第二章-試驗檢測數據的分析與處理

第二章試驗檢測數據的分析與處理學習要求：熟悉數理統計特征值及抽樣檢驗，掌握數據修約法則，熟悉數據的表達方法；會進行一元線性回歸分析，能運用相關法則對特異數據的取舍判斷。第一節數據的統計特征及抽樣檢驗第二節數據的處理與表達方法第一節數據的統計特征及抽樣檢驗一、數據的統計特征及表達1.總體與樣本

總體又稱母體，是統計分析中所需要研究對象的全體。而組成總體的每個單元稱為個體。從總體中抽取一部分個體就是樣本(又稱子樣)。

例如，從每一桶瀝青中抽取兩個試樣，一批瀝青有100桶，抽檢了200個試樣做試驗，則這100桶瀝青稱為總體，200個試樣就是樣本。而組成樣本的每一個個體，即是樣品。例如上述200個試樣中的某一個，就是該樣本中的一個樣品。第一節數據的統計特征及抽樣檢驗一、數據的統計特征及表達2.數據的統計特征量

工程質量數據的統計特征量分為兩類:

一類是表示統計數據的規律性，主要有算術平均值、中位數、加權平均值等；

另一類是表示統計數據的離散性，即工程質量的波動性，主要有極差、標準偏差、變異系數等。第一節數據的統計特征及抽樣檢驗一、數據的統計特征及表達2.數據的統計特征量（1）算術平均值。

算術平均值是表示一組數據集中位置最有用的統計特征量【例2-1】某路段瀝青混凝土面層抗滑性能檢測，摩擦系數的檢測使用擺式儀法，測得的摩擦擺值FB（BPN）（共10個測點）分別為：58、56、60、53、48、54、50、61、57、55。求摩擦系數的算術平均值。解：摩擦系數的算術平均值：

（BPN）

（2）中位數。

在一組數據x1、x2、…、xn中，按其大小次序排序，以排在正中間的一個數表示總體的平均水平，稱之為中位數，或稱中值，用表示。

【例2-2】檢測值同例2-1，求中位數。解：檢測值按大小次序排列為：61、60、58、57、56、55、54、53、50、48（BPN），n=10，則中位數為：

（BPN）（3）極差。在一組數據中最大值與最小值之差，稱為極差，記作：

【例2-3】例2-1中的檢測數據的極差為

（BPN）（4）標準偏差。也稱標準離差、標準差或稱均方差，它是衡量樣本數據波動性（離散程度）的指標。

（5）變異系數。變異系數是反映樣本數據的相對波動狀況。

【例2-5】若甲路段瀝青混凝土面層的摩擦系數測得擺值的算術平均值為55.2，標準偏差為4.13；乙路段的摩擦系數測得擺值的算術平均值為60.8，標準偏差為4.27。則兩路段的變異系數為：甲路段：

乙路段：

從標準偏差看，。但從變異系數分析，,說明甲路段的摩擦系數相對波動比乙路段的大，面層抗滑穩定性較差。二、抽樣檢驗基礎

檢驗是指通過測量、試驗等質量檢測方法，將工程產品與其質量要求相比較并作出質量評判的過程。工程質量檢驗是工程質量控制的一個重要環節，是保證工程質量的必要手段。

檢驗可分為全數檢驗和抽樣檢驗兩大類。全數檢驗是對一批產品中的每一個產品進行檢驗，從而判斷該批產品質量狀況；抽樣檢驗是從一批產品中抽出少量的單個產品進行檢驗，從而推斷該批產品質量情況。全數檢驗較抽樣檢驗可靠性好，但檢驗工作量非常大，往往難以實現；抽樣檢驗方法以數理統計學為理論依據，具有很強的科學性和經濟性，在許多情況下，只能采用抽樣檢驗方法。

二、抽樣檢驗基礎

公路工程不同于一般產品，它是一個連續的整體，且采用的質量檢測手段又多屬于破壞性的。所以，就公路工程質量檢驗而言，不可能采用全數檢驗，而只能采用抽樣檢驗。即從待檢工程中抽取樣本，根據樣本的質量檢查結果，推斷整個待檢工程的質量狀況。二、抽樣檢驗基礎

