基本不等式-高考數學重難點題型講義（新高考地區專用）解析版

專題1.7基本不等式.重難點題型精講

衣

MM??M.a.w??.■■■■.a?.a..?MB.a.a^s??ana■?a?a.eaas??a.?■>?.■■*..??^BB.aMM..??MBa?.a■■■.??

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：6>0,)>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當〃=〃時取等號.

2.幾個重要的不等式

(\)a2-\~b2>2ab(a,b￡R).

(2,+京2(”，b同號).

⑶〃品(等)3,h￡R).

cr-Vb1fa+b\2

(4廠至一孑(等)(小〃￡R).

以上不等式等號成立的條件均為“=〃.

3.算術平均數與幾何平均數

設A0,歷>0,則小〃的算術平均數為守，幾何平均數為點，基本不等式可敘述為兩個正數的算術

平均數不小于它們的兒何平均數.

4.利用基本不等式求最值問題

已知心>0,)>0,則

(1)如果積盯是定值P，那么當且僅當x=y時，x+y有最小值2W.(簡記：積定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時，盯有最大值￡.(簡記：和定積最大)

【題型1利用基本不等式判斷不等關系】

【方法點撥】

將代數式靈活變形，利用基本不等式求解最值的方法，來求出所給代數式的最值或取值范圍，以此來判斷

不等關系是否成立，注意變形的等價性及基本不等式應用的前提條件.

【例I】（2022春?赤峰期末）若〃>0,方>0,日％+〃=4,則下列不等式中成立的是（）

h2

A.ab<2B.a2+^->4

C.10g2?+10g2/?<1D.9"+3、218

【解題思路】利用基本不等式可得必得范圍，判斷選項A：利用和與平方和的關系判斷選項以利用對

數運算化簡結合選項A判斷出選項C：利用基本不等式可得選項。正確.

【解答過程】解：對于A,?>0,b>0,2a+b=422V^5,解得abW2,當且僅當a=l,8=2時取等號,

故選項A錯誤；

對于叢4a2+b2=（2a）2+b2>|（2n+/?）2=8,即必+當?2,當且僅當a=1,8=2時取等號，故選項

B錯誤;

對于C,由4可得log2a+log2〃=log2，Z?Wl,當且僅當。=1,。=2時取等號，故選項C錯誤;

對于。，9"+3〃=3%+362275麗=18,當且僅當a=l,h=2時取等號，故選項。正確；

故選:D.

【變式1-1］（2022?上海）若實數〃滿足下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2>/abB.a+b<2\[abC4+2Q2疝D*+2y病

【解題思路】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解.

【解答過程】解：因為。>方>0,所以a+b22夜,當且僅當4=方時取等號,

乂a>b>0,所以故A正確，8錯誤，

+2b>2x2b=2y/ab,當且僅當］=2b,即〃=4力時取等號，故C。錯誤，

故選：A.

【變式1-2］（2021?安徽模擬）設。>0,b>0,c>0,下列不等關系不恒成立的是（）

A.（+^>2B.\a--c\+\b-c\

11

C.若〃+4/，=l,則一+->8D.ax2+bx-c^O（xER）

ab

【解題思路】首先對于此類選擇題，考慮用排除法求解.對于選項A和選項C,都應用基本不等式a+b>

2而化簡求解即可.對于選項8根據式子的幾何意義直接判斷.對于選項Q,選定特殊值，然后利用方

程的判別法計算即可得出錯誤.

【解答過程】解：對于選項A：。+1二2,可直接根據基本不等式Q+bZ2屬求解.顯然恒成立.

對于選項&|〃-"W|a-c|+族-c|,所表示的含義是在三角形內兩邊之和大于第3邊，所以顯然成立.

