8時，4=8不一定成立，如B=—故

33t

“4=3”是“sinA=sin8”的充分不必要條件，故D錯誤.

命題點2含量詞的命題的真假判斷

例4(多選)下列命題為假命題的是()

A.SxGR,ln(x2+l)<0

B.Vx>2,2)>f

C.3a,陣R,sin(oc-^)=sina-sinP

D.V.r￡(0,TT),sinx>cosx

【答案】ABD

【解析】因為ln(f+l)Nln1=0,故A是假命題;

當m3時，23V32,故B是假命題；

當次二夕=0時，sin(a-^)=sina-sin故C是真命題；

當.v=?時，sincosx=^,sinx<cosx,故D是假命題.

622

命題點3含量詞的命題的應用

例5已知命題“很￡R,G-ax+lWO”為假命題，則實數〃的取值范圍是.

【答案】[0,4)

【解析】由題意得不等式。自6+1>()對VxER恒成立.

①當。=0時，不等式1>0在R上恒成立，符合題意；

②當時，若不等式〃/-奴+1>0對R恒成立，則A,八解得。<。<4.

綜上，實數。的取值范圍是［(),4).

【思維升華】含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即

可當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范

圍.

【跟蹤訓練】3(1)(2024?新課標H卷)已知命題p：V.rGR,|x+l|>l；命題夕：3x>0,？=x,貝U

()

A.p和q都是真命題

B.~>p和q都是真命題

C./)和「夕都是真命題

D.~>p利-?q都是真命題

【答案】B

【解析】對于命題p,取尸-1,

則有|x+l|=0<l,

故P是假命題，是真命題；

對于命題q,取戶1,

則有m=p=iK,

故q是真命題，「夕是假命題，

綜上，「〃和夕都是真命題.

(2)(多選)(2025?海口模擬)以下說法正確的是()

A.^VxGR,3『-220”的否定是0WR,3f?2<0”

B.“x>3”是“log3(2x+l)>2”的充分不必要條件

C.若命題“VxWR,『十(a-l)x+1，0”為假命題，則實數a的取值范圍是(-1,3)

D.若命題“Vx￡R,2a?+ar】W0”是真命題，則實數a的取值范圍是［-3,0|

【答案】AD

【解析】對于A,“VxWR,3t?220”的否定是FxWR,3』-2<0"，故A正確;

對于B,Iog3(2r+1)>2,即log3(2rH)>】og39,

則2x+l>9,解得工>4,因為人>4=x>3,且心>3Rx>4,所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分

條件,故B錯誤：

對于C,命題是假命題，則命題的否定”也￡R,f+（Gl）x+l<0”是真命題，即4=5-1尸-4>0,解得

a>3或a<-\,故C錯誤；

對于D,因為“Vx￡R,2加+0￥［<0”是真命題，即2o?+奴［WO對Vx￡R恒成立.當〃二0時，命題

88

成立；當“0時，匕<°’2;"

U=a2+3a<0,

解得-3Wa<0,綜上可得，-3Wa<0,故D正確.

【限時訓練】

（30分鐘）

D］知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，為40分）

1.（2021?天津）已知a￡R,則“,。6”是“4>36”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意，若a>6,則/>36,故充分性成立：

若B>36,則。>6或a<-6,故必要性不成立，

所以"6"是%2>36”的充分不必要條件.

2.（2025?周口質檢）命題“存在偶數小使數據3,4,1,m5,7的中位數是偶數”的否定為（）

A.對任意的偶數小數據3,4,1,a,5,7的中位數是奇數

B.對任意的偶數小數據3,4,1,m5,7的中位數不是偶數

C.存在奇數小便數據3,4,1,a,5,7的中位數是奇數

D.不存在奇數小使數據3,4,1,a,5,7的中位數不是偶數

【答案】B

3.己知〃：q：x>m,若〃是夕的充分條件，則實數機的取值范圍是（）

A.[0,+8)B.[l,+8)

C.(-8,()]D.(-8,1]

【答案】C

【解析】由了1可得x（x-1）<。，解得0<v<1,

記A=｛X|04<1｝,B=｛x\x>m],

若p是q的充分條件，

則A是8的子集，所以〃?<0,

所以實數機的取值范圍是（-8,（）].

4.（2023?北京）若則“x+.y=0”是“匕3=-2”的（）

xy

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】??"），W0,???/7二-2等價于W+），2=2r.v,即f+），2+2D=0,

即（"?=0等價于x+y=0.

??.匕+產0”是“牢=?2”的充要條件.

xy

5.（2026?寧波模擬）命題“也￡[-2,1],為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.6<--BGW0

4

C.a26D.〃28

【答案】D

【解析】若命題“孔￡[21],為假命題，

則命題的否定"Vxe[-2,1],為真命題，

即x￡[-2,1]恒成立,

對于函數尸^戶卜一]xG[-2,1],

當戶-2時，取得最大值）=6,

所以心6,選項中只有｛a|a》8｝是｛3°26｝的真子集,

所以命題“玉￡卜2,1],x2-x-a>0r,為假命題的一個充分不必要條件為

6.（2025?北京）已知函數./U）的定義域為￡>,則“函數./U）的值域為R”是“對任意MWR,存在網￡

D,使得|/Uo）|>M”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若函數./U)的值域為R,則對任意“￡&一定存在即￡。，使得兀n)=|M|+l,

取必二即,則|/Uo)l=IM+l>M，充分性成立；

取為0=2',。=R,則對任意M￡R,一定存在xyo,使得yUi)=|M|+l，

<x0=xi,則|/UO)|=|M+1>M,但比時函數?K)的值域為(0,+8),必要性不成立；

所以“函數凡I)的值域為R”是“對任意MER,存在的￡。，使得雙⑹|>M”的充分不必要條件.