質量檢驗的目的在于準確判斷工程質量狀況，以促進工程質量的提高。其有效性取決于檢驗的可靠性，而檢驗的可靠性與以下因素相關：（1）質量檢驗手段的可靠性。（2）抽樣檢驗方法的科學性。（3）抽樣檢驗方案的科學性。

在質量檢驗過程中，必須全面考慮上述3個因素，以提高質量檢驗的可靠性。二、抽樣檢驗基礎1．抽樣檢驗的類型

總的來說，抽樣檢驗可分為非隨機抽樣和隨機抽樣兩大類。 (1)非隨機抽樣。

進行人為的有意識的挑選取樣即為非隨機抽樣。非隨機抽樣中，人的主觀因素占主導作用，由此所得到的質量數據，往往會對總體做出錯誤的判斷。因此，采用非隨機抽樣方法所得的檢驗結論，其可信度較低。二、抽樣檢驗基礎1．抽樣檢驗的類型

(2)隨機抽樣。

隨機抽樣排除了人的主觀因素，使待檢總體中每一個產品具有同等被抽取到的機會。只有隨機抽取的樣本才能客觀地反映總體的質量。這類方法所得到的數據代表性強，質量檢驗的可靠性得到了基本保證。因此，隨機抽樣是以數理統計的原理，根據樣本取得的質量數據來推測、判斷總體的一種科學抽樣檢驗方法，因而被廣泛使用。二、抽樣檢驗基礎2．隨機抽樣的方法

先舉一個例子來說明隨機抽樣的方法。假如有一批產品，共100箱，每箱20件，從中選擇200個樣品。一般有以下幾種抽樣方法

(1)從整批中，任意抽取200件。

(2)從整批中，現分成10組，每組為10箱，然后分別從各組中任意抽取20件。

(3)從整批中，分別從每箱中任意抽取2件。

(4)從整批中，任意抽取10箱，對這10箱進行全數檢驗。

上述四種方法，分別稱為單純隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣、密集群抽樣。二、抽樣檢驗基礎2．隨機抽樣的方法

隨機抽樣的方法有多種，適合于公路工程質量檢驗的隨機抽樣方法一般有以下4種：(1)單純隨機抽樣。這是一種完全隨機化的抽樣方法，適用于對總體缺乏基本了解的場合。(2)分層抽樣。一項工程或工序往往是由若干不同的班組施工的。如:同一個班組施工的工程或工序作為一層，若某項工程或工序是由3個不同的班組施工的，則可分為3層，然后按一定比例確定每層應抽取樣品數，對每層則按單純隨機抽樣法抽取樣品。分層時，應盡量使層內均勻，而層間不均勻。分層抽樣法便于了解每層的質量狀況，分析每層產生質量問題的原因。二、抽樣檢驗基礎2．隨機抽樣的方法

(3)兩級取樣。當物品堆積較多，數量較大時，可先從堆中挑選進行一級取樣，再從取出的樣品中進行二次隨機取樣。

(4)系統抽樣。對總體實行單純隨機抽樣有困難時，如連續作業時抽樣、產品為連續體時抽樣(如測定路表面的彎沉值)等，可采用一定時間間隔或距離進行抽取的方法，稱為系統取樣或等距離取樣。二、抽樣檢驗基礎3．抽樣檢驗的評定方法

抽樣檢驗的目的，就是根據樣本取得的質量數據來推測樣本所屬的一批產品或工序的質量狀況，并判斷該批產品或該工序是否合格。

假如d為抽出樣本中不合品數；c為抽樣中允許不合格品數(或稱合格判定數)。若d≤c，則認為該批產品合格，可以接受；若d>c，則說明該批產品不合格，應拒絕接受。

二、抽樣檢驗基礎3．抽樣檢驗的評定方法

根據《公路工程質量檢驗評定標準》，公路工程質量評定采用合格率與評分的方法，也就是根據檢測值是否符合質量標準進行評定，按合格率計分。對于路基路面壓實度、彎沉值，路面結構層厚度，半剛性基層材料強度，水泥混凝土抗折強度等檢驗項目，應采用數理統計的方法進行評定計分。二、抽樣檢驗基礎4.抽樣檢驗的意義