111cib

對于選項C：若a+4b=1則根據基本不等式得：a+4b>2V4ab,即7G24,對于式一+-=——>

7ababab

~~~=~r=>8,所以得不等式恒成立.

ab7ab

對于選項。：/+法-c20（xER）.當。>0,A=/+4ac>0,顯然a*+云-c20不恒成立.

故選：O.

【變式1-31（2022春?肥東縣月考）對于不等式①V5+灰>2通,?x+\>2（x^0）,③7a?+爐>^（a+

人乙

b）（a、be/?）,下列說法正確的是（）

A.①③正確，②錯誤B.②③正確，①錯誤

C.@@錯誤，③正確D.①@錯誤，②正確

【解題思路】由已知結合基本不等式及相關結論分別判斷各選項即可.

【解答過程】解：因為（〃+、石尸-（2通尸=104-V24-20=V24-10<r0,

所以〃+n<2后故①錯誤；

當取K=7時，顯然％+[=-222不成立，故②錯誤；

因為於+匕222ab（a,/?GR）,所以2（a2+b2）>（a+b）2,

所以迎2+爐N、J（Q+〃）2=1佃+例n?（a+切,故③正確.

故選：C.

【題型2利用基本不等式求最值】

【方法點撥】

⑴若是求和式的最小值，通常化（或利用）積為定值；若是求積的最大值，通常化（或利用）和為定值，其解答

技巧是恰當變形、合理拆分項或配湊因式.

⑵若多次使用基本不等式，等號成立的條件應相同.

14

【例2】（2022春?西寧期末）已知x,y都是正數，若x+y=2,則嚏+1的最小值為（）

【解題思路】直接利用關系式的恒等變換和基本不等式求出結果.

【解答過程】解：已知x,y都是正數，且x+），=2,

必+；[x+y），+；）=；（5+衿軟+（5+2唇）咚當且僅當x="尸軸等號成

立，

149

所以一+一的最小值為：

xy2

故選:B.

【變式2-1]（2022春?信州區期末）己知正數〃?，〃滿足加+〃=1,則碼的最小值為（）

mn

A.3B.3+2、攵C.3&D.3+2/

【解題思路】化簡空=網”=-+-，再結合基本不等式求最值.

mnmnnm

【解答過程】解：?，〃+〃=1,機>0,">0,

*m+1m+m+n

,mnmn

2m+n2,1

=^T=n+m

21

=（一十一）（m+n）

nm

2m,n

=--n----1--m----1-3

J粵哈+3=3+2位,

當且僅當=一,即"尸/-1,〃=2-/時，等號成立；

nm

故”二匚的最小值為3+20,

mn

故選：B.

【變式2?2】（2022春?三明期末）已知正實數小〃滿足a+*2,則2M+1的最小值是（）

59二

A.-B.3C.-D.2V2+1

22

【解題思路】先變形得到2帥+：=4〃+：-2,再利用乘“I”法和基本不等式求最值即可.

【解答過程】解：:正實數。滿足a+*2,???出?+1=2萬，???ab=2〃?l,

95

--

.??2岫+?4計A2=(4"：)("芬乂>2=(4"+0+5)*12云(2〃+5)'?2=2-22一

當且僅當4"二/，即〃=至b=1,時取等號，

2ab+:的最小值是:

故選：A.

【變式2-3]（2022春?恩施州期末）若a>2,b>3,則二+三的最小值是（）

a-2b-3

A.16B.18C.20D.22

Q2MA.Q

【解題思路】根據題意，分析可得一；+==。?2+3+。?3+菖+10,結合基本不等式的性質分

a-2b-3Q-，b-3

析可得答案.

【解答過程】解；根據題意，若a>2,b>3,則a-2>0,b-3>0,

a2b2a2-4+4匕2-9+949/4

則有------4--------=+a-2+——+b—3+——+10>2/(a-2)?——+

a-2b-3-------a-2---------b-3a-2b-37a-2

2/（d-3）+-^-+10=20,

7b-3

（當且僅當”=4,〃=6時，等號成立），

a2b2