7.若"九￡(0,兀),sin2人-Asin八<0”為假命題,則&的取值范圍為()

A.(-8,-2]B.(-8,21

C.(-8,-2)D.(-8,2)

【答案】A

【解析】依題意知命題"五￡(0,兀)，sinZt-攵sinx<0”為假命題,則命題“Vxe(0,兀)，sin2x-依in

x20”為真命題，所以2sinxcosxN依inx,則2這2cosx在x>(0,兀)時恒成立，解得ZW-2,所以攵的

取值范圍為(?8,?2].

8.(2023?新高考全國I)記S”為數列｛圓｝的前〃項和，設甲：｛“｝為等差數列；乙：｛手｝為等差數列，則

()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法一甲：｛〃”｝為等差數列，設其首項為m,公差為d,

則S,尸〃0+^^乩&:內+匚公益+加色，如三二g,

2n222n+1n2

因比｛曰｝為等差數列，則甲是乙的充分條件；

反之，乙：｛事｝為等差數列，

艮口汕義=7tSn+[-6+l)Sn=7ian+]Sn為常數，設為八

nilnn(nI1)n(nI1)

即式Qn+1-S”

n(n+l)

則Sn=nart+i-tn(n+l)f

有S?.i=(n-1)a,rt'H(n-1),2,

兩式相減得an=na,^\-｛n-1)an-2tn,

即an+\-an=2n對〃=1也成立，

因比｛出｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

方法二甲：｛?。秊榈炔顢盗校O數列｛〃〃｝的首項為0,公差為乩

即用帕+吟也乩

貝心?+^-d=-n+a,

71222

因比｛事｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

反之,乙：｛等為等差數列,

設數列閨的公差為Q,

則2以=。，包=&+(〃-1)。，

n+lnn

即Sn=nS\+n(n-l)Dt

當心2時,SW-I=(W-1)SI+(M-1)(W-2)D,

上邊兩式相減得S〃-S”產Si+2(〃-1)0,

所以an=ai+2(n-1)￡),

當n=l時，上式成立，

又如+「。產0+2〃/)-[0+2(小1)0=2。為常數，因此｛m｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.下列既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.mr￡R,|A|<()

B.Exez,cosV-1

C至少有一個x￡Z,使工能同時被3和5整除

D.每個平行四邊形都是中心對稱圖形

【答案】BC

【解析】選項A為存在量詞命題，因為所有實數的絕對值非負，

即恒20,所以A是假命題；

選項B為存在量詞命題，

當x=2時，滿足cosQ?2)=cos7i=-l,

所以B既是存在量詞命題又是真命題；

選項C為存在量詞命題，15能同時被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題;

選項D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.

10/2025?揭陽模擬)下列敘述中正確的為()

A.命題“VxWO,總有2x>f”的否定是'TxWO,使得

B.V.rC(O,+8),2v>log2X

C.V.reR,4W2ZE+3X2

D.已知a,1￡R,則“|a+b|=|a|+|b|"的充要條件是“ab>0”

【答案】ABC

【解析】對于A,命題“VxWO,總有ZtX2”的否定是“MW0,使得，A正確；

對于B,當*0時，函數廣2丫的圖象在直線)t的上方，函數尸logy的圖象在直線)t的下方，貝I

2v>log2%,B正確；

對于C,因為4.r-(2x-1+3x2)=x2-lr+1=(x-1)20,

所以4f22x-l+3f恒成立，C正確；

對于D,例如用力二0,能推出|a+加=同+|〃|,即|。+〃|=同+網不能推出H?0,故D錯誤.

11.下列說法正確的為()

A.設a,則“/=/戶，是，，3〃=3叱的必要不充分條件

B.已知A={M-lWxW2},B=國2“<0},若々WA”是的充分不必要條件,則實數a的取值

范圍是(4,+8)

C.若命題“九WR,帆F+〃?x+l<Q”是假命題，則0<〃z<4

D.己知p：OaWl,q：4、+2'-"?W0,若〃是q的充分條件，則實數〃?的取值范圍為[6,+?>)

【答案】BD

【解析】對于A,由函數)曰3%增函數可知，

若標二見則的仇所以3。=3";

由函數產3,為增函數可知，

若3"二3”,則a二仇所以/二枇

故“/二護”是“3〃二3"”的充要條件，A錯誤；

對于B,由“xWA”是的充分不必要條件，得集合A真包含于集合&所以會>2,即公>4,B

正確；

對于C,若命題是假命題，則“VXCR,〃〃十“a十120”是真命題，故陽=0或>°'24/八解得

0W〃?W4,C錯誤;

對于D,由〃是q的充分條件，得〃=為，即對于0vW1,4、+2工〃?忘0恒成立，令HT,f￡(l,2],則

對于，￡(1,2H亙成立，又尸+/=(￡+1)-￡(2,6],則〃?26,D正確.

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.命題“VQ0,使得cyr+2”的否定是

【答案】玉>0,e'2x+2

【解析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，

則命題“V.O0,使得e'4+2”的否定是“3>0,e，2x+2”.

13.（2025?湛江模擬）已知a：x<2怯1或心>加,箕x<2或“24,若。是夕的必要條件，則實數〃?的取值

范圍是.

【答案】{m\m>

［解析】設集合A={x\x<2m-\或x>-m},B=（x|x<2或x>4）,

若夕是夕的必要條件，則8GA,

當2〃卜1>-加，即〃?，時，此時A=R,BMA成立；

當力〃-lW-加，即時，若8GA,此時『m二