在產品檢驗中，全數檢驗的應用場合很少，大多數情況下是采取抽樣檢驗。這是因為：

(1)由于無破損檢驗依據機械的種類很少，性能難以穩定，在無法采用無破損性檢驗時，就得采用破壞性檢驗，而破壞性檢驗是不可能對全部產品都做檢驗的。

(2)當檢驗對象為連續性物體或粉塊混合物時(如油、瀝青、水泥等)，在一般情況下可能對全體物品質量特性進行檢測試驗二、抽樣檢驗基礎4.抽樣檢驗的意義

(3)由于產品每批的質量往往有波動，尤其是在產品量大、金額高、檢驗項目多的場合，采用全數檢驗是不可能的，用無損試驗也有可能導致由于產品不良品率高而帶來重大的經濟損失。此時，抽樣檢驗則十分必要。

(4)抽樣檢驗由于檢驗的樣本較小，因而可以收集質量信息，提高檢驗的全面程度和促進質量的改善。三、數據的修約法則1．檢測數據的來源

檢測數據就其本身的特性來說，可以分為計量值數據和計數值數據。（1）計量值。計量值數據是可以連續取值的數據，如長度、厚度、直徑、強度等質量特征。可以表示大小和單位，一般都帶有小數。（2）計數值。計數值數據的特點是不連續，如不合格品數、缺陷的點數等，它們一般沒有單位，只有大小且只能用整數或百分數表示。2．數值修約進舍規則

四舍六入五考慮，五后非零則進一，五后為零視奇偶，奇升偶舍要注意，修約一次要到位。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

(1)擬舍棄數字的最左一位數字小于5時，則舍去，留下的數字不變。例如，將13.2476約到一位小數時,最左面的第一位數字是4，則應舍去，結果為13.2。 (2)擬舍棄數字中，其最左面的第一位數字大于5時，則進1，所留下的末位數字加1。如將26.567修約到一位小數時，其擬舍去的數字中最左面的第一位數字是6，則進1，

結果為26.6。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

(3)擬舍去的數字中最左面的第一位數字是5時，而后面的數字并非全是0時，則進1，即所留下的末位數字加1。如13.0521修約到一位小數時，其擬舍去的數字中最左面的第一位數字是5，5后面的數字還有21,所以要進1，結果為13.1。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

(4)擬舍棄數字的最左一位數字為5，而后面無數字或全部為0時，所保留的數字末為奇數(1,3,5,7,9)則進1，為偶數(2,4,6,8,0)則舍去。如將15.05、15.15、5.25、15.45幾個數字只保留一位小數，則可分別修約為15.0、15.2、15.2、15.4。通常所說的奇進偶不進。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

(5)擬舍去的數字并非單獨的一個數字時，不得對該數值連續進行修約，應按擬舍去的數字中最左面的第一位數字的大小，按上述各條一次修約完成。例如將15.4546修約成整數時，不應按15.4546-15.455-15.46→15.5→16進行，而應按15.4546-15進行修約。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

上述數值修約規則(有時稱之為“奇升偶舍法”)與常用的“四舍五入”的方法區別在，用“四舍五入”法對數值進行修約，從很多修約后的數值中得到的均值偏大。而用上述修約規則，進舍的狀況具有平衡性，進舍誤差也具有平衡性，若干數值經過這種修約后，約值之和變大的可能性與變小的可能性是一樣的。三、數據的修約法則2．數值修約進舍規則

四舍六入五考慮，五后非零則進一，五后為零視奇偶，奇升偶舍要注意，修約一次要到位。第二節數據的處理與表達方法一、數據的表達方法和數據分析1．數據的表達方法：表格法、圖示法和經驗公式法等。（1）表格法。當無須獲得自變量的函數關系或為了便于計算，可將數據列成表格。表格法簡單方便，應用廣泛，但有下列缺點：