所以一；+二的最小值是20.

a-2b-3

故選：C.

【題型3利用基本不等式解決恒成立（或存在性）問題】

【方法點撥】

對于恒成立（或存在性）問題，求解時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化為最值問題，利用基本

不等式求出有關代數式的最值，進行轉化求解即可.

23

【例3】（2021秋?武清區校級月考）設x>0,y>0,設[+1=1,若3%+2>>〃?2+2機恒成立，則實數機

的取值范圍是（）

A.{.小W-6或工24}B.{小〈?4或326}

C.M-6<x<4)D.{A|-4<x<6}

2323

【解題思路】由x>0,y>(),-+-=1>得3x+2），=（-+-）（3x+2y）,以此變形可解決此題.

XyxV

(解答過程]解：由x>0,y>0,2+三=1,得3x+2y=(-+-)(3x+2y)=冬+學+1222佟?學+12

xyxyxyA]xy

=24,

4v9x23

當且僅當墨=—且一+—=1,即x=4且)，=6時等號成立.

xyxy

又因為3x+2)>〃？+2/〃恒成立，in2+2m<24,解得〃正(-6,4).

故選：C.

21

【變式3-1](2021秋?懷仁市校級期末)已知x>0、y>0,且+若2x+yV"】2-8〃?有解，則實數

加的取值范圍為()

A.(-8,-1)U(9,+8)B.(-9,1)

C.[-9,1]D.(-1,9)

【解題思路】由已知先利用基本不等式求出2r+y的最小值，然后結合不等式的存在性問題與最值關系進

行轉化，解二次不等式可求.

【解答過程】解：因為工>0、>>(),且2+2=1,

xy

〃+)，=⑵+y)(：+；)=5+?+畀5+2j^=9,

2x2v21

當且僅當一=一且一+-=1,即x=y=3時取等號，此時Iv+y取得最小值9,

yxxy

若2x+yV〃J?8〃？有解，貝ij9V機2-8/〃，解得〃?>9或m<-1,

即實數機的取值范圍為(-8,-1)u(9,+8).

故選：A.

14

【變式3-2](2021秋?香坊區校級期中)若x>0,y>0,x+y=I,且一+-恒成立，則實數小的取值

xy

范圍是()

A.{，川m<3}B.{〃力MV6}C.{〃巾〃V5}D.{w|w<9}

14

【解題思路】利用乘1法，然后結合基本不等式可求一+一的最小值，然后結合不等式恒成立與最值相互

xy

轉化關系可求.

【解答過程】解：因為x>0,y>0,x+y=\,

所屋業+竺”=5+3華工5+2―=9,

xyxyxyy

當且僅當]=些且A+y=1,即k1尸細取等號，此時工+士取得最小值9,

XyXy

14

-+—>m恒成立，則實數"?V9.

Ky

故選：D.

【變式3-3]（2021秋?包河區校級期中）若正實數x,y滿足2/+丁+8D=2,且存在實數x,y使不等式3,后

-2m^2x+y成立，則實數小的取值范圍為（）

A.[-1,1JB.1-1,2]

C.（-8,一點U[l,+8）D.（-8,-1]U[2,+OO）

【解題思路】根據基本不等式的性質求得2x+y2l,進而求解結論.

【解答過程】解：???正實數工，），滿足2A?+），+陶=2,

A8.9'=2-（2r+y）W4?2n（2x+y）2+（2x+y）-220=2r+y21,（2Y+.VW-2舍去）

2

,/存在實數x,y使不等式3m2-2w>2v+y成立，

/.3m2-2〃?21I或m<-

故選：C.

【題型4利用基本不等式證明不等式】

【方法點撥】

⑴對于與基本不等式有關的不等式證明問題，對所給條件進行合理轉化，利用基本不等式進行證明，其解

答技巧是恰當變形、合理拆分項或配湊因式.

⑵證明過程中，若多次使用基本不等式，等號成立的條件應相同.

【例4】（2021秋?上饒期末）已知。>0,0>0,且。+〃=1,求證：（1+i）（1+1）>9.