①表格法不能清晰的反映出數據之間的關系；

②表格法不易看出變量之間的變化規律；

③表格法對試驗數據不能進行數學解析。當自變量的函數關系無須獲得，或為了便于計算，才將數據列成表格，若想得出未測定的某個值時，可用內插法估計。（2）圖形法。

從圖形上易看出函數的變化規律，但對圖形解析困難，從圖形上得到某點函數值時，誤差會很大。

圖示法的基本要點為：

①坐標紙的大小與分度的選擇應與測量數據的精度相適應。 ②坐標軸應注明分度值的有效數字和名稱、單位，必要時還要標明試驗條件，坐標的文字書寫方向應與該坐標軸平行，在同一圖上表示不同數據時應該用不同的符號加以區別。 ③測量數據往往是分散的，如果用短線連接各點得到的就不是光滑的曲線，而是折線，需要對曲線進行平滑處理。（3）經驗公式法。

測量數據不僅可用圖形表示出函數之間的關系，而且可用與圖形對應的一個公式來表示所有的測量數據，當然這個公式不可能完全準確地表達全部數據。因此，常把與曲線對應的公式稱為經驗公式，在回歸分析中則稱之為回歸方程

根據一系列測量數據，建立函數關系式的基本步驟可以歸納如下：

①描繪曲線。

以自變量為橫坐標，因變量為縱坐標，將測量數據點繪在坐標紙上，并把數據點描繪成測量曲線。（3）經驗公式法。 ②對描繪的曲線進行分析，確定函數關系式的基本形式。

a.如果數據點描繪的基本上是直線，則可用一元線性回歸方法確定直線方程。

b.如果數據點描繪的是曲線，則要根據曲線的特點判斷曲線屬于何種類型。判斷時可參現成的數學曲線形狀加以選擇，對過擇的曲線則按一元非線性回歸方法處理。

c.如果測量曲線很難判斷屬何種類型，則可按多項式回歸處理。（3）經驗公式法。③曲線直化。

如果測量數據描繪的曲線被確定為某種類型的曲線，則可先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。例如：雙曲線,坐標變換時令,,即取一為縱坐標，一為橫坐標，雙曲線就變成直線了，所得線性方程為，其他形式的曲線也可按類似的方法化為直線。（3）經驗公式法。④確定回歸方程中的常量。

代表測量數據的直線方程或經曲線化直后的直線方程表達式為y=a+bx，可根據一系列測量數據確定方程中的常量a和b，其方法一般有圖解法、端值法、平均法和最小二乘法等。⑤檢驗所確定公式的準確性。

即用測量數據中自變量值代入公式計算出函數值，看它與實際測量值是否一致，如果差別很大，說明所確定的公式基本形式可能有錯誤，則應建立另外形式的公式。2．相關圖及回歸分析（1）相關圖。

相關圖又稱散布圖或散點圖，它是將有對應關系的兩種數據點在一張坐標圖上所得。

在原因分析中，常常會遇到一些變量共處于一個統一體中，它們相互聯系，又相互制約，在一定條件下可相互轉化。這些相互關聯的變量可分為兩種類型：第一類是兩種以上變量之間存在著確定的關系。如面積與半徑的關系S=∏R2。2．相關圖及回歸分析

第二類是變量之間有關系，但又不能由一個交量精確地求出另一變量的值。如路基土的回彈模量E0與土的含水量w有關，對于同一種土，w增大時，E0變小，但是不能用精確公式準確表示出它們的關系，對于第二類變量，如果將兩種有關的數據列出，并用點描繪在坐標紙上，觀察兩種變量之間的相互趨勢，這種圖就是相關圖。2．相關圖及回歸分析

①相關圖的種類。相關圖的類型很多，一般可歸納為以下幾種形式：

a.強正相關。b.弱正相關。c.強負相關。

d.弱負相關。e.不相關。f.非線性相關。2．相關圖及回歸分析②相關圖的作圖方法。（1）數據收集分組：將兩組特性數據集中，對應分組（一般應在30組以上），填入表中。（2）定坐標。以要因作為x軸，結果（特征）作為y軸。（3）數據打點入座。對應描出縱橫坐標交點。（4）說明。在圖中適當的位置標明數據的個數、采集時間、工程部位、制圖人和制圖日期。（2）回歸分析。