【解題思路】本題的關鍵是把分子的“1”換成。+〃，由基本不等式即可證明.

【解答過程】解：???。>0,b>0,且a+b=l

???（1+》（1+》=（1+喑）（1+明

=（2+今（2+》=4+華+各經

=5+號+與N5+2j^=5+4=9

2b2ai

當且僅當￡=了，即〃=反4時取“=”號.

故原題得證.

【變式4-1]（2021春?福田區校級期末）若aAO,〃>0,a\b=\.求證:

41

(1)-+->9；

ab

(2)V2a+1+72b+1W2夜.

【解題思路】(1)由已知利用乘1法，結合基本不等式即可證明；

(2)利用基本不等式的結論(嚶產工嗎且即可證明.

【解答過程】證明：(1)因為加>0,b>0,a+b=l,

所以±+!=(-4-i)(a+b)=5+—+^>5+2隹4=9,

ababab7ab

當且僅當竺=￡且a+b=1,即b=i,a=看時取等號，

ab3J

「1

故一+工N9；

ab

(2)因為("a+l；，2絲)2<2Q+1產+1=2,當且僅當V五彳彳=e5TT且a+b=I,即〃=匕=/時

取等號，

所以“2a+1+V2b+1<2&.

【變式4-2](2021秋?桂林月考)已知a>0,Q0.

19

(1)若一+1=1,求證：〃+b216；

ab

(2)求證：a+b+1>y/ab4-Va+\[b.

【解題思路】(1)由基本不等式及乘“1”法即可得證；

(2)由基本不等式可得a+1226，b+1,a+b^2yfab,而且僅當。=A=1時等號成立，三個式子

相加即可得證.

19

【解答過程】證明：(1)因為一+-=1，a>0,b>0,

ab

所以〃+〃=(a+b)(―+—)=10+半+2之10+2?2=16,當且僅當一=一,即。=4,力=12時等

abba7baba

號成立，

所以a+b216.

(2)因為。>0,b>0,

則。+122口，/?+122傷，a+h^2\[ab,當且僅當。=力=1時等號成立，

所以。+1+A+1+。+62+2V^+2,以,

所以ci+b+1>y/u+\[b+1.

【變式4-3](2020?黃州區校級模擬)設a,b,c>0,且曲+從+或=1,求證：

(1)a+b+c>V3；

⑵J反+區+J布之百距+后）?

【解題思路】⑴運用分析法證明.要證什沐二舊，結合條件，兩邊平方,可得/+四,221,運用

重要不等式，累加即可得證.

（2）問題轉化為證明〃癡+分題+（<適根據基本不等式的性質證明即可.

【解答過程】證明：（1）運用分析法證明.

要證a+h+c>V3,

即證（o+Hc）223,

由a,b,c均為正實數，且aM）c^ca=1,

即有cr+b2+（^+2（ab+bc+ca）23,

卻為①

由J+〃222”〃，k+a22bc,c￥+?22ac,

相加可得a1+b2+c1^zb+hc+ca=1,

則①成立.

綜上可得，原不等式成立.

a-b+c

>Jabc

而由(1)a+b+c>V3,

a+b+c

>y/3(Va+VF+VE),

y/abc

故只需短

>y/a++4,

A|Jayfbc+b4ac+cVab<1,

即：a\[bc+b\[ac+(Vab<ab+bc+ac^

而a岳?而三時產，〃延]”叱〈至三兒產，

乙乙乙

a\[bc+b\[ac+c\[ab<ab+bc+ac=1成立，（當且僅當a=b=c=當時）.

【題型5利用基本不等式解決實際問題】

【方法點撥】

解決實際問題時，先弄清題意（審題），建立數學模型（列式），再結合基本不等式解決問題（求解），最后

要回應題意下結論（作答）.

【例5】（2021秋?涼州區期末）如圖，計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園.設

菜園的長為x,寬為尸

（1）若菜園面積為72,則x,y為何值時，可使所用籬笆總長最小？

（2）若使用的籬笆總長度為30,求工+2的最小值.

xy

y

【解題思路】（i）根據積定，應用基本不等式求和的最小值，注意等號成立條件；（2）應用基本不等

式“I”的代換求三+三的最小值，注意等號成立條件.

xy

【解答過程】解.：（1）由題意知：孫=72,籬笆總長為x+2），.

又X十2y之2=24,當且僅當人=2,，即人=12,,=6時等號成立.

???當x=12,），=6時，可使所用籬笆總長最小；

（2）由題意得：x+2），=30,

又C+加+2/=5+?+興5+2^^=9，

123

4--＞一,當且僅當x=y,即x=10,y=10時等號成立.

xy10

123

???一十一的最小值是

xy10

【變式5?1】（2021秋?黃浦區校級期中）迎進博會，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左、中、

右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60000C〃?2,四周空白的寬度為10cm,欄與欄之間的中縫空白的

寬度為5cm.

（1）試用欄目高aan與寬bcm（〃＞（）,b＞0）表示整個矩形廣告面積Sen，；

（2）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形廣告面積最小，并求最小值.

【解題思路】（1）根據矩形欄目面積確定高與寬的關系，從而可得整個矩形廣告面積;

(2)利用基本不等式，即可求得最值.

【解答過程】解：(1)設矩形欄目的高為acm,寬為bcm,則^=20000,：,b=怨”

廣告的高為(。+20)cm,寬為(3b+3O)cm(其中。>0,b>0),

廣告的面積S=(?+20)(36+30)=30(a+2b)+60600：

(2)S=30(。+2〃)+6。6。。=3。(〃+曙)+6。6。。23。'2后察=1200。+6。600=72600.

當且僅當。=竺產，即。=20。時，取等號，此時〃=100.

故當廣告矩形欄目的高為200cm寬為100cm時，可使廣告的面積最小.

【變式5-2](2022?上海)為有效塑造城市景觀、提升城市環境品質，上海市正在努力推進新一輪架空線

入地工程的建設.如圖是一處要架空線入地的矩形地塊A8CD,AB=30m,AD=\5m.為保護。處的一

棵古樹，有關部門劃定了以。為圓心、DA為半徑的四分之?圓的地塊為歷史古跡封閉區.若空線入線

口為AS邊上的點&出線口為CO邊上的點八施工要求與封閉區邊界相切，￡/右側的四邊形地塊

BCFE將作為綠地保護生態區.(計算長度精確到().1加，計算面積精確到().01〃?2)

(1)若/AOE=20°,求所的長；

(2)當入線口e在上的什么位置時，生態區的面積最大？最大面積是多少？

【解題思路】(1)作。〃_L￡F,然后結合銳角三角函數定義表示出EF，

(2)設NAOE=8,結合銳角三角函數定義可表示AE,FH,然后表示出面積，結合同角基本關系進行

化簡，再由基本不等式可求.

【解答過程】解：(I)作。"_1_石尸，垂足為，，

則=15tan2()°+15tan500223.3相：

(2)設NAQE=。，貝i]A￡=15tan。，FH=15tan(900-20),

S四邊形ADEF=2S△ADE+S^DF“=2義ix15X15tan0+ix15x15tan(90°—28)，

15mor—1+tQ儲e、_225/”,1、、225點

-30tan8+15col20)-(30tan0+15x—工后歷~(3tcm0n+m八。)———，

當且僅當3tan0=焉，即tan6=字時取等號，此時AE=15tanO=5V3,最大面積為

【變式5-3]（2021秋?常州月考）如圖，長方形A8CO表示一張6X12（單位：分米）的工藝木板，其四

周有邊框（圖中陰影部分），中間為薄板.木板上一瑕疵（記為點P）到外邊框A8,A。的距離分別為