若兩個變量x和y之間存在一定的關系，并通過試驗獲得x和y的一系列數據，用數學處理的方法得出這兩個變量之間的關系式，這就是回歸分析。

如果兩變量x和y之間的關系是線性關系，就稱為一元線性回歸。如果兩變量之間的關系是非線性關系，則稱為一元非線性回歸或稱曲線擬合。線性回歸分析的表達式為：y=a十bx

式中：a稱為常數項，b稱為回歸系數。相關系數----線性關系的顯著檢驗

回歸直線方程求得后，還須解決一個問題：x與y是否有線性關系？或者說x與y的線性相關程度如何？為了回答這個問題，需要建立一個檢驗法，即相關系數檢驗法。統稱計量r為樣本相關系數，用下式表示：檢驗結論的判定：︱r︱=1為完全線性相關；︱r︱=0時，完全線性無關；當0<︱r︱<1時線性相關介于中間狀態。此時要根據給定的置信度α在相關系數的臨界值表。若r>r0，則說明線性相關關系顯著；若r≤r0，則線性相關關系不顯著。二、檢測數據的誤差分析1．誤差的產生與種類

誤差=測定值-真值真值可表達為理論真值、約定真值、相對真值、近似真值。

(1)理論真值。如理論公式、設計值、圖樣尺寸值等。

(2)約定真值。實際測量中以在沒有系統誤差的情況下，足夠多次的測量值之平均值作為約定真值。

(3)相對真值。用高一級儀器檢定低一級儀器，當高一級儀器與低一級儀器的誤差比為(1/3~1/20)時，則可認為前者是后者的相對真值。

(4)近似真值。當測量重復無限次時，其結果的平均值可以認為是近似真值。二、檢測數據的誤差分析2．誤差的來源

1）實驗裝置誤差。

2）環境誤差。

3）人員誤差。

4）方法誤差。3、誤差的分類：

1）系統誤差：可以采取適當的措施消除或校正。

2）隨機誤差：無法消除其影響。

3）過失誤差：認真操作，可以避免。4．測定值的精密度、準確度和精確度（1）精密度：表示測量結果中隨機誤差大小的程度。（2）準確度：表示測量結果中系統誤差大小的程度。（3）精確度：是測量結果中隨機誤差與系統誤差的總和結果。

(a)精密度(b)準確度(c)精確度三、特異數據的取舍原則和方法在進行數據分析之前，一般應對數據判斷和處理：（1）首先檢查是否有過失誤差存在。（2）如果有條件，可在誤差較大處增加測定次數，以發現原因。（3）對于不能確定哪一測值是壞值的情況下，可在數理統計的基礎上進行判斷予以剔除。幾種主要的判斷方法1、拉依達準則（3σ或3s準則）（適用于n>50的情況）設：x1、x2…xk…xn是從總體中抽取的樣本，其中xk為過大或過小值。（1）計算數據的平均值和標準差，如果總體標準差未知是，可求出樣本標準偏差s；（2）計算∣xk-︱，如果：∣xk-︱>3σ

則將xk剔除，否則保留。

該方法的優點是計算方便、迅速，不用查表，但是判斷過于粗糙，只適用于樣本容量n>50的情況。2、肖維納特準則設：x1、x2…xk…xn是從總體中抽取的樣本，其中xk為過大或過小值。判斷方法如下：(1)計算數據的平均值和標準偏差σ，如總體標準偏差σ未知時，可求出樣本標準偏差s；(2)計算∣xk-︱，如果

∣xk-∣

≥kxσ（σ未知時以s代替σ）則可將Xk剔除，否則保留。上式中kx是與樣本容量n有關的系數，可查表。3、格拉布斯準則設：x1、x2…xk…xn是從總體中抽取的樣本，其中xk為過大或過小值。判斷方法如下：

(1)計算數據的平均值，如總體標準偏差σ未知時，可求出樣本標準偏差s；

(2)計算∣xk-︱，如果

∣xk-∣≥g0（α，n）σ（σ未知時以s代替σ）則可將Xk剔除，否則保留。應用判斷準則時應注意以下幾點：(1)剔除可疑數據時，首先應對樣本觀測值中的最小值和最大值進行判斷，因為這兩個值極有可能是可疑數據。

(2)