1分米，2分米.現欲經過點P鋸掉一塊三角形廢料MAN,其中M,N分別在A8,AD1.,設AM,AN

的長分別為加分米，〃分米.

（1）為使鋸掉一塊三角形廢料MAN的面積最小，試確定m,a的值；

（2）求剩下木板MBCDN的外邊框長度（MB,BC,CD,ON的長度之和）的最大值.

r

21

【解題思路】（1）過點P分別作AB,AD的垂線,垂足分別為E,F,可得APNFSAMPE,可得一+-=1.欲

mn

使鋸掉的三角形廢料MAN的面積S=最小.利用基本不等式的性質即可得出.

（2）欲使剩下木板的外邊框長度最大,即/"+〃最小.由（1）知，〃?+〃=（，〃+"）（京+：）=3+?+

利用基本不等式的性質即可得出.

【解答過程】解：（1）過點尸分別作AB,AO的垂線，垂足分別為￡F,

則△PN"SZ\MPE,

PFNF2n-1

從而---=—?----=----?

EMPEm-21

21

即一+-=1.

mn

軟使鋸掉的三角形廢料MAN的面積S=\mn最小.

由1=2+4n2區:得,"?〃28（當且僅當馬二!’即，〃=4,〃=2時，

“=”成立），此時S*=4（平方分米）.

（2）欲使剩下木板的外邊框長度最大，即〃7+〃最小.

由（1）知，〃?+〃=（/〃+〃）（[+~）=34~~~+~>3+2~=3+2^2>

（當且僅當生="即〃?=2+短=42n時，“=”成立），

mn

答：此時剩下木板的外邊框長度的最大值為33-2企分米.

【題型6基本不等式與其他知識綜合】

[ft6]（2022春?重慶校級期中）直角三角形A8C中角A,B,C對邊長分別為a,b,c,ZC=90°.

（1）若三角形面積為2,求斜邊長c最小值；

（2）試比較小W與他（怔N’）的大小，并說明理由.

【解題思路】（1）由5=%人=2,可得：ab=4.由NC=90°,可得J+/?2=c2,利用基本不等式的性

質即可得出.

（2）①當〃=1時，利用三角形三邊大小關系可得a+Qc；

②當〃=2時，由NC=90°,利用勾股定理可得。2+廬=。2；

③當心3時，設cosg與sin0=p0fc（0,分由（凱十毋二cos"8+sin〃。，再利用三角函數的單調

性即可得出.

【解答過程】解：（1）?:S=』ab=2,：.ab=4.

VZC=90°,

a2+/?2=c2>2ab=8,解得c22e.當且僅當。=8=2時取等號.

，斜邊長c最小值為2a.

（2）①當〃=1時，a+b>c；

②當〃=2時，VZC=90°,???/+廬=。2；

③當〃23時，設cos8=sin9=6W（0,j）.

則9n+（3”=coswe+sinw0<cos20+sin2e=1,

"+W.

【變式6-1](2021秋?赫山區校級月考)已知向量；=(1,2),匕=(-2,w),x=a+(r+l)b,y=-ka+

mER,鼠，為正實數.

(1)若a〃b,求〃?的值；

(2)當〃?=1時，若呈J_亍，求％的最小值.

【解題思路】(1)根據題意，結合Z1的坐標，由向量平行的坐標判斷方法，可得1X〃?=2X(-2),

解可得答案；

(2)根據題意，可得Z、b的坐標，分析可得之?/?=0,由向量垂直與數量積的關系，可得白？=區+(尸+1)

TT1T1

b]?(-kQ+)b=0,對其變形整理可得&=/+j由基本不等式的關系，計算可得答案.

VV

【解答過程】解:(1)根據題意，a=(1,2),b=(-2,〃?)，

若￡〃人則有1XW=2X(-2),

解可得，機=-4；

(2)若〃?=1,有Q=(1,2),b=(-2,1),易得Z?b=0,

則x=a+(r+1)b=(-1-2?,3+r),y=-ka+^b=(.-k-^,-2女+"),

^x1y,貝唳=[a+(r+1)b]*(-ka+^b)--ka2+(r+1)b2=5[(r+1)-k]=0,

即—

又由f>0,則右2ml=2,(當且僅當f=l時等號成立)；

故女的最小值為2.

【變式6-2](2021秋?東海縣校級